Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

Окружность. Свойства отрезков пересекающихся хорд, секущих и касательных

Презентация к уроку

Цель: повысить мотивацию к обучению; развивать вычислительные навыки, сообразительность, умение работать в команде.

Окружность — это линия, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности.

На слайде изображена окружность, отмечен ее центр — точка О, проведены два отрезка: ОА и СВ. Отрезок ОА соединяет центр окружности с точкой на окружности. Он называется РАДИУСОМ (по-латыни radius — “спица в колесе”). Отрезок СВ соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. Это диаметр окружности (в переводе с греческого – “поперечник”).

Также нам понадобится определение хорды окружности — это отрезок, соединяющий две точки окружности (на рисунке – хорда DE).

Давайте выясним вопрос о взаимном расположении прямой и окружности.

Следующий вопрос и он будет основным: выяснить свойства, которыми обладают пересекающиеся хорды, секущие и касательные.

Доказывать эти свойства вы будете на уроках математики, а наша задача научиться применять эти свойства при решении задач, так как они находят широкое применение на экзаменах и в форме ЕГЭ, и в форме ГИА.

Задание для команд.

  • Изобразить и записать свойство пересекающихся в точке Р хорд КМ и NF.
  • Изобразить и записать свойство касательной КМ и секущей КF.
  • Изобразить и записать свойство секущих КМ и МF.
  • Далее продолжим работать в парах над решением простейших задач по применению этих свойств:

    Используя данные на рисунке, найдите х. Слайд 5–6

    Кто быстрее, правильней. С последующим обсуждением и проверкой решения всех задач. Отвечающие зарабатывают для своей команды поощрительные баллы.

    Ну, а теперь приступим к решению более серьезных задач. Вашему вниманию предлагается три блока: пересекающиеся хорды, касательная и секущая, две секущие. Подробным образом разберем решение по одной задачи из каждого блока.

    (Разбирается решение с подробной записью №4, №7, №12)

    2. Практикум по решению задач

    а) Пересекающиеся хорды

    1. E – точка пересечения хорд AB и CD. AE=4, AB=10, СE:ED=1:6. Найти CD.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Решение:

    2. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=17, CD=18, ED=2CE. Найти AE и BE.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Решение:

    3. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Найти CE.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Решение:

    4. E – точка пересечения хорд AB и CD. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. Найти CD.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Решение:

    б) Касательная и секущая

    5. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Касательная равна 6, секущая – 18. Определить внутренний отрезок секущей.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Решение:

    6. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти касательную, если известно, что она меньше внутреннего отрезка секущей на 4 и больше внешнего отрезка на 4.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Решение:

    7. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти секущую, если известно, что внутренний её отрезок относится к внешнему, как 3:1, а длина касательной равна 12.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Решение:

    8. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти внешний отрезок, секущей, если известно, что внутренний её отрезок 12, а длина касательной 8.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Решение:

    9. Касательная и секущая, исходящие из одной точки, соответственно равны 12 и 24. Определить радиус окружности, если секущая удалена от центра на 12.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Решение:

    10. Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых соответственно равны 8 и 16. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Решение:

    11. Из одной точки проведены к окружности две секущие. Внешний отрезок первой секущей относится к своему внутреннему, как 1:3. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой и относится к своему внутреннему отрезку, как 1:8. Найти длину каждой секущей.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Решение:

    12. Через точку А, которая находится вне окружности на расстоянии 7 от её центра, проведен прямая, пересекающая окружность в точках В и С. Найдите длину радиуса окружности, если АВ=3, ВС=5.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Решение:

    13. Из точки А проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, составляющая Задачи на пересекающиеся хорды в окружностивнутреннего отрезка секущей. Найдите длину касательной.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Решение:

    3. Закрепление знаний

    Считаю, что вы обладаете достаточным запасом знаний, чтобы отправится в небольшое путешествие по лабиринтам вашего интеллекта, посетив следующие станции:

    • Соображай-ка!
    • Решай-ка!
    • Отвечай-ка!

    На станции можно находиться не более 6 минут. За каждое верное решение задачи команда получает поощрительные баллы.

    Командам вручаются маршрутные листы:

    СтанцияНомера задачОтметка о решении
    Решай-ка!№1, №3
    Соображай-ка!№5, №8
    Отвечай-ка!№10, №11
    СтанцияНомера задачОтметка о решении
    Соображай-ка!№5, №8
    Отвечай-ка!№10, №11
    Решай-ка!№1, №3
    СтанцияНомера задачОтметка о решении
    Соображай-ка!№5, №8
    Отвечай-ка!№10, №11
    Решай-ка!№1, №3

    4. Подведение итогов

    Хотелось бы подвести итоги нашего занятия:

    Помимо новых знаний надеюсь, вы лучше познакомились друг с другом, приобрели опыт работы в команде. А как вы думаете, полученные знания находят где-то применение в жизни?

    Поэт Г. Лонгфелло был еще и математиком. Наверное, поэтому яркие образы, украшающие математические понятия, которые он использовал в своем романе “Каванг”, позволяют запечатлеть на всю жизнь некоторые теоремы и их применение. Читаем в романе следующую задачу:

    “Лилия, на одну пядь поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места; исходя из этого требовалось определить глубину озера” (1 пядь равна 10 дюймам, 2 локтя – 21 дюйму).

    А решается эта задача на основе свойства пересекающихся хорд. Посмотрите на рисунок, и станет ясно, как находится глубина озера.

    Видео:Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

    Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

    Задачи по теме Свойства хорд, касательных и секущих к окружности. Геометрия, 8 класс.

    Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

    Видео:Пересекающиеся хорды окружности. Решишь задачу?Скачать

    Пересекающиеся хорды окружности. Решишь задачу?

    «Снятие эмоционального напряжения
    у детей и подростков с помощью арт-практик
    и психологических упражнений»

    Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи по геометрии 8 класс. Касательные, отрезки пересекающихся хорд и отрезки секущих к окружности.

    Свойство пересекающихся хорд: произведение

    отрезков одной хорды равно произведению

    отрезков другой хорды

    Хорды окружности АВ и СР пересекаются в точке Е. Найти длину отрезка РЕ, если СЕ= 8см, АЕ = 3 см, ВЕ = 6 см.

    Хорды окружности АК и МЕ пересекаются в точке О. Найти длину отрезка МО, если АО= 4см, ОЕ = 5 см, ОК = 15 см.

    Хорды окружности АК и МЕ пересекаются в точке О. Найти длину отрезка МО и ОЕ, если АО = 2 см, ОК = 12 см, МЕ = 10 см.

    Хорды окружности АВ и СР пересекаются в точке Е. Найти длину отрезка РЕ и СЕ, если СР = 12 см, АЕ=7 см, ЕВ = 4 см.

    Хорды окружности АВ и СД пересекаются в точке О. Найти длину отрезка ДО и ОС, если АО = 12 см, ОВ=4 см, ДО : ОС = 3 : 4.

    Хорды окружности МК и СД пересекаются в точке А. Найти длину отрезка ДО и ОС, если МА = 6 см, АК=15 см, СА : АД = 2 : 5.

    Свойство секущих к окружности, исходящих из

    Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пресекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АС и ВС, если АМ = 3, МК = 5, АВ = 4.

    Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пресекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АМ и МК, если АВ = 4, ВС = 6, АК = 12.

    Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пресекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АВ и АС, если АМ = 2, АК = 6, длина отрезка АС на 4 больше длины отрезка АВ.

    Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пресекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АМ и АК, если АВ = 2, АС = 8, длина отрезка АМ на 6 меньше длины отрезка АК.

    Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пресекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АВ и ВС, если АМ = 4, АК = 6, АВ : ВС = 2 :4.

    Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пресекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АМ и АК, если АМ : АК = 3 : 5, АВ = 5, ВС = 7.

    Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пресекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АВ и АС, если АМ = 2, АК = 4, длина отрезка ВС на 6 больше длины отрезка АВ.

    Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пресекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АМ и МК, если АМ на 8 меньше длины отрезка МК и длина отрезка АВ = 3, АС = 8.

    Свойство секущей и касательной к окружности,

    исходящих из одной точки:

    Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АВ, если АК = 4, АР = 9.

    Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АВ, если АК = 4, АР = 16.

    Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АР, если АК = 4, АВ = 8.

    Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АР, если АК = 5, АВ = 10.

    Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АК и АР, если АВ = 5, а отрезок КР на 5 больше отрезка АК.

    Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АК и АР, если АВ = 6, а отрезок КР на 6 больше отрезка АК.

    Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АР и АК, если АК : КР = 4 : 5, АВ = 12.

    Из точки А, не лежащей на окружности проведена касательная АВ и секущая АК, которая пересекает окружность в точках К и Р начиная от точки А. Найти длину отрезка АР и АК, если АК : КР = 1 : 3, АВ = 14.

    Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

    Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

    Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
    Задачи на пересекающиеся хорды в окружностиСвойства хорд и дуг окружности
    Задачи на пересекающиеся хорды в окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
    Задачи на пересекающиеся хорды в окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
    Задачи на пересекающиеся хорды в окружностиТеорема о бабочке

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Видео:№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

    №1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

    Отрезки и прямые, связанные с окружностью

    Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

    Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

    Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

    Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

    Хорда, проходящая через центр окружности.

    Диаметр является самой длинной хордой окружности

    Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

    Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

    Прямая, пересекающая окружность в двух точках

    ФигураРисунокОпределение и свойства
    ОкружностьЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности
    КругЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности
    РадиусЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности
    ХордаЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности
    ДиаметрЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности
    КасательнаяЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности
    СекущаяЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности
    Окружность
    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

    КругЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

    РадиусЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

    ХордаЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

    ДиаметрЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Хорда, проходящая через центр окружности.

    Диаметр является самой длинной хордой окружности

    КасательнаяЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

    Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

    СекущаяЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Прямая, пересекающая окружность в двух точках

    Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

    Теорема об отрезках хорд и секущих

    Свойства хорд и дуг окружности

    ФигураРисунокСвойство
    Диаметр, перпендикулярный к хордеЗадачи на пересекающиеся хорды в окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
    Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
    Равные хордыЗадачи на пересекающиеся хорды в окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
    Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
    Две хорды разной длиныЗадачи на пересекающиеся хорды в окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
    Равные дугиЗадачи на пересекающиеся хорды в окружностиУ равных дуг равны и хорды.
    Параллельные хордыЗадачи на пересекающиеся хорды в окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
    Диаметр, перпендикулярный к хорде
    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

    Диаметр, проходящий через середину хордыЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

    Равные хордыЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

    Хорды, равноудалённые от центра окружностиЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

    Две хорды разной длиныЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

    Равные дугиЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности

    У равных дуг равны и хорды.

    Параллельные хордыЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

    Видео:Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

    Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

    Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

    Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    ФигураРисунокТеорема
    Пересекающиеся хордыЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности
    Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности
    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности
    Секущие, проведённые из одной точки вне кругаЗадачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Пересекающиеся хорды
    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности
    Касательные, проведённые к окружности из одной точки
    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности
    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности
    Секущие, проведённые из одной точки вне круга
    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности
    Пересекающиеся хорды
    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Касательные, проведённые к окружности из одной точки

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Секущие, проведённые из одной точки вне круга

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Видео:Математика ОГЭ Задание 24 Отрезки пересекающихся хордСкачать

    Математика ОГЭ  Задание 24 Отрезки пересекающихся хорд

    Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

    Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Тогда справедливо равенство

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    откуда и вытекает требуемое утверждение.

    Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    откуда и вытекает требуемое утверждение.

    Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    откуда и вытекает требуемое утверждение.

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Теорема о бабочке

    Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Воспользовавшись теоремой 1, получим

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

    Задачи на пересекающиеся хорды в окружности

    откуда вытекает равенство

    что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

    🎦 Видео

    ОГЭ 23 КАК РЕШИТЬ ЗАДАЧУ НА ХОРДЫ В ОКРУЖНОСТИСкачать

    ОГЭ 23 КАК РЕШИТЬ ЗАДАЧУ НА ХОРДЫ В ОКРУЖНОСТИ

    Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

    Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

    Свойство хорд, пересекающихся внутри окружностиСкачать

    Свойство хорд, пересекающихся внутри окружности

    Свойство пересекающихся хорд окружности. Геометрия 8-9 классСкачать

    Свойство пересекающихся хорд окружности. Геометрия 8-9 класс

    №662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать

    №662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.

    Геометрия В окружности проведены хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M. Дано: AM/МВ =5/7Скачать

    Геометрия В окружности проведены хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M. Дано: AM/МВ =5/7

    Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать

    Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1

    ЕГЭ. Задачи на окружность. ХордаСкачать

    ЕГЭ. Задачи на окружность. Хорда

    Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хордыСкачать

    Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды

    9 класс. Геометрия. Теорема о пропорциональности отрезков хорд и в секущих окружности. 22.05.2020.Скачать

    9 класс. Геометрия. Теорема о пропорциональности отрезков хорд и в секущих окружности. 22.05.2020.

    Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

    Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1
    Поделиться или сохранить к себе: