Параллелепипед треугольника 5 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками.

Грань – плоская поверхность предмета, составляющая угол с другой такой же поверхностью.

Основания параллелепипеда – это его верхняя и нижняя грани.

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 класс. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мир, в котором мы живём, состоит из огромного количества разных по форме, цвету и размеру предметов. Изучая их свойства, люди открывают что-то новое. Например, математики в окружающем пространстве обращают внимание на геометрические тела: цилиндры, кубы и так далее.

Сегодня мы рассмотрим прямоугольный параллелепипед – многогранник, название которого с древнегреческого переводится как «идущие рядом плоскости».

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью прямоугольниками, то есть шестью гранями. Грань, на которую поставлен параллелепипед, и ей противоположную называют нижним и верхним основаниями.

Остальные четыре грани называют боковыми гранями.

Стороны граней параллелепипеда называют рёбрами. Их двенадцать.

Концы рёбер называют вершинами. Их в параллелепипеде восемь.

Каждая вершина является общим концом трёх рёбер.

Длины двух рёбер основания, выходящих из одной вершины, называют длиной и шириной прямоугольного параллелепипеда.

Длину бокового ребра называют высотой.

Таким образом, длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, называют длиной, шириной, высотой. Иначе длину, ширину и высоту называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны между собой, называется кубом. Каждая грань куба – квадрат.

Рассмотрим свойства прямоугольного параллелепипеда и куба.

У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны.

Все грани куба равны между собой.

Построим прямоугольник заданной длины а и высоты h.

Для этого от каждой вершины отложим отрезок, равный половине ширины b под углом 45 градусов. И соединим концы отрезков, причём невидимые грани – пунктирной линией.

Изготовить параллелепипед можно несколькими способами. Например, с помощью развёртки. Для этого на бумаге вычерчивается макет, который выглядит как приведённый шаблон. Обратите внимание, что на картинке даны припуски для того, чтобы можно было склеить параллелепипед.

Другой способ изготовления параллелепипеда – модульная сборка. Она требует ряда последовательных действий.

1) Вырежьте из бумаги шесть одинаковых квадратов.

2) Согните их к середине, как показано на картинке.

3) Согните верхние и нижние края заготовки, как показано на рисунке.

4) Верхний уголок опустите вниз, а нижний – загните наверх. После этого получится квадрат.

5) Сделайте шесть таких заготовок и соедините их в один параллелепипед. Для этого каждый острый уголок вставьте в кармашек соседней части кубика.

№ 1. Какова площадь верхней грани параллелепипеда?

Решение: площадь верхней грани параллелепипеда соответствует площади прямоугольника. Верхняя грань параллелепипеда имеет длину 15см и ширину 3см. Значит, далее по формуле вычисляем площадь:

S = а ·b = 15 см · 3 см = 45 см 2

Ответ: 45 см 2

№ 2. На рисунке изображен куб, состоящий из нескольких маленьких кубиков. Сколько маленьких кубиков ушло на построение данного куба?

Решение: для решения задачи нужно посмотреть, сколько маленьких кубиков расположено на одной грани куба. Их 9 штук. Всего на рисунке изображено три грани. Таким образом, чтобы найти общее количество маленьких кубиков, следует умножить количество кубиков, умещающихся на одной грани, на количество граней: 9 · 3= 27 штук.

Видео:Математика 5 класс. Прямоугольный параллелепипедСкачать

Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Математика 5 класс (Урок№28 - Треугольники.)Скачать

Определение параллелепипеда

Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A₁B₁C₁D₁. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA₁, ВB₁, CC₁, DD₁ параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

Видео:Прямоугольный параллелепипед. Пирамида. 5 классСкачать

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

1. Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
2. Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
3. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн в школе Skysmart — отличный способ освежить знания и снять стресс перед экзаменом.

Видео:Математика 5 класс (Урок№31 - Прямоугольный параллелепипед.)Скачать

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

Свойства прямого параллелепипеда:

1. Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
2. Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
3. Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
4. Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
5. Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

• Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
  Sб = Ро*h
  Ро — периметр основания
  h — высота
• Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
  Sп = Sб+2Sо
  Sо — площадь основания
• Объем прямого параллелепипеда
  V = Sо*h

Видео:Прямоугольный параллелепипед. Пирамида. Видеоурок 17. Математика 5 класс.Скачать

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Видео:5 класс, 20 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

1. Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
2. Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
3. Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
5. В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
7. Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

• Объем прямоугольного параллелепипеда
  V = a · b · h
  a — длина, b — ширина, h — высота
• Площадь боковой поверхности
  Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
  Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
• Площадь поверхности
  Sп.п = 2(ab+bc+ac)

Видео:5 класс, 21 урок, Объемы. Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

Видео:Формулы. Вычисление по формулам. 5 класс.Скачать

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Свойства куба:

1. В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.
2. Противолежащие грани параллельны друг другу.
3. Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.
4. У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.
5. Диагонали куба равны.
6. Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.
7. Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

• Объем куба через длину ребра a
  V = a3
• Площадь поверхности куба
  S = 6a2
• Периметр куба
  P = 12a

Видео:МАТЕМАТИКА 5 класс: Прямоугольный параллелепипед | ВидеоурокСкачать

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a — длина, b — ширина, c — высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) — сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) — суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) — сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) — сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X — сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Нужно найти длину ребра A₁B₁.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°.

По теореме Пифагора:
BD₁ 2 = DD₁ 2 + BD 2
BD 2 = BD₁ 2 – DD₁ 2
BD 2 = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD 2 = AD 2 + AB 2
AB 2 = BD 2 — AD 2 = (√17)2 — 4 2 = 1
A₁B₁ = AB = 1.

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AB = 4
AD = 6
AA₁= 5
Нужно найти отрезок BD₁.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD₁ угол D = 90°.
BD₁ 2 = 52 + 25 = 77
BD₁ = √77.

Видео:ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. ПИРАМИДА. §22 математика 5 классСкачать

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Вычислите длину ребра AA₁.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

• прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
• параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
• основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
• три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
• диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.

Видео:24. Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда (Виленкин, 5 класс)Скачать

Урок 29 Бесплатно Прямоугольный параллелепипед

На прошлых занятиях мы рассматривали плоские фигуры.

В реальности же каждый предмет, какой бы он формы не был, занимает некоторую часть пространства.

Даже у самого тонкого листа бумаги имеется толщина.

Если взять стопку таких листов, то объем стопки бумаги будет хорошо заметен.

Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры и их свойства в пространстве, называется стереометрией.

Слово стереометрия происходит от древнегреческого «стериос»- объемный, пространственный и «метрио»- измерять.

Базовыми фигурами в пространстве, как и на плоскости, является точка, прямая и плоскость, из которых образуются объемные геометрические фигуры, тела, пространства.

Геометрическое тело, состоящее из плоских многоугольников, называют многогранником.

Существует огромное множество многогранников: выпуклые, невыпуклые, правильные и т.д.

На данном уроке познакомимся с выпуклым прямоугольным многоугольником, который называется параллелепипед.

Выясним, как прямоугольный параллелепипед выглядит и из каких элементов он состоит.

Рассмотрим его свойства.

Научимся изображать данный многоугольник на плоскости и вычислять площадь его поверхности.

Разберем несколько примеров решения задач.

Видео:Математика 5 Объем Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

Прямоугольный параллелепипед

Каждый может себе представить и знает, как выглядят детские кубики.

С кубиками и конструктором из брусочков прямоугольной формы многие знакомы с раннего детства: строили домики, башенки, дороги, затем все это радостно рушили.

Всем известно, как выглядит коробка конфет или долька шоколада. Многие получали подарки в красивой красочной коробке с ярким бантом, читали книги с увлекательными рассказами и сказками.

Все эти знакомые вам предметы — это объемные тела, которые в реальности можно посмотреть, потрогать со всех сторон.

Если обратим внимание на форму, то заметим, что все изображенные объекты имеют некоторое сходство, они представляют собой прямоугольный параллелепипед.

Слово «параллелепипед» происходит от двух греческих слов: «параллелос» — идущие рядом и «опипедон» — плоскость.

Прямоугольный параллелепипед-это объемная геометрическая фигура, многогранник, состоящий из шести прямоугольников.

Прямоугольный параллелепипед — это пространственная фигура.

Плоские фигуры, такие как квадрат, прямоугольник, треугольник изобразить на плоскости легко, они являются её частью.

Любую объемную фигуру изобразить на плоскости затруднительно.

Многогранник необходимо изобразить так, чтобы была заметна объемность фигуры.

Для этого все линии многогранника, невидимые глазу, принято изображать на рисунке пунктирными линиями, а видимые — сплошными линиями.

Пунктирная линия дает возможность понять наблюдателю, как расположен многогранник и определить, откуда необходимо смотреть на него.

Если мы изобразим параллелепипед только сплошной линией, то на рисунке будут изображены различные четырехугольники, соединенные между собой, а объемного представления многоугольника данный рисунок не даст.

Даже если нам известно, что изображен прямоугольный параллелепипед, то все равно непонятно какой стороной расположен многогранник к наблюдателю.

Если невидимые линии на рисунке изобразить пунктирными линиями, то у фигуры сразу будет заметен объем.

Прямоугольный параллелепипед изображают так:

Прямоугольники, из которых состоит прямоугольный параллелепипед, называют гранями, причем противоположные грани его попарно равны.

Верхняя грань равна нижней, правая равна левой, передняя грань равна задней.

Грань, на которой стоит прямоугольный параллелепипед, называют нижним основанием, противоположную грань называют верхним основанием параллелепипеда.

Остальные четыре грани называют боковыми гранями.

Стороны граней называют ребрами параллелепипеда.

Концы ребер, т.е. вершины граней, называют вершинами параллелепипеда.

На рисунке вершины изображены точками.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Для любого выпуклого многогранника, в том числе и для параллелепипеда, справедливо утверждение: Г + В – Р = 2, где

Г— число граней

В— число вершин

Р— число ребер

Данное утверждение говорит о том, что количество вершин и граней многоугольника вместе взятых всегда на два больше количества ребер.

Это правило называют теоремой Эйлера в честь ее создателя математика, механика Леонарда Эйлера.

Проверим справедливость теоремы Эйлера для разных фигур.

Параллелепипед состоит из следующих элементов: 6 граней (Г = 6), 8 вершин (В = 8), 12 ребер (Р = 12).

Г + В – Р = 6 + 8 – 12 = 14 – 12 = 2

Получили верное равенство.

Пирамида- это многогранник, в основании которого лежит многоугольник.

Грани пирамиды- это треугольники, сходящиеся в общую вершину.

Тетраэдр- пирамида, состоящая из 4 граней- равных треугольников (Г = 4), 4 вершин (В = 4) и 6 ребер (Р = 6).

Г + В – Р = 4 + 4 – 6 = 8 – 6 = 2

Получили верное равенство.

Четырехугольная пирамида имеет 5 граней: квадрат в основании и 4 треугольника в качестве боковых граней (Г = 5), 5 вершин (В = 5), 8 ребер (Р = 8).

Г + В – Р = 5 + 5 – 8 = 10 – 8 = 2

Получили верное равенство

Прямоугольный параллелепипед имеет три линейные величины (три измерения): ширину, длину и высоту.

Величину прямоугольного параллелепипеда определяют длинами трех ребер, исходящих из одной вершины.

Если все три величины прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед называют кубом.

Другими словами, куб — это частный случай параллелепипеда.

Куб — это правильный многоугольник, состоящий из шести одинаковых квадратов.

Куб по-другому называют правильный гексаэдр (от греческого «hex»- шесть и «hedra»- грань).

Куб выглядит так:

Он имеет все те же элементы, что и прямоугольный параллелепипед.

Все шесть граней куба равны, следовательно, и все 12 ребер между собой равны.

Куб так же имеет 2 основания: нижнее, на котором он стоит, и противоположное ему — верхнее.

Остальные четыре его грани — это боковые грани.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Куб относится к Платоновским телам.

Платоновскими телами называют объемные геометрические тела выпуклой формы, которые состоят из одинаковых по форме и размеру многоугольников, а в каждой вершине такого многогранника сходится одинаковое число ребер.

Всего существует пять Платоновских тел. Такие многогранники известны с древних времен.

В Древней Греции существовали различные философские школы, в которых пытались разъяснить существование и выяснить предназначение геометрических тел правильной формы.

Одна из основных и самых известных философских школ была Пифагорейская, названная так в честь ее создателя — древнегреческого философа, ученого Пифагора.

Пифагорейцы считали, что материя состоит из четырех составляющих: огня, воды, воздуха, земли.

Ассоциировали четыре правильных многогранника (тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр) с этими стихиями.

Пятый правильный многогранник (додекаэдр) олицетворял все мироздание, Вселенную, его стали называть «пятая сущность».

Учения Пифагорейцев изложил в своих трудах древнегреческий философ, ученый Платон. В связи с этим правильные многогранники стали называть Платоновскими телами.

Число и вид граней

4

6

8

12

20

6

12

12

30

30

4

8

6

20

12

Число ребер, сходящихся в вершине

3

3

4

3

5

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Если посмотреть вокруг, то мы можем заметить огромное множество объектов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда или напоминающих его форму.

Так, например, большинство зданий и помещений, шкаф (тумбочка), столешница, аквариум, коробка, кирпичи и многое другое представляют собой прямоугольный параллелепипед.

Такой многогранник имеет широкое применение в различных областях нашей жизни, и это неспроста:

1) прямоугольная форма параллелепипеда удобна для деления целого на части

2) объекты прямоугольной формы легко надстраивать и совмещать

3) прямоугольный параллелепипед является одним из самых устойчивых многогранников

Часто приходится определять площадь поверхности объекта, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда.

Давайте разберемся, как и с помощью каких формул можно вычислить площадь его поверхности.

Допустим, у нас есть коробка, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда.

Попробуем изобразить развертку данного геометрического тела.

Развертка параллелепипеда — это изображение его поверхности в виде плоской фигуры, составленной из двух равных оснований: прямоугольников и четырех боковых граней (прямоугольников, попарно равных друг другу).

Площадь этой развертки- это и есть площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Так как прямоугольный параллелепипед состоит из шести граней, имеющих форму прямоугольников, причем противоположные грани равны по величине, то площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда будет равна сумме площадей всех его шести граней.

Пусть для нашего прямоугольного параллелепипеда три ребра, выходящие из одной вершины, имеют значения а, b, h.

а— ширина прямоугольного параллелепипеда

b— длина прямоугольного параллелепипеда

h— высота прямоугольного параллелепипеда

Найдем площадь всех граней.

Воспользуемся формулой для расчета площади прямоугольника: площадь прямоугольника равна произведению его ширины на длину.

Ребра, лежащие напротив ребер а, b, h, будут иметь такие же значения длины, так как противолежащие ребра прямоугольного параллелепипеда равны.

В таком случае получаем:

1) Площадь нижнего основания равна произведению (a ∙ b)

2) Площадь верхнего основания также равна произведению (a ∙ b)

3) Площадь левой боковой и правой боковой граней равны, как противолежащие, площадь каждой из них определяется произведением (b ∙ h)

4) Передняя и задняя боковые грани равны, а значение площади каждой из них будет определяться произведением (а ∙ h)

Сложим площади всех граней прямоугольного параллелепипеда, получим общую площадь его поверхности.

Упростим выражение, вынесем 2 за скобку.

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда будет выглядеть так:

Площадь двух оснований прямоугольного параллелепипеда (это два прямоугольника) найдем по формуле:

S_осн = 2 (a ∙ b).

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле:

S_бок = 2h ∙ (a + b).

В нашем случае а, b— это стороны основания, h— это высота прямоугольного параллелепипеда (боковое ребро).

Так как основанием прямоугольного параллелепипеда является прямоугольник, то периметр основания прямоугольного параллелепипеда определяется равенством

Р_основ = 2 ∙ (a + b).

Подставим Р_основ в формулу S_бок = 2h ∙ (a + b) вместо выражения 2 ∙ (a + b).

Тогда площадь боковой поверхности можно найти так:

S_бок = Р_основ ∙ h.

Определим площадь поверхности куба.

Известно, что куб — это прямоугольный параллелепипед, поверхность которого состоит из шести одинаковых граней, имеющих форму квадрата.

Чтобы найти площадь поверхности куба, необходимо сложить площади всех его граней.

Площадь одной грани куба найдем по формуле площади квадрата:

S = a 2

а— это сторона квадрата (ребро куба).

Так как все 6 граней куба представляют собой равные по площади квадраты, следовательно, чтобы найти площадь всей поверхности куба, необходимо площадь одной грани умножить на их количество.

Формула площади поверхности куба выглядит так:

Рассмотрим решение нескольких практических задач.

В процессе любого строительства или ремонта очень часто встает вопрос о том, сколько необходимо потратить строительного и отделочного материала или как рассчитать расход краски.

Задача №1.

Какое количество краски понадобится, чтобы полностью покрасить бак прямоугольной формы?

Ширина бака 2 метра, длина 3 метра, высота 1 метр.

Известно, что на 1 м 2 расходуется 200 г краски.

Чтобы рассчитать количество краски, которое нужно затратить на покраску бака, необходимо определить площадь окрашиваемой поверхности, затем, зная норму расхода краски на единицу площади, можно рассчитать расход краски на всю окрашиваемую поверхность.

Пусть m₁— масса краски, которая расходуется на 1 м 2

m₂— масса краски, которая необходима для покраски всего бака.

Задача №2

Сколько квадратных метров стекла понадобится на изготовление аквариума кубической формы длиной 100 см?

Для вычисления площади поверхности аквариума в квадратных метрах необходимо длину аквариума перевести из сантиметров в метры.

Вспомним, 1 м = 100 см.

Если бы аквариум необходимо было изготовить только из боковых стенок и основания, то из стекла пришлось бы вырезать всего 5 квадратных граней.

В таком случае формула для вычисления площади поверхности аквариума приняла бы вид

S = 5 а 2 .

Задача №3

Хозяйка решила покрасить стены в комнате.

Вычислите площадь поверхности стен комнаты, в которой имеется дверной проем площадью 2 м 2 и оконный проем площадью 1 м 2 .

Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда.

Ширина комнаты 3 метра, длина комнаты 4 метра, высота комнаты 3 метра.

Пусть S_c— общая площадь стен комнаты.

S_д— площадь дверного проема.

S_о— площадь оконного проема.

S— площадь стен комнаты за исключением площади дверного и оконного проемов.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

🌟 Видео

23. Прямоугольный параллелепипед (Виленкин, 5 класс)Скачать

Многоугольники. 5 класс.Скачать

Математика 5 класс (Урок№32 - Объём прямоугольного параллелепипеда. Единицы объёма.)Скачать

Прямоугольный параллелепипедСкачать

КАК НАЙТИ ДЛИНУ ВСЕХ РЕБЕР ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Объем прямоугольного параллелепипеда. 5 классСкачать