Задачи на пересечение прямой с окружностью

Найти точки пересечения окружности ( x — 1) 2 + (y — 2) 2 = 4 и прямой y = 2x.

Координаты точек пересечения должны удовлетворять обоим указанным уравнениям, так как эти точки находятся как на одной, так и на другой линии. Решим систему уравнений

Подставляя в первое уравнение 2x вместо y и раскрывая скобки, получим

Подставляя эти значения во второе уравнение y = 2x, получим

и .

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Как найти пересечение прямой с окружностью

Видео:Определение точки пересечения окружности с прямойСкачать

Как найти пересечение прямой с окружностью

Найти точки пересечения окружности ( x — 1) 2 + (y — 2) 2 = 4 и прямой y = 2x.

Координаты точек пересечения должны удовлетворять обоим указанным уравнениям, так как эти точки находятся как на одной, так и на другой линии. Решим систему уравнений

Подставляя в первое уравнение 2x вместо y и раскрывая скобки, получим

Подставляя эти значения во второе уравнение y = 2x, получим

и .

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Пересечение окружности и прямой.Координаты.

Рассмотрим более подробно задачу пересечения окружности и прямой. В принципе само решение есть уже в общем виде Пересечение прямой и кривой второго порядка, но мы рассмотрим и выведем формулы точек пересечения этих двух геометрических объектов.

Уравнение прямой, как мы знаем из материала Расчет параметров прямой линии по заданным параметрам могут быть заданы в нескольких видах:

— с угловым коэффициентом

— в нормальном виде

Что бы решить нашу первоначальную задачу, использовать будем уравнение прямой с угловым коэффициентом которое имеет вид

Уравнение окружности тоже может быть выражена в различных видах

Например в общем виде оно имеет вид

Подставим в уравнение окружности, уравнение прямой

Мы получили стандартное квадратное уравнение, решив котрое мы получим два значения, которые и будут являтся абсциссами точек пересечения прямой и окружности.

Подставим эти координаты в уравнение прямой, мы получим две ординаты точек пересечения.

Таким образом решение найдено.

Для упрощения, для сверки результатов — калькулятор помогает Вам рассчитать эти точки. Интересная особенность состоит в том, что прямая может быть задана в любом виде, хоть виде двух точек.

А уравнение окружности может быть не только введено с помощью коэффицентов, но и в виде пары трех координат через которые, эта окружность будет проходить.

Видео:Лекция 2. Основная задача начертательной геометрии. Точка пересечения прямой с плоскостью.Скачать

Пересечение окружности и прямой

Дана окружность (координатами своего центра и радиусом) и прямая (своим уравнением). Требуется найти точки их пересечения (одна, две, либо ни одной).

Видео:Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружностиСкачать

Решение

Вместо формального решения системы двух уравнений подойдём к задаче с геометрической стороны (причём, за счёт этого мы получим более точное решение с точки зрения численной устойчивости).

Предположим, не теряя общности, что центр окружности находится в начале координат (если это не так, то перенесём его туда, исправив соответствующе константу C в уравнении прямой). Т.е. имеем окружность с центром в (0,0) радиуса r и прямую с уравнением Ax + By + C = 0.

Сначала найдём ближайшую к центру точку прямой — точку с некоторыми координатами (x₀,y₀). Во-первых, эта точка должна находиться на таком расстоянии от начала координат:

Во-вторых, поскольку вектор (A,B) перпендикулярен прямой, то координаты этой точки должны быть пропорциональны координатам этого вектора. Учитывая, что расстояние от начала координат до искомой точки нам известно, нам нужно просто нормировать вектор (A,B) к этой длине, и мы получаем:

(здесь неочевидны только знаки ‘минус’, но эти формулы легко проверить подстановкой в уравнение прямой — должен получиться ноль)

Зная ближайшую к центру окружности точку, мы уже можем определить, сколько точек будет содержать ответ, и даже дать ответ, если этих точек 0 или 1.

Действительно, если расстояние от (x₀, y₀) до начала координат (а его мы уже выразили формулой — см. выше) больше радиуса, то ответ — ноль точек. Если это расстояние равно радиусу, то ответом будет одна точка — (x₀,y₀). А вот в оставшемся случае точек будет две, и их координаты нам предстоит найти.

Итак, мы знаем, что точка (x₀, y₀) лежит внутри круга. Искомые точки (ax,ay) и (bx,by), помимо того что должны принадлежать прямой, должны лежать на одном и том же расстоянии d от точки (x₀, y₀), причём это расстояние легко найти:

Заметим, что вектор (-B,A) коллинеарен прямой, а потому искомые точки (ax,ay) и (bx,by) можно получить, прибавив к точке (x₀,y₀) вектор (-B,A), нормированный к длине d (мы получим одну искомую точку), и вычтя этот же вектор (получим вторую искомую точку).

Окончательное решение такое:

Если бы мы решали эту задачу чисто алгебраически, то скорее всего получили бы решение в другом виде, которое даёт бОльшую погрешность. Поэтому «геометрический» метод, описанный здесь, помимо наглядности, ещё и более точен.

Видео:Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать

Реализация

Как и было указано в начале описания, предполагается, что окружность расположена в начале координат.

Поэтому входные параметры — это радиус окружности и коэффициенты A,B,C уравнения прямой.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

Пересечение прямой с окружностью

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Взаимное расположение окружности и прямой. 7 класс.Скачать

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Пересечение прямой с окружностью 31.03.14 Составила: учитель математики Саттарова Р. Д.

Главная дидактическая цель урока: Добиться умения самостоятельно формулировать определения понятий: окружность, радиус, диаметр, хорда каждым учащимся. Цели урока: Изучить возможности взаимного расположения прямой и окружности. Способствовать формированию приёмов критического мышления, анализа и синтеза. Воспитание коммуникативной культуры, приобретение опыта самостоятельной работы.

Повторение Расстояние между двумя точками- длина отрезка, соединяющего эти точки Расстояние от данной точки до прямой- длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой

Окружность А В С D О К

В окружности с центром в точке О проведены диаметр АС и радиус ОК так, что хорда КС равна радиусу. Найдите угол АОК. А С О К ?

В окружности с центром в точке О проведена хорда ВС, равная 8см. Найти расстояние от точки О до отрезка ВС, если радиус окружности равен 5см. В С О r r

1. Составьте уравнение окружности, изображенной на рисунке:

1. Составьте уравнение окружности, изображенной на рисунке:

1. Составьте уравнение окружности, изображенной на рисунке:

2. Определите координаты центра и диаметр окружности, заданной уравнением:

4. Составьте уравнения прямой, изображенной на рисунке:

4. Составьте уравнения прямой, изображенной на рисунке:

4. Составьте уравнения прямой, изображенной на рисунке:

5. Найдите несоответствие геометрической иллюстрации данным задачи:

p p p r r r H H H d r

d > r если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d > r), то прямая и окружность не имеют общих точек OH > r p r H d > r М

Среди следующих утверждений укажите истинные. Окружность и прямая имеют две общие точки, если: Расстояние от центра окружности до прямой не превосходит радиуса окружности; расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности; расстояние от окружности до прямой меньше радиуса.

Установите истинность или ложность утверждений: Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она имеет с окружностью общие точки. Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она пересекает окружность в двух точках. Прямая а является секущей по отношению к окружности, если расстояние от центра окружности до данной прямой не больше радиуса.

Теорема об отрезках касательных, проведённых из одной точки А С О B Дано: окр(О,r) AB,AC-касательные Доказать: AB=AC ▲ABO = ▲ACO прямоугольные т.к. OB┴AB, OC┴AC AO-общая сторона OB=OC( радиусы) AB=AC Доказательство: ■ ■

А С О В Решение: Решение

О С В А 9 Решение:

О N М А Решение

Домашнее задание: п. 79,80, №50(2, 3)

Краткое описание документа:

Главная дидактическая цель урока: Добиться умения самостоятельно формулировать определения понятий: окружность, радиус, диаметр, хорда каждым учащимся. Цели урока: Изучить возможности взаимного расположения прямой и окружности. Способствовать формированию приёмов критического мышления, анализа и синтеза. Воспитание коммуникативной культуры, приобретение опыта самостоятельной работы.В окружности с центром в точке О проведены диаметр АС и радиус ОК так, что хорда КС равна радиусу. Найдите угол АОК.В окружности с центром в точке О проведена хорда ВС, равная 8см. Найти расстояние от точки О до отрезка ВС, если радиус окружности равен 5см.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 942 человека из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 316 человек из 68 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 691 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 489 974 материала в базе

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

• 30.03.2014
• 3435

• 30.03.2014
• 823

• 30.03.2014
• 1108

• 30.03.2014
• 4057

• 30.03.2014
• 5347

• 30.03.2014
• 920

• 30.03.2014
• 678

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 30.03.2014 3269 —> —> —> —>
• PPTX 2.6 мбайт —> —>
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Саттарова Рания Дамировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 8 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 5885
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:УРАВНЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ И ПРЯМОЙ 9 класс геометрияСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

548 курсов от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

В России могут создать комиссию по поддержке одаренных детей

Время чтения: 1 минута

УрФУ возглавил рейтинг медиаактивности вузов

Время чтения: 1 минута

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

В Петербурге дали рекомендации по переводу школьников на дистант

Время чтения: 3 минуты

Регионы запустили работу по капремонту школ

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

🔍 Видео

Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулыСкачать

Задача С5: пересечение графиков окружности и модуляСкачать

Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность. Круг. 5 класс.Скачать

Пересечение прямой и окружностиСкачать

Пересечение прямой и плоскостиСкачать

ОГЭ Задание 11 Окружность ПрямаяСкачать

Начертательная геометрия. Пересечение прямых с поверхностями вращения. Задача 53гСкачать

Уравнение окружности (1)Скачать

Теорема о числе точек пересечения окружности с прямой и окружностьюСкачать