Задачи на окружности олимпиада (4 видео)

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Классы: 5 , 6 , 7

Ключевые слова: круги Эйлера

Содержание

Пояснительная записка
Основные понятия
2. Решение задач с помощью кругов Эйлера
2.1. «Обитаемый остров» и «Стиляги»
2.2. Задача про библиотеки
2.3. Гарри Поттер, Рон и Гермиона
2.4. Задача про любимые мультфильмы
2.5. Задача про Крейсер и Линкор
2.6. Задача про блондинок
2.7. Задача про кружки
Задачи для самостоятельного решения
Авторские олимпиадные задачи репетитора по математике на круги Эйлера
Репетитор по математике о восприятии ребенком кругов Эйлера
Геометрия на олимпиадах
Просмотр содержимого документа «Геометрия на олимпиадах»
🎦 Видео

Пояснительная записка

Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение простым и наглядным.

В данной разработке приведены примеры решения задач с помощью кругов Эйлера. Это не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Они помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

С данным способом решения задач учащихся можно познакомить как на уроках, так и на кружковых занятиях.

Главной целью этой работы является помощь учителям математики для подготовки учащихся к олимпиадам, а также к экзаменам.

Основные понятия

Понятие множества − одно из первичных в математике. Поэтому очень трудно дать ему какое-либо определение, которое бы не заменяло слово «множество» каким-нибудь равнозначным выражением, например, совокупность, собрание элементов и т.д. Элементы множества − это то, из чего это множество состоит, например, каждый ученик вашего класса есть элемент множества школьников.

Пересечение множеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

2. Решение задач с помощью кругов Эйлера

2.1. «Обитаемый остров» и «Стиляги»

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек — фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение:

Чертим два множества таким образом:

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.

1. 15 — 6 = 9 — человек, которые смотрели только «Обитаемый остров»,

2. 11- 6 = 5 — человек, которые смотрели только «Стиляги».

Ответ: 5 человек.

2.2. Задача про библиотеки

Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 — в районной.

Являются читателями обеих библиотек;
Не являются читателями районной библиотеки;
Не являются читателями школьной библиотеки;
Являются читателями только районной библиотеки;
Являются читателями только школьной библиотеки?

Решение:

Чертим два множества таким образом:

1) 20+ 25 — 35 = 10 (человек) — являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.

2) 35 — 20 = 15 (человек) — не являются читателями районной библиотеки,

3) 35 — 25 = 10 (человек) — не являются читателями школьной библиотеки,

4) 35- 20 = 10 (человек) — являются читателями только районной библиотеки,

5) 35- 20 = 15 (человек) — являются читателями только школьной библиотеки.

Очевидно, что вопросы 2 и 5, а также 3 и 4 — равнозначны и ответы на них совпадают.

Ответ: 10 человек; 15 человек; 10 человек; 10 человек; 15 человек.

2.3. Гарри Поттер, Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Решение:

Учитывая условия задачи, сделаем чертеж:

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги — Гермиона, то 11 — 4 — 2 = 5 — книг прочитал только Гарри.

Следовательно, 26 — 7 — 2 — 5 — 4 = 8 — книг прочитал только Рон.

Ответ: 8 книг.

2.4. Задача про любимые мультфильмы

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым — «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».

Решение:

Чертим три круга, таким образом:

Из условия знаем, что трем ученикам нравиться и «Белоснежка и семь гномов», и «Волк и теленок», шестерым — «Белоснежка и семь гномов» и «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма.

Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «Волк и теленок» пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу, т.е. 5 — 3 = 2 — ученика выбрали «Волк и теленок» и «Губка Боб Квадратные Штаны».

1) 21 — 3 — 1 — 6 = 11 — учеников выбрали только «Белоснежка и семь гномов»,

2) 13 — 3 — 1 — 2 = 7 — учеников выбрали — «Волк и теленок»,

3) 38 — (11 + 3 + 1 + 2 + 6 + 7) = 8 — ребят выбрали «Губка Боб Квадратные Штаны».

4) 8 + 2 + 1 + 6 = 17 — человек выбрали мультик «Губка Боб Квадратные Штаны».

Ответ: 17 учеников.

2.5. Задача про Крейсер и Линкор

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.

Найдено страниц, тыс.

Крейсер и Линкор

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер и Линкор? (Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.)

Решение:

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи.

1) 4800 + 4500 — 7000 = 2300 (тыс. страниц) — найдено по запросу Крейсер и Линкор,

2) 4800 — 2300 = 2500 (тыс. страниц) — найдено по запросу Крейсер,

3) 4500 — 2300 = 2200 (тыс. страниц) — найдено по запросу Линкор.

Ответ: 2300 тыс. страниц.

2.6. Задача про блондинок

Каждый ученик класса — либо девочка, либо блондин, либо любит математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок, но одна блондинка любит математику. Всего в классе 24 ученика — блондина, математику из них любят 12, а всего учеников (мальчиков и девочек), которые любят математику, 17, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе?

Решение:

Изобразим с помощью кругов Эйлера данные из задачи:

1) 12 — 1 = 11 (учеников) — девочек блондинок,

2) 12 — 1 = 11 (учеников) — блондины и любят математику,

3) 6 — 1 = 5 (учеников) — девочек, которые любят математику,

4) 20 — 11 — 1 — 5 = 3 (ученика) — девочки,

5) 24 — 11 — 1 — 11 = 1 (ученик) — блондин,

6) 17- 5 — 1 — 11 = 0 (учеников) — любят математику,

7) 3 + 1 + 0 + 5 + 11 + 11 + 1 = 32 (ученика) — всего в классе.

Ответ: 32 ученика.

2.7. Задача про кружки

В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение:

Учитывая условия задачи, сделаем чертеж:

1) 10 — 3 = 7 (ребят) — посещают драмкружок и хор,

2) 6 — 3 = 3 (ребят) — поют в хоре и занимаются спортом,

3) 8 — 3 = 5 (ребят) — занимаются спортом и посещают драмкружок,

4) 27 — 7 — 3 — 5 = 12 (ребят) — посещают драмкружок,

5) 32 — 7 3 — 3 = 19 (ребят) — поют в хоре,

6) 22 — 5 — 3 — 3 = 11 (ребят) — увлекаются спортом,

7) 70 — (12 + 19 + 11 + 5+ 7 + 3 + 3) = 10 (ребят) — не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке.

Ответ: 10 человек и 11 человек.

Задачи для самостоятельного решения

1. На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 — немецкий язык, а 23 — оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни английского, ни немецкого языков?

2. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 — лимонад, а 15 — и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?

3. 12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 — фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?

4. Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в нашем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?

5. Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимаются спортом, а остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом — 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько теннисистов играет в футбол?

6. В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 — черешню. Двое любят груши и черешню; 6 — груши и яблоки; 5 — яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

7. В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 — умных и 9 — добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?

8. В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике — 12; по истории — 23. По русскому и математике — 4; по математике и истории — 9; по русскому языку и истории — 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?

9. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 — испанский, 75 — немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?

10. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 — в Италии, 6 — в Англии; в Англии и Италии — 5; в Англии и Франции — 6; во всех трех странах — 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Список использованных источников

1. Баженов И.И, Порошкин А.Г., Тимофеев А.Ю., Яковлев В.Д. Задачи для школьных математических кружков: учеб. пособие / Сыктывкар: Сыктывкарский университет, 2006.

2. Марков И.С. Новые олимпиады по математике — Ростов н/Д: Феникс, 2005.

Видео:Олимпиадная физика, кинематика: решение задачи на движение по окружности с ускорением | 9–11 классСкачать

Авторские олимпиадные задачи репетитора по математике на круги Эйлера

По многочисленным просьбам продолжаю публикацию своих материалов, составленных с учетом различной специфики, в которые попадает репетитор по математике наиболее часто. Здесь Вы найдете необходимую дидактику на урок по теме «Круги Эйлера». Олимпиадные задачи по математике для 4 — 5 класса на Круги Эйлера особенно охотно включают во вступительные экзамены таких престижных заведений, как Курчатовская школа, Лицей вторая школа, 179-я школа и другие.

1) На научный конгресс прибыло 30 академиков. Из них 12 человек будут делать доклад по математике, а 18 человек по физике. Три человека не собираются делать доклады ни по одной из этих наук. Сколько академиков станут докладчиками одновременно и по математике и по физике? Ответ: 3

2) Все четвероклассники школы либо хотят в шахматную секцию, либо на танцы. Шахматистов 75 человек, а танцоров только 25. Ровно 2 человека не ходят ни на шахматы, ни на танцы. Сколько учащихся 4 классов посещают обе секции сразу, если во всех 4 классах учится 92 человека? Ответ: 10

3) Среди всех семей, чьи дети посещают Курчатовскую школу, имеется ровно 500 семей, в которых папа знает математику и 350 семей, в которых ее хорошо знает мама. В десяти семьях ни один из родителей математику не знает, а в двадцати – оба родителя ее знают. Сколько всего семей? Ответ: 840

4) 1 сентября на торжественную линейку пришли ученики 5 классов. В галстуках пришло 70 человек, в пиджаках — 50 человек, а 30 учеников пришли одновременно и в галстуках и в пиджаках. Кроме них 10 человек пришли без галстуков и без пиджаков. Сколько всего учеников 5 классов пришло на линейку? Ответ: 100

5) В классе 29 детей. Из них 8 человек играет в футбол, 5 человек играет одновременно в футбол и в теннис, а еще 5 человек ни во что не играют. Сколько детей играет в теннис? Ответ: 10

6) На детский праздник привезли 420 подарков. В 220 из них были игрушки, ровно в 50-ти одновременно игрушки и конфеты, а в 20-ти из них не было ни того, ни другого, а были наборы фломастеров. В скольких подарках имелись только конфеты? Ответ: 180

7) В лицее учится 72 ученика 6 классов. Из них 50 человек увлечены математикой, 40 ребят – информатикой, а 10 человек не увлечены ни тем, ни другим. Сколько учеников увлечены и математикой и информатикой сразу? Ответ: 28

8) В деревне в каждой семье есть козы или куры, причем в 22 дворах есть козы, а в 26 дворах – куры. В 16 дворах есть сразу и коровы и куры. Сколько в этой деревне дворов? Ответ: 32

9) В 4 классе 26 учеников. Из них английский учат 16 человек, немецкий – 13 человек, а 4 человека не учат ни тот язык, ни другой. Сколько четвероклассников изучают одновременно оба языка?
Ответ: 7

10) К репетитору по математике ходит 14 школьников. Из них олимпиадные задачи любят решать 6 учеников, обычные и олимпиадные – 2 человека, а 3 ученика вообще не любят решать задачки. Сколько у репетитора по математике тех учеников, которые любят решать обычные задачи? Ответ: 7

11) На марсе есть ровно 3 марсианских государства A, В и С с двумя спорными (общими) территориями D и E, Каждый марсианин живет в каком то одном из государстве, либо в двух сразу на спорных территориях. В государстве «А» живет 200 марсиан, в «В» — 300 марсиан, а в «С» — 400. Сколько марсиан живет на спорных территориях D и E, если всего на марсе живет 800 жителей? Ответ: 100

Репетитор по математике о восприятии ребенком кругов Эйлера

На самом деле терминология не совсем отражает реальность, ибо чаще всего на рисунках отображаются вовсе не круги, а области. Поэтому правильнее было бы назвать тему «области Эйлера». Но это мелочи.

Корни задач с кругами Эйлера уходят в теорию множеств. Конечно, оперировать соответствующей терминологией без определенной адаптации теоретико — множественных понятий к восприятию их ребенком 4 — 5 класса чревато последствиями. На помощь репетитору приходит все тот же рисунок. Однако недостаточно вычертить две пересекающиеся области, нужно точно подписать количество элементов каждой из них. Я всегда специально оговариваю, что числовое значение, вставленное во внутреннюю часть области показывает количество ее элементов до пограничной линии, то есть, например на нижеприведенном рисунке репетитор по математике отмечает числами 20 и 30 количество элементов в красном и синем кругах, не входящих в желтое пересечение.

Если в задаче известны значения полных кругов, включая желтую зону, то я бы рекомендовал репетиторам отображать их сбоку за пределами линий областей. Любая олимпиадная задача по математике на круги Эйлера должна быть изображена в виде рисунка и желательно в цвете. Иначе придется долго мучить ученика следующими пояснениями к ответам действий, на подобии следующих: «количество учеников, изучающих английский язык, но не изучающих немецкий». Лучший вариант звучит так: «левая часть синего круга».

Специфика задач на круги Эйлера состоит в разнице между количеством элементов объединения и суммой чисел, отвечающих за количество элементов каждого множества. Эту разницу репетиторам по математике стоит раскрыть в самом начале урока на простом примере пересчета числа точек. Я обычно отмечаю несколько таких, обвожу их, как показано на нижнем рисунке кругами разных цветов и задаю ученику направляющие вопросы:

«Сколько точек в зеленом круге?»
«Сколько в коричневом?
«Если эти количества сложить, мы все точки перечитаем?»
«Почему это количество не сходится с реальным числом точек в кругах?»

Обычно ребенок сразу же улавливает главное и говорит преподавателю: «У нас 3 точки лишний раз посчитались». И вот оно — счастье репетитора по математике — ученик схватил суть.

Желаю вам успехов в работе с объяснениями кругов Эйлера! Присылайте свои материалы и делитесь опытов с коллегами!
На ваш суд была представлена коллекция материалов, полезных для начальной подготовки в лицей «Вторая школа», 179 школу и ряд близких по уровню математических лицеев и классов.

С уважением, Александр Николаевич. Олимпиадные занятия для 4 -5 классов в Строгино (м.Щукинская).

Видео:Задача на движение между городами на окружности (Олимпиада ПВГ)Скачать

Геометрия на олимпиадах

Геометрические задачи — это наиболее деятельностная и наглядная часть олимпиадных заданий. Такие задачи обязательно присутствуют в олимпиадах для младших школьников. Еще чаще геометрические задачи встречаются на математических турнирах всех уровней.

Просмотр содержимого документа
«Геометрия на олимпиадах»

Геометрия на олимпиадах

В треугольнике ABC ∠B=36∘, а точки K, M, N — точки касания вписанной окружности со сторонами AB, BC и AC соответственно. Найдите величину угла KNM.

Пусть ∠BAC=α, ∠ACB=γ.

Отрезки касательных, проведённые из точек A и C равны, поэтому AK=AN и CM=CN. Откуда △AKN и △CMN — равнобедренные. Значит из △AKN получаем, что ∠AKN=∠ANK=180∘−α2=90∘−α2, а из △CMN получаем, что ∠CMN=∠CNM=180∘−γ2=90∘−γ2.

С другой стороны, заметим, что ∠ANK+∠KNM+∠CNM=180, поэтому

Но из треугольника ABC α+∠B+γ=180∘α+∠B+γ=180∘, значит

Пусть H и O — ортоцентр и центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC соответственно. Известно, что ∠ABH=30∘, найдите градусную величину угла ∠OBC.

Заметим, что ∠OBC=∠OCB, так как OBC — равнобедренный треугольник. Отсюда ∠OBC=180∘−∠BOC2. Заметим, что ∠BOC=2∠A, поскольку центральный угол BOC вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу BC. Остается заметить, что ∠A=90∘−∠ABH=60∘, значит,

Можно заметить, что, независимо от значения ∠ABH, верен следующий факт:

Пусть ABCD — вписанный четырехугольник, причем AB— диаметр его описанной окружности, а ∠ABD=60∘. Найдите IAIB, где IA и IB — центры вписанных окружностей треугольников ACD и BCD соответственно, если известно, что DIA=√8.

Рассмотрим точку E— середину меньшей дуги CD описанной окружности четырехугольника ABCD. Ясно, что прямые AIA и BIB пересекаются в этой точке, поскольку являются биссектрисами соответствующих углов, опирающихся на дугу CD.

По лемме о трезубце, примененной к треугольникам ACD и BCD, имеем: DE=EIA=EC=EIB.

Заметим, что ∠AED=∠ABD=60∘, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу. Тогда треугольник IAED является равносторонним, поскольку он равнобедренный (по лемме о трезубце), а угол при вершине равен 60∘. Поэтому IAE=DIA=√8.

Остается рассмотреть треугольник IAEIB. Нетрудно заметить, что ∠IAEIB=∠AEB=90∘, как опирающийся на диаметр. Это означает, что рассматриваемый нами треугольник является прямоугольным и равнобедренным. Поэтому (по теореме Пифагора) легко видеть, что IAIB=EIA2=√8⋅√2=4

На катетах прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вовне построили квадраты ACKL и BCMN. Известно, что CE — высота опущенная на гипотенузу AB, причем ∠CEM=17∘. Найдите градусную величину угла ∠LEC.

Заметим, что ∠CAE=∠BCE, ∠ACE=∠CBE. Следовательно, прямоугольные треугольники AEC и CEB подобны, причем AECE=CEBE. Тогда при повороте на угол в 90∘ относительно E треугольник AEC сначала совместится сторонами прямого угла со сторонами прямого угла треугольника CEB, а затем при гомотетии с центром в этой же точке E и коэффициентом AECE вершины A и C совместятся с вершинами C и B соответственно. Таким образом, треугольник AEC с помощью поворотной гомотетии с центром в точке E переходит в треугольник CEB.

Ясно, что при этой поворотной гомотетии квадрат ACKL перейдет в квадрат CBNM, потому что отрезок AC переходит в отрезок CB, а значит и ориентированные квадраты на этих отрезках должны переходить соответствующим образом.

Отсюда следует, что при этой поворотной гомотетии точка L переходит в точку M, а значит ∠LEM=90∘. Тогда ∠LEC=∠LEM−∠CEM=90∘−17∘=73∘.

Найдите угол, под которым отрезок, высекаемый на стороне AB остроугольного треугольника ABC окружностью девяти точек, виден из ее центра, если известно, что ∠A=74∘, ∠B=34∘. В ответе укажите градусную величину этого угла.

Пусть M — середина AB, а C′ — основание высоты, опущенной из точки C на сторону AB.

Первый путь решения.

Пусть E — середина отрезка CH, где H — ортоцентр треугольника ABC. Искомый угол равен удвоенному углу MEH, поскольку ∠MEH является вписанным углом, опирающимся на рассматриваемый в задаче отрезок.

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC. Поскольку CE=CH2=OM, причем CE и OM параллельны, то четырехугольник OMEC является параллелограммом. Отсюда следует, что ∠MEC′=∠OCH.

Известно, что ∠OCH=|∠A−∠B|. Этот угол легко считается, если использовать тот факт, что ∠OCA=90∘−∠AOC2=90∘−∠B=∠HCB, а также, что ∠C=180∘−∠A−∠B.

Тогда искомый угол равен

Второй путь решения.

Пусть B′ — основание высоты из вершины B. Искомый угол равен удвоенному углу MB′C′, поскольку ∠MB′C′ является вписанным углом, опирающимся на рассматриваемый в задаче отрезок.

Отрезок C′B′ соединяет основания высот, а, как известно, треугольники AB′C′ и ACB подобны. Отрезок MB′′ является медианой в треугольнике AB′B.

Угол AB′C′ равен ∠B. В то же время ∠MB′B=∠MBB′=90∘−∠A, т.к M — середина гипотенузы прямоугольного треугольника AB′B. Поэтому ∠MB′C′=|90∘−(90∘−∠A)−∠B|=|∠A−∠B|.

Тогда искомый угол равен

В параллелограмме ABCD из вершины B опущены высоты BK и BH на стороны AD и CD соответственно. Известно, что BD=5, KH=4, найдите расстояние от точки B до ортоцентра (точки пересечения высот или их продолжений) треугольника BKH.

Известно, что расстояние от вершины треугольника до ортоцентра в два раза больше расстояния от центра описанной окружности треугольника до стороны, лежащий напротив этой вершины. В данном случае имеем BH1=2OLB, где H1, O, L — ортоцентр, центр описанной окружности и основание перпендикуляра, опущенного на стороны KH из точки O.

Легко видеть, что четырехугольник BKDH вписан в окружность с диаметром BD, поскольку на этот отрезок по условию задачи опираются два прямых угла. Это значит, что O — середина BD. Также важно, что L — середина отрезка KH.

Рассмотрим треугольник OLH. Он прямоугольный и OH=OB=OD=52, LH=42.

Тогда по теореме Пифагора находим OL=32.. Тогда BH1=3.

Найдите максимально возможное расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 3, а описанной — 8.

Пусть вписанная окружность касается сторон AB, AC и BC треугольника ABC в точках C′, B′ и A′ соответственно. При инверсии относительно окружности с центром O1, вписанной в треугольник ABC, вписанная окружность останется на месте, прямые, содержащие стороны треугольника перейдут в окружности, проходящие через центр O1 инверсии и касающиеся окружности инверсии. Поэтому вершины A, B и C перейдут в середины отрезков B′C′, A′C′ и B′C′ соответственно.

Тогда окружность, с центром O2, описанная около треугольника ABC, перейдет в окружность с центром O радиуса R′=r2=32, проходящую через середины сторон треугольника A′B′C′. Эта окружность гомотетична описанной окружности треугольника ABC, причём центр гомотетии совпадает с центром O1инверсии, значит, точка O лежит на прямой O1O2.

Пусть O1O2=d, XY — диаметр описанной окружности треугольника ABC, проходящий через точку O1, а X′ и Y′ — образы точек соответственно X и Y при рассматриваемой инверсии. Тогда

а так как XY=2R′=3 , то 14464−d2=314464−d2=3. Отсюда находим, что d=4.

Также можно было сразу применить формулу Эйлера: d2=R2−2Rr, связывающую расстояние между центрами вписанной и описанной окружности с их радиусами.

Пусть AA1 и BB1 — высоты остроугольного треугольника ABC. Известно, что отрезок A1B1 пересекает среднюю линию, параллельную AB в точке C′. Найдите градусную меру угла между прямой CC′ и прямой, проходящей через точку H пересечения высот и центр O описанной окружности треугольника ABC

Пусть ω — окружность девяти точек треугольника ABC, т.е. окружность, проходящая через середины сторон и основания высот треугольника, окружность ωh проходит через точку C и основания A1 и B1высот, окружность ωm проходит через точку C и середины сторон CA и CB. Окружности ω и ωm проходят через середины сторон CA и CB, поэтому их радикальная ось проходит через среднюю линию треугольника ABC, параллельную стороне AB. Окружности ω и ωh проходят через точки A1 и B1, поэтому их радикальная ось — это прямая A1B1. Точка C′является пересечением двух радикальных осей из трёх, поэтому это радикальный центр окружностей ω, ωm и ωh, значит C′ лежит и на третьей радикальной оси, радикальной оси окружностей ωm и ωh. Точка C принадлежит окружностям ωm и ωh, поэтому лежит на их радикальной оси.

Докажем теперь, что OH параллельно линии центров окружностей ωm и ωh. Тогда мы получим, что две изучаемые прямые перпендикулярны, так как радикальная ось двух окружностей перпендикулярна линии центров этих окружностей. Действительно, точки O и H являются вторыми концами диаметров, проведённых через точку C в этих окружностях. Следовательно, линия центров данных окружностей содержит среднюю линию треугольника OCH, то есть параллельна OH.