Теория по вписанным и описанным окружностям для огэ

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Видео:Все о вписанных и описанных окружностях с нуля | PARTAСкачать

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Центр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Условие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Необходимый теоретический материал для успешной сдачи ОГЭ-9 по математике для учеников разной подготовленности

Класс: 9

Ключевые слова: математика , ОГЭ

1. Углы

Вертикальные углы равны (на рис. 1 и 3; 6 и 8 и др.).

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны. (на рис. 4 и 6; 1 и 7).

Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180˚ (на рис. 4 и 7; 1 и 6).

Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны. (на рис. 3 и 7; 1 и 5 и др.).

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая перпендикулярна третьей прямой.

2. Медиана, биссектриса, высота

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

Высота треугольника – перпендикуляр опущенный из вершины угла на противоположную сторону.

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

В любом треугольники все биссектрисы пересекаются в одной точке, все медианы пересекаются в одной точке, все медианы пересекаются в одной точке.

3. Треугольник

Сумма углов в любом треугольнике 180˚.

Средняя линия треугольника – прямая проходящая через середины двух сторон. Средняя линия параллельна одной из сторон и равна половине этой стороны.

Виды треугольников: тупоугольный (один угол тупой), прямоугольный (один угол прямой 90˚), остроугольный (все углы острые, меньше 90˚).

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого равны две стороны.

Свойства равнобедренного треугольника:

• в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
• в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой;

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. (все углы по 60 градусов)

Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным, но не всякий равнобедренный — равносторонним.

Три признака равенства треугольников

I признак по двум сторонам и углу между ними

II признак (по стороне и прилежащим углам)

III признак (по трем сторонам)

Признаки подобия треугольников

I признак по двум равным углам

II признак по двум пропорциональным сторонам и углу между ними

III признак по трем пропорциональным сторонам

Площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате.

Объемы подобных фигур относятся как коэффициент подобия в кубе.

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.

Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой. (самая большая сторона это гипотенуза, две др катеты).

Свойства прямоугольного треугольника

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.

Катет, лежащий против угла в 30˚, равен половине гипотенузы.

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a² + b² = c².

Пифагоровы тройки:

Признаки равенства прямоугольных треугольников

• По двум катетам.
• По гипотенузе и катету.
• По катету и прилежащему острому углу.
• По катету и противолежащему острому углу.
• По гипотенузе и острому углу.

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

• По острому углу.
• По пропорциональности двух катетов.
• По пропорциональности катета и гипотенузы.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Каждый из этих треугольников подобен исходному.

Высота прямоугольного треугольника: h=ab/c или h = (где АВ гипотенуза, СЕ высота опущенная на гипотенузу).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: m=c/2 (R=​с/2=m​c).

3. Четырехугольники

Сумма углов в любом четырехугольнике 360˚.

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка.

Квадрат.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями: .

Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

У равнобокой трапеции: диагонали равны; углы при основании равны; сумма противолежащих углов равна 180.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: d² = ab+c².

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

4. Окружность

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности называется радиусом (r) окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности.

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной. Касательная и радиус проведенный в точку касания пересекаются под прямым углом.

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Центральный угол окружности – это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен дуге на которую он опирается.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее. Вписанный угол равен половине дуги на которую опирается.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90˚.

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу равны.

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

5. Формулы площадей

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Вписанные и описанные окружности. Подготовка к ОГЭ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Все о вписанной окружности для ЕГЭ и ОГЭ. Теория с примерами.Скачать

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Имыкшенова Л.Ю., подготовка к ОГЭ

Вписанные и описанные окружности

Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30 0 . Найдите сторону AB этого треугольника.

Решение:
Если вписанный угол 30 0 , то дуга АВ=60 0 . Центральный угол АОВ равен дуге, на которую он опирается 60 0 . Треугольник АОВ равнобедренный, АО=ВО, как радиусы одной окружности. Углы при основании равны (180-60):2 = 60. Значит, треугольник равносторонний. АО=ВО=АВ=3.
Ответ: 3.

Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.

Решение:
Треугольник АОВ равносторонний, т.к. сторона АВ равна радиусу описанной окружности. Центральный угол АОВ=60 0 , тогда дуга, на которую он опирается 60 0 . Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается 30 0 .

Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 30º. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:
Если вписанный угол 30 0 , то дуга АВ=60 0 . Центральный угол АОВ равен дуге, на которую он опирается 60 0 . Треугольник АОВ равнобедренный, АО=ВО, как радиусы одной окружности. Углы при основании равны (180-60):2 = 60. Значит, треугольник равносторонний. АО=ВО=АВ=1.
Ответ: 1.

Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 1.

Решение:
Простое дополнительное построение позволит нам увидеть диаметр окружности. Этот отрезок для трапеции является высотой. Ответ: 2.

Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

Решение:
a ₄ = 2r Если вы не помните эту формулу связывающую r и a (радиус вписанной окружности и сторону квадрата). Не беда. Вы можете сделать дополнительное построение и увидеть это. Ответ: 8.

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 4.

Решение:
Конечно, формулу надо знать a ₄ = 2r Но, те, кто «не дружит, с формулами, могут выполнить простенькое дополнительное построение и увидеть, что радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата. Ответ: 2.

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Решение:
Кто знает формулу a ₆ = R, найдут ответ мгновенно. Кто не знает или сомневается, могут выполнить дополнительное построение. Посмотрите на треугольник ВОС, он равносторонний. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности. Ответ: 6.

Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса

Решение:
Конечно, авторы задания мечтали, что дети знают формулу (или ) и смогут быстро получить ответ: . Ответ: 4. Но возможно вы найдете сторону квадрата из треугольника АВС через sin45 0 или cos45 0 или даже по теореме Пифагора, обозначив равные катеты в треугольнике АВС через «x».

Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной

Решение:
Применим формулу (или )

Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.

Решение:
Построим диагональ. Центр описанной около прямоугольника окружности – точка пересечения диагоналей. Ответ: 10.

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 3 и 4.

Решение:
Построим диагональ. Треугольник АВС – египетский, значит, диагональ 5. Диагональ является и диаметром, значит, радиус 2,5.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120º. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

Решение:
Треугольники АОС и и АОВ равносторонние (обоснуйте самостоятельно). Значит, радиус равен 1. Диаметр равен 2.

В треугольнике ABC ВС=6, угол C равен 90º. Радиус описанной окружности этого треугольника равен 5. Найдите AC.

Решение:
На рисунке обозначен прямой угол, значит, он опирается на диаметр, АВ =10. Значит, второй катет – 8 (Египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5, пропорциональные стороны: 6, 8 и 10). А может, вы посчитаете неизвестный катет по теореме Пифагора.

В треугольнике АВС АС = 4, ВС = 3, угол С равен 90º. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение:
На рисунке обозначен прямой угол, значит, он опирается на диаметр. Треугольник с катетами 3 и 4 – египетский, значит гипотенуза равна5. Радиус равен половине гипотенузы 5:2 = 2,5.
Ответ: 2,5.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Решение:
На рисунке обозначен прямой угол, значит, он опирается на диаметр. Радиус 4, значит, диаметр 8.
Ответ: гипотенуза 8.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение:
На рисунке обозначен прямой угол, значит, он опирается на диаметр. Гипотенуза равна 12, значит, диметр 12, а радиус 6.
Ответ: радиус 6.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 79 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 678 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 305 человек из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 512 728 материалов в базе

Другие материалы

• 22.04.2017
• 659
• 0

• 22.04.2017
• 1198
• 0

• 22.04.2017
• 1167
• 0

• 22.04.2017
• 1268
• 0

• 22.04.2017
• 1723
• 8

• 22.04.2017
• 461
• 0

• 22.04.2017
• 3363
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 22.04.2017 4613
• DOCX 366.8 кбайт
• 91 скачивание
• Рейтинг: 1 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Имыкшенова Лилия Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 4656
• Всего материалов: 1

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Студенты РФ и Великобритании подписали договор о создании студенческой Ассоциации

Время чтения: 1 минута

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

В Петербурге открыли памятник работавшим во время блокады учителям

Время чтения: 1 минута

Каждый второй российский студент недоволен своим вузом

Время чтения: 1 минута

Половина российских родителей не одобряют увлечение их детей просмотром видеоблогов

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

📺 Видео

№1,17 | Все теория по планиметрии за 4 часа | Решаем все прототипы №1 из ФИПИСкачать

Шины ОГЭ 2023. Задания 1-5 ОГЭ по математикеСкачать

ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ ЕГЭ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕСкачать

Все об описанной окружности для ЕГЭ и ОГЭ. Теория с примерами.Скачать

Как решить вторую часть на максимум? | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Теория "вписанная и описанная окружность" ЗА 3 МИНУТЫ! | 9 класс + ОГЭ по математикеСкачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Занятие 9. Вписанная и описанная окружности. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭСкачать

Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | УмскулСкачать