Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла, который соединяет вершину треугольника с точкой противоположной стороны. На Рис.1 АВ — биссектриса треугольника АСD (соединяет вершину А с точкой В, лежащей на стороне СD).
Любой треугольник имеет три биссектрисы. На Рис.2, АВ, СК, DМ — биссектрисы треугольника АСD. Биссектриса АВ соединяет вершину А с точкой В, лежащей на стороне СD ( 
САВ = ВАD); биссектриса СК соединяет вершину С с точкой К, лежащей на стороне AD ( АСК = КСD); биссектриса DM соединяет вершину D с точкой M, лежащей на стороне AC ( СDM = MDA).
Замечательное свойство биссектрис треугольника: в любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке. На Рис.2 биссектрисы треугольника АDС пересекаются в точке О.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
ВСЕ определения и теоремы по учебнику Атанасяна
Геометрия 7 класс
1) Смежными углами называют два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой;
2) Вертикальными угламиназываются углы если стороны одного угла являются продолжениями другого.
3) Перпендикулярными прямыминазываются две пересекающиеся прямые, если они образуют четыре прямых угла.
4) Периметром треугольниканазывается сумма длин всех сторон.
5) Первый признак треугольника:Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
6) Перпендикуляр к прямой: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.
7) Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
8) Биссектрисой треугольника называетсяотрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
9) Высотой треугольника называетсяперпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
10) Замечательное свойство треугольника:В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке, высоты или их продолжения так же пересекаются в одной точке.
11) Равнобедренным треугольником называется треугольник, если две его стороны равны.
12) Равные стороны равнобедренного треугольниканазываются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.
13) Равносторонним треугольником называется треугольник, все стороны которого равны.
14) 1 свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
15) 2 свойство равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
16) Следствие 1:Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
17) Следствие 2: Медианаравнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
18) Второй признак равенства треугольника:Если сторона, и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
19) Третий признак равенства треугольников: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
20) Параллельными прямыми называютсядве прямые, лежащие на плоскости, если они не пересекаются.
21) Признаки параллельности двух прямых: 1)Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2)Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 3)Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны.
22) Аксиомами называются исходные положения в геометрии.
23) Аксиомы: 1)Через любые две точки проходит прямая, и при том только одна. 2)На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и при том только один. 3)От любого луча, в заданную сторону можно отложить угол, равный данному, не развёрнутому углу, и при том только один.
24) Аксиомы параллельных прямых:Через точку, не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.
25) Следствие 1:Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
26) Следствие 2: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
27) Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей:
Теорема 1:Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Следствие 1:Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Теорема 2: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Теорема 3: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 градусов.
28) Теорема о сумме углов треугольников:Сумма углов треугольников равна 180 градусов.
29) Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
30) В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой, или прямой.
31) Треугольник называется остроугольным,если все три угла острые.
32) Треугольник называется тупоугольным,если один из углов тупой.
33) Треугольник называется прямоугольным,если один из углов прямой.
34) Гипотенуза —это сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.
35) Катет – это другая сторона прямоугольного треугольника.
36) Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: 1) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол; 2) Против большего угла лежит большая сторона.
Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
37) Теорема «Неравенство треугольника»:
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон
Следствие:Для любых трёх точек А, В, С не лежащих на одной прямой справедливо неравенство: АВ
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Определение и свойства биссектрисы угла треугольника
В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
Определение биссектрисы угла треугольника
Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.
Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.
Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.
Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.
Видео:БИССЕКТРИСА УГЛА треугольника 8 класс АтанасянСкачать
Свойства биссектрисы треугольника
Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):
Свойство 2
Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.
Свойство 3
Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).
Свойство 4
Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):
BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC
Свойство 5
Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.
- CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
- CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
- ∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.
Видео:Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать
Пример задачи
Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.
Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.
Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.
Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):
Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29
Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.
Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.
🌟 Видео
Формула для биссектрисы треугольникаСкачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать
№1029. Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна а, а прилежащие к этойСкачать
№536. Отрезок BD является биссектрисой треугольника ABC. а) Найдите АВ, если ВС = 9 смСкачать
ВЫСОТА МЕДИАНА БИССЕКТРИСА треугольника 7 класс геометрия АтанасянСкачать
Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать
Свойства биссектрисы треугольникаСкачать
АТАНАСЯН-7 МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ И ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЛАВА -2 ПАРАГРАФ-2Скачать
Построение биссектрисы углаСкачать
№102. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.Скачать
Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 классСкачать
8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы углаСкачать
Свойство биссектрисы внешнего угла треугольникаСкачать
Cекретное свойство биссектрисыСкачать
