При каком условии можно описать окружность

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

При каком условии можно описать окружность

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.
Содержание
  1. Доказательство
  2. Доказательство
  3. Доказательство
  4. Доказательство
  5. Доказательство
  6. Описанная и вписанная окружность
  7. теория по математике 📈 планиметрия
  8. Описанная окружность
  9. Вписанная окружность
  10. Вписанный и описанный треугольники
  11. Вписанный и описанный четырехугольники
  12. Описать окружность можно только около
  13. Описанная окружность
  14. Доказательство
  15. Доказательство
  16. Доказательство
  17. Доказательство
  18. Доказательство
  19. Описанная и вписанная окружность
  20. теория по математике 📈 планиметрия
  21. Описанная окружность
  22. Вписанная окружность
  23. Вписанный и описанный треугольники
  24. Вписанный и описанный четырехугольники
  25. Окружность, описанная около треугольника. Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
  26. Серединный перпендикуляр к отрезку
  27. Окружность, описанная около треугольника
  28. Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
  29. Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
  30. 📽️ Видео

Доказательство

Дано: произвольный При каком условии можно описать окружностьАВС.

Доказать: около При каком условии можно описать окружностьАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам При каком условии можно описать окружностьАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

При каком условии можно описать окружность

Точка О равноудалена от вершин При каком условии можно описать окружностьАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около При каком условии можно описать окружностьАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

При каком условии можно описать окружность

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

При каком условии можно описать окружность

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: При каком условии можно описать окружностьВ = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьАDС, При каком условии можно описать окружностьD = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьАВС, откуда следует При каком условии можно описать окружностьВ + При каком условии можно описать окружностьD = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьАDС + При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьАВС = При каком условии можно описать окружность(При каком условии можно описать окружностьАDС + При каком условии можно описать окружностьАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. При каком условии можно описать окружностьАDС + При каком условии можно описать окружностьАВС = 360 0 , тогда При каком условии можно описать окружностьВ + При каком условии можно описать окружностьD = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружность360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, При каком условии можно описать окружностьBАD + При каком условии можно описать окружностьBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

При каком условии можно описать окружность

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

При каком условии можно описать окружность

При каком условии можно описать окружностьВСDвнешний угол При каком условии можно описать окружностьСFD, следовательно, При каком условии можно описать окружностьBСD = При каком условии можно описать окружностьВFD + При каком условии можно описать окружностьFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле При каком условии можно описать окружностьВFD = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВАD и При каком условии можно описать окружностьFDE = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: При каком условии можно описать окружностьBСD = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВАD + При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьЕF = При каком условии можно описать окружность(При каком условии можно описать окружностьВАD + При каком условии можно описать окружностьЕF), следовательно, При каком условии можно описать окружностьВСDПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВАD.

При каком условии можно описать окружностьBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле При каком условии можно описать окружностьBАD = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВЕD, тогда При каком условии можно описать окружностьBАD + При каком условии можно описать окружностьBСDПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружность(При каком условии можно описать окружностьВЕD + При каком условии можно описать окружностьВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. При каком условии можно описать окружностьВЕD + При каком условии можно описать окружностьВАD = 360 0 , тогда При каком условии можно описать окружностьBАD + При каком условии можно описать окружностьBСDПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружность360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что При каком условии можно описать окружностьBАD + При каком условии можно описать окружностьBСDПри каком условии можно описать окружность180 0 . Но это противоречит условию При каком условии можно описать окружностьBАD + При каком условии можно описать окружностьBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

При каком условии можно описать окружность

По теореме о сумме углов треугольника в При каком условии можно описать окружностьВСF: При каком условии можно описать окружностьС + При каком условии можно описать окружностьВ + При каком условии можно описать окружностьF = 180 0 , откуда При каком условии можно описать окружностьС = 180 0 — ( При каком условии можно описать окружностьВ + При каком условии можно описать окружностьF). (2)

При каком условии можно описать окружностьВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле При каком условии можно описать окружностьВ = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьЕF. (3)

При каком условии можно описать окружностьF и При каком условии можно описать окружностьВFD смежные, поэтому При каком условии можно описать окружностьF + При каком условии можно описать окружностьВFD = 180 0 , откуда При каком условии можно описать окружностьF = 180 0 — При каком условии можно описать окружностьВFD = 180 0 — При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

При каком условии можно описать окружностьС = 180 0 — (При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьЕF + 180 0 — При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВАD) = 180 0 — При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьЕF — 180 0 + При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВАD = При каком условии можно описать окружность(При каком условии можно описать окружностьВАDПри каком условии можно описать окружностьЕF), следовательно, При каком условии можно описать окружностьСПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВАD.

При каком условии можно описать окружностьА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле При каком условии можно описать окружностьА = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВЕD, тогда При каком условии можно описать окружностьА + При каком условии можно описать окружностьСПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружность(При каком условии можно описать окружностьВЕD + При каком условии можно описать окружностьВАD). Но это противоречит условию При каком условии можно описать окружностьА + При каком условии можно описать окружностьС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

При каком условии можно описать окружность

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

При каком условии можно описать окружность

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: При каком условии можно описать окружностьЦентр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

При каком условии можно описать окружностьУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

При каком условии можно описать окружность

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

При каком условии можно описать окружность

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikaj

Описать окружность можно только около

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

При каком условии можно описать окружность

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный При каком условии можно описать окружностьАВС.

Доказать: около При каком условии можно описать окружностьАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам При каком условии можно описать окружностьАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

При каком условии можно описать окружность

Точка О равноудалена от вершин При каком условии можно описать окружностьАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около При каком условии можно описать окружностьАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

При каком условии можно описать окружность

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

При каком условии можно описать окружность

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: При каком условии можно описать окружностьВ = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьАDС, При каком условии можно описать окружностьD = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьАВС, откуда следует При каком условии можно описать окружностьВ + При каком условии можно описать окружностьD = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьАDС + При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьАВС = При каком условии можно описать окружность(При каком условии можно описать окружностьАDС + При каком условии можно описать окружностьАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. При каком условии можно описать окружностьАDС + При каком условии можно описать окружностьАВС = 360 0 , тогда При каком условии можно описать окружностьВ + При каком условии можно описать окружностьD = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружность360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, При каком условии можно описать окружностьBАD + При каком условии можно описать окружностьBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

При каком условии можно описать окружность

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

При каком условии можно описать окружность

При каком условии можно описать окружностьВСDвнешний угол При каком условии можно описать окружностьСFD, следовательно, При каком условии можно описать окружностьBСD = При каком условии можно описать окружностьВFD + При каком условии можно описать окружностьFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле При каком условии можно описать окружностьВFD = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВАD и При каком условии можно описать окружностьFDE = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: При каком условии можно описать окружностьBСD = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВАD + При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьЕF = При каком условии можно описать окружность(При каком условии можно описать окружностьВАD + При каком условии можно описать окружностьЕF), следовательно, При каком условии можно описать окружностьВСDПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВАD.

При каком условии можно описать окружностьBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле При каком условии можно описать окружностьBАD = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВЕD, тогда При каком условии можно описать окружностьBАD + При каком условии можно описать окружностьBСDПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружность(При каком условии можно описать окружностьВЕD + При каком условии можно описать окружностьВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. При каком условии можно описать окружностьВЕD + При каком условии можно описать окружностьВАD = 360 0 , тогда При каком условии можно описать окружностьBАD + При каком условии можно описать окружностьBСDПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружность360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что При каком условии можно описать окружностьBАD + При каком условии можно описать окружностьBСDПри каком условии можно описать окружность180 0 . Но это противоречит условию При каком условии можно описать окружностьBАD + При каком условии можно описать окружностьBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

При каком условии можно описать окружность

По теореме о сумме углов треугольника в При каком условии можно описать окружностьВСF: При каком условии можно описать окружностьС + При каком условии можно описать окружностьВ + При каком условии можно описать окружностьF = 180 0 , откуда При каком условии можно описать окружностьС = 180 0 — ( При каком условии можно описать окружностьВ + При каком условии можно описать окружностьF). (2)

При каком условии можно описать окружностьВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле При каком условии можно описать окружностьВ = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьЕF. (3)

При каком условии можно описать окружностьF и При каком условии можно описать окружностьВFD смежные, поэтому При каком условии можно описать окружностьF + При каком условии можно описать окружностьВFD = 180 0 , откуда При каком условии можно описать окружностьF = 180 0 — При каком условии можно описать окружностьВFD = 180 0 — При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

При каком условии можно описать окружностьС = 180 0 — (При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьЕF + 180 0 — При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВАD) = 180 0 — При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьЕF — 180 0 + При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВАD = При каком условии можно описать окружность(При каком условии можно описать окружностьВАDПри каком условии можно описать окружностьЕF), следовательно, При каком условии можно описать окружностьСПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВАD.

При каком условии можно описать окружностьА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле При каком условии можно описать окружностьА = При каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружностьВЕD, тогда При каком условии можно описать окружностьА + При каком условии можно описать окружностьСПри каком условии можно описать окружностьПри каком условии можно описать окружность(При каком условии можно описать окружностьВЕD + При каком условии можно описать окружностьВАD). Но это противоречит условию При каком условии можно описать окружностьА + При каком условии можно описать окружностьС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

При каком условии можно описать окружность

Видео:9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

При каком условии можно описать окружность

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: При каком условии можно описать окружностьЦентр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

При каком условии можно описать окружностьУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

При каком условии можно описать окружность

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

При каком условии можно описать окружность

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

При каком условии можно описать окружностьСерединный перпендикуляр к отрезку
При каком условии можно описать окружностьОкружность описанная около треугольника
При каком условии можно описать окружностьСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
При каком условии можно описать окружностьДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

При каком условии можно описать окружность

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

При каком условии можно описать окружность

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

При каком условии можно описать окружность

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

При каком условии можно описать окружность

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

При каком условии можно описать окружность

При каком условии можно описать окружность

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

При каком условии можно описать окружность

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

При каком условии можно описать окружность

При каком условии можно описать окружность

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

При каком условии можно описать окружность

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
При каком условии можно описать окружностьВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаПри каком условии можно описать окружностьОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиПри каком условии можно описать окружностьЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиПри каком условии можно описать окружностьЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовПри каком условии можно описать окружность

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

При каком условии можно описать окружность,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаПри каком условии можно описать окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиПри каком условии можно описать окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

При каком условии можно описать окружность

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
При каком условии можно описать окружность

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаПри каком условии можно описать окружность

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиПри каком условии можно описать окружность

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиПри каком условии можно описать окружность

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиПри каком условии можно описать окружность

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовПри каком условии можно описать окружность

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

При каком условии можно описать окружность,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаПри каком условии можно описать окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиПри каком условии можно описать окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

При каком условии можно описать окружность

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

При каком условии можно описать окружность

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

При каком условии можно описать окружность

При каком условии можно описать окружность.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

При каком условии можно описать окружность

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

📽️ Видео

110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

110. Окружность, описанная около правильного многоугольника

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вокруг любого треугольника можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать

Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность

77. Вписанная окружностьСкачать

77. Вписанная окружность
Поделиться или сохранить к себе: