Задачи на окружность огэ 2 часть

Задание 16 ОГЭ по математике — окружность, круг и их элементы

Прототипы заданий 16 ОГЭ по математике. Материал для подготовки к ОГЭ.

Для выполнения задания 16 необходимо уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами (окружность, круг и их элементы )

Подробнее узнать виды заданий на данной позиции в КИМах можно по кодификатору

Карточки для отработки задания 16 с ответами

→ скачать

Прототипы задания 16 ОГЭ по математике (окружности)

Опубликовано: Гармс Людмила Павловна

→ скачать

Материалы для отработки задания 16

Автор: Е. А. Ширяева

→ задания

Задания 16 — практика

Решение типовых задач № 16 на ОГЭ по математике

Видео:ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"

Задачи на окружность огэ 2 часть

В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.

Треугольники АОВ и СОD равны по двум сторонам и углу между ними (AO = BO = CO = DO как радиусы окружности, ∠AOB = ∠COD по условию). Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы равных треугольников.

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.

Точка I равноудалена от A и B, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. То же можно сказать и о J . Значит, IJ — серединный перпендикуляр к AB.

Задание 25 № 341422

Окружности с цен­тра­ми в точ­ках I и J пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, причём точки I и J лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой AB. Докажите, что от­рез­ки AB и IJ перпендикулярны.

Решение: IA и IB — радиусы окружности с центром в точке I => IA = IB => треугольник IAB — равнобедренный.

Проведем медиану IJ к стороне AB. Т.к. треугольник IAB — равнобедренный, то IJ также является высотой, проведённой AB => AB и IJ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

В окружности с центром O проведены две равные хорды Задачи на окружность огэ 2 частьи MN. На эти хорды опущены перпендикуляры OH и OS. Докажите, что OH и OS равны.

Проведем ОK, ON, OL, OM — радиусы. Треугольники KOL и MON равны по трем сторонам, тогда высоты OH и OS также равны как элементы равных треугольников. Что и требовалось доказать.

В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.

Вписанные углы ADB, CBD , ACB и DAC опираются на равные дуги, значит, они равны.

Получаем, что треугольники СOВ и AOD подобны по двум углам; их коэффициент подобия равен AO:OC. Поскольку AO = OC , эти треугольники равны, следовательно, BO = OD.

Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть Задачи на окружность огэ 2 частьРассмотрим треугольники Задачи на окружность огэ 2 частьи Задачи на окружность огэ 2 частьони прямоугольные, углы Задачи на окружность огэ 2 частьи Задачи на окружность огэ 2 частьравны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда Задачи на окружность огэ 2 часть

Видео:Как решать задания на окружность ОГЭ 2021? / Разбор всех видов окружностей на ОГЭ по математикеСкачать

Как решать задания на окружность ОГЭ 2021? / Разбор всех видов окружностей на ОГЭ по математике

Разбор геометрия ОГЭ 2 часть

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 УмскулСкачать

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 Умскул

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Задачи на окружность огэ 2 часть

Задание 24. Окружность с центром на стороне АС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 15, а АВ = 4.

Сделаем построение, проведен радиус BO, который будет перпендикулярен стороне AB, так как AB – касательная к окружности по условию задачи (см. рисунок).

Задачи на окружность огэ 2 часть

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, у которого известны два катета: AB=4 и BO=d/2, где d=15 – диаметр окружности. Тогда по теореме Пифагора, длина отрезка AO равна

Задачи на окружность огэ 2 часть

В результате получаем, что длина отрезка AC=AO+OC есть

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 25. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников АОВ и COD равны.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Запишем площадь треугольника ABO в виде:

Задачи на окружность огэ 2 часть,

где Задачи на окружность огэ 2 часть— площадь треугольника ABC; Задачи на окружность огэ 2 часть— площадь треугольника BOC. То есть площадь треугольника ABO можно представить как:

Задачи на окружность огэ 2 часть. (1)

Аналогично запишем площадь треугольника DCO, имеем:

Задачи на окружность огэ 2 часть

Так как Задачи на окружность огэ 2 часть, то последнее выражение можно переписать в виде:

Задачи на окружность огэ 2 часть. (2)

Выражения (1) и (2) идентичны между собой и описывают площади треугольников ABO и DCO, то есть площади этих треугольников равны. Утверждение доказано.

Задание 26. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 6, а расстояние от точки K до стороны АВ равно 6.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Так как ABCD параллелограмм, а AK и BK – биссектрисы углов A и B, то точка K равноудалена от сторон AB и BC (см. рисунок). По условию задачи точка K удалена от стороны AB на расстояние 6 единиц, следовательно, от стороны BC она также удалена на 6 единиц. Получаем, что высота параллелограмма (красная линия на рисунке) равна Задачи на окружность огэ 2 частьединиц. Тогда площадь параллелограмма можно найти как

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 24. Окружность с центром на стороне АС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ = 2, АС = 8.

Сделаем построение, проведен радиус BO, который будет перпендикулярен стороне AB, так как AB – касательная к окружности по условию задачи (см. рисунок).

Задачи на окружность огэ 2 часть

Введем обозначение OB=OC=r – радиусы окружности. Тогда отрезок Задачи на окружность огэ 2 часть. Выразим квадрат радиуса BO=r из прямоугольного треугольника ABO по теореме Пифагора, получим следующее выражение:

Задачи на окружность огэ 2 часть

Так как BO=r, получаем уравнение:

Задачи на окружность огэ 2 часть

И диаметр окружности равен Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 24. Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и K соответственно. Найдите ВН, если РК = 11.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Для решения данной задачи нужно вспомнить, что в любой окружности хорды, проведенные от ее диаметра, всегда пересекаются под углом в 90 градусов. Следовательно, точки P и K находятся на разных концах диаметра окружности, и так как PK=11, то и диаметр окружности равен 11. В задаче сказано, что BH – это диаметр окружности, значит, BH=PK=11.

Задание 25. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1 Докажите, что углы BB1C1 и ВСC1 равны.

Задачи на окружность огэ 2 часть

1. Из рисунка видно, что треугольники BOC1 и CB1O подобны по двум углам (углы Задачи на окружность огэ 2 часть, так как CC1 и BB1 – высоты, а углы Задачи на окружность огэ 2 частькак вертикальные углы). В подобных треугольниках соответственные стороны пропорциональны, то есть можно написать соотношение

Задачи на окружность огэ 2 часть.

2. Треугольники C1OB1 и BOC подобны по двум пропорциональным сторонам и углам между ними (углы Задачи на окружность огэ 2 часть– вертикальные).

3. Из подобия треугольников следует равенство углов:

Задачи на окружность огэ 2 часть,

а, значит, равны и углы

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 26. В треугольнике ABC биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 5 : 4, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если ВС = 12.

Задачи на окружность огэ 2 часть

По условию задачи BO:OH=5:4, следовательно, OH:BO=4:5. По свойству биссектрисы AH:AB=HO:BO=4:5, но AH:AB – это косинус угла A, то есть Задачи на окружность огэ 2 часть. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB, в котором условно катет AH=4, а гипотенуза AB=5. По теореме Пифагора находим

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Тогда синус угла A равен Задачи на окружность огэ 2 часть. По следствию теоремы синусов имеем:

Задачи на окружность огэ 2 часть,

где R – радиус описанной окружности. Следовательно,

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 24. Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите ВН, если РК = 12.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Для решения данной задачи нужно вспомнить, что в любой окружности хорды, проведенные от ее диаметра, всегда пересекаются под углом в 90 градусов. Следовательно, точки P и K находятся на разных концах диаметра окружности, и так как PK=12, то и диаметр окружности равен 12. В задаче сказано, что BH – это диаметр окружности, значит, BH=PK=12.

Задание 24. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, a CD = 25.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDH, в котором угол Задачи на окружность огэ 2 часть. Так как косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, то можно записать, что

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM, в котором AM=CH. Известно, что синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть, имеем:

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Подставляя вместо AM найденное ранее числовое значение, получаем:

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 25. Точка Е — середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Из рисунка видно, что площадь треугольника ECD можно выразить как

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Площадь трапеции можно вычислить как произведение средней линии трапеции Задачи на окружность огэ 2 частьна высоту HH1, то есть

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Площади треугольников BCE и AED равны

Задачи на окружность огэ 2 часть

Тогда, площадь треугольника ECD равна

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Учитывая, что Задачи на окружность огэ 2 часть, получаем:

Задачи на окружность огэ 2 часть

То есть площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции ABCD.

Задание 26. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника ABC.

Задачи на окружность огэ 2 часть

1. По условию задачи биссектриса BE и медиана AD пересекаются под прямым углом. Следовательно, в треугольнике ABD BO – медиана, и треугольник ABD равнобедренный с основанием AD. Тогда AO=OD=4.

Если медиана с биссектрисой пересекаются под 90 градусов, то в точке пересечения биссектриса делится в отношении 3:1, считая от вершины, следовательно, Задачи на окружность огэ 2 часть.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, в котором известны два катета AO и BO. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Так как BD=AB, а BC=2BD=2AB, то

Задачи на окружность огэ 2 часть.

3. Вычислим длину отрезка AE из прямоугольного треугольника AOE по теореме Пифагора:

Задачи на окружность огэ 2 часть

По свойству биссектрисы треугольника можно записать, что

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть

и сторона AC равна

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Ответ: Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 24. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, a CD = 26.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDH, в котором угол Задачи на окружность огэ 2 часть. Так как косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, то можно записать, что

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM, в котором AM=CH. Известно, что синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть, имеем:

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Подставляя вместо AM найденное ранее числовое значение, получаем:

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 24. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 36. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Высоту CH можно найти из формулы площади треугольника как

Задачи на окружность огэ 2 часть, (1)

где AB – гипотенуза прямоугольного треугольника, равная (по теореме Пифагора)

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Площадь прямоугольного треугольника ABC также равна половине произведения его катетов:

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Подставим все известные величины в формулу (1) и найдем высоту CH, получим:

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Ответ: Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 25. Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и D, причём точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Так как точки C и D лежат как на малой, так и на большой окружностях, то CE=ED – радиусы малой окружности, а CF=FD – радиусы большой окружности. Следовательно, треугольники CDE и CDF – равнобедренные с основанием CD. Отсюда следует, что треугольники CEF=DEF по трем сторонам. Так как в равных треугольниках углы также равны, то получаем, что Задачи на окружность огэ 2 часть, а значит, FE – биссектриса равнобедренного треугольника CFD. Но биссектриса в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, также является высотой, следовательно Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 24. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 20 и 52. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Высоту CH прямоугольного треугольника ABC можно найти из формулы площади треугольника

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как произведения его катетов, деленное пополам:

Задачи на окружность огэ 2 часть,

где катет CB вычисляется по теореме Пифагора как

Задачи на окружность огэ 2 часть

Таким образом, площадь треугольника равна

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Ответ: Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 25. Окружности с центрами в точках М и N пересекаются в точках S и Т, причём точки М и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что MN перпендикулярна ST.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Так как точки S и T лежат как на малой, так и на большой окружностях, то SM=TM – радиусы малой окружности, а SN=TN – радиусы большой окружности. Следовательно, треугольники STM и STN – равнобедренные с основанием ST. Отсюда следует, что треугольники TMN=SMN по трем сторонам. Так как в равных треугольниках углы также равны, то получаем, что Задачи на окружность огэ 2 часть, а значит, MN – биссектриса равнобедренного треугольника SNT. Но биссектриса в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, также является высотой, следовательно Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 24. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника ABC в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК = 14 , а сторона АС в 2 раза больше стороны ВС.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Пусть сторона Задачи на окружность огэ 2 часть, тогда Задачи на окружность огэ 2 часть, так как она в 2 раза больше стороны BC по условию задачи. Теперь рассмотрим четырехугольник CPKB, который вписан в окружность. Как известно, у такого четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 градусов, то есть Задачи на окружность огэ 2 частьи Задачи на окружность огэ 2 часть. Предположим, что угол Задачи на окружность огэ 2 часть, тогда угол Задачи на окружность огэ 2 часть, теперь, учитывая, что углы Задачи на окружность огэ 2 частьи Задачи на окружность огэ 2 частьсмежные, то угол

Задачи на окружность огэ 2 часть

то есть он равен углу Задачи на окружность огэ 2 часть. Аналогично и для угла Задачи на окружность огэ 2 часть. Из равенства этих двух пар углов следует, что треугольники ACB и APK подобны друг другу по двум углам.

Для подобных треугольников можно записать следующее соотношение:

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть

и подставляя числовые значения, имеем:

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 25. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.

Задачи на окружность огэ 2 часть

По условию задачи точка F лежит на отрезке MN – средней линии трапеции. Проведем через эту точку высоту HL трапеции. Тогда по определению средней линии, отрезки FH=FL=1/2HL. Используя данные обозначения, выразим площади треугольников BFC и AFD следующим образом:

Задачи на окружность огэ 2 часть

Соответственно, сумма этих площадей составит величину, равную

Задачи на окружность огэ 2 часть

но так как Задачи на окружность огэ 2 часть— это площадь всей трапеции, то получаем, что

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 24. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника ABC в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК = 18, а сторона АС в 1,2 раза больше стороны ВС.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Пусть сторона Задачи на окружность огэ 2 часть, тогда Задачи на окружность огэ 2 часть, так как она в 1,2 раза больше стороны BC по условию задачи. Теперь рассмотрим четырехугольник CPKB, который вписан в окружность. Как известно, у такого четырехугольника сумма противоположных углов равна 180 градусов, то есть Задачи на окружность огэ 2 частьи Задачи на окружность огэ 2 часть. Предположим, что угол Задачи на окружность огэ 2 часть, тогда угол Задачи на окружность огэ 2 часть, теперь, учитывая, что углы Задачи на окружность огэ 2 частьи Задачи на окружность огэ 2 частьсмежные, то угол

Задачи на окружность огэ 2 часть

то есть он равен углу Задачи на окружность огэ 2 часть. Аналогично и для угла Задачи на окружность огэ 2 часть. Из равенства этих двух пар углов следует, что треугольники ACB и APK подобны друг другу по двум углам.

Для подобных треугольников можно записать следующее соотношение:

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть

и подставляя числовые значения, имеем:

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 24. Углы В и С треугольника АБС равны соответственно 71° и 79°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Сначала вычислим третий угол A, учитывая, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов, имеем:

Задачи на окружность огэ 2 часть

В соответствии с теоремой синусов, можно записать

Задачи на окружность огэ 2 часть,

где Задачи на окружность огэ 2 часть— радиус описанной вокруг треугольника окружности. Из последнего выражения имеем:

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 24. Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 20 и СН = 5. Найдите высоту ромба.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Длина стороны DC ромба ABCD, равна

Так как у ромба все стороны равны, то AD=DC=25. В результате, имеем прямоугольный треугольник, ADH, в котором известна гипотенуза AD и катет DH. Тогда второй катет AH (высота ромба) можно найти по теореме Пифагора:

Задачи на окружность огэ 2 часть

Задание 25. Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 12, BD = 6. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Так как ABCD трапеция, то ее основания Задачи на окружность огэ 2 часть, следовательно, равны и углы Задачи на окружность огэ 2 частькак накрест лежащие при параллельных BC, AD и секущей BD. Рассмотрим треугольники CBD и BDA, у которых имеем следующие пропорции:

Задачи на окружность огэ 2 частьи Задачи на окружность огэ 2 часть.

Следовательно, треугольники CBD и BDA подобны друг другу по двум пропорциональным сторонам и равным углам, заключенными между этими сторонами.

Задание 24. Прямая, параллельная стороне АС треугольника ABC, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN = 13, АС = 65, NC = 28.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Сначала докажем, что треугольники BMN и ABC подобные. Так как Задачи на окружность огэ 2 часть, то равны и углы Задачи на окружность огэ 2 частьи Задачи на окружность огэ 2 часть. Следовательно, треугольники BMN и BAC подобны по двум углам. Для подобных треугольников можно записать следующее соотношение длин их сторон:

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Пусть сторона Задачи на окружность огэ 2 часть, тогда сторона Задачи на окружность огэ 2 часть(по условию задачи), и отношение сторон можно записать как

Задачи на окружность огэ 2 часть

То есть длина стороны BN=7.

Задание 25. Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пересекаются в точке М стороны AD. Докажите, что М — середина AD.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Так как ABCD – параллелограмм, то стороны Задачи на окружность огэ 2 частьи Задачи на окружность огэ 2 часть. Из этого положения следует равенство углов Задачи на окружность огэ 2 частьи Задачи на окружность огэ 2 часть. Так как BM – биссектриса, то равны и углы Задачи на окружность огэ 2 часть. Из равенства двух углов при основании BM следует, что треугольник ABM – равнобедренный, с равными сторонами AB=AM. Аналогично для треугольника CMD, у которого углы при основании MC равны, следовательно, он равнобедренный и CD=MD. Учитывая, что ABCD – параллелограмм, у которого стороны AB=CD, то автоматически следует, что и AM=MD, то есть точка M – середина отрезка AD. Положение доказано.

Задание 24. Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В треугольника ABC к гипотенузе АС. Найдите АВ, если АН = 10, АС = 40.

Задачи на окружность огэ 2 часть

В соответствии со свойством о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. То есть в данном случае можно записать:

Задачи на окружность огэ 2 часть,

и, подставляя числовые значения, имеем:

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 25. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны АВ и CD в точках Р и Т соответственно. Докажите, что BP = DT.

Задачи на окружность огэ 2 часть

У параллелограмма диагонали BD и AC делятся в точке пересечения O пополам, то есть BO=OD. Кроме того, в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то есть Задачи на окружность огэ 2 частьи, следовательно, Задачи на окружность огэ 2 часть— как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей BD. Углы Задачи на окружность огэ 2 часть— как вертикальные углы. В результате имеем, что треугольники BOP и DOT равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, а, следовательно, равны и стороны BP=DT.

Задание 24. Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ = 12, DC = 48, АС = 35.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Так как Задачи на окружность огэ 2 часть, то углы Задачи на окружность огэ 2 частькак накрест лежащие углы при параллельных прямых AB, DC и секущей AC. Углы Задачи на окружность огэ 2 частькак вертикальные углы. Следовательно, треугольники AMB и CMD подобны по двум углам. Для подобных треугольников можно записать следующее отношение:

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Пусть AM=x, тогда MC=AC-AM=35-x, и отношение примет вид:

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть

Задание 25. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и AED равна половине площади параллелограмма.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Проведем в параллелограмме ABCD высоту MN, равную h, и проходящую через точку E. Пусть расстояние ME=x, тогда NE=h-x. Площадь параллелограмма можно вычислить как

Задачи на окружность огэ 2 часть,

а площади треугольников как

Задачи на окружность огэ 2 часть

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то BC=AD и сумма площадей треугольников равна

Задачи на окружность огэ 2 часть,

что в точности равно половине площади параллелограмма ABCD. Утверждение доказано.

Задание 24. Углы В и С треугольника ABC равны соответственно 66° и 84°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Так как сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусов, то угол А равен

Задачи на окружность огэ 2 часть

Найдем длину BC из теоремы синусов как

Задачи на окружность огэ 2 часть,

где Задачи на окружность огэ 2 часть— радиус описанной окружности вокруг треугольника ABC. Отсюда получаем:

Задачи на окружность огэ 2 часть

Задание 25. В треугольнике ABC с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что треугольники A1CB1 и АСВ подобны.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Рассмотрим сначала два прямоугольных треугольника AA1C и BB1C, которые подобны по двум углам (один угол у них прямой, а углы Задачи на окружность огэ 2 частькак вертикальные). У подобных треугольников AA1C и BB1C сторона A1C пропорциональна стороне B1C, а сторона AC пропорциональна стороне BC.

Рассмотрим теперь треугольники A1CB1 и ACB, у которых пропорциональны стороны AC, CB и A1C, B1C и равны углы Задачи на окружность огэ 2 частьмежду этими сторонами как вертикальные. По второму признаку подобия два треугольника подобны, если стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны. То есть треугольники A1CB1 и ACB подобны друг другу. Утверждение доказано.

Задание 24. Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и 28. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Высоту BH можно найти из формулы площади прямоугольного треугольника Задачи на окружность огэ 2 часть, где AC – гипотенуза прямоугольного треугольника, равная (в соответствии с теоремой Пифагора) Задачи на окружность огэ 2 часть. Также площадь прямоугольного треугольника равна Задачи на окружность огэ 2 часть. Приравнивая эти площади, получаем:

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть

Задание 25. Сторона ВС параллелограмма ABCD вдвое больше стороны АВ. Точка Е — середина стороны ВС. Докажите, что АЕ — биссектриса угла BAD.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Так как ABCD – параллелограмм, то стороны Задачи на окружность огэ 2 часть, следовательно, углы Задачи на окружность огэ 2 частькак накрест лежащие при параллельных прямых BC, AD и секущей AE. По условию задачи BC больше AB в 2 раза, и, учитывая, что E – это середина BC, то AB=BE. Таким образом, треугольник ABE – равнобедренный, с равными углами Задачи на окружность огэ 2 частьпри основании AE. Но углы Задачи на окружность огэ 2 часть, следовательно, Задачи на окружность огэ 2 часть, и это означает, что AE — биссектриса угла BAD. Утверждение доказано.

Задание 24. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если ВК = 3, CK = 19.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Так как ABCD – параллелограмм, то стороны Задачи на окружность огэ 2 часть, следовательно, углы Задачи на окружность огэ 2 частькак накрест лежащие при параллельных прямых BC, AD и секущей AK. По условию задачи AK – биссектриса угла A, значит, углы Задачи на окружность огэ 2 частьи отсюда получаем, что Задачи на окружность огэ 2 часть. Таким образом, треугольник ABK равнобедренный со сторонами AB=BK=3 и основанием AK. Учитывая, что в параллелограмме противоположные стороны равны, и BC=3+19=22, то периметр равен

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 25. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Проведем в четырехугольнике диагонали AC и BD и отметим точку E на их пересечении. Рассмотрим треугольники ABE и DEC, у которых равны углы Задачи на окружность огэ 2 частьпо условию задачи, а также равны углы Задачи на окружность огэ 2 частькак вертикальные. Таким образом, треугольники ABE и DEC подобные по двум углам с пропорциональными сторонами BE и CE, а также AE и DE. Рассмотрим теперь треугольники AED и BEC, у которых сторона AE пропорциональна стороне DE, а сторона BE пропорциональна стороне CE, кроме того, равны углы Задачи на окружность огэ 2 частькак вертикальные. Отсюда следует, что треугольники AED и BEC подобны по двум соответствующим пропорциональным сторонам и углу между ними. Так как у подобных треугольников соответствующие углы равны, то угол Задачи на окружность огэ 2 часть. Утверждение доказано.

Задание 24. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 8, BF = 15.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Фигура ABCD – трапеция с основаниями AD и BC, то есть Задачи на окружность огэ 2 часть, и, следовательно, Задачи на окружность огэ 2 часть. По условию задачи AF и BF – биссектрисы, значит, Задачи на окружность огэ 2 часть. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то из треугольника ABF получаем угол

Задачи на окружность огэ 2 часть

То есть треугольник ABF прямоугольный с гипотенузой AB. Найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора:

Задачи на окружность огэ 2 часть

Задание 25. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и ВС четырёхугольника пересекаются в точке К. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180 градусов, то есть Задачи на окружность огэ 2 часть. Если положить угол Задачи на окружность огэ 2 часть, тогда угол Задачи на окружность огэ 2 часть, и, учитывая, что углы Задачи на окружность огэ 2 частьи Задачи на окружность огэ 2 частьсмежные, то угол

Задачи на окружность огэ 2 часть

то есть он равен углу Задачи на окружность огэ 2 часть. Таким образом, треугольники KAB и KDC подобны по двум углам (угол K – общий). Утверждение доказано.

Задание 24. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 135°, a CD = 36.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Проведем в трапеции две высоты Задачи на окружность огэ 2 частьи DH (см. рисунок). Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD с углом Задачи на окружность огэ 2 часть. Следовательно, треугольник CHD также равнобедренный со сторонами CH=HD и основанием CD. Пусть сторона DH=x, соответственно, CH=x. Тогда по теореме Пифагора можно записать, что

Задачи на окружность огэ 2 часть

То есть Задачи на окружность огэ 2 часть. Рассмотрим прямоугольный треугольник Задачи на окружность огэ 2 часть, в котором известен один катет и угол Задачи на окружность огэ 2 часть. Так как синус угла B – это отношение противолежащего катета Задачи на окружность огэ 2 частьна гипотенузу AB, то можно записать

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 24. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 16 и 34 соответственно. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Задачи на окружность огэ 2 часть

В соответствии со свойством о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. То есть в данном случае можно записать:

Задачи на окружность огэ 2 часть

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH, в котором известна гипотенуза AC и катет AH, следовательно, высоту CH можно найти по теореме Пифагора:

Задачи на окружность огэ 2 часть

Ответ: Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 25. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке О, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и CD.

Задачи на окружность огэ 2 часть

По условию задачи ABCD – трапеция с основаниями BC и AD и биссектрисами BO и CO, то есть углы Задачи на окружность огэ 2 частьи Задачи на окружность огэ 2 часть. Из точки O проведем три перпендикуляра Задачи на окружность огэ 2 часть(по сути они будут являться расстояниями от точки O до прямых AB, BC и CD).

Теперь заметим, что треугольники BMO=BNO равны как прямоугольные по гипотенузе и острому углу: BO – общая гипотенуза; Задачи на окружность огэ 2 часть, так как BO – биссектриса. Из равенства треугольников следует, что OM=ON.

Аналогично для треугольников CNO=CKO, которые равны как прямоугольные по гипотенузе и острому углу: CO – общая гипотенуза; Задачи на окружность огэ 2 часть, так как CO – биссектриса. Следовательно, ON=OK.

Таким образом, имеем, что MO=NO=KO, а значит, точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD. Положение доказано.

Задание 24. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Диагонали ромба являются биссектрисами его соответствующих углов, а точка пересечения O делит диагонали ромба пополам. Отсюда следует, что угол Задачи на окружность огэ 2 часть. Рассмотрим прямоугольный треугольник AON (прямоугольный, так как расстояние от точки O до AD – это перпендикуляр, опущенный из точки O). В этом треугольнике известен катет ON=14 и гипотенуза AO=AC:2=56:2=28. Тогда синус угла Задачи на окружность огэ 2 частьбудет равен отношению противолежащего катета ON на гипотенузу AO:

Задачи на окружность огэ 2 часть

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Так как противоположные углы в ромбе равны, то Задачи на окружность огэ 2 часть. Сумма односторонних углов в ромбе равна 180 градусов, то есть Задачи на окружность огэ 2 частьи

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Ответ: 60, 60, 120, 120.

Задание 25. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников АОВ и COD равны.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Запишем площадь треугольника ABO в виде:

Задачи на окружность огэ 2 часть,

где Задачи на окружность огэ 2 часть— площадь треугольника ABC; Задачи на окружность огэ 2 часть— площадь треугольника BOC. То есть площадь треугольника ABO можно представить как:

Задачи на окружность огэ 2 часть. (1)

Аналогично запишем площадь треугольника DCO, имеем:

Задачи на окружность огэ 2 часть

Так как Задачи на окружность огэ 2 часть, то последнее выражение можно переписать в виде:

Задачи на окружность огэ 2 часть. (2)

Выражения (1) и (2) идентичны между собой и описывают площади треугольников ABO и DCO, то есть площади этих треугольников равны. Утверждение доказано.

Задание 24. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 48, ВС = 16, CF:DF = 5:3.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Так как ABCD трапеция, то ее основания Задачи на окружность огэ 2 часть. По условию задачи прямая Задачи на окружность огэ 2 частьи Задачи на окружность огэ 2 часть. Дополним построение, продолжим стороны AB и CD так, чтобы они пересекались в точке P (см. рисунок). При этом треугольник PBC будет подобен треугольнику PAD по двум углам: Задачи на окружность огэ 2 часть— общий, а углы Задачи на окружность огэ 2 частькак соответственные при параллельных прямых BC, AD и секущей AP. Для подобных треугольников можно записать следующее соотношение:

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Пусть PC=y, а коэффициент пропорциональности отрезков CF и DF равен x. Тогда CF=5x, DF=3x, CD=8x и соотношение сторон принимает вид:

Задачи на окружность огэ 2 часть,

Задачи на окружность огэ 2 часть

Теперь рассмотрим подобные треугольники PBC и PEF (также подобны по двум углам), из которых следует соотношение:

Задачи на окружность огэ 2 часть

и после подстановки известных выражений, имеем:

Задачи на окружность огэ 2 часть

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Задание 25. Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Задачи на окружность огэ 2 часть

По условию задачи прямые IP:JP=m:n, а MN – касательная к окружностям в точках M и N, следовательно, Задачи на окружность огэ 2 частьи Задачи на окружность огэ 2 часть. Рассмотрим два прямоугольных треугольника IPM и JPN, которые подобны по двум углам: один угол у них прямой, а два других Задачи на окружность огэ 2 частькак вертикальные углы. Для подобных треугольников можно записать соотношение:

Задачи на окружность огэ 2 часть,

но по условию Задачи на окружность огэ 2 часть, следовательно,

Задачи на окружность огэ 2 часть

или, что эквивалентно, в виде

Задачи на окружность огэ 2 часть,

где Задачи на окружность огэ 2 часть— диаметры соответствующих окружностей. Утверждение доказано.

Задание 24. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24, BF = 18.

Задачи на окружность огэ 2 часть

У трапеции ABCD основания Задачи на окружность огэ 2 часть, следовательно, углы Задачи на окружность огэ 2 частькак внутренние односторонние при параллельных прямых. По условию задачи AF и BF – биссектрисы соответствующих углов, тогда сумма углов

Задачи на окружность огэ 2 часть

и, следовательно, угол Задачи на окружность огэ 2 часть(так как сумма углов в треугольнике ABF равна 180 градусов). Таким образом, имеем прямоугольный треугольник AFB с гипотенузой AB, которую вычислим по теореме Пифагора:

Задачи на окружность огэ 2 часть

Задание 25. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках К и М соответственно. Докажите, что BK = DM.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Точка пересечения O диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD делит эти диагонали пополам, то есть BO=OD. Кроме того, углы Задачи на окружность огэ 2 частькак вертикальные, а углы Задачи на окружность огэ 2 частькак накрест лежащие при параллельных прямых Задачи на окружность огэ 2 частьи секущей BD. Таким образом, треугольники BOK и DOM равны по стороне и двум с прилежащим к ней углам. Следовательно, и соответствующие стороны эти треугольников равны, то есть BK=DM. Утверждение доказано.

Задание 24. Прямая, параллельная стороне АС треугольника ABC, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите BN, если MN = 15, АС = 25, NC = 22.

Задачи на окружность огэ 2 часть

По условию задачи в треугольнике ABC прямая Задачи на окружность огэ 2 часть, следовательно, треугольники MBN и ABC подобны по двум углам: угол Задачи на окружность огэ 2 часть— общий, а углы Задачи на окружность огэ 2 частькак соответственные при параллельных прямых MN, AC и секущей AB. Из подобия треугольников следует:

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Из рисунка видно, что Задачи на окружность огэ 2 часть, подставляем числовые значения в отношение, имеем:

Задачи на окружность огэ 2 часть

Задачи на окружность огэ 2 часть

Задание 25. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Задачи на окружность огэ 2 часть

Треугольники AOB и DOC подобны по двум углам: Задачи на окружность огэ 2 частьпо условию задачи, а углы Задачи на окружность огэ 2 часть— как вертикальные. Из подобия треугольников можно записать следующее отношение:

Задачи на окружность огэ 2 часть.

Теперь рассмотрим треугольники BOC и AOD, которые также подобны по двум пропорциональным сторонам (полученное ранее отношение сторон) и углам Задачи на окружность огэ 2 часть(равны как вертикальные углы), заключенным между этими сторонами. Как известно, в подобных треугольниках соответствующие углы равны, то есть Задачи на окружность огэ 2 часть, а значит и Задачи на окружность огэ 2 часть. Утверждение доказано.

📺 Видео

ВСЕ ТИПЫ 20 ЗАДАНИЕ 2 ЧАСТЬ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023Скачать

ВСЕ ТИПЫ 20 ЗАДАНИЕ 2 ЧАСТЬ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023

Вторая часть ОГЭ 2022 по математике | Разбор вариантаСкачать

Вторая часть ОГЭ 2022 по математике | Разбор варианта

Задание 16 ОГЭ математика 2024Скачать

Задание 16 ОГЭ математика 2024

Как решить вторую часть на максимум? | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Как решить вторую часть на максимум? | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

Разбор 16 и 23 задание ОГЭ по математике 2023 | УмскулСкачать

Разбор 16 и 23 задание ОГЭ по математике 2023 | Умскул

ОГЭ по математике 2024 геометрия | Разбор всех 16 заданийСкачать

ОГЭ по математике 2024 геометрия | Разбор всех 16 заданий

ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ОГЭ ЗА 3 ЧАСА | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ОГЭ ЗА 3 ЧАСА | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

Практикум по геометрии из 1-й и 2-й части ОГЭ. Разбор задач №15-19, 23, 24. Часть 1. Математика ОГЭСкачать

Практикум по геометрии из 1-й и 2-й части ОГЭ. Разбор задач №15-19, 23, 24. Часть 1. Математика ОГЭ

19 задание огэ математика 2023 ВСЕ ТИПЫ геометрияСкачать

19 задание огэ математика 2023 ВСЕ ТИПЫ геометрия

ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ ИЗ ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 ЗА 40 МИНУТСкачать

ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ ИЗ ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 ЗА 40 МИНУТ

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Урок 7. Окружность, круг и их элементы. ОГЭ. Вебинар |МатематикаСкачать

Урок 7. Окружность, круг и их элементы. ОГЭ. Вебинар |Математика

№ 23 ОГЭ - окружности. Часть 2! Задача, где половина успеха - это правильно нарисованный чертеж.Скачать

№ 23 ОГЭ - окружности. Часть 2! Задача, где половина успеха - это правильно нарисованный чертеж.

2 часть ОГЭ по математике 2024 Вариант 1 ЯщенкоСкачать

2 часть ОГЭ по математике 2024 Вариант 1 Ященко

Углы в окружности. 16 задание ОГЭ математика 2023 | Молодой РепетиторСкачать

Углы в окружности. 16 задание ОГЭ математика 2023 | Молодой Репетитор

Все типы 15 задания ОГЭ 2022 математика | Геометрия на ОГЭСкачать

Все типы 15 задания ОГЭ 2022 математика | Геометрия на ОГЭ

Практикум по алгебре и геометрии из 2-й части ОГЭ. Разбор задач №20-24. Математика ОГЭСкачать

Практикум по алгебре и геометрии из 2-й части ОГЭ. Разбор задач №20-24. Математика ОГЭ
Поделиться или сохранить к себе: