Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Определение параллельных прямых в пространстве

Видео:№215. Параллельные прямые АВ и CD лежат в разных гранях двугранного угла, равного 60°. Точки А и DСкачать

№215. Параллельные прямые АВ и CD лежат в разных гранях двугранного угла, равного 60°. Точки А и D

Понятие о параллельных прямых

Прямые (a) и (b) являются параллельными в трехмерном пространстве только в том случае, если они находятся в одной плоскости и не пересекаются.

Если рассмотреть примеры, то параллельные прямые мы можем наблюдать как противоположные края у прямоугольного или квадратного стола, железнодорожные рельсы и шпалы, провода линий электропередач, линии в тетради в полоску и прочее. Таких примеров из реального мира можно привести очень много.

Другими вариантами прямых, расположенных в 3D-пространстве, есть их скрещивание и пересечение. Пересекающимися есть прямые, имеющие общую точку, она же и есть точкой пересечения. Скрещивающимися есть прямые, расположенные в разных плоскостях и не параллельные между собой.

Есть ряд теорем, описывающих поведение параллельных прямых в пространстве. Рассмотрим их подробнее.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Теоремы о параллельности двух прямых

  1. если две прямые в пространстве перпендикулярные к одной плоскости, то они параллельные между собой;
  2. через точку в пространстве, что не расположена на заданной прямой, возможно провести лишь одну прямую, параллельную заданной.

Доказательство теоремы : Через прямую a и точку (M) , не находящуюся на данной прямой, проведем плоскость ∝. Эта плоскость определяется заданной прямой a и точкой (M) , то есть она однозначно определена.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Для доказательства этой теоремы применим евклидовую аксиому из планиметрии про параллельные прямые.
Таким образом, через точку (M) возможно проложить лишь одну прямую, параллельную прямой (a) , и ее существование доказано. Назовем эту прямую (b) .
Два отрезка будут параллельными при их расположении на параллельных прямых.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Свойства параллельных прямых в пространстве

Некоторые свойства пересекаются с вышеизложенными теоремами, но все же рассмотрим их все:

  1. имея две параллельных прямых, одна из которых параллельная третьей прямой, можно утверждать, что вторая тоже будет параллельна третьей;
  2. если из двух параллельных прямых одна пересекает некую плоскость, то и вторая так же будет ее пересекать. Это свойство является леммой про две параллельные прямые в пространстве, ее применяют при обоснованиях различных геометрических теорем;
  3. при помощи двух параллельных прямых можно изобразить однозначно заданную плоскость;
  4. через любую точку, находящуюся в 3D-пространстве и не расположенную на заданной прямой, возможно провести лишь одну прямую, что параллельна заданной.

Рассмотрим подробнее лемму про параллельные прямые и докажем ее. К примеру, некая прямая (b) пересекает плоскость (∝) в точке (M) , что расположена на заданной плоскости. Параллельные прямые a и образуют некую плоскость (β) . Таким образом, если точка (M) общая для плоскостей (∝) и (β) , то эти плоскости пересекаются, линию пересечения обозначим c, на ней расположена точка (M) .
Все прямые (a) , (b) и (c) расположены в плоскости (β) .

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

В соответствии с аксиомой планиметрии, при пересечении одной из параллельных прямых третьей прямой, вторая так же будет ее пересекать.

В нашем варианте прямая a пересекает прямую c в точке (K) .

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Точка (K) расположена одновременно на прямой a и на плоскости (∝) , значит она есть общей для них. Таким образом, прямая a пересекает плоскость (∝) .

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Пример задачи о параллельных прямых

Заданы прямые (a) и (b) , описывающиеся уравнениями. Определить, параллельны ли заданные прямые.
(a: == ) ;

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

При совпадении прямых или если они параллельны их направляющие векторы (s_1) и ( s_2) будут коллинеарными, таким образом, их координаты будут иметь следующее соотношение:

Для того, чтобы найти направляющие вектора, воспользуемся каноническими уравнениями, таким образом для прямой a вектор (s_1) будет равен .

Для прямой b найдем направляющий вектор при помощи произведения нормальных векторов плоскостей, на которых он расположен:

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Таким образом, соблюдается вышеуказанное условие, значит эти прямые либо параллельны, либо совпадают. Необходимо определить каковыми именно они являются: параллельны или совпадают. Возьмем некую точку (K) с координатами (1;2;-1), находящуюся на прямой a, и подставим ее координаты в уравнение прямой (b) :
1-2+1+1=0;1=0,

Равенство не выполняется, таким образом, точка (K) не расположена на прямой (b) , а это означает, что прямые (a) и (b) не совпадают, соответственно они параллельны.

Видео:Расстояние между прямыми в пространствеСкачать

Расстояние между прямыми в пространстве

Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых

В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.

Видео:Параллельность прямых. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. Практическая часть.  10 класс.

Параллельные прямые: основные сведения

Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.

Чтобы обозначить параллельность прямых, общепринято использовать символ ∥ . Т.е., если заданные прямые a и b параллельны, кратко записать это условие нужно так: a ‖ b . Словесно параллельность прямых обозначается следующим образом: прямые a и b параллельны, или прямая а параллельна прямой b , или прямая b параллельна прямой а .

Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.

Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.

В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:

Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.

Эту теорему просто доказать на базе вышеуказанной аксиомы (программа геометрии 10 — 11 классов).

Видео:10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости

Параллельность прямых: признаки и условия параллельности

Признак параллельности есть достаточное условие, при выполнении которого гарантирована параллельность прямых. Иначе говоря, выполнения этого условия достаточно, чтобы подтвердить факт параллельности.

В том числе, имеют место необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в пространстве. Поясним: необходимое – значит то условие, выполнение которого необходимо для параллельности прямых; если оно не выполнено – прямые не являются параллельными.

Резюмируя, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – такое условие, соблюдение которого необходимо и достаточно, чтобы прямые были параллельны между собой. С одной стороны, это признак параллельности, с другой – свойство, присущее параллельным прямым.

Перед тем, как дать точную формулировку необходимого и достаточного условия, напомним еще несколько дополнительных понятий.

Секущая прямая – прямая, пересекающая каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

Пересекая две прямые, секущая образует восемь неразвернутых углов. Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие, будем использовать такие типы углов, как накрест лежащие, соответственные и односторонние. Продемонстрируем их на иллюстрации:

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Если две прямые на плоскости пересекаются секущей, то для параллельности заданных прямых необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равными, либо были равными соответственные углы, либо сумма односторонних углов была равна 180 градусам.

Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Доказательство указанных условий присутствует в программе геометрии за 7 — 9 классы.

В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.

Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.

На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.

В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Доказательство признака изучается в программе геометрии 10 класса.

Дадим иллюстрацию указанных теорем:

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Укажем еще одну пару теорем, являющихся доказательством параллельности прямых.

На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.

В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Все указанные выше теоремы, признаки и условия позволяют удобно доказать параллельность прямых методами геометрии. Т.е., чтобы привести доказательство параллельности прямых, можно показать, что равны соответственные углы, или продемонстрировать факт, что две заданные прямые перпендикулярны третьей и т.д. Но отметим, что зачастую для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве удобнее использовать метод координат.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат

В заданной прямоугольной системе координат прямая определяется уравнением прямой на плоскости одного из возможных видов. Так и прямой линии, заданной в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве.

Запишем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от типа уравнения, описывающего заданные прямые.

Начнем с условия параллельности прямых на плоскости. Оно базируется на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой на плоскости.

Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.

Становится очевидно, что условие параллельности прямых на плоскости базируется на условии коллинеарности векторов или условию перпендикулярности двух векторов. Т.е., если a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) являются направляющими векторами прямых a и b ;

и n b → = ( n b x , n b y ) являются нормальными векторами прямых a и b , то указанное выше необходимое и достаточное условие запишем так: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y или n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , где t – некоторое действительное число. Координаты направляющих или прямых векторов определяются по заданным уравнениям прямых. Рассмотрим основные примеры.

  1. Прямая a в прямоугольной системе координат определяется общим уравнением прямой: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; прямая b — A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты ( А 1 , В 1 ) и ( А 2 , В 2 ) соответственно. Условие параллельности запишем так:

A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2

  1. Прямая a описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом вида y = k 1 x + b 1 . Прямая b — y = k 2 x + b 2 . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты ( k 1 , — 1 ) и ( k 2 , — 1 ) соответственно, а условие параллельности запишем так:

k 1 = t · k 2 — 1 = t · ( — 1 ) ⇔ k 1 = t · k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны. И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.

  1. Прямые a и b в прямоугольной системе координат заданы каноническими уравнениями прямой на плоскости: x — x 1 a x = y — y 1 a y и x — x 2 b x = y — y 2 b y или параметрическими уравнениями прямой на плоскости: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y и x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тогда направляющие векторы заданных прямых будут: a x , a y и b x , b y соответственно, а условие параллельности запишем так:

a x = t · b x a y = t · b y

Заданы две прямые: 2 x — 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1 . Необходимо определить, параллельны ли они.

Решение

Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y — 1 = 0

Мы видим, что n a → = ( 2 , — 3 ) — нормальный вектор прямой 2 x — 3 y + 1 = 0 , а n b → = 2 , 1 5 — нормальный вектор прямой x 1 2 + y 5 = 1 .

Полученные векторы не являются коллинеарными, т.к. не существует такого значения t , при котором будет верно равенство:

2 = t · 2 — 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 — 3 = t · 1 5 ⇔ t = 1 — 3 = 1 5

Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.

Ответ: заданные прямые не параллельны.

Заданы прямые y = 2 x + 1 и x 1 = y — 4 2 . Параллельны ли они?

Решение

Преобразуем каноническое уравнение прямой x 1 = y — 4 2 к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

x 1 = y — 4 2 ⇔ 1 · ( y — 4 ) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Мы видим, что уравнения прямых y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.

Попробуем решить задачу иначе. Сначала проверим, совпадают ли заданные прямые. Используем любую точку прямой y = 2 x + 1 , например, ( 0 , 1 ) , координаты этой точки не отвечают уравнению прямой x 1 = y — 4 2 , а значит прямые не совпадают.

Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.

Нормальный вектор прямой y = 2 x + 1 это вектор n a → = ( 2 , — 1 ) , а направляющий вектором второй заданной прямой является b → = ( 1 , 2 ) . Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n a → , b → = 2 · 1 + ( — 1 ) · 2 = 0

Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.

Ответ: данные прямые параллельны.

Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.

Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.

Т.е. при заданных уравнениях прямых в трехмерном пространстве ответ на вопрос: параллельны они или нет, находится при помощи определения координат направляющих векторов заданных прямых, а также проверки условия их коллинеарности. Иначе говоря, если a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) являются направляющими векторами прямых a и b соответственно, то для того, чтобы они были параллельны, необходимо существование такого действительного числа t , чтобы выполнялось равенство:

a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y a z = t · b z

Заданы прямые x 1 = y — 2 0 = z + 1 — 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = — 3 — 6 λ . Необходимо доказать параллельность этих прямых.

Решение

Условиями задачи заданы канонические уравнения одной прямой в пространстве и параметрические уравнения другой прямой в пространстве. Направляющие векторы a → и b → заданных прямых имеют координаты: ( 1 , 0 , — 3 ) и ( 2 , 0 , — 6 ) .

1 = t · 2 0 = t · 0 — 3 = t · — 6 ⇔ t = 1 2 , то a → = 1 2 · b → .

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.

Ответ: параллельность заданных прямых доказана.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)

Параллельность в пространстве с примерами решения

Содержание:

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельность в пространстве

В этом параграфе вы ознакомитесь с основными понятиями стереометрии, аксиомами стереометрии и следствиями из них. Расширите свои представления о многогранниках. Вы узнаете о взаимном расположении двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве. Ознакомитесь с правилами, по которым изображают пространственные фигуры на плоскости.

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии

Изучая математику, вы со многими понятиями ознакомились с помощью определений. Так, из курса планиметрии вам хорошо знакомы определения четырехугольника, трапеции, окружности и др.

Определение любого понятия основано на других понятиях, содержание которых вам уже известно. Например, рассмотрим определение трапеции: «Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны». Видим, что определение трапеции основано на таких уже введенных понятиях, как четырехугольник, сторона четырехугольника, параллельные и непараллельные стороны и др. Итак, определения вводятся по принципу «новое основано на старом». Тогда ясно, что должны существовать первоначальные понятия, которым определений не дают. Их называют основными понятиями (рис. 27.1).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

В изученном вами курсе планиметрии определения не давали таким фигурам, как точка и прямая. В стереометрии, кроме них, к основным понятиям отнесем еще одну фигуру — плоскость.

Наглядное представление о плоскости дают поверхность водоема в безветренную погоду, поверхность зеркала, поверхность полированного стола, мысленно продолженные во всех направлениях.

Используя понятие плоскости, можно считать, что в планиметрии мы рассматривали только одну плоскость, и все изучаемые фигуры принадлежали этой плоскости. В стереометрии же рассматривают бесконечно много плоскостей, расположенных в пространстве.

Как правило, плоскости обозначают строчными греческими буквами Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Плоскость, так же как и прямая, состоит из точек, то есть плоскость — это множество точек.

Существует несколько случаев взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве. Приведем примеры.

На рисунке 27.4 изображена точка А, принадлежащая плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Также говорят, что точка А лежит в плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхили плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпроходит через точку А. Кратко это можно записать так: Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях.

На рисунке 27.5 изображена точка В, не принадлежащая плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Кратко это можно записать так: Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях.

На рисунке 27.6 изображена прямая Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, принадлежащая плоско­сти Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Также говорят, что прямая Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхлежит в плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхили плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпроходит через прямую Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Кратко это можно записать так: Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая пересекает плоскость. На рисунке 27.7 изображена прямая Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, пересекающая плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхв точке А. Записывают: Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

В дальнейшем, говоря «две точки», «три точки», «две плоскости» и т.п., будем иметь в виду, что это разные точки, разные прямые и разные плоскости. Если две плоскости имеют общую точку, то говорят, что эти плоскости пересекаются.

На рисунке 27.8 изображены плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, пересекающиеся по прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Записывают: Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

На начальном этапе изучения стереометрии невозможно доказывать теоремы, опираясь на другие утверждения, поскольку этих утверждений еще нет. Поэтому первые свойства, касающиеся точек, прямых и плоскостей в пространстве, принимают без доказательства и называют аксиомами. Отметим, что ряд аксиом стереометрии по формулировкам до­словно совпадают со знакомыми вам аксиомами планиметрии.

  • какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей;
  • через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Мы не будем знакомиться со строгим аксиоматическим построением стереометрии. Рассмотрим лишь некоторые утверждения, выражающие основные свойства плоскостей пространства, основываясь на которых обычно строят курс стереометрии в школе.

Аксиома А1. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

Если в любой плоскости пространства выполняются аксиомы планиметрии, то выполняются и следствия из этих аксиом, то есть теоремы планиметрии. Следовательно, в стереометрии можно поль­зоваться всеми известными нам свойствами плоских фигур.

Аксиома А2. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Рисунки 27.9-27.11 иллюстрируют эту аксиому.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Из этой аксиомы следует, что три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость, про­ ходящую через эти точки. Поэтому для обозначения плоскости можно указать любые три ее точки, не лежащие на одной прямой.

Например, на рисунке 27.12 изображена плоскость АВС. Запись Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхозначает, что точка М принадлежит плоскости АВС. Запись Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхозначает, что прямая MN принадлежит плоскости АВС (рис. 27.12).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Аксиома АЗ. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Например, на рисунке 27.13 точки А, В и С принадлежат плоскости АВС. Тогда можно записать: Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхИз этой аксиомы следует, что если прямая не принадлежит плоскости, то она имеет с данной плоскостью не более одной общей точки.

Утверждение, сформулированное в аксиоме АЗ, часто используют на практике, когда хотят проверить, является ли данная поверхность ровной (плоской). Для этого к поверхности в разных местах прикладывают ровную рейку и проверяют, есть ли зазор между рейкой и поверхностью (рис. 27.14).

Аксиома А4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Эту аксиому можно проиллюстрировать с помощью согнутого листа бумаги или с помощью вашего учебника (рис. 27.15).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Пример:

Докажите, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Решение:

Пусть точка А является общей для двух плоскостей Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, то есть Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях(рис. 27.16). По аксиоме А4 плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпересекаются по прямой. Пусть Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхТогда все общие точки плоскостей Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпринадлежат прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Точка А является общей для плоскостей Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Следовательно, Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхКроме аксиом, есть и другие свойства, описывающие взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве. Опираясь на аксиомы, можно доказать, например, следующие утверждения (следствия из аксиом стереометрии).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Теорема 27.1. Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость, и притом только одна (рис. 27.17).

Теорема 27.2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (рис. 27.18).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Из аксиомы А2 и теорем 27.1 и 27.2 следует, что плоскость однозначно определяется:

  1. тремя точками, не лежащими на одной прямой;
  2. прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой;
  3. двумя пересекающимися прямыми.

Таким образом, мы указали три способа задания плоскости.

Пространственные фигуры

Начальные сведения о многогранниках. В стереометрии, кроме точек, прямых и плоскостей, рассматривают пространственные фигуры, то есть фигуры, не все точки ко­торых лежат в одной плоскости. Некоторые из пространственных фигур вам уже знакомы. Так, на рисунке 28.1 изображены цилиндр, конус и шар. Подробно эти фигуры вы будете изучать в 11 классе.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

На рисунке 28.2 изображена еще одна знакомая вам пространственная фигура — пирамида. Эта фигура является частным видом многогранника. Примеры многогранников показаны на рисунке 28.3.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Поверхность многогранника состоит из многоугольников. Их называют гранями многогранника. Стороны многоугольников называют ребрами многогранника, а вершины — вершинами много­гранника (рис. 28.4).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

На рисунке 28.5 изображена пятиугольная пирамида FABCDE.

Поверхность этого многогранника состоит из пяти треугольников, которые называют боковыми гранями пирамиды, и одного пятиугольника, который называют основанием пирамиды. Вершину F, общую для всех боковых граней, называют вершиной пирамиды.

Ребра FA, FB, FC, FD и FE называют боковыми ребрами пирамиды, а ребра А В, ВС, CD, DE и ЕАребрами основания пирамиды.

На рисунке 28.6 изображена треугольная пирамида DABC. Треугольную пирамиду называют также тетраэдром.

Еще одним частным видом многогранника является призма. На рисунке 28.7 изображена треугольная призма Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Этот многогранник имеет пять граней, две из которых — равные треугольники АВС и Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхИх называют основаниями призмы.

Остальные грани призмы — параллелограммы. Их называют боковыми гранями призмы. Ребра Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхназывают боковыми ребрами призмы.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

На рисунке 28.8 изображена четырехугольная призма Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Ее поверхность состоит из двух равных четырехугольников ABCD и Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях(основания призмы) и четырех параллелограммов (боковые грани призмы).

Вы знакомы также с частным видом четырехугольной призмы — прямоугольным параллелепипедом. На рисунке 28.9 изображен прямоугольный параллелепипед Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

В свою очередь, частным видом прямоугольного параллелепипеда является куб. Все грани куба — равные квадраты (рис. 28.10).

Четырехугольную призму, основанием которой является параллелограмм, называют параллелепипедом.

В курсе геометрии 11 класса вы более подробно ознакомитесь с многогранниками и их частными видами.

Пример:

На ребрах Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхи Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхкуба Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхотметили соответственно точки М и N так, что Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях(рис. 28.11). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью АВС.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Решение:

Точки М и N принадлежат плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Тогда по аксиоме АЗ прямая MN принадлежит этой плоскости. Аналогично прямая AD также принадлежит плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Из планиметрии известно, что прямые, лежащие в одной плоскости, или параллельны, или пересекаются. Поскольку Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, то прямые AD и MN пересекаются. Пусть X — точка их пересечения (рис. 28.12). Точки А и D принадлежат плоскости АВС. Тогда по аксиоме АЗ прямая AD принадлежит этой же плоскости. Точка X принадлежит прямой AD. Следовательно, точка X принадлежит плоскости АВС. Поскольку точка X также принадлежит прямой MN, то прямая MN пересекает плоскость АВС в точке X.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Из курса планиметрии вы знаете, что две прямые называют пересекающимися, если они имеют только одну общую точку. Такое же определение пересекающихся прямых дают и в стереометрии. Вам также известно, что две прямые называют параллельными, если они не пересекаются. Можно ли это определение перенести в стереометрию?

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Обратимся к рисунку 29.1, на котором изображен куб Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Каждая из прямых АВ и Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхне имеет с прямой DC общих точек. При этом прямые АВ и DC лежат в одной плоскости — в плоскости АВС, а прямые Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхи DC не лежат в одной плоскости, то есть не существует плоскости, которая проходила бы через эти прямые. Этот пример показывает, что в стереометрии для двух прямых, не имеющих общих точек, возможны два случая взаимного расположения: прямые лежат в одной плоскости и прямые не лежат в одной плоскости. Для каждого из этих случаев дадим соответствующее определение.

Определение. Две прямые в пространстве называют параллельным и, если они лежат в одной плоскости и не пересека­ются. Если прямые Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпараллельны, то записывают: Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Определение. Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Например, на рисунке 29.1 прямые АВ и DC — параллельные, а прямые Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхи DC — скрещивающиеся.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Наглядное представление о параллельных прямых дают колонны здания, корабельный лес, бревна сруба (рис. 29.2).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают провода линий электропередачи, различные элементы строительных конструкций (рис. 29.3). Итак, существуют три возможных случая взаимного расположения двух прямых в пространстве (рис. 29.4):

  1. прямые пересекаются;
  2. прямые параллельны;
  3. прямые скрещиваются.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Два отрезка называют параллельными (скрещивающимися), если они лежат на параллельных (скрещивающихся) прямых. Например, ребра Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхи Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхтреугольной призмы Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях(рис. 29.5) являются параллельными, а ребра АС и Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях— скрещивающимися.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Теорема 29.1. Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Пусть даны параллельные прямые Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхДокажем, что существует единственная плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхтакая, что Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Существование плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, проходящей через прямые Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, следует из определения параллельных прямых.

Если предположить, что существует еще одна плоскость, проходящая через прямые Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, то через прямую а и некоторую точку прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхбудут проходить две различные плоскости, что проти­воречит теореме 27.1.

Существует три способа задания плоскости. Теорему 29.1 можно рассматривать как еще один способ задания пло­скости — с помощью двух параллельных прямых.

Установить параллельность двух прямых, лежащих в одной плоскости, можно с помощью известных вам из курса планиметрии признаков параллельности двух прямых. А как установить, являются ли две прямые скрещивающимися? Ответить на этот вопрос позволяет следующая теорема.

Теорема 29.2 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся (рис. 29.6).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

На рисунке 29.7 ребра АВ и DC тетраэдра DABC являются скрещивающимися. Действительно, прямая DC пересекает плоскость АВС в точке С, не принадлежащей прямой АВ. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых прямые АВ и DC являются скрещивающимися.

Параллельность прямой и плоскости

Вам уже известны два возможных случая взаимного расположения прямой и плоскости:

  1. прямая принадлежит плоскости, то есть все точки прямой принадлежат плоскости;
  2. прямая пересекает плоскость, то есть прямая имеет с плоскостью только одну об­щую точку.

Понятно, что возможен и третий случай, когда прямая и плоскость не имеют общих точек. Например, прямая, содержащая ребро Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхкуба Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, не имеет общих точек с плоскостью АВС (рис. 30.1).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Определение. Прямую и плоскость называют параллель­ными, если они не имеют общих точек.

Если прямая Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхи плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпараллельны, то записывают: Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхТакже принято говорить, что прямая Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпараллельна плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, а плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпараллельна прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях.

Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают некоторые спортивные снаряды. Например, брусья параллельны плоскости пола (рис. 30.2). Другой пример — водосточная труба: она параллельна плоскости стены (рис. 30.3).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Выяснять, параллельны ли данные прямая и плоскость, с помощью определения затруднительно. Гораздо эффективнее пользоваться следующей теоремой.

Теорема 30.1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.

Например, на рисунке 30.1 прямые Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхи Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхсодержат противолежащие стороны квадрата Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Эти прямые параллельны.

Поскольку Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, то по признаку параллельности прямой и плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Отрезок называют параллельным плоскости, если он принадлежит прямой, параллельной этой плоскости. Например, ребро АВ куба параллельно плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях(рис. 30.1).

Вы умеете устанавливать параллельность двух прямых с помощью теорем-признаков, известных из планиметрии. Рассмотрим теоремы, описывающие достаточные условия параллельности двух прямых в пространстве.

Теорема 30.2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

На рисунке 30.4 прямая Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпараллельна плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпроходит через прямую Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхи пересекает плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпо прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Тогда Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Теорема 30.3. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются по прямой, отличной от двух данных, то эта прямая параллельна каждой из двух данных прямых.

На рисунке 30.5 прямые Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпараллельны, плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпроходит через прямую Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, а плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях— через прямую Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхТогда Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Теорема 30.4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Пример:

Докажите, что если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна прямой их пересечения.

Решение:

Пусть даны прямая Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхи плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхтакие, что Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях(рис. 30.6). Докажем, что Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхВ плоскостях Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхнайдутся соответственно такие прямые Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, что Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЕсли хотя бы одна из прямых Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхсовпадает с пря­мой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, то утверждение задачи доказано. Если же каждая из прямых Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхотлична от прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, то по теореме 30.4 Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхВоспользовавшись теоремой 30.3, приходим к выводу, что Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Но Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, следовательно, Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Параллельность плоскостей

Рассмотрим варианты возможного взаимного расположения двух плоскостей. Вы знаете, что две плоскости могут иметь общие точки, то есть пересекаться. Понятно, что две плоскости могут и не иметь общих точек. Например, плоскости АВС и Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, содержащие основания призмы, не имеют общих точек (рис. 31.1).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Определение. Две плоскости называют параллельны ми, если они не имеют общих точек.

Если плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпараллельны, то записывают: Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхТакже принято говорить, что плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпараллельна плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхили плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпараллельна плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Наглядное представление о параллельных плоскостях дают потолок и пол комнаты; поверхность воды, налитой в аквариум, и его дно (рис. 31.2).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Из определения параллельных плоскостей следует, что любая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости.

В тех случаях, когда надо выяснить, являются ли две плоскости параллельными, удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 31.1 (признак параллельности двух плоско­стей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Например, на рисунке 31.3 изображен прямоугольный параллелепипед Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Имеем: Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхи Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Тогда по признаку параллельности двух плоскостей Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях.

Будем говорить, что два многоугольника параллельны, если они лежат в параллельных плоскостях. Например, грани Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхи Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпрямоугольного параллелепипеда Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпараллельны (рис. 31.3). Рассмотрим некоторые свойства параллельных плоскостей.

Теорема 31.2. Через точку в пространстве, не принадлежа­щую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна (рис. 31.4).

Теорема 31.3. Прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны (рис. 31.5).

Пример:

Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Решение:

Пусть даны параллельные плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхи параллельные прямые АВ и Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхтакие, что Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях(рис. 31.6). Докажем, что Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Параллельные прямые АВ и Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхзадают некоторую плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпричем Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

По теореме 31.3 получаем: Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Следовательно, четырехугольник Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях— параллелограмм. Отсюда Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Параллельное проектирование

Многие явления и процессы, наблюдаемые нами в повседневной жизни, служат примерами преобразований, при которых образом пространственной фигуры является плоская фигура. Увидеть одно из таких явлений можно в солнечную погоду, когда предмет отбрасывает тень на плоскую поверхность (рис. 32.1). Этот пример иллюстрирует преобразование фигуры, которое называют параллельным проектированием. С помощью этого преобразования на плоскости создают изображения пространственных фигур.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Многие рисунки настоящего учебника, на которых изображены пространственные фигуры, можно рассматривать как тени, отбрасываемые на плоскость страницы предметами, освещенными па­раллельными лучами. Ознакомимся подробнее с параллельным проектированием.

Пусть даны плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпрямая Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпересекающая эту плоскость, и фигура F (рис. 32.2). Через каждую точку фигуры F проведем прямую, параллельную прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях(если точка фигуры F принадлежит прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхто будем рассматривать саму прямую Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях). Точки пересечения всех проведенных прямых с плоскостью Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхобразуют некоторую фигуру Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях. Описанное преобразование фигуры F называют параллельным проектированием. Фигуру Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхназывают параллельной проекцией фигуры F на плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхв направлении прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях Также фигуру Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхназывают изображением фигуры Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхна плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхв направлении прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Выбирая выгодные положения плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхи прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхможно получить наглядное изображение данной фигуры F. Это связано с тем, что параллельное проектирование обладает рядом замечательных свойств (см. теоремы 32.1-32.3). Благодаря этим свойствам изображение фигуры похоже на саму фигуру.

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Пусть даны плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхи прямая Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпересекающая эту плоскость. Если прямая параллельна прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхто ее проекцией на плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхявляется точ­ка (рис. 32.3). Проекцией прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхтакже является точка. Если отрезок параллелен прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхили лежит на прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях, то его проекцией на плоскость Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхявляется точка (рис. 32.3).

В следующих теоремах будем рассматривать прямые и отрезки, не параллельные прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхи не лежащие на ней.

Теорема 32.1. Параллельной проекцией прямой является прямая; параллельной проекцией отрезка является отрезок (рис. 32.4).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Теорема 32.2. Параллельной проекцией двух параллельных прямых являются или прямая (рис. 32.5), или две параллельные прямые (рис. 32.6). Параллельные проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 32.6).

Теорема 32.3. Отношение параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению самих отрезков (рис. 32.7).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Рассмотрим изображения некоторых многоугольников на плоскости Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхв на­правлении прямой Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Если прямая Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпараллельна плоскости многоугольника или принадлежит этой плоскости, то изображением многоугольника является отрезок. Теперь рассмотрим случай, когда прямая Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхпересекает плоскость много­угольника.

Из свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией треугольника является треугольник (рис. 32.8).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхЯвляются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Поскольку при параллельном проектировании сохраняется параллельность отрезков, то изображением параллелограмма (в частности, прямоугольника, ромба, квадрата) является параллелограмм (рис. 32.9).

Также из свойств параллельного проектирования следует, что изображением трапеции является трапеция.

Параллельной проекцией окружности является фигура, которую называют эллипсом (рис. 32.10).

Изображения объектов с помощью параллельного проектирования широко используют в самых разных областях промышленности, например в автомобилестроении (рис. 32.11).

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостях

Являются ли прямые параллельными если они лежат в разных плоскостяхГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 4

Основные аксиомы стереометрии

  • А1. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
  • А2. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
  • АЗ. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
  • А4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Плоскость однозначно определяется:

  1. тремя точками, не лежащими на одной прямой;
  2. прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой;
  3. двумя пересекающимися прямыми;
  4. двумя параллельными прямыми.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

  • Две прямые называют пересекающимися, если они имеют только одну общую точку.
  • Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
  • Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Свойство параллельных прямых

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся.

Параллельность в пространстве

Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют общих точек. Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.

Условия параллельности двух прямых в пространстве

  • Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
  • Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются по прямой, от­ личной от двух данных, то эта прямая параллельна каждой из двух данных прямых.
  • Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Признак параллельности двух плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

Через точку в пространстве, не принадлежащую данной плоско­сти, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна.

Прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Перпендикулярность в пространстве
  • Векторы и координаты в пространстве
  • Множества
  • Рациональные уравнения
  • Числовые последовательности
  • Предел числовой последовательности
  • Предел и непрерывность числовой функции одной переменной
  • Функции, их свойства и графики

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📽️ Видео

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать

Параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости | Математика ЕГЭ для 10 класса | Умскул

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Геометрия 10 класс Параллельность прямых, прямой и плоскости теорияСкачать

Геометрия 10 класс Параллельность прямых, прямой и плоскости теория

Стереометрия "с нуля" Урок 2 Прямые в пространствеСкачать

Стереометрия "с нуля" Урок 2  Прямые в пространстве

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Геометрия 10 класс : Параллельные плоскости и их свойстваСкачать

Геометрия 10 класс : Параллельные плоскости и их свойства

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространстве

Параллельность прямых, прямой и плоскостиСкачать

Параллельность прямых, прямой и плоскости
Поделиться или сохранить к себе: