Взаимное расположение векторов силы

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Механическая работа

п.1. Зависимость механической работы от величины приложенной силы

Приложенная к телу сила приводит его в движение и сообщает ему ускорение. В результате действия силы тело перемещается. В таком случае говорят, что сила совершила работу по перемещению тела.

Допустим, мы перемещаем груз (одну коробку) на расстояние (s_1=10 text) по горизонтальной плоскости, действуя на него силой (F_1=100 text).

Пусть масса груза увеличилась вдвое (мы положили вторую коробку сверху на первую). Теперь для перемещения необходима сила (F_2=200 text). При перемещении на то же расстояние (s_2=s_1=10 text) мы совершим в два раза большую работу. По существу, во втором случае мы перемещаем за один раз две коробки, что равносильно перемещению по одной коробке за два раза.

Следовательно, чем больше приложенная сила, тем большую работу она совершает: работа прямо пропорциональна величине приложенной силы.

п.2. Зависимость механической работы от величины перемещения

Теперь рассмотрим зависимость работы от величины перемещения.

Пусть вначале мы перемещаем груз (одну коробку) на расстояние (s_1=5 text) по горизонтальной плоскости, действуя на него силой (F_1=100 text).

А затем перемещаем тот же груз с той же силой на расстояние (s_2=10 text).

Во втором случае мы совершим вдвое большую работу.

Чем больше величина перемещения под действием силы, тем большую работу совершает эта сила: работа прямо пропорциональна перемещению в направлении действующей силы.

Уточнение про перемещение в направлении действующей силы очень важно.

И сила и перемещение являются векторными величинами: направление для их описания так же существенно, как и величина.

Работа является величиной скалярной. От взаимного направления силы и перемещения зависит не только величина, но и знак работы: она может быть положительной, равной нулю или отрицательной.

п.3. Определение механической работы

В этом курсе мы ограничимся тремя случаями взаимной ориентации векторов силы и перемещения:

• Если направления векторов силы и перемещения совпадают, то работа положительна и равна произведению модуля силы на модуль перемещения: $$ A=Fs, overrightarrowuparrowuparrowoverrightarrow $$
• Если направления векторов силы и перемещения противоположны, то работа отрицательна и равна произведению модуля силы на модуль перемещения, взятому со знаком «минус»: $$ A=-Fs, overrightarrowuparrowdownarrowoverrightarrow $$
• Если направления векторов силы и перемещения перпендикулярны, то работа равна 0. $$ A=0, overrightarrowperpoverrightarrow $$

Остальные случаи взаимной ориентации векторов будут рассмотрены в курсе физики для 9 класса.

Пример определения работы для трех базовых случаев взаимного расположения векторов силы и перемещения

Рассмотрим перемещение деревянного бруска по поверхности стола.

Брусок перемещается в направлении приложенной силы тяги (overrightarrow). Направления перемещения и силы тяги совпадают, эта сила совершает положительную работу: $$ A_text=Fs, overrightarrowuparrowuparrowoverrightarrow $$

Сила трения направлена противоположно перемещению; она совершает отрицательную работу: $$ A_text=-Fs, overrightarrow_textuparrowdownarrowoverrightarrow $$

Сила тяжести направлена перпендикулярно перемещению; её работа равна нулю: $$ A_text=0, moverrightarrowperpoverrightarrow $$

п.4. Единицы измерения механической работы

В системе СИ (см. §2 данного справочника) сила измеряется в ньютонах, перемещение – в метрах. А для измерения работы используется «джоуль».

п.5. Задачи

Задача 1. Груз весом 50 Н равномерно подняли, совершив работу 400 Дж.
На какую высоту подняли груз?

Груз перемещается равномерно, следовательно, равнодействующая веса и силы тяги равна нулю begin overrightarrow

+overrightarrow=0 Rightarrow overrightarrow=-overrightarrow

end Cила тяги равна весу по величине и противоположна по направлению. begin F=P end Сила тяги и перемещение направлены в одну сторону – вверх. Работа силы тяги begin A=Fh end Высота равна begin h=frac AF=frac AP end Получаем begin h=frac=8 (text) end Ответ: 8 м

Задача 2. С плотины гидроэлектростанции каждую секунду падает 1800 м 3 воды. Какую работу совершает каждую секунду действующая на эту воду сила тяжести, если высота плотины 25 м?

Масса падающей воды begin m=rho V. end Сила тяжести $$ F=mg=rho Vg. $$ Работа силы тяжести begin A=Fh=rho V gh. end Получаем: $$ A=1000cdot 1800cdot 10cdot 25=450cdot 10^6 (text)=450 (text) $$ Ответ: 450 МДж

Задача 3. Подъемный кран в течение 50 секунд равномерно поднимал груз массой 2 т, совершив при этом работу 360 кДж. С какой скоростью двигался груз?

Груз перемещается равномерно, следовательно, равнодействующая веса и силы тяги равна нулю begin overrightarrow

+overrightarrow=0 Rightarrow overrightarrow=-overrightarrow

end Cила тяги равна весу по величине и противоположна по направлению: begin F=P=mg end Сила тяги и перемещение направлены в одну сторону – вверх. Работа силы тяги: begin A=Fh end Высота равна: begin h=frac AF=frac AP=frac end Подъем происходит равномерно, скорость подъема: begin v=frac ht=frac end Получаем: begin v=frac=0,36 (text) end Ответ: 0,36 м/с

Задача 4*. Со дна озера на поверхность воды подняли камень объемом 8 дм 3 .
Глубина озера 10 м. Определите плотность камня, если при его подъеме лебедка совершила работу 1200 Дж. Сопротивлением воды при подъеме можно пренебречь.

На камень действуют три силы: сила тяги (overrightarrow) сила Архимеда (overrightarrow_a), сила тяжести (moverrightarrow).
Сила тяги и сила Архимеда в сумме уравновешивают силу тяжести: begin F+F_a=mg end Сила Архимеда: begin F_a=rho_textVg end Работа силы тяги begin A=Fh end Сила тяги: begin F=frac Ah end Масса камня begin m=rho_<text>V end Подставляем: begin frac Ah+rho_<text>Vg=rho_<text>Vg end Плотность камня: begin rho_<text>=frac+rho_<text> end Подставляем: begin rho_<text>=frac<10cdot 8cdot 10^cdot 10>+1000=2500 text^3 end Ответ: 2500 кг/м 3

Задача 5. Лошадь везет сани массой 250 кг с постоянной скоростью 2 м/с.
Найдите коэффициент трения между полозьями и дорогой, если за 1 ч работа по перемещению саней составила 3,3 МДж?

На сани действуют четыре силы: по вертикали – сила тяжести (mg) и сила реакции опоры (N), по горизонтали – сила тяги (F) и сила трения (F_text), причем begin N=mg, F=F_text end Работа силы тяги begin A=Fs=Fcdot vtRightarrow F=frac end Сила трения begin F_text=mu N=mu mg end Получаем begin frac=mu mgRightarrow mu=frac end Подставляем begin mu=frac=0,2 end Ответ: 0,2

Задача 6*. Какую работу совершает сила давления газов при выталкивании ядра из пушки, если длина ствола 1,6 м, радиус ядра 10 см, а среднее давление в стволе во время выстрела в 2000 раз превышает атмосферное давление? Ответ округлите до десятых долей мегаджоуля.

Сила давления газов равна begin F=pS, end где (S) — площадь поперечного сечения ядра (S=pi R^2).
Работа газов begin A=Fs=pcdot pi R^2cdot s end Получаем begin A=2000cdot 101300cdot picdot 0,1^2cdot 1,6approx 10183786 textapprox 10,2 text end Ответ: ≈10,2 МДж

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Законы сложения сил в механике

При воздействии на одно тело нескольких сил одновременно тело начинает двигаться с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые бы возникли под воздействием каждой силы по отдельности. К действующим на тело силам, приложенным к одной точке, применяется правило сложения векторов.

Векторная сумма всех сил, одновременно воздействующих на тело, это сила равнодействующая, которая определяется по правилу векторного сложения сил:

R → = F 1 → + F 2 → + F 3 → + . . . + F n → = ∑ i = 1 n F i → .

Равнодействующая сила действует на тело также, как и сумма всех действующих на него сил.

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Правило параллелограмма и правило многоугольника

Для сложения 2 -х сил используют правило параллелограмма (рисунок 1 ).

Рисунок 1 . Сложение 2 -х сил по правилу параллелограмма

Выведем формулу модуля равнодействующей силы с помощью теоремы косинусов:

R → = F 1 → 2 + F 2 → 2 + 2 F 1 → 2 F 2 → 2 cos α

При необходимости сложения более 2 -х сил используют правило многоугольника: от конца
1 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 2 -й силе; от конца 2 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 3 -й силе и т.д.

Рисунок 2 . Сложение сил правилом многоугольника

Конечный вектор, проведенный от точки приложения сил в конец последней силы, по величине и направлению равняется равнодействующей силе. Рисунок 2 наглядно иллюстрирует пример нахождения равнодействующей сил из 4 -х сил: F 1 → , F 2 → , F 3 → , F 4 → . Причем суммируемые векторы совсем необязательно должны быть в одной плоскости.

Результат действия силы на материальную точку будет зависеть только от ее модуля и направления. У твердого тела есть определенные размеры. Потому силы с одинаковыми модулями и направлениями вызывают разные движения твердого тела в зависимости от точки приложения.

Линией действия силы называют прямую, проходящую через вектор силы.

Рисунок 3 . Сложение сил, приложенных к различным точкам тела

Если силы приложены к различным точкам тела и действуют не параллельно по отношению друг к другу, тогда равнодействующая приложена к точке пересечения линий действия сил (рисунок 3 ). Точка будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил, действующих на нее, равняется 0 : ∑ i = 1 n F i → = 0 → . В данном случае равняется 0 и сумма проекций данных сил на любую координатную ось.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Разложение вектора силы по направлениям

Разложение сил на две составляющие – это замена одной силы 2 -мя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила. Разложение сил осуществляется, как и сложение, правилом параллелограмма.

Задача разложения одной силы (модуль и направление которой заданы) на 2 , приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, когда известны:

• направления 2 -х составляющих сил;
• модуль и направление одной из составляющих сил;
• модули 2 -х составляющих сил.

Пример 1

Необходимо разложить силу F на 2 составляющие, находящиеся в одной плоскости с F и направленные вдоль прямых a и b (рисунок 4 ). Тогда достаточно от конца вектора F провести 2 прямые, параллельные прямым a и b . Отрезок F A и отрезок F B изображают искомые силы.

Рисунок 4 . Разложение вектора силы по направлениям

Второй вариант данной задачи – найти одну из проекций вектора силы по заданным векторам силы и 2 -й проекции (рисунок 5 а ).

Рисунок 5 . Нахождение проекции вектора силы по заданным векторам

Во втором варианте задачи необходимо построить параллелограмм по диагонали и одной из сторон, как в планиметрии. На рисунке 5 б изображен такой параллелограмм и обозначена искомая составляющая F 2 → силы F → .

Итак, 2 -й способ решения: прибавим к силе силу, равную — F 1 → (рисунок 5 в ). В итоге получаем искомую силу F → .

Три силы F 1 → = 1 Н ; F 2 → = 2 Н ; F 3 → = 3 Н приложены к одной точке, находятся в одной плоскости (рисунок 6 а ) и составляют углы с горизонталью α = 0 ° ; β = 60 ° ; γ = 30 ° соответственно. Необходимо найти равнодействующую силу.

Решение

Рисунок 6 . Нахождение равнодействующей силы по заданным векторам

Нарисуем взаимно перпендикулярные оси О Х и O Y таким образом, чтобы ось О Х совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила F 1 → . Сделаем проекцию данных сил на координатные оси (рисунок 6 б ). Проекции F 2 y и F 2 x отрицательны. Сумма проекций сил на координатную ось О Х равняется проекции на данную ось равнодействующей: F 1 + F 2 cos β — F 3 cos γ = F x = 4 — 3 3 2 ≈ — 0 , 6 Н .

Точно также для проекций на ось O Y : — F 2 sin β + F 3 sin γ = F y = 3 — 2 3 2 ≈ — 0 , 2 Н .

Модуль равнодействующей определим с помощью теоремы Пифагора:

F = F x 2 + F y 2 = 0 , 36 + 0 , 04 ≈ 0 , 64 Н .

Направление равнодействующей найдем при помощи угла между равнодействующей и осью (рисунок 6 в ):

t g φ = F y F x = 3 — 2 3 4 — 3 3 ≈ 0 , 4 .

Сила F = 1 к Н приложена в точке В кронштейна и направлена вертикально вниз (рисунок 7 а ). Необходимо найти составляющие данной силы по направлениям стержней кронштейна. Все необходимые данные отображены на рисунке.

Решение

Рисунок 7 . Нахождение составляющих силы F по направлениям стержней кронштейна

Дано:

F = 1 к Н = 1000 Н

Пускай стержни прикручены к стене в точках А и С . На рисунке 7 б изображено разложение силы F → на составляющие вдоль направлений А В и В С . Отсюда понятно, что

F 1 → = F t g β ≈ 577 Н ;

F 2 → = F cos β ≈ 1155 Н .

Ответ: F 1 → = 557 Н ; F 2 → = 1155 Н .

Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

Вектор силы (Определение, Пример)

Видео:Математика это не ИсламСкачать

ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОР СИЛЫ

Это то, что тянет и толкает; силы мы чувствуем, когда они на нас действуют; силы растягивают пружины, заставляют тело двигаться быстрее. Мы будем измерять силы при помощи пружинных весов. Поскольку эти приборы обычно градуируют в килограммах силы мы будем пока выражать силу тоже в килограммах силы.

При сооружении и проектировании мостов, зданий, кранов, машин инженеров очень заботит сложение сил или же разность сил для определения силы, необходимой для достижения равновесия. Можно показать, что силы — это векторы, т. е. они подчиняются правилу геометрического сложения.

Векторному сложению и разложению уравновешенных сил посвящен раздел физики, называемый «статикой». Это большой, но скучный раздел физики, и большинство учебников уделяет ему много места, излагая приемы решения задач инженерной статики. Мы ограничимся лишь несколькими примерами, и даже их, пожалуй, лучше было бы опустить, чтобы уделить больше времени изучению силы и движения.

Прежде всего мы должны удостовериться в том, что силы — это векторы. Сказать, что они должны быть векторами, поскольку они характеризуются величиной и направлением, недостаточно. Это не убеждает нас в том, что силы складываются геометрически.

Хотя это утверждение кажется вполне правдоподобным, особенно тем, кто имеет дело с канатами и веревками на кораблях или кому приходится заниматься разбивкой палаток, мы же должны проворить его непосредственно.

Опыт по определению вектора силы

Часто прибегают еще к одному способу проверки. Этот способ проще, но его косвенный характер порой (не совсем добросовестно) игнорируют. К узлу прикладывают две тянущие силы F_А и F_В (применяют гири и блоки или пружинные весы), а третья сила F_С удерживает узел в покое. Затем при помощи построения определяется сумма сил F_А и F_В .

Она равна и проти воположна силе F_С. Это требует дополнительного доказательства, поскольку F_С не равнодействующая (сумма) двух других сил, а «равновесная» сила, необходимая, чтобы им противостоять.

Рис. Косвенная проверка векторного сложения сил.

Равновесие сил

Если на какую-нибудь деталь крана или моста действует несколько сил сразу, а инженеру нужно, чтобы она была и оставалась в состоянии покоя, то для этого сумма всех действующих сил должна быть равна нулю. Тогда в соответствии с представлением Галилея эта деталь должна либо постоянно двигаться, либо постоянно оставаться в состоянии покоя.

В этом случае мы говорим, что силы находятся «в равновесии». Если сумма нескольких сил равна нулю, то это должно быть видно на диаграмме векторного сложения; длина линии, соединяющей исходную точку диаграммы с конечной, должна быть равна нулю. Это означает, что векторная диаграмма должна представлять собой замкнутую фигуру.

Таким образом, если сумма сил равна нулю, то конец векторного многоугольника должен прийти обратно к началу. Это иллюстрирует рис. 3. Условие равенства нулю равнодействующей для постоянного равновесия сил должно выполняться для всей конструкции, например для всего крана или моста, но оно должно также выполняться для каждой отдельной детали конструкции, находящейся в состоянии равновесия.

Применяя это условие к какой-нибудь определенной детали, например к стреле крана, к одной опоре моста, к заклепке, связывающей воедино несколько различных деталей моста, или к грузу маятника, нужно быть внимательным и учитывать все силы, действующие на данную деталь. Тогда мы сможем утверждать, что имеем полный набор сил, образующих замкнутую векторную диаграмму, если, конечно, деталь находится в равновесии.

При решении задач не следует включать в рассмотрение силы, приложенные к другим деталям. Сначала выберите и пометьте выбранную деталь, которая, как вы считаете, находится в равновесии.

Равновесие трех сил, треугольник сил

Если три силы находятся в равновесии, то их векторная диаграмма должна представлять собой замкнутый треугольник (рис. 4). Если известны две силы, то можно вычислить величину и направление третьей.

а — три силы в равновесии) б — три силы не находятся в равновесии.

Этим пользуются при решении инженерных задач. Во многих конструкциях на каждую деталь, играющую важную роль, действуют как раз три силы. Чтобы конструкция была устойчивей, каждая деталь должна оставаться в состоянии покоя; сумма всех действующих на нее сил должна быть равна нулю. Таким образом, если к любой детали приложены три силы, мы строим для них замкнутый треугольник.

Похожие страницы:

Понравилась статья поделись ей

📽️ Видео

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Физика | Ликбез по векторамСкачать

Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.Скачать

Как разложить силы на проекции (динамика 10-11 класс) ЕГЭ по физикеСкачать

#вектор Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусыСкачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

§4.3. Главный вектор и главный момент сил инерцииСкачать

Урок №13. Вектора силы в переговорахСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

Правило рук 👋 КАК ЛЕГКО определять НАПРАВЛЕНИЕ ЛИНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ??Скачать

Зачем нужен ВЕКТОР. Объяснение смыслаСкачать