Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Параллельность прямых

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Содержание
  1. Определение параллельности прямых
  2. Свойства и признаки параллельных прямых
  3. Задача 1
  4. Задача 2
  5. Прямая. Параллельные и перпендикулярные прямые.
  6. теория по математике 📈 планиметрия
  7. Обозначения прямой
  8. Признаки параллельности прямых
  9. Аксиома параллельных прямых
  10. Следствия из аксиом параллельных прямых
  11. Перпендикулярные прямые
  12. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  13. Определения параллельных прямых
  14. Признаки параллельности двух прямых
  15. Аксиома параллельных прямых
  16. Обратные теоремы
  17. Пример №1
  18. Параллельность прямых на плоскости
  19. Две прямые, перпендикулярные третьей
  20. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  21. Признаки параллельности прямых
  22. Пример №2
  23. Пример №3
  24. Пример №4
  25. Аксиома параллельных прямых
  26. Пример №5
  27. Пример №6
  28. Свойства параллельных прямых
  29. Пример №7
  30. Пример №8
  31. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  32. Расстояние между параллельными прямыми
  33. Пример №9
  34. Пример №10
  35. Справочный материал по параллельным прямым
  36. Перпендикулярные и параллельные прямые
  37. 🎥 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

    два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство
два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство
два соответственных угла равны между собой:

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Прямая. Параллельные и перпендикулярные прямые.

теория по математике 📈 планиметрия

Линия, которую изображают на плоскости при помощи линейки, причем, эта линия не должна быть ограничена точкой ни с одной стороны, называют прямой. Другими словами, прямая не имеет ни начала, ни конца.

Обозначения прямой

Обычно прямые обозначают прописной латинской буквой или двумя заглавными (если на прямой лежат точки). Рассмотрим это на рисунке. Данную прямую мы можем назвать двумя способами: прямая а; прямая АС.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Рассмотрим теперь две прямые на плоскости. Для них существует два случая расположения: пересекаются и не пересекаются.

Если две прямые пересекаются, то есть имеют общую точку, то их называют пересекающимися. На рисунке показаны прямые а и b, которые пересекаются в точке A. Запись с помощью символов для данного рисунка выполняют следующим образом: а ∩ b=А, где ∩ — это знак «пересечение».

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Если две прямые на плоскости не пересекаются, то их называют параллельными прямыми. На рисунке изображены параллельные прямые. Запись осуществляется следующим образом: a | | b, где | | — знак параллельности.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Признаки параллельности прямых

Рассмотрим прямую с, которая пересекает две прямые а и b и образует с ними восемь углов. Такую прямую с называют — секущая. Пары углов, которые образует секущая, также имеют названия. Итак, на данном рисунке изображены эти все прямые и восемь углов.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоНеобходимо запомнить названия следующих углов:

  1. накрест лежащие углы: 4 и 5; 3 и 6;
  2. односторонние углы: 4 и 6; 3 и 5;
  3. соответственные углы: 1 и 5; 3 и 7; 2 и 6; 4 и 8.

С данными углами связаны следующие признаки параллельности прямых:

  1. если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны;
  2. если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;
  3. если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Аксиома параллельных прямых

Вспомним, что аксиомой принято называть утверждения, не требующие доказательств.

Через любые две точки на плоскости проходит прямая и притом только одна.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоАксиома №2 Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной. Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Следствия из аксиом параллельных прямых

  • Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоНа данном рисунке видно, что а и b параллельные прямые, с – секущая, она пересекает прямую а в точке А, значит и будет пересекать прямую b в некоторой точке С.

  • Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоПо данному рисунку видно, что если прямая CD параллельна АВ и прямая MN параллельна АВ, то CD и MN тоже будут параллельны.

Видео:10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространстве

Перпендикулярные прямые

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоНа рисунке показаны такие прямые а и b. Запись с помощью символов можно сделать следующим образом: а ⊥ b, где « ⊥ » — знак перпендикулярности. Заметим, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоНа данном рисунке а ⟂ с, b ⟂ c. Видно, что прямые а и b не пересекаются, то есть они – параллельны.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, но не принадлежит прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. Говорят, что прямые Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствопересекаются в точке М.
Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Это можно записать так: Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство— знак принадлежности точки прямой, «Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствопараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоперпендикулярны (рис. 12), то пишут Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоb.
  2. Если Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = 90°, то а Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоАВ и b Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоb.
  3. Если Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоОFА = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2). Из равенства этих треугольников следует, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоЗ = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство4 и Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство5 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство6.
  6. Так как Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство5 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство6 следует, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство6 = 90°. Получаем, что а Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоFF1 и b Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоFF1, а аВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство
2) Заметим, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 и Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 следует, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоAOF = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 + Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 + Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоl + Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = 180° и Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 + Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = 180° следует, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоF и Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3. Кроме того, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 и Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 следует, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство4 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоBAF. Действительно, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство4 и Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоFAC равны как соответственные углы, a Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоFAC = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 + Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = 180° (рис. 97, а).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 + Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3= 180°.

4) Из равенств Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство= Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 и Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 + Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 = 180° следует, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 + Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоBAF + Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Так как Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = 90°, то и Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = 90°, а, значит, сВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствопараллельны, то есть Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, лучи АВ и КМ.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, то Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство(рис. 161).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, перпендикулярную прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои строят другую перпендикулярную прямую Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, затем — третью прямую Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои т. д. Поскольку прямые Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоперпендикулярны одной прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, то из указанной теоремы следует, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, параллельной прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, то Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствотретьей прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство5,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство4 иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство8,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство6,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство7,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство5,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство4 иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство8 — соответственные углы;
  • Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство6,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство4 иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство5 — внутренние односторонние углы;
  • Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство7,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство— данные прямые, АВ — секущая, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 (рис. 166).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Доказать: Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои продлим его до пересечения с прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствов точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 по условию, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоBMK =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоANM =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоBKM = 90°. Тогда прямые Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 (рис. 167).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Доказать: Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои секущей Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоl +Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = 180° (рис. 168).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Доказать: Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои секущей Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоAOB = Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоBAO=Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоBAK = 26°, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоBAC = 2 •Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоADK +Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1=Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2. Так как Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство||Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство.

Реальная геометрия

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствопроходит через точку М и параллельна прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствов некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство||Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство(рис. 187).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Доказать: Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство||Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство.

Доказательство:

Предположим, что прямые Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, параллельные третьей прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство||Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство4. Доказать, что Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствопо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. Так как Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, то Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствопо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, которая параллельна прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствопо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, которые параллельны прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствопересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, АВ — секущая,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Доказать: Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2.

Доказательство:

Предположим, чтоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствопо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, параллельные прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство— секущая,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 — соответственные (рис. 196).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Доказать:Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство— секущая,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 иВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Доказать:Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоl +Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 +Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 = 180°. По свойству параллельных прямыхВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоl =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3 как накрест лежащие. Следовательно,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоl +Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, т. е.Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 = 90°. Согласно следствию Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, т. е.Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 = 90°.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоАОВ =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоABD =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоADB =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствопараллельны, то пишут: Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство(рис. 211).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2 =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство3. Значит,Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство1 =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство2.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои АВВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, то расстояние между прямыми Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойстворавно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, А Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, С Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, АВВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, CDВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоCAD =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойстворавны (см. рис. 285). Прямая Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, проходящая через точку А параллельно прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, которая параллельна прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствобудет перпендикуляром и к прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоBAD +Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Тогда Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, параллельную прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Тогда Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство|| Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойстворавноудалены от прямых Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствона расстояние Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, то есть расстояние от точки М до прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойстворавно Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. Но через точку К проходит единственная прямая Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, параллельная Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. Значит, точка М принадлежит прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство.

Таким образом, все точки прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойстворавноудалены от прямых Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство. Прямая Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоВзаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство— параллельны.

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствои Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойствоесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Взаимное расположение прямых параллельные прямые определение и свойство

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎥 Видео

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Тема 4. Параллельные прямые в простр. Признак параллельности прямых. Свойства параллельных прямыхСкачать

Тема 4. Параллельные прямые в простр. Признак параллельности прямых. Свойства параллельных прямых

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.

Взаимное расположение прямых в пространстве. Видеоурок 3. Геометрия 10 классСкачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. Видеоурок 3. Геометрия 10 класс
Поделиться или сохранить к себе: