Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

Прямая. Параллельные и перпендикулярные прямые.

теория по математике 📈 планиметрия

Линия, которую изображают на плоскости при помощи линейки, причем, эта линия не должна быть ограничена точкой ни с одной стороны, называют прямой. Другими словами, прямая не имеет ни начала, ни конца.

Обозначения прямой

Обычно прямые обозначают прописной латинской буквой или двумя заглавными (если на прямой лежат точки). Рассмотрим это на рисунке. Данную прямую мы можем назвать двумя способами: прямая а; прямая АС.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Рассмотрим теперь две прямые на плоскости. Для них существует два случая расположения: пересекаются и не пересекаются.

Если две прямые пересекаются, то есть имеют общую точку, то их называют пересекающимися. На рисунке показаны прямые а и b, которые пересекаются в точке A. Запись с помощью символов для данного рисунка выполняют следующим образом: а ∩ b=А, где ∩ — это знак «пересечение».

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Если две прямые на плоскости не пересекаются, то их называют параллельными прямыми. На рисунке изображены параллельные прямые. Запись осуществляется следующим образом: a | | b, где | | — знак параллельности.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Признаки параллельности прямых

Рассмотрим прямую с, которая пересекает две прямые а и b и образует с ними восемь углов. Такую прямую с называют — секущая. Пары углов, которые образует секущая, также имеют названия. Итак, на данном рисунке изображены эти все прямые и восемь углов.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойстваНеобходимо запомнить названия следующих углов:

  1. накрест лежащие углы: 4 и 5; 3 и 6;
  2. односторонние углы: 4 и 6; 3 и 5;
  3. соответственные углы: 1 и 5; 3 и 7; 2 и 6; 4 и 8.

С данными углами связаны следующие признаки параллельности прямых:

  1. если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны;
  2. если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;
  3. если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны.

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Аксиома параллельных прямых

Вспомним, что аксиомой принято называть утверждения, не требующие доказательств.

Через любые две точки на плоскости проходит прямая и притом только одна.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойстваАксиома №2 Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной. Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Следствия из аксиом параллельных прямых

  • Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойстваНа данном рисунке видно, что а и b параллельные прямые, с – секущая, она пересекает прямую а в точке А, значит и будет пересекать прямую b в некоторой точке С.

  • Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойстваПо данному рисунку видно, что если прямая CD параллельна АВ и прямая MN параллельна АВ, то CD и MN тоже будут параллельны.

Видео:7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойстваНа рисунке показаны такие прямые а и b. Запись с помощью символов можно сделать следующим образом: а ⊥ b, где « ⊥ » — знак перпендикулярности. Заметим, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойстваНа данном рисунке а ⟂ с, b ⟂ c. Видно, что прямые а и b не пересекаются, то есть они – параллельны.

Видео:10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Определение.1. Параллельные прямое
Определение.2. Перпендикулярные прямые
Теорема.1. I свойство параллельных прямых
Теорема.2. II свойство параллельных прямых
Теорема.3. III свойство параллельных прямых
Теорема.4. IV свойство параллельных прямых
Теорема.5. V свойство параллельных прямых
Теорема.6. I признак параллельных прямых
Теорема.7. II признак параллельных прямых
Теорема.8. III признак параллельных прямых
Теорема.9. IV признак параллельных прямых
Теорема 10. V признак параллельных прямых
Теорема 11. Две прямые, параллельные третей
Теорема 11.1 Следствие
Теорема 12. Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых
Теорема 13. Отрезки параллельных прямых
Теорема 14. Теорема Фалеса
Теорема 14.1. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла
Теорема 15. Прямая, перпендикулярна одной из параллельных прямых
Теорема 16. Две (и более) прямые, перпендикулярные третей прямой

Определение 1. Параллельными называются прямые, которые не пересекаются, сколько бы мы их не продолжали.
На рисунке a и b.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Определение 2. Перпендикулярными называются прямые, которые пересекаются под прямым углом.
На рисунке c и d.
Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойстваПри пересечении пары прямых (параллельных в данном случае) некой прямой (такая прямая называется секущей прямой) образуются (акромя пройденных нами в теме углы смежных и вертикальных) следующие углы:
Внутренние накрестлежащие углы — 2 и 8; 3 и 5
Внешние накрестлежащие углы — 1 и 7; 4 и 6
Внутренние односторонние углы — 2 и 5; 3 и 8
Внешние односторонние углы — 1 и 6; 4 и 7
Соответственные углы — 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8
Между этими углами можно вывести закономерности. Свойства параллельных прямых:
Теорема 1. Внутренние накрестлежащие углы равны

Доказательство: Пусть a и b — две параллельные прямые, c — секущая, A и B — точки пересечения секущей с этими прямыми. Пусть утверждение теоремы ложно. Проведем тогда через точку A прямую d, такую что внутренние накрест лежащие углы при прямых b и d и секущей c равны. Тогда по первому признаку параллельности прямых, прямые b и d параллельны. Но прямые b и a параллельны. Значит, через точку A проходят две прямые — a и d, параллельные прямой b. Это противоречит IX аксиоме. Значит, утверждение теоремы верно. Теорема доказана.
Теорема 2. Внешние накрестлежащие углы равны

Доказательство: Очевидно из первого свойства параллельных прямых.
Теорема 3. Сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусам

Доказательство: Очевидно из первого свойства параллельных прямых.
Теорема 4. Сумма внешних односторонних углов равна 180 градусам

Доказательство: Очевидно из первого свойства параллельных прямых.
Теорема 5. Соответственные углы равны

Доказательство: Очевидно из первого свойства параллельных прямых.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Теорема 6. Если при пересечении двух прямых а и b третей прямой с внутренние накрестлежащие углы равны (одна пара), то такие прямые а и b являются параллельными
Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства
Доказательство: Пусть прямые a и b пересекаются секущей в точках A и B, но прямые a и b пересекаются в точке C (рис. 15). Секущая c разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка C. Построим треугольник ABD, равный треугольнику ABC, с вершиной D в другой полуплоскости. Угол DAB равен углу ABC, а значит, точка D лежит на прямой a по условию. Аналогично точка D лежит на прямой b. Следовательно, точка D принадлежит прямым a и b. Значит, прямые a и b пересекаются в двух точках — C и D. Противоречие. Значит, исходное предположение не верно. Теорема доказана.
Теорема 7. Если при пересечении двух прямых а и b третей прямой с внешние накрестлежащие углы равны (одна пара), то такие прямые а и b являются параллельными

Доказательство: Очевидно из первого признака параллельности прямых.
Теорема 8. Если при пересечении двух прямых а и b третей прямой с сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусам (одна пара), то такие прямые а и b являются параллельными

Доказательство: Очевидно из первого признака параллельности прямых.
Теорема 9. Если при пересечении двух прямых а и b третей прямой с сумма внешних односторонних углов равна 180 градусам (одна пара), то такие прямые а и b являются параллельными

Доказательство: Очевидно из первого признака параллельности прямых.
Теорема 10. Если при пересечении двух прямых а и b третей прямой с соответственные углы равны (одна пара), то такие прямые а и b являются параллельными

Доказательство: Очевидно из первого признака параллельности прямых.
Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойстваТеорема 11. Две прямые, параллельные третей, параллельны.

Доказательство: Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Допустим, что прямые a и b не па-раллельны. Тогда либо прямые a и b совпадают, что противоречит условию, либо пересекаются в не-которой точке S. Тогда через точку S проходит две прямые — a и b, параллельные прямой c, что противоречит IX аксиоме. Значит, исходное предположение не верно. Теорема доказана.
Теорема 11.1. Если параллельно одной из двух параллельных прямых провести третью прямую, вторая из этих прямых либо параллельна третьей, либо совпадает с ней.

Доказательство: Очевидно из теоремы 11 параллельности прямых.
Теорема 12. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и вторую.
Теорема 13. Отрезки параллельных прямых, заключенные между некой (иной) парой параллельных прямых, равны.
Теорема 14. (Теорема Фалеса) Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства
Доказательство: Пусть A1, A2, A3 — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла, и точка A2 лежит между точками A1 и A3. Пусть B1, B2, B3 — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если A1A2 = A2A3, то B1B2 = B2B3. Проведем через точку B2 прямую EF, параллельную прямой A1A3. Треугольники EB2B1 и FB2B3 равны по второму признаку равенства треугольников. У них стороны EB2 и FA2 равны по условию, углы B1B2E и B3B2F равны как вертикальные, а углы B1EB2 и B2FB3 равны как внутренние накрест лежащие при секущей EF. Значит, B1B2 = B2B3. Что и требовалось доказать.
Теорема 14.1.. Параллельные прямые, пересекая стороны угла, отсекают пропорциональные отрезки.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойстваТеорема 15. Две (и более) прямые, перпендикулярные третей прямой, параллельны.

Доказательство: Действительно, внутренние накрест лежащие углы равны 90°. Следовательно, по первому признаку параллельных прямых, эти прямые параллельны.
Теорема 16. Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.

Доказательство: Очевидно из теоремы 15.

Видео:Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Параллельные и перпендикулярные прямые

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Взаимное расположение прямых на плоскости.
  • Параллельные прямые.
  • Аксиома параллельных прямых.
  • Перпендикулярные прямые.
  • Расстояние от точки до прямой, между параллельными прямыми.

Параллельные прямые – две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Перпендикулярные прямые – две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют четыре прямых угла.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Вспомните, как могут располагаться на плоскости две прямые.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Углы, изображенные на рисунке:

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Накрест лежащие: 3 и 5; 4 и 6.

Соответственные: 1 и 5; 2 и 6; 3 и 8; 4 и 7.

Односторонние: 3 и 6; 4 и 5.

Признаки и свойства параллельных прямых.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Это признаки параллельности прямых. Обратные теоремы верны и представляют свойства параллельных прямых.

Способ построения параллельных прямых:

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойстваВзаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Если две прямые, пересекаясь, образуют четыре прямых угла, они называются перпендикулярными.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Прямые а и b на рисунке перпендикулярны: а ⏊ b.

Через каждую точку можно провести прямую, перпендикулярную данной и притом только одну.

Это можно сделать, пользуясь угольником или транспортиром.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Перпендикулярность и параллельность прямых.

Две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются т. е параллельны между собой.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Отрезок АВ, перпендикулярный к прямой а, называют перпендикуляром. Точка В – основание перпендикуляра.

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую и притом только один.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Длину перпендикуляра АВ называют расстоянием от точки А до прямой а.

Расстоянием между параллельными прямыми называют расстояние АВ от любой точки одной прямой до другой прямой.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

Разбор заданий тренировочного модуля.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

  1. Решение: ∠1 и ∠2 соответственные, по свойству параллельных прямых: ∠1 = ∠2 = 220°: 2 = 110°.
  2. ∠2 и ∠3 смежные, по свойству смежных углов: ∠2 + ∠3 = 180° значит, ∠3 = 180° – 110° = 70°.

№ 2. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Взаимное расположение прямых параллельные перпендикулярные прямые определение свойства

  1. Пусть ∠АОВ и ∠ВОС – смежные углы. ОК и ОР – их биссектрисы.
  2. ∠KOP = ∠КОВ + ∠ВОР. Поскольку ОК и ОВ – биссектрисы, то ∠КОВ = 1/2∠АОВ, ∠ВОР = 1/2∠ВОС по определению биссектрисы.
  3. Тогда ∠КОР = 1/2∠АОВ + 1/2∠ВОС = 1/2(∠АОВ + ∠ВОС) = 180° : 2 = 90°.
  4. Итак, ОК ⏊ ОР т. е. прямые перпендикулярны.

🌟 Видео

Перпендикулярность прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямых в пространстве. 10 класс.

Перпендикулярные прямыеСкачать

Перпендикулярные прямые

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

10 класс, 15 урок, Перпендикулярные прямые в пространствеСкачать

10 класс, 15 урок, Перпендикулярные прямые в пространстве

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№5 - Взаимное расположение прямых в пространстве.)

Лекция 2. Взаимное расположение прямых линий.Скачать

Лекция 2. Взаимное расположение прямых линий.

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Геометрия 7. Взаимное расположение прямых на плоскости. Перпендикулярные прямые. Примеры построения.Скачать

Геометрия 7. Взаимное расположение прямых на плоскости. Перпендикулярные прямые. Примеры построения.

Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

15. Перпендикулярные прямые в пространствеСкачать

15. Перпендикулярные прямые в пространстве
Поделиться или сохранить к себе: