Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Взаимно перпендикулярные хорды окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Взаимно перпендикулярные хорды окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Взаимно перпендикулярные хорды окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Взаимно перпендикулярные хорды окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Взаимно перпендикулярные хорды окружностиТеорема о бабочке

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьВзаимно перпендикулярные хорды окружности
КругВзаимно перпендикулярные хорды окружности
РадиусВзаимно перпендикулярные хорды окружности
ХордаВзаимно перпендикулярные хорды окружности
ДиаметрВзаимно перпендикулярные хорды окружности
КасательнаяВзаимно перпендикулярные хорды окружности
СекущаяВзаимно перпендикулярные хорды окружности
Окружность
Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругВзаимно перпендикулярные хорды окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусВзаимно перпендикулярные хорды окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаВзаимно перпендикулярные хорды окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрВзаимно перпендикулярные хорды окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяВзаимно перпендикулярные хорды окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяВзаимно перпендикулярные хорды окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеВзаимно перпендикулярные хорды окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыВзаимно перпендикулярные хорды окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныВзаимно перпендикулярные хорды окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиВзаимно перпендикулярные хорды окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыВзаимно перпендикулярные хорды окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыВзаимно перпендикулярные хорды окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыВзаимно перпендикулярные хорды окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиВзаимно перпендикулярные хорды окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныВзаимно перпендикулярные хорды окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиВзаимно перпендикулярные хорды окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыВзаимно перпендикулярные хорды окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Задание 25 В круге проведены две перпендикулярные хордыСкачать

Задание 25 В круге проведены две перпендикулярные хорды

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыВзаимно перпендикулярные хорды окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиВзаимно перпендикулярные хорды окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиВзаимно перпендикулярные хорды окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаВзаимно перпендикулярные хорды окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Пересекающиеся хорды
Взаимно перпендикулярные хорды окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Взаимно перпендикулярные хорды окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Взаимно перпендикулярные хорды окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Взаимно перпендикулярные хорды окружности
Пересекающиеся хорды
Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Видео:Урок 95. Теорема о взаимно перпендикулярных осяхСкачать

Урок 95. Теорема о взаимно перпендикулярных осях

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Тогда справедливо равенство

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ ДЛИНЫ ХОРДЫ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ДИАМЕТРУ ОКРУЖНОСТИ. Задачи | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ ДЛИНЫ ХОРДЫ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ДИАМЕТРУ ОКРУЖНОСТИ. Задачи | ГЕОМЕТРИЯ 7 класс

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Две хорды окружности взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние от точки их пересечения до центра окружности равно расстоянию между их серединами.

Пусть O — центр окружности, AB и CD — данные хорды, не являющиеся диаметрами, M и N — их середины, K — точка пересечения хорд. Прямая ON проходит через середину хорды CD, поэтому ON Взаимно перпендикулярные хорды окружностиCD, а т.к. AB Взаимно перпендикулярные хорды окружностиCD, то ON || AB. Аналогично докажем, что OM || CD. Следовательно, OM Взаимно перпендикулярные хорды окружностиON.

Из равенства прямоугольных треугольников OMK и KNO (по гипотенузе и острому углу) следует, что KN = MO, значит, прямоугольные треугольники KOM и NMO равны по двум катетам. Следовательно, OK = MN.

Пусть O — центр окружности, AB и CD — данные хорды, M и N — их середины, K — точка пересечения хорд. Четырёхугольник OMKN — прямоугольник, следовательно, его диагонали OK и MN равны между собой.

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства хорд

Видео:Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

свойства хорды в окружности

Свойство 1
1. Диаметр окружности CD, перпендикулярный хорде AB, делит хорду пополам, и наоборот: CD ? AB Взаимно перпендикулярные хорды окружностиAF = FB .

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Свойство 2
2. Равные хорды хорды находятся на равном расстоянии от центра окружности: AB = CD ? OE = OF .

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Свойство 3
3. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны между собой: AB || CD ? ? AC = ? BD .

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Свойство 4
4. Если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке S, то AS • SB = CS • SD .

Взаимно перпендикулярные хорды окружности

Свойство 5
5. Если хорда AB проходит через внутреннюю точку M круга радиуса R и расстояние до M от центра OM = d , то AM • MB = R 2 — d 2 .

📽️ Видео

Задача по геометрии из ОГЭ - пример решения задачиСкачать

Задача по геометрии из ОГЭ - пример решения задачи

Математика. Перпендикулярные хордыСкачать

Математика. Перпендикулярные хорды

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хордыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хорды

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

Общая хорда двух окружностейСкачать

Общая хорда двух окружностей

Задание 24 Две пересекающиеся окружностиСкачать

Задание 24 Две пересекающиеся окружности

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)Скачать

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС
Поделиться или сохранить к себе: