Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .
Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.
Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).
AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,
Складывая эти равенства, получим:
AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,
то справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству
и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).
Следовательно, справедливы равенства
из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:
Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Окружность не касается стороны BC .
В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:
- Точка K лежит между точками C и D (рис.5)
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
Примеры описанных четырёхугольников
Фигура | Рисунок | Утверждение |
Ромб | В любой ромб можно вписать окружность | |
Квадрат | В любой квадрат можно вписать окружность | |
Прямоугольник | В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом | |
Параллелограмм | В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом | |
Дельтоид | В любой дельтоид можно вписать окружность | |
Трапеция | В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований |
Ромб |
В любой квадрат можно вписать окружность
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Видео:Задание 9 ЕГЭ Информатика 2022 Excel. Разбор задачи 120 с сайта Полякова.Скачать
Как узнать, образуют ли четыре стороны четырехугольник?
Поэтому я пытаюсь создать программу, в которой вы вводите 4 значения (4 стороны четырехугольника), и это говорит вам, является ли это квадратом, ромбом и т.д. Проблема в том, что я не могу понять, как сделать программу работа со значениями, которые могут создавать четырехугольник. Например, если я ввожу 5, 5, 5, 5, он выводит это либо квадрат, либо ромб. Если я ввожу 100, 1, 1, 1, он выводит другой тип четырехугольника, но реально вы не можете получить четырехугольник со значениями, такими как 100, 1, 1 и 1. То же самое касается 9, 1, 1, 1. Есть ли любой способ убедиться, что эти значения выдают сообщение об ошибке?
Видео:Задание 9 ЕГЭ Информатика 2022 Excel. Разбор задачи 122 с сайта Полякова.Скачать
Выясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника
Откройте файл электронной таблицы, содержащей в каждой строке три натуральных числа.
Выясните, какое количество троек чисел может являться сторонами треугольника, то есть удовлетворяет неравенству треугольника. В ответе запишите только число.
Заметим, что неравенство треугольника точно будет выполняться, если длина наибольшей стороны треугольника будет меньше суммы длин других двух сторон. Тогда в ячейке D1 запишем формулу =МАКС(A1:C1) и скопируем её во все ячейки диапазона D2:D5000. В ячейке E1 запишем формулу =СУММ(A1:C1)-МАКС(A1:C1) и скопируем её во все ячейки диапазона E2:E5000. Таким образом, получим длину наибольшей стороны и сумму других двух сторон для каждой тройки чисел. После этого в ячейку F1 запишем формулу =ЕСЛИ(D1 Ответ: 2453.
💡 Видео
Задание 9 // ЕГЭ по информатике 2022Скачать
Задания 9-10 | ЕГЭ по информатике | ДЕМО-2023Скачать
Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
ОГЭ Задание 25 Свойства вписанного и описанного четырехугольникаСкачать
2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shortsСкачать
Информатика, КЕГЭ — Задание №9 (электронные таблицы)Скачать
11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать
Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать
Свойство описанного четырехугольника #огэ #математика #огэматематика #данирСкачать
Описанный четырехугольникСкачать
Вписанные и описанные четырехугольники | Дядя Артем | ОГЭ по математикеСкачать
Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать
Математика ОГЭ Задание 25 Признак описанного четырёхугольникаСкачать
Описанные четырехугольники. 9 класс.Скачать
#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать
Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать