Выясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

Выясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Выясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Выясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

Выясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Выясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника

Выясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Выясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника

Выясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбВыясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольникаВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратВыясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольникаВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникВыясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольникаВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммВыясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольникаВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидВыясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольникаВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияВыясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольникаВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
Выясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника
КвадратВыясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникВыясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммВыясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидВыясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника

ТрапецияВыясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Видео:Задание 9 ЕГЭ Информатика 2022 Excel. Разбор задачи 120 с сайта Полякова.Скачать

Задание 9 ЕГЭ Информатика 2022 Excel. Разбор задачи 120 с сайта Полякова.

Как узнать, образуют ли четыре стороны четырехугольник?

Поэтому я пытаюсь создать программу, в которой вы вводите 4 значения (4 стороны четырехугольника), и это говорит вам, является ли это квадратом, ромбом и т.д. Проблема в том, что я не могу понять, как сделать программу работа со значениями, которые могут создавать четырехугольник. Например, если я ввожу 5, 5, 5, 5, он выводит это либо квадрат, либо ромб. Если я ввожу 100, 1, 1, 1, он выводит другой тип четырехугольника, но реально вы не можете получить четырехугольник со значениями, такими как 100, 1, 1 и 1. То же самое касается 9, 1, 1, 1. Есть ли любой способ убедиться, что эти значения выдают сообщение об ошибке?

Видео:Задание 9 ЕГЭ Информатика 2022 Excel. Разбор задачи 122 с сайта Полякова.Скачать

Задание 9 ЕГЭ Информатика 2022 Excel. Разбор задачи 122 с сайта Полякова.

Выясните какое количество четверок чисел может являться сторонами описанного четырехугольника

Откройте файл электронной таблицы, содержащей в каждой строке три натуральных числа.

Выясните, какое количество троек чисел может являться сторонами треугольника, то есть удовлетворяет неравенству треугольника. В ответе запишите только число.

Заметим, что неравенство треугольника точно будет выполняться, если длина наибольшей стороны треугольника будет меньше суммы длин других двух сторон. Тогда в ячейке D1 запишем формулу =МАКС(A1:C1) и скопируем её во все ячейки диапазона D2:D5000. В ячейке E1 запишем формулу =СУММ(A1:C1)-МАКС(A1:C1) и скопируем её во все ячейки диапазона E2:E5000. Таким образом, получим длину наибольшей стороны и сумму других двух сторон для каждой тройки чисел. После этого в ячейку F1 запишем формулу =ЕСЛИ(D1 Ответ: 2453.

💡 Видео

Задание 9 // ЕГЭ по информатике 2022Скачать

Задание 9 // ЕГЭ по информатике 2022

Задания 9-10 | ЕГЭ по информатике | ДЕМО-2023Скачать

Задания 9-10 | ЕГЭ по информатике | ДЕМО-2023

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

ОГЭ Задание 25 Свойства вписанного и описанного четырехугольникаСкачать

ОГЭ Задание 25 Свойства вписанного и описанного четырехугольника

2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shortsСкачать

2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shorts

Информатика, КЕГЭ — Задание №9 (электронные таблицы)Скачать

Информатика, КЕГЭ — Задание №9 (электронные таблицы)

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольник

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Свойство описанного четырехугольника #огэ #математика #огэматематика #данирСкачать

Свойство описанного четырехугольника #огэ #математика #огэматематика #данир

Описанный четырехугольникСкачать

Описанный четырехугольник

Вписанные и описанные четырехугольники | Дядя Артем | ОГЭ по математикеСкачать

Вписанные и описанные четырехугольники | Дядя Артем | ОГЭ по математике

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

Математика ОГЭ Задание 25 Признак описанного четырёхугольникаСкачать

Математика ОГЭ Задание 25 Признак описанного четырёхугольника

Описанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Описанные четырехугольники. 9 класс.

#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать

#58. Олимпиадная задача о четырехугольнике

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: