Выяснить будет ли система векторов

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто проверить образует ли заданый набор векторов базис (проверить линейную независимость векторов).

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на определение образует ли заданый набор векторов базис и закрепить пройденый материал.

Видео:Линейная зависимость векторовСкачать

Калькулятор для проверки образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов)

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение векторов:

Инструкция использования калькулятора для проверки образуют ли вектора базис (проверки линейной независимости векторов)

• Для того чтобы проверить образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов) онлайн:
• выберите необходимую вам размерность пространства;
• введите значение векторов;
• Нажмите кнопку «Проверить образуют ли вектора базис» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для проверки образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов)

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора проверки образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов)

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Видео:Линейная зависимость и линейная независимость векторов.Скачать

Линейная зависимость системы векторов. Коллинеарные векторы

В данной статье мы расскажем:

• что такое коллинеарные векторы;
• какие существуют условия коллинеарности векторов;
• какие существуют свойства коллинеарных векторов;
• что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Коллинеарные векторы

Коллинеарные векторы — это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Видео:Линейная зависимость и линейная независимость. ТемаСкачать

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

• условие 1. Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
• условие 2. Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:

a = ( a 1 ; a 2 ) , b = ( b 1 ; b 2 ) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• условие 3. Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Видео:Линейная зависимость векторов. РангСкачать

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Исследуем векторы а = ( 1 ; 3 ) и b = ( 2 ; 1 ) на коллинеарность.

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ: a | | b

Какое значение m вектора a = ( 1 ; 2 ) и b = ( — 1 ; m ) необходимо для коллинеарности векторов?

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

Отсюда видно, что m = — 2 .

Ответ: m = — 2 .

Видео:Линейно зависимые векторы: как доказать?Скачать

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

a k — 1 ( a k — 1 a 1 ) e 1 + ( a k — 1 a k ) e k + . . . + ( a k — 1 a n ) e n = 0

— a k — 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k — 1 , k + 1 , n

β 1 e 1 + . . . + β k — 1 e k — 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = ( — β 1 ) e 1 + . . . + ( — β k — 1 ) e k — 1 + ( — β k + 1 ) e k + 1 + . . . + ( — β n ) e n

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k — 1 e k — 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k — 1 e k — 1 — e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Поскольку коэффициент вектора e k равен — 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

• Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
• Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.

Видео:Линейная зависимость и независимость систем векторовСкачать

Свойства линейно зависимых векторов

1. Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора — коллинеарны. Два коллинеарных вектора — линейно зависимы.
2. Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора — компланарны. (3 компланарных вектора — линейно зависимы).
3. Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Видео:Примеры линейной зависимости векторов.Скачать

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = — 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , — 1 , 1 на линейную независимость.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 — x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

1 1 0 | 0 1 2 — 1 | 0 1 0 1 | 0

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей — 1-ю:

1 1 0 | 0 1 — 1 2 — 1 — 1 — 0 | 0 — 0 1 — 1 0 — 1 1 — 0 | 0 — 0

1 1 0 | 0 0 1 — 1 | 0 0 — 1 1 | 0

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

1 — 0 1 — 1 0 — ( — 1 ) | 0 — 0 0 1 — 1 | 0 0 + 0 — 1 + 1 1 + ( — 1 ) | 0 + 0

0 1 0 | 1 0 1 — 1 | 0 0 0 0 | 0

Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми. ​​​​​​​

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Проверить образуют ли вектора базис онлайн калькулятор

Базисом в -мерном пространстве называется упорядоченная система из линейно-независимых векторов.

Введём также некоторые дополнительные понятия, необходимые для дальнейшего изложения.

, где &#x2212 некоторые числа и называется линейной комбинацией векторов .

Если существуют такие числа из которых хотя бы одно не равно нулю (например ) и при этом выполняется равенство:

, то система векторов &#x2212 является линейно-зависимой.

Если же указанное равенство выполняется лишь при условии, что все числа , тогда система векторов &#x2212 является линейно-независимой.

Базис может образовывать только линейно-независимая система векторов. Понятие линейной зависимости/независимости системы векторов, тесно связано с понятием ранга матрицы .

Наш онлайн калькулятор позволяет проверить образует ли система векторов базис. При этом калькулятор выдаёт подробное решение на русском языке.

📸 Видео

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Линейная зависимость векторов на примерахСкачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Доказать, что векторы линейно зависимыСкачать

Полная система векторовСкачать

Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Коллинеарность векторовСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

§44 Линейная независимость векторовСкачать