Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Длина окружности обозначается буквой C и вычисляется по формуле:

C = 2πR,
где Rрадиус окружности.

Содержание
  1. Вывод формулы, выражающей длину окружности
  2. Длина дуги окружности
  3. Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
  4. Основные определения и свойства
  5. Формулы для площади круга и его частей
  6. Формулы для длины окружности и её дуг
  7. Площадь круга
  8. Длина окружности
  9. Длина дуги
  10. Площадь сектора
  11. Площадь сегмента
  12. Длина окружности
  13. Как найти длину окружности через диаметр
  14. Как найти длину окружности через радиус
  15. Как вычислить длину окружности через площадь круга
  16. Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
  17. Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
  18. Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
  19. Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
  20. Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
  21. Задачи для решения

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Вывод формулы, выражающей длину окружности

Путь C и C’ — длины окружностей радиусов R и R’. Впишем в каждую из них правильный n-угольник и обозначим через Pn и P’n их периметры, а через an и a’n их стороны. Используя формулу для вычисления стороны правильного n-угольника an = 2R sin (180°/n) получаем: Pn = n · an = n · 2R sin (180°/n), P’n = n · a’n = n · 2R’ sin (180°/n). Следовательно, Pn / P’n = 2R / 2R’. (1) Это равенство справедливо при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n. Так как Pn → C, P’n → C’, n → ∞, то предел отношения Pn / P’n равен C / C’. С другой стороны, в силу равенства (1) этот предел равен 2R / 2R’. Таким образом, C / C’ = 2R / 2R’. Из этого равенства следует, что C / 2R = C’ / 2R’, т. е. отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой π («пи»). Из равенства C / 2R = π получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R: С = 2πR.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Длина дуги окружности

Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина l дуги в 1° равна 2πR / 360 = πR / 180. Поэтому длина l дуги окружности с градусной мерой α выражается формулой l = (πR / 180) · α.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Вывод формулы длины окружности с радиусом rОсновные определения и свойства. Число π
Вывод формулы длины окружности с радиусом rФормулы для площади круга и его частей
Вывод формулы длины окружности с радиусом rФормулы для длины окружности и ее дуг
Вывод формулы длины окружности с радиусом rПлощадь круга
Вывод формулы длины окружности с радиусом rДлина окружности
Вывод формулы длины окружности с радиусом rДлина дуги
Вывод формулы длины окружности с радиусом rПлощадь сектора
Вывод формулы длины окружности с радиусом rПлощадь сегмента

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьВывод формулы длины окружности с радиусом r
ДугаВывод формулы длины окружности с радиусом r
КругВывод формулы длины окружности с радиусом r
СекторВывод формулы длины окружности с радиусом r
СегментВывод формулы длины окружности с радиусом r
Правильный многоугольникВывод формулы длины окружности с радиусом r
Вывод формулы длины окружности с радиусом r
Окружность
Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаВывод формулы длины окружности с радиусом r

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругВывод формулы длины окружности с радиусом r

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторВывод формулы длины окружности с радиусом r

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментВывод формулы длины окружности с радиусом r

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникВывод формулы длины окружности с радиусом r

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Длина окружности и площадь кругаСкачать

Длина окружности и площадь круга

Формулы для площади круга и его частей

Вывод формулы длины окружности с радиусом r,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Вывод формулы длины окружности с радиусом r,

если величина угла α выражена в радианах

Вывод формулы длины окружности с радиусом r,

если величина угла α выражена в градусах

Вывод формулы длины окружности с радиусом r,

если величина угла α выражена в радианах

Вывод формулы длины окружности с радиусом r,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаВывод формулы длины окружности с радиусом r
Площадь сектораВывод формулы длины окружности с радиусом r
Площадь сегментаВывод формулы длины окружности с радиусом r
Площадь круга
Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Вывод формулы длины окружности с радиусом r,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораВывод формулы длины окружности с радиусом r

Вывод формулы длины окружности с радиусом r,

если величина угла α выражена в радианах

Вывод формулы длины окружности с радиусом r,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаВывод формулы длины окружности с радиусом r

Вывод формулы длины окружности с радиусом r,

если величина угла α выражена в радианах

Вывод формулы длины окружности с радиусом r,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Длина окружности. Площадь круга, 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга, 6 класс

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Вывод формулы длины окружности с радиусом r,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиВывод формулы длины окружности с радиусом r
Длина дугиВывод формулы длины окружности с радиусом r
Длина окружности
Вывод формулы длины окружности с радиусом r

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиВывод формулы длины окружности с радиусом r

если величина угла α выражена в радианах

Вывод формулы длины окружности с радиусом r,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)Скачать

Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)

Длина окружности

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Площадь круга. Математика 6 класс.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

из которой вытекает равенство:

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

из которой вытекает равенство:

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Видео:Теория 18. Вся атомная физика для ЕГЭ по физике 2024Скачать

Теория 18. Вся атомная физика для ЕГЭ по физике 2024

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

из которой вытекает равенство:

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

из которой вытекает равенство:

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Видео:Математика 6 класс (Урок№75 - Длина отрезка.)Скачать

Математика 6 класс (Урок№75 - Длина отрезка.)

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

Длина окружности

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

О чем эта статья:

6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Если вы не знаете, как обозначается длина окружности, то знак окружности выглядит вот так — l

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Как найти длину окружности через диаметр

Хорда — это отрезок, который соединяет две точки окружности.

Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Формула длины окружности через диаметр:

π— число пи — математическая константа, примерно равная 3,14

d — диаметр окружности

Видео:Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]Скачать

Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]

Как найти длину окружности через радиус

Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:

π — число пи, примерно равное 3,14

r — радиус окружности

Это две основные формулы для вычисления длины окружности. Ниже мы покажем еще несколько формул, которые вы сможете доказать самостоятельно, пользуясь основными формулами и свойствами геометрических фигур.

Видео:Вычисление формулы длины окружностиСкачать

Вычисление формулы длины окружности

Как вычислить длину окружности через площадь круга

Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

π — число пи, примерно равное 3,14

S — площадь круга

Видео:+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности

Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника

Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:

π — число пи, примерно равное 3,14

d — диагональ прямоугольника

Видео:Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр, хорда, дуга, сектор и длина окружности, площадь круга.Скачать

Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр, хорда, дуга, сектор и длина окружности, площадь круга.

Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата

Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:

π — математическая константа, примерно равная 3,14

a — сторона квадрата

Видео:ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия Атанасян

Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника

Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

π — математическая константа, она примерно равна 3,14

a — первая сторона треугольника

b — вторая сторона треугольника

c — третья сторона треугольника

S — площадь треугольника

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№23 - Длина окружности.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№23 - Длина окружности.)

Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника

Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.

Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.

Вывод формулы длины окружности с радиусом r

π — математическая константа, примерно равная 3,14

S — площадь треугольника

p — полупериметр треугольника

Видео:6 класс, 3 урок, Длина окружности и площадь кругаСкачать

6 класс, 3 урок, Длина окружности и площадь круга

Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника

Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.

Формула вычисления длины окружности:
Вывод формулы длины окружности с радиусом r

π — математическая константа, примерно равная 3,14

a — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Задачи для решения

Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:

Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.

Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:

Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна

Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм

Решение. Радиус окружности равен Вывод формулы длины окружности с радиусом rПодставим туда наши переменные и получим Вывод формулы длины окружности с радиусом r

Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.

Обучение на курсах по математике поможет закрепить полученные знания на практике.

Поделиться или сохранить к себе: