Высота пирамиды прямоугольный треугольник

Одной из объемных фигур, изучаемых в курсе пространственной геометрии, является пирамида. Важной характеристикой этой фигуры является ее высота. В статье дадим определение высоты пирамиды и приведем формулы, через которые она связана с другими линейными характеристиками.

Видео:№251. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. БоковыеСкачать

Что собой представляет пирамида

Под пирамидой понимают геометрическую фигуру пространственную, которая получается в результате соединения всех углов многоугольника с одной точкой пространства. Рисунок ниже демонстрирует расположение линий (ребер) для четырехугольной и пятиугольной пирамид.

Многоугольная грань фигуры называется ее основанием. Точка, где все треугольные грани соединяются, называется вершиной. Для определения высоты пирамиды отмеченные элементы являются важными.

Видео:Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Высота фигуры

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, который из ее вершины опущен на плоскость основания. Важно понимать, что из каждой вершины, принадлежащей основанию фигуры, тоже можно провести перпендикуляр к соответствующей треугольной грани, однако он высотой не будет являться. Высота пирамиды — это единственный перпендикуляр, который является одной из важных ее линейных характеристик.

Каждому школьнику известно, что любая плоская фигура обладает геометрическим центром (в физике ему соответствует центр масс). Например, геометрический центр для произвольного треугольника определяется точкой пересечения его медиан, для параллелограмма — точкой пересечения диагоналей. Если высота пирамиды пересекает ее основание в геометрическом центре, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая в основании многоугольник с одинаковыми сторонами и углами, называется правильной.

Рисунок выше показывает, чем отличается неправильная пирамида от правильной. Видно, что высота неправильной фигуры лежит за пределами ее основания, в то время как у правильной шестиугольной пирамиды высота находится внутри фигуры, пересекая ее основание в центре геометрическом.

Важными свойствами всех правильных пирамид являются следующие:

• все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники и равны друг другу;
• длины боковых ребер и апофем являются одинаковыми.

Видео:№244. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенузаСкачать

Формулы для высоты правильной пирамиды

Существует четыре основных линейных характеристики для любой пирамиды правильной:

• сторона основания;
• боковое ребро;
• апофема боковой грани;
• высота фигуры.

Все они связаны математически друг с другом. Обозначим длину стороны основания символом a, высоту — h, апофему — h_b и ребро — b. Формулы, которые эти величины связывают, имеют индивидуальный вид для соответствующей n-угольной пирамиды. Например, для правильной пирамиды четырехугольной высоту можно определить по формулам:

Эти формулы следуют из теоремы Пифагора при рассмотрении соответствующих прямоугольных треугольников внутри пирамиды.

Если рассматривается фигура с треугольным основанием, тогда справедливы следующие формулы для высоты правильной пирамиды:

Видео:Пирамиды, в которых высота проходит через центр описанной около основания окружностиСкачать

Решение задачи с шестиугольной пирамидой

Предположим, что нам дана пирамида правильная с шестиугольным основанием. Известно, что высота основания пирамиды равна 13 см. Зная, что длина ее бокового ребра равна 10 см, необходимо вычислить объем и высоту правильной шестиугольной пирамиды.

Рисунок ниже показывает, как выглядит правильный шестиугольник.

Расстояние между любыми его двумя параллельными сторонами называется высотой. Не сложно показать, что эта высота h_a связана с длиной стороны фигуры следующей формулой:

Подставляя в выражение значение h_a, находим, что сторона основания a равна 7,51 см.

Высоту h фигуры можно определить, если рассмотреть прямоугольный треугольник, находящийся внутри пирамиды и состоящий из двух катетов (высота пирамиды и половина диагонали шестиугольного основания) и гипотенузы (боковое ребро). Тогда значение h будет равно:

Объем пирамиды определяется как третья часть от произведения высоты фигуры на площадь ее основания. Площадь правильного шестиугольника равна:

S₆ = n/4*a 2 *ctg(pi/n) = 6/4*a 2 *ctg(pi/6) = 3*√3/2*a 2 = 3*√3/2*56,4 ≈ 146,53 см 2 .

Использованная для вычисления S₆ формула является универсальной для произвольного правильного n-угольника.

Для определения объема фигуры остается подставить в соответствующую формулу найденные параметры:

Мы получили значение высоты пирамиды и рассчитали ее объем. Таким образом, поставленная задача решена.

Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Как найти высоту в пирамиде: треугольной, четырехугольной, правильной

Высота основания в пирамиде – тема, на которую часто попадаются задачи на экзаменах и в старших классах. Решать такие задачи просто, если понимать принцип решения и знать формулы.

В нашей статье, вы без лишних формул и теории сможете понять, как решать задачи на нахождение высоты в пирамиде. Обратите внимание, что в разделе «формулы» отсутствуют все формулы правильной пирамиды, так как наша цель – научить решать задачи на нахождение высоты.

Содержание этой статьи:

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Теория

Правильная пирамида

Правильная пирамида имеет в основании многоугольник, а высота проходит через центр основания. Боковые грани – равнобедренные треугольники. Напомним, что в равнобедренном треугольнике две стороны равны, следовательно, боковые ребра в правильной пирамиде тоже равны. Многоугольник в основании правильный, т.е. его стороны равны.

Для решения задач понадобится знать теоремы равнобедренного треугольника:

Основные свойства

Четырехугольная пирамида

В основании – многоугольник; остальные грани – треугольники, соединяющиеся в общей вершине.

Треугольная пирамида

В качестве основания можно рассматривать любую грань. Вся фигура состоит из треугольников.

Необходимые знания для нахождения высоты

Когда теория закреплена, можно переходить к формулам.

Формулы для нахождения высоты

Запомните, что маленькая буква h – это апофема, а большая H – высота.

В некоторых задачах, высоту можно найти через объем:

ВИДЕО: Примеры решения задач

Нахождение высоты в правильной пирамиде

Нахождение высоты в правильной пирамиде

Ниже будут представлены текстовые решения часто встречающихся задач.

Треугольная пирамида

Задача 1

В правильной треугольной пирамиде DBAC с вершиной D биссектрисы треугольника BAC пересекаются в точке N. Площадь треугольника BAC равна 4; объем пирамиды равен 12. Найдите длину отрезка DN.

DN – высота, следовательно, объем фигуры можно выразить по формуле:

DN = 3V/S основания = 3*12/4 = 9

Задача 2

DBAC – медианы основания BAC. Они пересекаются в точке N. Площадь ΔBAC равна 18, V = 20; найдите высоту.

Пользуясь формулой объема, получается:

DN = 3V/S ΔBAC = 3*36/18 = 108/18 = 6

Четырехугольная пирамида

Задача 1

Найдите высоту пирамиды, если ML = 10, а DC = 12. В основании квадрат.

ML – это апофема, сторона нам известна, следовательно, можно применить формулу для нахождения OL:

Известно, что MOL – прямоугольный угол. Применим теорему Пифагора:

MO ² = √ML ² — √OL ² = √100- √36 = √64

Задача 2

Известно, что диагональ AC = 20, ML = 10, а сторона DC = 12; найдите MO правильной четырехугольной пирамиды.

Найдем OL

В основании фигуры – квадрат, стороны и углы которого равны. Значит, половина диагонали = 10. Рассмотрим треугольник LOC, он – прямоугольный. Из исходных данный ясно, что LC = 6 (в равнобедренном треугольнике, высота, проведенная из вершины, делит основание на 2 равные части – это свойство р/б треугольника).

Пользуясь теоремой Пифагора, находим OL:

OL² = √OC² — √LC² = √100 – √36 = √64 = 8

Задача 3

Ищем MO

Пользуясь той же теоремой, находим высоту:

MO² = √ML² – √OL² = 100 – 64 = 36

Задача 4

Известно, что в основании ABCD, AB=CD=BC=AD. Треугольник DMC имеет площадь 36см, DC = 4, OL = 6. Определите тип фигуры и найдите высоту.

Исходя из информации про основание, мы сделали вывод, что перед нами правильная пирамида – стороны основания равны. Следовательно, перед нами четырехугольная правильная пирамида.

Из первого вывода следует, что боковые грани – равнобедренные треугольники, а высота и медиана этих треугольников – апофема. Пользуясь формулами, найдем высоту.

Площадь равнобедренного треугольника

Теперь у нас есть апофема, а OL нам было уже давно. MOL – прямоугольный треугольник, 2 стороны которого, мы уже знаем. Следовательно, мы можем посчитать высоту.

MO = ML – OL = 18 – 6 = 12

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Часто задаваемые вопросы

Часто в задании не указывают какой тип фигуры, чтобы человек сам догадался и применил нужные формулы. Понять какой тип фигуры легко – начните решение задачи с рассмотрения основания и заучивания свойств фигуры.

Зная определения и свойства, определить тип фигуры очень легко.

Чтобы решать задачи, человек должен включать логику, а не подставлять исходные числа в знакомые формулы. С этим расчетом, в некоторых задачах умышленно добавляют лишние данные, которые могут даже не использоваться при решении. Чаще такое встречается в задачах на ЕГЭ.

Для удобства, человек может не выделять отдельно высоту, а сразу писать, например, BE (если B – вершина, а E – основание). То же с апофемой. Важно, чтобы сам человек осознавал, что это за линия и как ее использовать в решении.

Ключ к пониманию стереометрии – умение визуализировать объекты в пространстве. Если в дополнение к этому умению, знать формулы, свойства и теорию – задачи будут решаться быстро и безошибочно.

Если выразить высоту через формулу объема, то получится следующее:

Пример: объем пирамиды равен 70 куб. см., а площадь боковых граней – 30см²

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Типичные ошибки на ЕГЭ

Видео:Нахождение высоты в правильной пирамидеСкачать

Полезные советы

• Если в задаче указан объем – ищите высоту через него.
• Делите равнобедренные треугольники на прямоугольные – так быстрее и проще решить задачу.
• Учите квадратные корни чисел – так, вы будете быстрее справляться с теоремой Пифагора.
• Не кидайтесь сразу к решению – изучите исходные данные и сделайте правильные выводы.
• Если в заданиях получаются слишком крупные числа (от 1000), то перепроверьте решение – вероятно, вы допустили ошибку. В заданиях в учебнике и на экзамене практически не используются крупные числа.

Чтобы успешно решить задачу для нахождения высоты пирамиды, достаточно знать теорию и формулы. Добавив к своим знаниям немного практики и внимательности, вы легко и быстро будете решать подобные задачи! Если вы не согласны с рейтингом статьи, то просто поставьте свои оценки и аргументируйте их в комментариях. Ваше мнение очень важно для наших читателей. Спасибо!

Видео:КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

Пирамида. Прямоугольная пирамида. Правильная пирамида. Объем пирамиды. Тетраэдр

Факт 1. Про произвольную пирамиду (PA_1A_2. A_n)
(bullet) Многоугольник (A_1. A_n) – основание;
треугольники (PA_1A_2, PA_2A_3) и т.д. – боковые грани;
точка (P) – вершина;
отрезки (PA_1, PA_2, . A_1A_2) и т.д. – ребра.
(bullet) Если в основании пирамиды лежит треугольник, то она называется (<color<<small>>>) .
(bullet) (<color<<small>>>) — это треугольная пирамида, все грани которой – равносторонние треугольники.
(bullet) Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины (P) к основанию.
(bullet) (<color<<small>>>) [<color<<large<V=dfracS_<text>h>>>>] где (S_<text>) – площадь основания, (h) – высота пирамиды.
(bullet) Площадь боковой поверхности – сумма площадей всех боковых граней.
Площадь полной поверхности – сумма площади боковой поверхности и площади основания.

(bullet) Заметим, что принято записывать название пирамиды, начиная с вершины.

Факт 2. Про прямоугольную пирамиду
(bullet) Пирамида называется прямоугольной, если одно из ее боковых ребер ( (SR) ) перпендикулярно основанию (оно же будет и высотой).
(bullet) Грани, образованные этим ребром, будут представлять собой прямоугольные треугольники ( (triangle SMR, triangle SPR) ).

Факт 3. Про правильную пирамиду
(bullet) Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник (все углы равны и все стороны равны) и выполнено одно из эквивалентных условий:

(sim) боковые ребра равны;
(sim) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;
(sim) боковые ребра наклонены к основанию под одинаковым углом.
(bullet) Заметим, что у правильных многоугольников центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

(bullet) Заметим, что у правильной пирамиды все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Высота этих треугольников, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой.

📺 Видео

Найти объем правильной треугольной пирамидыСкачать

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать

Задание 2 Как найти высоту в треугольной пирамидеСкачать

🔴 В основании прямой призмы лежит прямоугольный ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Прямоугольный треугольник Полное досьеСкачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

№246. Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведеннаяСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формулаСкачать

№576. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делитСкачать