Две окружности пересекаются в точках прямая проходящая
Обновлено
Поделиться
Две окружности пересекаются в точках A и В. Прямая, проходящая через А, вторично пересекает данные окружности в точках С и D. Докажите, что все получающиеся таким
Видео:Геометрия Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этихСкачать
Ваш ответ
Видео:Две окружности пересекаются в точках A и B Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностеСкачать
Похожие вопросы
Все категории
экономические 43,279
гуманитарные 33,618
юридические 17,900
школьный раздел 606,962
разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Видео:Геометрия Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второйСкачать
Две окружности пересекаются в точках прямая проходящая
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.
б) Найдите отношение CP : PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.
а) Обозначим ∠BAD = ∠PAB = α. Поскольку ABQP и CDPQ — вписанные четырёхугольники:
Значит, ∠BAD + ∠ADC = 180°, и поэтому AB || CD. Противоположные стороны четырёхугольника ABCD попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.
б) Пусть R — радиус второй (меньшей) окружности. Тогда радиус большей окружности равен 3R. По теореме синусов:
Ответ : CP : PB = 1 : 3.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
ЕГЭ 2017 Вариант №4 (№16)
Две окружности пересекаются в точках P и Q . Прямая, проходящая через точку P , второй раз пересекает первую окружность в точке A , а вторую – в точке D . Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD , второй раз пересекает первую окружность в точке B , а вторую – в точке C .
А) Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.
Б) Найдите отношение BP : PC , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.
1.Четырёхугольники ABQP и PDCQ – трапеции (т.к прямые AD ∥ BC по условию). Учитывая, что четырёхугольники вписаны в окружности, следует что они являются равнобедренными т.е. AB = QP и PQ = DC AB = DC .
2.У равнобедреннытрапеций углы при основаниях равны: ∠ BAC + ∠ APQ , ∠ PQC = ∠ QCD , а ∠ APQ = ∠ PQC как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей PQ , то ∠ BAP = ∠ QCD (по закону транзитивности) зничит ∠ BAP + ∠ ABQ = ∠ QCD + ∠ ABQ = 180 0 . Если сумма односторонних углов при прямых AB и DC и секущей BC равна 180 0 то ( по признаку параллельности прямых) AB ∥ DC . По определению, четырёхугольник у которого противолещащие стороны лежат на параллельных прямых называется параллелограммом. Значит ABCD – параллелограмм, что требовалось доказать.
б) Окружности описанные около четырёхугольников ABQP и PDCQ , можно рассмотреть, как окружности описанные около треугольников ∆ BQP и ∆ PCQ .
Пусть ∠ BQP =, тогда ∠ PQC = 180 0 — . По формулам приведения sin (180 0 — sin
Так как для любого треугольника отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности (следствие из теоремы синусов), то : = (2 R 1 ) : (2 R 2 ) , т.е. = = т.к. по условию радиус первой окружности в два раза больше радиуса второй.
ЕГЭ 2017 Вариант №5 (№16)
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE BFKC . Точка M – середина стороны .
а)Докажите, что CM = DK
б)Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 6, BC = 10 и ∠ ACB = 30 0 .
1.Проведу луч CM , и на его продолженииотложу отрезок MC 1 = CM . Четырёхугольник AC 1 BC параллелограммм (т.к. диагонали точкой пересечения делятся пополам: медиана по условию)
2. BC = b , AC = a , ∠ ABC = ∠ C 1 BP = ( ∠ ABC = ∠ C 1 BP соответственные углы при параллельных прямых BC 1 и AC и секущей BC )
∠ С 1 BC = 360 0 — 180 0 — = 180 0 —
∠ KCD = 360 0 — 90 0 — — 90 0 = 180 0 — , т.е.
∠ С 1 BC = ∠ RCD , BC 1 = AC = a = CD , BC = CK = b треугольники ∆ С 1 BC и ∆ KCD равны по второму признаку равенства треугольников KD = C 1 C , MC = CC 1 = KD что и требовалось доказать.
б) 1.Рассмотрю треугольник ∆ ABC . По теореме косинусов AB 2 = AC 2 + BC 2 — 2 AC * BC cos 30 0 ,
AB 2 = 36+100 – 2*6*10 * = 136 — 60, AB =.
2. Рассмотрю ∆ MBO 1 : BO 1 = BK = , MB= cos ∠ O 2 AM = cos( ∠ MAC +45 0 ) =cos45 0 cos ∠ MB -sin 45 0 sin ∠ MBC= (cos ∠ MBC — из ∆ MBC cos ∠ MBC= = = =
sin ∠ MBC =, т . к . . MC=
3. Рассмотрю ∆ MAO 2 : AO 2 = AD = , MA
cos ∠ O 2 AM= cos( ∠ MAC +45 0 ) =cos45 0 cos ∠ MAC -sin 45 0 sin ∠ MAC= (cos ∠ MAC — из ∆ MAC cos ∠ MAC= = = =
ЕГЭ Ларин. Вариант №101 №16
В остроугольном треугольнике АВС высоты АА 1 и СС 1 пересекаются в точке О.
А) Докажите, что треугольники АОС и С 1 ОА 1 подобны.
Б) Найдите площадь четырехугольника АСА 1 С 1 , если известно, что угол АВС равен 30 о , а площадь треугольника АВС равна 80.
1. Рассмотрю ∆ COA 1 и ∆ AOC 1 . Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников (по углам), так как ∠ COA 1 = ∠ AOC 1 — как вертикальные, ∠ OA 1 C = ∠ OC 1 A = 90 0 . Из подобия треугольников ( по определению подобия треугольников) пропорциональность соответствующих сторон: = =.
По свойству пропорции из равенства = ⟹ = ( если поменять в верной пропорции крайние)
2. Т.к. = и ∠ AOC = ∠ A 1 OC 1 то треугольники АОС и С 1 ОА 1 подобны по второму признаку подобия треугольников (по пропорциональности двух сторон и равенству углов между этими сторонами). Ч.т.д.
б) По условию задачи S ∆ABC = 80. S ∆ABC = AB * CC 1 = BC * AA 1 = AB * BC * sin 30 0 .
Из ∆ AA 1 B AA 1 = AB , из ∆ CC 1 B CC 1 BC — катеты прямоугольных треугольников лежащих напротив угла в 30 0 ,
из ∆ AA 1 B BA 1 = BA*cos 30 0 = BA
из ∆ CC 1 B BC 1 = BC*cos 30 0 = ⟹ S ∆A1BC1 = A 1 B*BC 1 *sin 30 0 =
