Две окружности пересекаются в точках прямая проходящая
Обновлено
Поделиться
Две окружности пересекаются в точках A и В. Прямая, проходящая через А, вторично пересекает данные окружности в точках С и D. Докажите, что все получающиеся таким
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Две окружности пересекаются в точках прямая проходящая
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.
б) Найдите отношение CP : PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.
а) Обозначим ∠BAD = ∠PAB = α. Поскольку ABQP и CDPQ — вписанные четырёхугольники:
Значит, ∠BAD + ∠ADC = 180°, и поэтому AB || CD. Противоположные стороны четырёхугольника ABCD попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.
б) Пусть R — радиус второй (меньшей) окружности. Тогда радиус большей окружности равен 3R. По теореме синусов:
Ответ : CP : PB = 1 : 3.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Решение задач по геометрии ЕГЭ №16
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
ЕГЭ 2017 Вариант №4 (№16)
Две окружности пересекаются в точках P и Q . Прямая, проходящая через точку P , второй раз пересекает первую окружность в точке A , а вторую – в точке D . Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD , второй раз пересекает первую окружность в точке B , а вторую – в точке C .
А) Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.
Б) Найдите отношение BP : PC , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.
1.Четырёхугольники ABQP и PDCQ – трапеции (т.к прямые AD ∥ BC по условию). Учитывая, что четырёхугольники вписаны в окружности, следует что они являются равнобедренными т.е. AB = QP и PQ = DC AB = DC .
2.У равнобедреннытрапеций углы при основаниях равны: ∠ BAC + ∠ APQ , ∠ PQC = ∠ QCD , а ∠ APQ = ∠ PQC как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей PQ , то ∠ BAP = ∠ QCD (по закону транзитивности) зничит ∠ BAP + ∠ ABQ = ∠ QCD + ∠ ABQ = 180 0 . Если сумма односторонних углов при прямых AB и DC и секущей BC равна 180 0 то ( по признаку параллельности прямых) AB ∥ DC . По определению, четырёхугольник у которого противолещащие стороны лежат на параллельных прямых называется параллелограммом. Значит ABCD – параллелограмм, что требовалось доказать.
б) Окружности описанные около четырёхугольников ABQP и PDCQ , можно рассмотреть, как окружности описанные около треугольников ∆ BQP и ∆ PCQ .
Пусть ∠ BQP =, тогда ∠ PQC = 180 0 — . По формулам приведения sin (180 0 — sin
Так как для любого треугольника отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности (следствие из теоремы синусов), то : = (2 R 1 ) : (2 R 2 ) , т.е. = = т.к. по условию радиус первой окружности в два раза больше радиуса второй.
ЕГЭ 2017 Вариант №5 (№16)
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE BFKC . Точка M – середина стороны .
а)Докажите, что CM = DK
б)Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 6, BC = 10 и ∠ ACB = 30 0 .
1.Проведу луч CM , и на его продолженииотложу отрезок MC 1 = CM . Четырёхугольник AC 1 BC параллелограммм (т.к. диагонали точкой пересечения делятся пополам: медиана по условию)
2. BC = b , AC = a , ∠ ABC = ∠ C 1 BP = ( ∠ ABC = ∠ C 1 BP соответственные углы при параллельных прямых BC 1 и AC и секущей BC )
∠ С 1 BC = 360 0 — 180 0 — = 180 0 —
∠ KCD = 360 0 — 90 0 — — 90 0 = 180 0 — , т.е.
∠ С 1 BC = ∠ RCD , BC 1 = AC = a = CD , BC = CK = b треугольники ∆ С 1 BC и ∆ KCD равны по второму признаку равенства треугольников KD = C 1 C , MC = CC 1 = KD что и требовалось доказать.
б) 1.Рассмотрю треугольник ∆ ABC . По теореме косинусов AB 2 = AC 2 + BC 2 — 2 AC * BC cos 30 0 ,
AB 2 = 36+100 – 2*6*10 * = 136 — 60, AB =.
2. Рассмотрю ∆ MBO 1 : BO 1 = BK = , MB= cos ∠ O 2 AM = cos( ∠ MAC +45 0 ) =cos45 0 cos ∠ MB -sin 45 0 sin ∠ MBC= (cos ∠ MBC — из ∆ MBC cos ∠ MBC= = = =
sin ∠ MBC =, т . к . . MC=
3. Рассмотрю ∆ MAO 2 : AO 2 = AD = , MA
cos ∠ O 2 AM= cos( ∠ MAC +45 0 ) =cos45 0 cos ∠ MAC -sin 45 0 sin ∠ MAC= (cos ∠ MAC — из ∆ MAC cos ∠ MAC= = = =
ЕГЭ Ларин. Вариант №101 №16
В остроугольном треугольнике АВС высоты АА 1 и СС 1 пересекаются в точке О.
А) Докажите, что треугольники АОС и С 1 ОА 1 подобны.
Б) Найдите площадь четырехугольника АСА 1 С 1 , если известно, что угол АВС равен 30 о , а площадь треугольника АВС равна 80.
1. Рассмотрю ∆ COA 1 и ∆ AOC 1 . Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников (по углам), так как ∠ COA 1 = ∠ AOC 1 — как вертикальные, ∠ OA 1 C = ∠ OC 1 A = 90 0 . Из подобия треугольников ( по определению подобия треугольников) пропорциональность соответствующих сторон: = =.
По свойству пропорции из равенства = ⟹ = ( если поменять в верной пропорции крайние)
2. Т.к. = и ∠ AOC = ∠ A 1 OC 1 то треугольники АОС и С 1 ОА 1 подобны по второму признаку подобия треугольников (по пропорциональности двух сторон и равенству углов между этими сторонами). Ч.т.д.
б) По условию задачи S ∆ABC = 80. S ∆ABC = AB * CC 1 = BC * AA 1 = AB * BC * sin 30 0 .
Из ∆ AA 1 B AA 1 = AB , из ∆ CC 1 B CC 1 BC — катеты прямоугольных треугольников лежащих напротив угла в 30 0 ,
из ∆ AA 1 B BA 1 = BA*cos 30 0 = BA
из ∆ CC 1 B BC 1 = BC*cos 30 0 = ⟹ S ∆A1BC1 = A 1 B*BC 1 *sin 30 0 =
