Вычислить вдоль окружности в положительном направлении (8 видео)

Примеры решений задач по теории поля

В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа по векторному анализу (теории поля):

Содержание

Примеры: базовые понятия теории поля
Поток поля через поверхность
Циркуляция векторного поля
Работа векторного поля
Типовой расчет по теории поля
Помощь с решением заданий
Циркуляция векторного поля. Ротор вектора. Теорема Стокса
Пример 3:
Правила вычисления ротора
Помощь в написании монографии
🎦 Видео

Видео:Формула Остроградского - ГринаСкачать

Примеры: базовые понятия теории поля

Задача 1. Проверить, что поле $f=(3x+y^2)i+2xy j$ потенциально и восстановить потенциал.

Задача 2. Найти дивергенцию и ротор векторного поля $overline=(3x-y) overline+(6z+5x) overline$

Задача 4. Вычислить потенциальную функцию векторного поля

Видео:Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого родаСкачать

Поток поля через поверхность

Видео:Формула ГринаСкачать

Циркуляция векторного поля

с помощью формулы Стокса и непосредственно (положительным направлением обхода контура считать то, при котором точка перемещается по часовой стрелке, если смотреть из начала координат).

Задача 12. Найти циркуляцию вектора $F$ вдоль ориентированного контура $L$. $$ overline = (3x-1) overline+ (y-x+z)overline+4z overline, $$ $L$ — контур треугольника $ABCA$, где $A,B,C$ точки пересечения плоскости $2x-y-2z+2=0$ соответственно с осями координат $Ox, Oy, Oz$.

Видео:Непосредственное вычисление циркуляцииСкачать

Работа векторного поля

Задача 13. Найдите работу векторного поля $A=(2xy-y; x^2+x)$ по перемещению материальной точки вдоль окружности $x^2+y^2=4$ из $M (2; 0)$ в $К(-2; 0)$.

Задача 14. Вычислить работу векторного поля силы $overline = xz overline -overline+y overline$ при движении материальной точки по пути $L: x^2+y^2+z^2=4$, $z=1 (y ge 0)$ от точки $M(sqrt(3);0;1)$ до точки $N(-sqrt(3);0;1)$.

Видео:Формула ГринаСкачать

Типовой расчет по теории поля

Задание 15.
А) Найти поток векторного поля $F$ через внешнюю поверхность пирамиды, отсекаемой плоскостью $(p)$ двумя способами: непосредственно и по формуле Гаусса-Остроградского.
Б) Найти циркуляцию вектора $F$ по контуру треугольника двумя способами: по определению и по формуле Стокса.

$$ overline = z overline+ (x+y)overline+y overline, quad (p): 2x+y+2z=2. $$

Видео:Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго родаСкачать

Помощь с решением заданий

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 150 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Видео:Криволинейный интеграл II рода вдоль плоской кривойСкачать

Циркуляция векторного поля. Ротор вектора. Теорема Стокса

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Пусть в некоторой области G задано непрерывное векторное поле а ) к и замкнутый ориентированный контур L. Определение 1. Циркуляцией вектора а по замкнутому контуру L называется криволинейный интеграл 2-го рода от оектора а по контуру L Здесь dr — вектор, длина которого равна дифференциалу дуги L, а направление совпадаете направлением касательной к L, оп- Рис. 31 ределяемымориентацией контура (рис. 31); символ f означает, что интеграл берется по зам1«угому контуру L. ь

Пример 1. вычислить циркуляцию векторного поля вдоль эллипса L: По определению циркуляции имеем Параметрические уравнения данного эллипса имеют вид: , и, значит, . Подставляя эти выражения в формулу (2), найдем Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора 8.1.

Ротор (вихрь) векторного поля Рассмотрим поле вектора Р, Q, R которого непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем своим аргументам. Огределенив 2. Ротором вектора »(М) называется вектор, обозначаемый символом rot а и определяемый равенством или, в символической, удобной для запоминания форме, Этот определитель раскрывают по элементам первой строки, при этом операции умножения элементов второй строки на элементы третьей строки понимаются как операции дифференцирования, например,

Определение 3. Если в некоторой области G имеем rot а = 0, то поле вектора а в области G называете я безвихревым. Пример 2. Найти ротор вектора 4 Согласно формуле (3) имеем Так как rot а — вектор, то мы можем рассматривать векторное поле — поле ротора вектора а. Предполагая, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные второго порядка, вычислим дивергенцию вектора rot а. Получим Таким образом, поле вектора rot а соленоида л ьно.

Теорема 7 (Стокса). Циркуляция вектора а вдоль ориентированного замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность Е, натянутую на контур L, При этом предполагается, что координаты вектора а имеют непрерывные частные производные в некоторой области G пространства, содержащей поверхность Е, и что ориентация орта нормали п° к поверхности ЕС G согласована с ориентацией контура L так, что из конца нормши обход контура в заданном направлении виден совершающимся против часовой стрелки.

Учитывая, что , и пользуясь определением ротора (3), перепишем формулу (4) в следующем виде: Рассмотрим сначала случай, когда гладкая поверхность Е и ее контур L однозначно проектируются на область D плоскости хОу и ее границу — контур А соответственно (рис. 32). Ориентация контура L порождает определенную ориентацию контура А. Для определенности будем считать, что контур L ориентирован так, что поверхность Е остается слева, так что веетор нормали п к поверхности Е составдя етсосью Oz острый угол 7 (cos 7 >0).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пусть — уравнение поверхности Е и функция ф(х>у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные gf и ^ в замкнутой области D.

Рассмотрим интеграл Линия L лежит на поверхности Е. Поэтому, пользуясь уравнением этой поверхности , мы можем заменить г под знаком интеграла на ^(ж, у). Координаты перемсннойточки кривой А равны координатам соответствующей точки на кривой L, а потому интегрирование по L можно заменить интегрированием по А, Применим к интегралу, стоящему справа, формулу Грина.

Имеем Перейдем теперь от интеграла по области D к интегралу по поверхности Е. Так как dS = cos 7 • da, то из формулы (8) получим, что Вектор нормали п° к поверхности Е определяется выражением к. Отсюда видно, что . Поэтому равенсгво (9) можно переписать так: Считая Е гладкой поверхностью, однозначно проектирующейся на все три координатные плоскости, аналогично убеждаемся в справедливости формул Циркуляция векторного поля.

Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля Правила вычисления ротора Складывая равенства почленно, получим формулу Стокса (5), или, короче, Замечание 1. Мы показали, что поле вектора rote — соленоидальное, и потому поток вектора rota не зависит от вида поверхности Е, натянутой на контур L. Замечание 2. Формула (4) выведена в предположении, что поверхность £ однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Бели это условие не выполнено, то разбиваем £ на частя так, чтобы каждая часть указанному условию удовлетворяла, а затем пользуемся аддитивностью интегралов.

Пример 3:

Вычислить циркуляцию вектора по линии 1) пользуясь определением; 2) по теореме Стокса. 4 1) Зададим линию L параметрически: Тогда 2) Найдем rota: Натянем на контур L кусок плосхости Тогда . Инвариантное определение ротора поля Из теоремы Стокса можно получить инвариантное определение ротора поля, не связанное с выбором системы координат. Теорема 8.

Проекция ротора а на любое направление не зависит от выбора системы координат и равна поверхностной плотности циркуляции вектора а по контуру площадки, перпендикулярной этому направлению, Здесь (Е) — плоская площадка, перпендикулярная вектору л; 5 — площадь этой площадки; L — контур площадки, ориентированный так, чтобы обход контура был виден из конца вектора п против хода часовой стрелки; (Е) М означает, что площадка (Е) стягивается к точке М, в которой рассматривается вектор rot а, причем вектор нормали п к этой площадке остается все время одним и тем же (рис. 33). 4

Применим сначала к циркуляции (a,dr) вектора а теорему Стокса, а затем к полученному двойному интегралу — теорему о среднем значении: откуда (скалярное произведение берется в некоторой средней точке Мф площадки (Е)). Пристягивании площадки (Е) кточке М средняяточка Л/ср тоже стремится кточ-ке М и, в силу предполагаемой непрерывности частных производных от координат вектора а (а значит, и непрерывности rot а), мы получаем Поскольку проекция вектора rot а на произвольное направление не зависитотвы-бора системы координат,то и сам вектор rota инвариантен относительно этого выбора.

Отсюда получаем следующее инвариантное определение ротора поля: ротор поля есть вектор, длина которого равна наибольшей поверхностной плотности циркуляции в данной точке, направленный перпендикулярно той площадке, на которой эта наибольшая плотность циркуляции достигается; при этом ориентация вектора rota согласуется с ориентацией контура, при которой циркуляция положительна, по правилу правого винта. 8.3.

Физический смысл ротора поля Пустьтвердое

тело вращается вокруг неподвижной оси I с угловой скоростью и. Не нарушая общности, можно считать, что ось I совпадает с осью Oz (рис. 34). Пусть М(г) — изучаемая точка тела, где Вектор угловой скорости в нашем случае равен из = wk, вычислим вектор v линейной скорости точки М, Отсюда Циркуляция векторного поля. Ротор вектора Теорема Стокса Ротор (вихрь) векторного поля Инвариантное определение ротора поля Физический смысл ротора поля.

Правила вычисления ротора

Итак, вихрь поля скоростей вращающегося твердого тела одинаков во всех точках поля, параллелен оси вращения и равен удвоенной угловой скорости вращения. 8.4. Правила вычисления ротора 1. Ротор постоянного вектора с равен нулевому вектору, 2. Ротор обладает свойством линейности постоянные числа. 3. Ротор произведения скалярной функции и<М) на векторную а(М) вычисляется по формуле

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:ТФКП. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой. Дуга окружности.Скачать

Помощь в написании монографии

Пример 5. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру l, образованному пересечением поверхностей и . Проверить результат с помощью формулы Стокса.

▲ Пересечением указанных поверхностей (см. пример 4) является окружность . Направление обхода контура выбираем так, чтобы ограниченная им область G (круг) оставалась слева. Запишем параметрические уравнения контура (окружности) . По формулам (9.20) и (9.15) получаем

Применим теперь формулу Стокса (9.21). При возрастании параметра t от 0 до 2 p движение по окружности происходит против часовой стрелки относительно единичного вектора . Ротор данного векторного поля находим по формуле (9.18)

Скалярное произведение вектора на вектор

Поэтому искомая циркуляция (9.21)

что совпадает со значением циркуляции, полученным непосредственным вычислением.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое интегральная сумма?

2. Что называется двойным интегралом от функции по области X? Укажите его геометрический смысл.

3. Сформулируйте теоремы о двойном интеграле от суммы и вынесении постоянного множителя за знак двойного интеграла.

4. Напишите формулы, выражающие линейность и аддитивность двойных интегралов.

5. Сформулируйте теорему о формуле среднего значения для двойного интеграла, аналогичную теореме для определенного интеграла.

6. Что называется повторным интегралом от функции по области X? Как он вычисляется?

7. Сведите двойной интеграл к повторному интегралу двумя способами, если G − круг, ограниченный окружностью

8. Что называется тройным интегралом от функции по пространственной области ?

9. Что называется трехкратным интегралом от функции по области V? Как он вычисляется?

10. Напишите формулы, выражающие линейность и аддитивность тройных интегралов.

11. Сформулируйте теорему о среднем для тройного интеграла.

12. Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла 1-го рода; б) предела интегральных сумм.

13. Что называется криволинейным интегралом по координатам? Сформулируйте известные вам свойства криволинейного интеграла.

14. Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла 2-го рода; б) предела интегральных сумм.

15. Что называется криволинейным интегралом по длине дуги плоской кривой?

16. Как вычисляется криволинейный интеграл по кривой, заданной уравнением ?

17. Какое направление обхода замкнутой кривой принимают за положительное направление?

18. Каков смысл обозначения ?

19. Сформулируйте теорему о связи между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода.

20. Сформулируйте свойства линейности и аддитивности криволинейных интегралов 2-го рода.

21. Напишите формулу Грина и сформулируйте условия, при которых она верна.

22. Выведите формулу для вычисления площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла.

23. Что означает утверждение: «Криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования»?

24. Что означает утверждение: «Выражение является полным дифференциалом в области G?

25. Дайте определение односвязной области на плоскости.

26. Что называется поверхностным интегралом? Напишите формулы для его вычисления.

27. Сформулируйте понятие векторного поля.

28. Дайте определение поверхности: а) двусторонней; б) односторонней; в) ориентированной.

29. Каким характеристическим свойством обладает, двустороння поверхность; односторонняя поверхность?

30. Зависят ли от ориентации поверхности: а) поверхностный интеграл 1-го рода и его интегральные суммы; б) поверхностный интеграл 2-го рода?

31. Как вводится положительное направление обхода контура, согласованное с ориентацией поверхности, ограниченной этим контуром?

32. Напишите формулу Стокса и сформулируйте условия, при которых эта формула верна.

33. Напишите формулу Остроградского-Гаусса и сформулируйте условия, при которых эта формула справедлива.

34. Дайте определение скалярного и векторного полей и приведите примеры физических полей.

35. Что такое поверхности уровня?

36. Что такое векторные линии?

37. Дайте определение производной по направлению для скалярного и векторного полей. Как связана производная по направлению с частными производными?

38. Найдите производную скалярного поля в точке по направлению: а) оси Ox; б) оси Oy; в) вектора l = .

39. Дайте определение градиента скалярного поля. Как связана производная по направлению l с градиентом скалярного поля в данной точке?

40. Какое векторное поле называется потенциальным?

41. Дайте определение дивергенции векторного поля. Каков физический смысл дивергенции?

42. Что называется потоком векторного поля?

43. Дайте определение ротора векторного поля. Каков физический смысл ротора?

44. Какое векторное поле называется безвихревым?

45. Какое векторное поле называется соленоидальным?

46. Что такое оператор Гамильтона?

47. Запишите с помощью оператора Гамильтона: а) градиент скалярного поля; б) дивергенцию векторного поля; в) ротор векторного поля; г) формулу для производной скалярного поля по направлению l.

48. Используя правила вычислений с оператором Гамильтона, докажите, что .

49. Что такое полная производная; локальная производная? Что они характеризуют и каким соотношением связаны?

После изучения тем ”Общая схема построения интегралов. Теория поля“ выполните контрольную работу 9.