Теорема о параллельных прямых по лобачевскому

LV₁. (Аксиома параллельности Лобачевского). В любой плоскости существует прямая а₀ и точка А₀, не принадлежащая этой прямой, такие, что через эту точку проходит по крайней мере две прямые, не пересекающие а₀.

Множество точек, прямых и плоскостей, удовлетворяющих аксиомам принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности и аксиоме параллельности Лобачевского будем называть трехмерным пространством Лобачевского и обозначать через Л₃. Большинство геометрических свойств фигур будут рассматриваться нами на плоскости пространства Л₃, т.е. на плоскости Лобачевского. Обратим внимание на то, что формальное логическое отрицание аксиомы V₁, аксиомы параллельности евклидовой геометрии, имеет именно ту формулировку, которую мы привели в качестве аксиомы LV₁. На плоскости существует, по крайней мере, одна точка и одна прямая, для которых не выполнено утверждение аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Докажем теорему, из которой следует, что утверждение аксиомы параллельности Лобачевского справедливо для любой точки и любой прямой плоскости Лобачевского.

Теорема 13.1.Пусть а – произвольная прямая, А – точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует по крайней мере две прямые, проходящие через А и не пересекающие прямую а.

Доказательство. Доказательство проведем методом «от противного», при этом воспользуемся теоремой 11.1 (см. § 11). Пусть в пространстве Лобачевского существует такая точка А и прямая а, что в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, через точку А проходит единственная прямая, не пересекающая а. Опустим и точки А перпендикуляр АВ на прямую а и в точке А восставим перпендикуляр h к прямой АВ (рис. 50). Как следует из теоремы 4.2 (см § 4) прямые h и а не пересекаются. Прямая h, в силу предположения, — единственная прямая, проходящая через А и не пересекающая а. Выберем на прямой а произвольную точку С. Отложим от луча АС в полуплоскости с границей АВ, не содержащей точку В, угол САМ, равный АСВ. Тогда, как следует из той же теоремы 4.2, прямая АМ не пересекает а. Из нашего предположения следует, что она совпадает с h. Поэтому точка М принадлежит прямой h. Треугольник АВС – прямоугольный, . Вычислим сумму углов треугольника АВС: . Из теоремы 11.1 следует, что выполнено условие аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Поэтому в рассматриваемой плоскости не может существовать таких точки А₀ и прямой а₀, что через эту точку проходит по крайней мере две прямые, не пересекающие а₀. Мы пришли к противоречию с условием аксиомы параллельности Лобачевского. Теорема доказана.

Следует заметить, что в дальнейшем мы будем пользоваться утверждением именно теоремы 13.1, по сути, заменяя им утверждение аксиомы параллельности Лобачевского. Кстати, во многих учебниках именно это утверждение принято в качестве аксиомы параллельности геометрии Лобачевского.

Из теоремы 13.1 легко получить следующее следствие.

Следствие 13.2. В плоскости Лобачевского через точку, не лежащую на данной прямой, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную.

Действительно, пусть а данная прямая, а А – точка, ей не принадлежащая, h₁ и h₂ – прямые, проходящие через А и не пересекающие а (рис. 51). Очевидно, что все прямые, которые проходят через точку А и лежат в одном из углов, образованных h₁ и h₂ (см. рис. 51), не пересекают прямую а.

В главе 2 мы доказали ряд утверждений, эквивалентных аксиоме параллельности евклидовой геометрии. Их логические отрицания характеризуют свойства фигур на плоскости Лобачевского.

Во первых, на плоскости Лобачевского справедливо логическое отрицание пятого постулата Евклида. В параграфе 9 нами был сформулирован сам постулат и доказана теорема о его эквивалентности аксиоме параллельности евклидовой геометрии (см. теорему 9.1). Его же логическое отрицание имеет вид:

Утверждение 13.3.На плоскости Лобачевского существуют две непересекающиеся прямые, которые при пересечении с третьей прямой образуют внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов.

В § 12 нами было сформулировано предложение Посидония: на плоскости существуют по крайней мере три коллинеарные точки, расположенные в одной полуплоскости от данной прямой и равноудаленные от нее. Также мы доказали теорему 12.6: предложение Посидония эквивалентно утверждению аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Таким образом, на плоскости Лобачевского действует отрицание этого утверждения.

Утверждение 13.4. Множество точек, равноудаленных от прямой на плоскости Лобачевского и расположенных в одной полуплоскости относительно ее, в свою очередь не лежат на одной прямой.

На плоскости Лобачевского множество точек, равноудаленных от прямой и принадлежащей одной полуплоскости относительно этой прямой, образуют кривую линию, так называемую эквидистанту. Ее свойства будут рассмотрены нами позже.

Рассмотрим теперь предложение Лежандра: перпендикуляр, проведенный к стороне острого угла в любой точке этой стороны, пересекает вторую сторону угла. Доказанная нами теорема 11.6 (см. § 11) утверждает, что предложение Лежандра эквивалентно аксиоме параллельности евклидовой геометрии. Отсюда следует, на плоскости Лобачевского справедливо логическое отрицание этого предложения.

Утверждение 13.5. На стороне любого острого угла существует такая точка, что перпендикуляр к ней, восставленный в этой точке, не пересекает вторую сторону угла.

Отметим свойства треугольников и четырехугольников плоскости Лобачевского, которые непосредственно следуют из результатов параграфов 9 и 11. Прежде всего, теорема 11.1. утверждает, что предположение о существовании треугольника, сумма углов которого совпадает с суммой двух прямых углов, равносильно аксиоме параллельности евклидовой плоскости. Отсюда и из первой теоремы Лежандра (см. теорему 10.1, § 10) следует следующее утверждение

Утверждение 13.6. На плоскости Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 2d.

Отсюда непосредственно вытекает, что сумма углов любого выпуклого четырехугольника меньше 4d, а сумма углов любого выпуклого n – угольника меньше 2(n-1)d.

Так как на евклидовой плоскости углы, прилежащие к верхнему основанию четырехугольника Саккери равны прямым углам, что в соответствии с теоремой 12.3 (см. § 12) равносильно аксиоме параллельности евклидовой геометрии, то можно сделать следующий вывод.

Утверждение 13.7. Углы, прилегающие к верхнему основанию четырехугольника Саккери – острые.

Нам осталось рассмотреть еще два свойства треугольников на плоскости Лобачевского. Первое из них связано с предложением Валлиса: на плоскости существует хотя бы одна пара треугольников с соответственно равными углами, но не равными сторонами. В параграфе 11 мы доказали, что это предложение эквивалентно аксиоме параллельности евклидовой геометрии (см. теорему 11.5). Логическое отрицание этого утверждения приводит нас к следующему выводу: на плоскости Лобачевского не существует треугольников с равными углами, но не равными сторонами. Таким образом, справедливо следующее предложение.

Утверждение 13.8. (четвертый признак равенства треугольников на плоскости Лобачевского).Любые два треугольника на плоскости Лобачевского, имеющие соответственно равные углы, равны между собой.

Рассмотрим теперь следующий вопрос. Вокруг любого ли треугольника на плоскости Лобачевского можно описать окружность? Ответ на него дает теорема 9.4 (см. § 9). В соответствии с этой теоремой, если вокруг любого треугольника на плоскости можно описать окружность, то на плоскости выполнено условие аксиомы параллельности евклидовой геометрии. Поэтому логическое отрицание утверждения этой теоремы приводит нас к следующему предложению.

Утверждение 13.9. На плоскости Лобачевского существует треугольник, вокруг которого нельзя описать окружность.

Легко построить пример такого треугольника. Выберем некоторую прямую а и точку А, которая ей не принадлежит. Опустим из точки А перпендикуляр h на прямую а. В силу аксиомы параллельности Лобачевского существует прямая b, проходящая через А и не перпендикулярная h, которая не пересекает а (рис. 52). Как известно, если вокруг треугольника описана окружность, то ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Поэтому нам достаточно привести пример такого треугольника, серединные перпендикуляры которого не пересекаются. Выберем точку М на прямой h, так как показано на рисунке 52. Симметрично отобразим ее относительно прямых а и b, получим точки N и P. Так как прямая b не перпендикулярна h, то точка Р не принадлежит h. Поэтому точки M, N и P составляют вершины треугольника. Прямые а и b служат по построению его серединными перпендикулярами. Они же, как было сказано выше, не пересекаются. Треугольник MNP – искомый.

Легко построить пример треугольника плоскости Лобачевского, вокруг которого можно описать окружность. Для этого достаточно взять две пересекающиеся прямые, выбрать точку, которая им не принадлежит, и отразить ее относительно этих прямых. Проведите подробное построение самостоятельно.

Определение 14.1. Пусть даны две направленные прямые и . Они называются параллельными, если выполнены условия:

1. прямые а и b не пересекаются;

2. для произвольных точек А и В прямых а и b любой внутренний луч h угла АВB₂ пересекает прямую а (рис. 52).

Обозначать параллельные прямые будем так же, как принято в школьном курсе геометрии: a || b. Заметим, что этому определению удовлетворяют параллельные прямые на евклидовой плоскости.

Теорема 14.3. Пусть на плоскости Лобачевского дана направленная прямая и точка В, которая ей не принадлежит. Тогда через данную точку проходит единственная направленная прямая такая, что прямая а параллельна прямой b.

Доказательство.Опустим из точки В перпендикуляр ВА на прямую а и из точки В восставим перпендикуляр р к прямой ВА (рис. 56 а). Прямая р, как уже неоднократно отмечалось, не пересекает данную прямую а. Выберем на ней произвольную точку С, разобьем точки отрезка АС на два класса и . Первому классу будут принадлежать такие точки S этого отрезка, для которых луч BS пересекает луч АА₂, а второму классу принадлежат такие точки T, для которых луч ВТ не пересекает луч АА₂. Покажем, что такое разбиение на классы производит дедекиндово сечение отрезка АС. В соответствии с теоремой 4.3 (см. § 4) нам следует проверить, что:

1. Æ;

2. и классы и содержат точки, отличные от А и С;

3. любая точка класса , отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой класса .

Первое условие очевидно, все точки отрезка принадлежат одному или другому классу, при этом сами классы, исходя из их определения, не имеют общих точек.

Второе условие также легко проверить. Очевидно, что и . Класс содержит точки, отличные от А, для проверки этого утверждения достаточно выбрать какую либо точку луча АА₂ и соединить ее с точкой В. Этот луч пересечет отрезок ВС в точке первого класса. Класс также содержит точки, отличные от С, иначе мы придем к противоречию с аксиомой параллельности Лобачевского.

Докажем третье условие. Пусть существует такая точка S первого класса, отличная от А, и такая точка Т второго класса, что точка Т лежит между А и S (см. рис 56 а). Так как , то луч BS пересекает луч АА₂ в некоторой точке R. Рассмотрим луч ВТ. Он пересекает сторону AS треугольника ASR в точке Т. В соответствии с аксиомой Паша этот луч должен пересечь либо сторону AR, либо сторону SR этого треугольника. Предположим, что луч ВТ пересекает сторону SR в некоторой точке О. Тогда через точки В и О проходит две различные прямые ВТ и BR, что противоречит аксиоме аксиоматики Гильберта. Таким образом, луч ВТ пересекает сторону AR, откуда следует, что точка Т не принадлежит классу К₂. Полученное противоречие приводит к утверждению, точка S лежит между А и Т. Условие теоремы 4.3 проверено полностью.

В соответствии с заключением теоремы 4.3 о дедекиндовом сечении на отрезке АС существует такая точка , для которой любая точка, лежащая между А и принадлежит классу , а любая точка, лежащая между и С — принадлежит классу . Покажем, что направленная прямая параллельна прямой . По сути, нам осталось доказать, что не пересекает прямую а, так как в силу выбора точек класса К₁ любой внутренний луч угла пересекает . Предположим, что прямая пересекает прямую а в некоторой точке Н (рис 56 б). Выберем произвольную точку Р на луче НА₂ и рассмотрим луч ВР. Тогда он пересекает отрезок М₀С в некоторой точке Q (докажите это утверждение самостоятельно). Но внутренние точки отрезка М₀С принадлежат второму классу, луч ВР не может иметь общих точек с прямой а. Таким образом, наше предположение о пересечении прямых ВМ₀ и а неверно.

Легко проверить, что прямая единственная направленная прямая, проходящая через точку В и параллельная . Действительно, пусть через точку В проходит еще одна направленная прямая , которая, как и , параллельна . При этом будем считать, что М₁ – точка отрезка АС. Тогда, исходя из определения класса К₂, . Поэтому, луч ВМ₀ является внутренним лучом угла , следовательно, в силу определения 14.1 пересекает прямую . Мы пришли к противоречию с доказанным выше утверждением. Теорема 14.3 доказана полностью.

Рассмотрим точку В и направленную прямую , которая ее не содержит. В соответствии с доказанной теоремой 14.3 через точку В проходит направленная прямая , параллельная а. Опустим из точки В перпендикуляр BH на прямую а (рис. 57). Легко видеть, что угол HBB₂ – острый. Действительно, если предположить, что этот угол прямой, то из определения 14.1 следует, что любая прямая, проходящая через точку В пересекает прямую а, что противоречит теореме 13.1, т.е. аксиоме LV₁ параллельности Лобачевского (см. § 13). Легко видеть, что предположение о том, что этот угол тупой, также приводит к противоречию теперь уже с определением 14.1 и теоремой 4.2 (см. §4), так как внутренний луч угла HBB₂, перпендикулярный ВН не пересекает луч АА₂. Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 14.4. Пусть направленная прямая параллельна направленной прямой . Если из точки В прямой опустить перпендикуляр ВН на прямую , то угол HBB₂ – острый.

Из этой теоремы с очевидностью вытекает следующее следствие.

Следствие. Если существует общий перпендикуляр направленных прямых и , то прямая не параллельна прямой .

Введем понятие параллельности для ненаправленных прямых. Будем считать, что две ненаправленные прямые параллельны, если на них можно выбрать направления так, чтобы они удовлетворяли определению 14.1. Как известно, прямая имеет два направления. Поэтому, из теоремы 14.3 следует, что через точку В, не принадлежащей прямой а проходит две ненаправленные прямые, параллельные данной прямой. Очевидно, они симметричны относительно перпендикуляра, опущенного из точки В на прямую а. Эти две прямые и являются теми самыми пограничными прямыми, разделяющими пучок прямых, проходящих через точку В и пересекающих а, от пучка прямых, проходящих через В и не пересекающих прямую а (рис. 57).

Теорема 15.2. (Свойство симметричности параллельных прямых на плоскости Лобачевского).Пусть направленная прямая параллельна направленной прямой . Тогда направленная прямая параллельна прямой .

Свойство симметричности понятия параллельности прямых на плоскости Лобачевского позволяет нам не указывать порядок направленных параллельных прямых, т.е. не уточнять, какая прямая является первой, а какая второй. Очевидно, что свойство симметричности понятия параллельности прямых имеет место и на евклидовой плоскости. Оно непосредственно следует из определения параллельных прямых в евклидовой геометрии. В евклидовой геометрии выполняется также свойство транзитивности для параллельных прямых. Если прямая а параллельна прямой b, а прямая b параллельна прямой с. то прямые а и с также параллельны между собой. Аналогичное свойство справедливо и для направленных прямых на плоскости Лобачевского.

Теорема 15.3. (Свойство транзитивности параллельных прямых на плоскости Лобачевского).Пусть даны три различные направленные прямые , . Если и , то .

Рассмотрим направленную прямую , параллельную направленной прямой . Пересечем их прямой . Точки А и В соответственно точки пересечения прямых , и , (рис. 60). Справедлива следующая теорема.

Теорема 15.4. Угол больше угла .

Теорема 15.5. Внешний угол вырожденного треугольника больше внутреннего угла, не смежного с ним.

Доказательство непосредственно следует из теоремы 15.4. Проведите его самостоятельно.

Рассмотрим произвольный отрезок АВ. Через точку А проведем прямую а, перпендикулярную к АВ, а через точку В прямую b, параллельную а (рис. 63). Как следует из теоремы 14.4 (см. § 14) прямая bне перпендикулярна прямой АВ.

Определение 16.1. Острый угол, образованный прямыми АВ и b называется углом параллельности отрезка АВ.

Ясно, что каждому отрезку соответствует некоторый угол параллельности. Справедлива следующая теорема.

Теорема 16.2. Равным отрезкам соответствуют равные углы параллельности.

Доказательство.Пусть даны два равных отрезкаАВ и А¢В¢. Проведем через точки А и А¢ направленные прямые и , перпендикулярные соответственно АВ и А¢В¢, а через точки В и В¢ направленные прямые и , параллельные соответственно и (рис. 64). Тогда и соответственно углы параллельности отрезков АВ и А¢В¢. Предположим, что

. (1)

Отложим от луча ВА в полуплоскости ВАА₂ угол a₂, (см. рис. 64). В силу неравенства (1), луч l – внутренний луч угла АВВ₂. Так как ½½ , то l пересекает луч АА₂ в некоторой точке Р. Отложим на луче А¢А₂¢ от точки А¢ отрезок А¢Р¢, равный АР. Рассмотрим треугольники АВР и А¢В¢Р¢. Они прямоугольные, по условию теоремы имеют равные катеты АВ и А¢В¢, по построению равны между собой вторая пара катетов АР и А¢Р¢. Таким образом, прямоугольный треугольник АВР равен треугольнику А¢В¢Р¢. Поэтому . С другой стороны, луч В¢Р¢, пересекает луч А¢А₂¢, а направленная прямая В₁¢В₂¢ параллельна прямой А₁¢А₂¢. Следовательно луч В¢Р¢- внутренний луч угла А¢В¢В₂¢, . Полученное противоречие опровергает наше предположение, неравенство (1) – ложно. Аналогично доказывается, что угол не может быть меньше угла . Теорема доказана.

Рассмотрим теперь, как связаны между собой углы параллельности неравных отрезков.

Теорема 16.3. Пусть отрезок АВ больше отрезка А¢В¢, а углы и соответственно их углы параллельности. Тогда .

Доказательство.Доказательство этой теоремы непосредственно следует из теоремы 15.5 (см. § 15) о внешнем угле вырожденного треугольника. Рассмотри отрезок АВ. Проведем через точку А направленную прямую , перпендикулярную АВ, а через точку В направленную прямую , параллельную (рис. 65). Отложим на луче АВ отрезок АР, равный А¢В¢. Так как , то Р – внутренняя точка отрезка АВ. Проведем через Р направленную прямую С₁С₂, так же параллельную . Угол служит углом параллельности отрезка А¢В¢, а угол — углом параллельности отрезка АВ. С другой стороны, из теоремы 15.2 о симметричности понятия параллельности прямых (см. § 15) следует, что прямая С₁С₂ параллельна прямой . Поэтому треугольник РВС₂А₂ – вырожденный, — внешний, а — его внутренний углы. Из теоремы 15.5 следует истинность доказываемого утверждения.

Легко доказать обратное утверждение.

Теорема 16.4.Пусть и углы параллельности отрезков АВ и А¢В¢. Тогда, если , то АВ > А¢В¢.

Доказательство.Предположим противное, . Тогда из теорем 16.2 и 16.3 следует, что , что противоречит условию теоремы.

И так мы доказали, что каждому отрезку соответствует свой угол параллельности, причем большему отрезку соответствует меньший угол параллельности. Рассмотрим утверждение, в котором доказывается, что для любого острого угла существует отрезок, для которого этот угол является углом параллельности. Тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между отрезками и острыми углами на плоскости Лобачевского.

Теорема 16.5. Для любого острого угла существует отрезок, для которого этот угол является углом параллельности.

Доказательство.Пусть дан острый угол АВС (рис. 66). Будем считать, что все рассматриваемые в дальнейшем точки на лучах ВА и ВС лежат между точками В и А и В и С. Назовем луч допустимым, если его начало принадлежит стороне угла ВА, он перпендикулярен прямой ВА и расположен в той же полуплоскости относительно прямой ВА, что и сторона ВС данного угла. Обратимся к предложению Лежандра: перпендикуляр, проведенный к стороне острого угла в любой точке этой стороны, пересекает вторую сторону угла. Нами была доказана теорема 11.6 (см. § 11), в которой утверждается, что предложение Лежандра эквивалентно аксиоме параллельности евклидовой геометрии. Отсюда мы сделали вывод, что на плоскости Лобачевского справедливо логическое отрицание этого утверждения, а именно, на стороне любого острого угла существует такая точка, что перпендикуляр к ней, восставленный в этой точке, не пересекает вторую сторону угла (см. § 13). Таким образом, существует такой допустимый луч m с началом в точке М, который не пересекает сторону ВС данного угла (см. рис. 66).

Разобьем точки отрезка ВМ на два класса. Классу будут принадлежать те точки этого отрезка, для которых допустимые лучи с началами в этих точках пересекают сторону ВС данного угла, а классу принадлежат те точки отрезка ВС, для которых допустимые лучи с началами в этих точках сторону ВС не пересекают. Покажем, что такое разбиение отрезка ВМ образует дедекиндово сечение (см. теорему 4.3, § 4). Для этого следует проверить, что

4. Æ;

5. и классы и содержат точки, отличные от В и М;

6. любая точка класса , отличная от В, лежит между точкой В и любой точкой класса .

Первое условие с очевидностью выполняется. Любая точка отрезка ВМ принадлежит либо классу К₁, либо классу К₂. При этом точка, в силу определения этих классов, не может принадлежать двум классам одновременно. Очевидно, можно считать, что , точка М принадлежит К₂, так как допустимый луч с началом в точке М не пересекает ВС. Класс К₁ содержит по крайней мере одну точку, отличную от В. Для ее построения достаточно выбрать произвольную точку P на стороне ВС и опустить из нее перпендикуляр PQ на луч ВА. Если предположить, что точка Q лежит между точками М и А, то тогда точки Р и Q лежат в различных полуплоскостях относительно прямой, содержащей луч m (см. рис. 66). Поэтому отрезок РQ пересекает луч m в некоторой точке R. Мы получим, что из точки R на прямую ВА опущено два перпендикуляра, что противоречит теореме 4.2 (см. § 4). Таким образом, точка Q принадлежит отрезку ВМ, класс К₁ содержит точки, отличные от В. Легко объяснить, почему на луче ВА существует отрезок, содержащий по крайней мере одну точку, принадлежащую классу К₂ и отличную от его конца. Действительно, если класс К₂ рассматриваемого отрезка ВМ содержит единственную точку М, то тогда выберем произвольную точку М¢ между М и А. Рассмотрим допустимый луч m¢ с началом в точке М¢. Он не пересекает луч m, иначе из точки опущены два перпендикуляра на прямую АВ, поэтому m¢ не пересекает луч ВС. Отрезок ВМ¢ искомый, и все дальнейшие рассуждения следует проводить для отрезка ВМ¢.

Проверим справедливость третьего условия теоремы 4.3. Предположим, что существуют такие точки и , что точка Р лежит между точкой U и М (рис. 67). Проведем допустимые лучи u и p с началами в точках U и P. Так как , то луч р пересекает сторону ВС данного угла в некоторой точке Q. Прямая, содержащая луч u, пересекает сторону ВР треугольника ВРQ, поэтому согласно аксиоме аксиоматике Гильберта (аксиома Паша, см. § 3) она пересекает либо сторону ВQ, либо сторону PQ этого треугольника. Но, , поэтому луч u не пересекает сторону ВQ, следовательно, лучи р и u пересекаются в некоторой точке R. Мы снова пришли к противоречию, так как построили точку, из которой опущены два перпендикуляра на прямую АВ. Условие теоремы 4.3 выполнено полностью.

Таким образом, в соответствии с заключением теоремы 4.3, существует такая точка отрезка [ВМ], для которой любая точка, лежащая между В и принадлежит классу , а любая точка, лежащая между и М — классу . Докажем, что допустимый луч с началом в точке параллелен прямой ВС. Для этого, во-первых, докажем, что луч не пересекает прямую ВС. Предположим противное, пересекает сторону ВС данного угла в некоторой точке Т (рис. 68). Выберем точку S луча ВС, лежащую между Т и С, и опустим из нее перпендикуляр на прямую ВА. Ясно, что основание N этого перпендикуляра будет принадлежать отрезку М. Отсюда следует, что . Мы получили противоречие, так как построили точку класса К₁, расположенную между точками и М. Нам осталось показать, что любой внутренний луч угла пересекает луч ВС. Рассмотрим произвольный внутренний луч h этого угла. Выберем на нем произвольную точку К, принадлежащую углу , и опустим из нее перпендикуляр на прямую ВА (рис. 69). Основание S этого перпендикуляра, очевидно, принадлежит отрезку ВМ₀, т.е. классу К₁ (докажите этот факт самостоятельно). Отсюда следует, что перпендикуляр KS пересекает сторону ВС данного угла в некоторой точке Т (см. рис. 69). Луч h пересек сторону ST треугольника BST в точке К, согласно аксиоме (аксиоме Паша), он должен пересечь либо сторону BS, либо сторону ВТ этого треугольника. Ясно, что h не пересекает отрезок BS, иначе через две точки, и эту точку пересечения, проходят две прямые, h и ВА. Таким образом, h пересекает сторону ВТ, т.е. луч ВА. Теорема доказана полностью.

И так, мы установили, что каждому отрезку в геометрии Лобачевского можно поставить в соответствие острый угол – его угол параллельности. Будем считать, что нами введена мера углов и отрезков, отметим, что мера отрезков будет введена нами позже, в § . Ведем следующее определение.

Определение 16.6. Если под х понимается длина отрезка, а под j — величина угла, то зависимостьj = P(х), ставящая в соответствие длине отрезка величину его угла параллельности, называется функцией Лобачевского.

Ясно, что . Используя свойства угла параллельности отрезка, доказанные выше (см. теоремы 16.3 и 16.4), можно сделать следующий вывод: функция Лобачевского является монотонно убывающей. Николаем Ивановичем Лобачевским была получена следующая замечательная формула:

,

где k – некоторое положительное число. Оно имеет важное значение в геометрии пространства Лобачевского, и носит название его радиуса кривизны. Два пространства Лобачевского, имеющие один и тот же радиус кривизны, изометричны. Из приведенной формулы, как нетрудно видеть, также следует, что j = P(х) монотонно убывающая непрерывная функция, значения которой принадлежат интервалу .

На евклидовой плоскости зафиксируем окружность w с центром в некоторой точке O и радиусом, равным единице, которую будем называть абсолютом. Множество всех точек круга, ограниченного окружностью w, обозначим через W¢, а множество всех внутренних точек этого круга — через W. Таким образом, . Точки множества W будем называть L‑точками Множество W всех L-точек составляет L-плоскость, на которой мы и будем строить модель Кэли-Кляйна плоскости Лобачевского. Будем называть L‑прямыми произвольные хорды окружности w. Будем считать, что L-точка X принадлежит L‑прямой x тогда и только тогда, когда точка X как точка евклидовой плоскости принадлежит хорде x абсолюта.

L‑плоскости имеет место аксиома параллельности Лобачевского: через L‑точку B, не лежащую на L‑прямой a проходят по крайней мере две L‑прямые b и c, не имеющие общих точек с L‑прямой a. На рисунке 94 приведена иллюстрация этого утверждения. Легко также понять, что из себя представляют параллельные направленные прямые L-плоскости. Рассмотрим рисунок 95. L-прямая b проходит через точку пересечения L-прямой a с абсолютом. Поэтому направленная L-прямая А₁А₂ параллельна направленной L-прямой В₁А₂. Действительно, эти прямые не пересекаются, и, если выбрать произвольные L-точки А и В, принадлежащие соответственно этим прямым, то любой внутренний луч h угла А₂ВА пересекает прямую а. Таким образом, две L-прямые параллельны, если они имеют общую точку пересечения с абсолютом. Ясно, что выполняется свойство симметричности и транзитивности понятия параллельности L-прямых. В параграфе 15 свойство симметричности нами было доказано, свойство же транзитивности иллюстрируется на рисунке 95. Прямая А₁А₂ параллельна прямой В₁А₂, они пересекают абсолют в точке А₂. Прямые В₁А₂ и С₁А₂ также параллельны, они также пересекают абсолют в той же точке А₂. Поэтому прямые А₁А₂ и С₁А₂ параллельны между собой.

Таким образом, определенные выше основные понятия удовлетворяют требованиям аксиом I₁-I₃, II, III, IV групп аксиоматики Гильберта и аксиоме параллельности Лобачевского, следовательно являются моделью плоскости Лобачевского. Нами доказана содержательная непротиворечивость планиметрии Лобачевского. Сформулируем это утверждение как следующую теорему.

Теорема 1. Геометрия Лобачевского содержательно непротиворечива.

Мы построили модель плоскости Лобачевского, с построением же пространственной модели, аналогичной рассмотренной на плоскости, можно познакомиться в пособии [4].

Из теоремы 1 следует важнейший вывод. Аксиома параллельности не является следствием аксиом I – IV аксиоматики Гильберта. Так как пятый постулат Евклида равносилен аксиоме параллельности евклидовой геометрии, то этот постулат также не зависит от остальных аксиом Гильберта.

Дата добавления: 2016-02-02 ; просмотров: 7121 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:1. Лобачевский и его наследие. Основные постулаты геометрии.Скачать

Реферат на тему «Геометрия Лобачевского»

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Геометрия Лобачевского. Факты геометрии Лобачевского. Параллельные и сверхпараллельные прямые по Лобачевскому. Пучки прямых и кривых плоскости Лобачевского. Модели геометрии Лобачевского (модель Бельтрами-Клейна, модель Пуанкаре, модель в пространстве).

студентка 4 курса

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать

Введение

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий , геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия , за исключением аксиомы о параллельных , которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского .

В конце прошлого века в работах Пуанкаре и Клейна была установлена прямая связь геометрии Лобачевского с теорией функций комплексной переменной и с теорией чисел (точнее, арифметикой неопределенных квадратичных форм). С тех пор аппарат геометрии Лобачевского стал неотъемлемым компонентом этих разделов математики. В последние 15 лет значение геометрии Лобачевского еще более возросло благодаря работам американского математика Тёрстона (лауреата Филдсовской медали 1983 г.), установившего ее связь с топологией трехмерных многообразий. Десятки работ ежегодно публикуются в этой области. Современные исследования все больше требуют делового владения геометрией Лобачевского.

Теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир, это интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии. Она дает материал для размышлений – в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КОНЦЕПЦИЯ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Видео:7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

1. Геометрия Лобачевского

Геометрия, как наука, впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.

«Начала» — величайший памятник деятельности Евклида, в котором он собрал воедино всё то, что сделали его предшественники в области геометрии и «словесной алгебры». Но не только в этом его заслуга. Он также внёс много своего, нового, оригинального. Вплоть до XX века геометрию в школах преподавали по учебникам, в которые были включены евклидовы «Начала», переведённые и литературно обработанные.

Однако не всё написанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков. Он сделал попытку дать аксиоматическое изложение геометрии, т.е. сформулировать небольшое количество аксиом, из которых логически выводятся все теоремы геометрии. Список аксиом сразу же подвергся критике, некоторые из них оказались совсем не нужными, например, что «все прямые углы равны между собой».

Так называемый пятый постулат Евклида вызвал особые нарекания математиков. Именно эта аксиома, как показала историческое развитие науки, содержала в себе зародыш другой, неевклидовой геометрии.

Вот о чём говорится в пятом постулате: если две прямые a и b образуют при пересечении с третьей прямой односторонние внутренние углы α и β, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180˚), то эти две прямые обязательно пересекаются, причём именно стой стороны от третьей прямой, по которую расположены углы α и β (составляющие вместе не менее 180˚).

Данное утверждение заметно сложнее остальных аксиом, поэтому пятый постулат часто заменяют равносильной аксиомой параллельности: через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, лежащей с данной в одной плоскости и не пересекающей ее.

Попытки доказательства пятого постулата предпринимались в течение более чем двух тысячелетий сначала в Древней Греции, затем на средневековом Востоке, а позже в Западной Европе. Но неудачные попытки прямого доказательства направили ход мыслей ученных в иное русло. Пятый постулат решили заменить противоположным утверждением. Двери в новую геометрию приоткрыли такие ученые, как Джованни Саккери и Иоганн Ламберт, а их работу продолжили уже другие ученые, среди которых был выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский.

Н. И. Лобачевский родился 20 ноября (1 декабря) 1792 года в Нижнем Новгороде. Окончил Казанскую гимназию в конце 1806 года, показав хорошие знания, особенно по математике и языкам — латинскому, немецкому, французскому. В проявившемся уже тогда его интересе к математике — большая заслуга преподавателя гимназии Г. И. Карташевского. В 15 лет поступил на физико-математический факультет Казанского университета. В это время там читал лекции по математике профессор И. Бартельс (1769-1836). Он обратил внимание на одаренного мальчика и начал заниматься с Лобачевским. В 19 лет Николай Иванович получил степень магистра, а в 23 года стал профессором. В течение 40 лет преподавал в Казанском университете, в том числе 19 лет руководил им в должности ректора; его активность и умелое руководство вывели университет в число передовых российских учебных заведений.

Еще до открытия неевклидовой геометрии Лобачевский написал в 1823г. учебное руководство, озаглавленное «Геометрия». В нем впервые со всей четкостью отражена так называемая теперь фузионистская точка зрения, согласно которой планиметрию не следует по евклидовой манере отрывать от стереометрии; наоборот, обе эти части геометрии нужно по возможности объединить, т.е. аналогичные начала планиметрии и стереометрии следует преподавать параллельно. Так рядом с кругом Лобачевский рассматривал шар и сферу; взаимное расположение прямых на плоскости он рассматривает совместно с взаимным расположением плоскостей в пространстве, почти одновременно трактует многоугольники и многогранники. Лишь в конце позапрошлого столетия итальянский математик Г. Веронезе также стал проводить в своих учебных руководствах по элементарной геометрии идею фузионизма.

Хотя Лобачевский занимался различными вопросами математики, мировую известность он получил как создатель новой геометрии. Лобачевский был с юношеских лет заинтересован аксиомой параллельных прямых. Сначала он пытался доказать пятый постулат, но постепенно пришел к выводу, что этого сделать нельзя, исходя из остальных аксиом. Тогда он заменил его на противоположное утверждение, которое сейчас называют аксиомой Лобачевского: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

В разработанной Лобачевским новой геометрии многие утверждения звучат неожиданно. Вот некоторые из них:

1. Через точку А, не лежащую на прямой а, проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих прямую а и лежащих с ней в одной плоскости.

2. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть кривая линия.

3. Сумма углов треугольника – величина переменная. Она зависит от размера треугольника, но всегда меньше π.

4. Площадь треугольника вычисляется по формуле S = r 2 ( π – A – B – C ), где r – радиус кривизны пространства, а A , B , C – величины углов треугольника, выраженные в радианах

Остальные аксиомы Лобачевский оставил без изменения и на основе новой системы построил новую геометрию, отличную от евклидовой.

Можно считать, что неевклидова геометрия родилась в феврале 1826 года. Лобачевский выступил с докладом о своем открытии, но поддержки не нашёл. Математики его времени ещё не были подготовлены к мысли о возможности существования иной, неевклидовой геометрии. Учёный умер, так и не добившись признания своих идей. Впрочем, один человек понимал и поддерживал его работы.

Гениальный Гаусс, «король математиков» (судя по архиву, разобранному уже после смерти), ещё в 1815 г., за девять лет до сообщения Лобачевского, размышлял над аналогичными идеями. И тем не менее Гаусс, к мнению которого прислушивались все, не решился опубликовать свои работы. Однако Гаусс добился того, что Лобачевского избрали иностранным членом – корреспондентом Геттингенского учёного общества. Это единственная почесть, возданная Лобачевскому при жизни.

Видео:НЕЕВКЛИДОВАЯ ГЕОМЕТРИЯ. оказывается это так просто...Скачать

2. Факты геометрии Лобачевского

Ло­ба­чев­ский стро­ил свою гео­мет­рию, от­прав­ля­ясь от ос­нов­ных геометрических по­ня­тий и сво­ей ак­сио­мы, и до­ка­зы­вал тео­ре­мы геометрическим ме­то­дом, по­доб­но то­му как это де­ла­ет­ся в гео­мет­рии Евк­ли­да. Ос­но­вой слу­жи­ла тео­рия па­рал­лель­ных ли­ний, т. к. имен­но здесь на­чи­на­ет­ся от­ли­чие геометрии Лобачевского от гео­мет­рии Евк­ли­да. Все тео­ре­мы, не за­ви­ся­щие от ак­сио­мы о па­рал­лель­ных, об­щи обе­им гео­мет­ри­ям и об­ра­зу­ют т. н. аб­со­лют­ную гео­мет­рию, к ко­то­рой от­но­сят­ся, напр., тео­ре­мы о ра­вен­ст­ве тре­уголь­ни­ков. Вслед за тео­ри­ей па­рал­лель­ных строи­лись др. раз­де­лы, вклю­чая три­го­но­мет­рию и на­ча­ла ана­ли­ти­че­ской и диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рий. Ни­же пе­ре­чис­ле­ны неск. фак­тов геометрии Лобачевского, ус­та­нов­лен­ных са­мим Н. И. Ло­ба­чев­ским, ко­то­рые от­ли­ча­ют её от гео­мет­рии Евк­ли­да. [12]

1) В геометрии Лобачевского не су­ще­ст­ву­ет по­доб­ных, но не рав­ных тре­уголь­ни­ков; тре­уголь­ни­ки рав­ны, ес­ли их уг­лы рав­ны. По­это­му су­ще­ст­ву­ет аб­со­лют­ная еди­ни­ца дли­ны, т. е. от­ре­зок, вы­де­лен­ный по сво­им свой­ст­вам, по­доб­но то­му как пря­мой угол вы­де­лен свои­ми свой­ст­ва­ми. Та­ким от­рез­ком мо­жет слу­жить, напр., сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка с дан­ной сум­мой уг­лов.

2) Сум­ма уг­лов вся­ко­го тре­уголь­ни­ка мень­ше ππ и мо­жет быть сколь угод­но близ­кой к ну­лю. Это вид­но на мо­де­ли Пу­ан­ка­ре. Разность π−(α+β+γ)π−(α+β+γ), где α,β,γα,β,γ – уг­лы тре­уголь­ни­ка, про­пор­цио­наль­на его пло­ща­ди.

3) Че­рез точ­ку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, про­хо­дит бес­ко­неч­но мно­го пря­мых, не пе­ре­се­каю­щих прямую и на­хо­дя­щих­ся с ней в од­ной плос­ко­сти; сре­ди них есть две край­ние, ко­то­рые назы­ва­ют­ся па­рал­лель­ны­ми пря­мой в смыс­ле Ло­ба­чев­ско­го. В мо­де­лях Клей­на и Пу­ан­ка­ре они изо­бра­жа­ют­ся хор­да­ми (ду­га­ми ок­руж­но­стей), имею­щи­ми с хор­дой (ду­гой) об­щий ко­нец.

4) Ес­ли пря­мые име­ют об­щий пер­пен­ди­ку­ляр, то они бес­ко­неч­но рас­хо­дят­ся в обе сто­ро­ны от не­го. К лю­бой из них мож­но вос­ста­но­вить пер­пен­ди­ку­ля­ры, ко­то­рые не дос­ти­га­ют др. пря­мой.

5) Ли­ния рав­ных рас­стоя­ний от пря­мой есть не пря­мая, а осо­бая кри­вая, на­зы­вае­мая эк­ви­ди­стан­той или ги­пер­цик­лом.

6) Пре­дел бес­ко­неч­но рас­ту­щих ок­руж­но­стей есть не пря­мая, а осо­бая кри­вая, на­зы­вае­мая пре­дель­ной ок­руж­но­стью или ори­цик­лом.

7) Пре­дел сфер бес­ко­неч­но уве­ли­чи­ваю­ще­гося ра­диу­са есть не плос­кость, а осо­бая по­верх­ность – пре­дель­ная сфе­ра, или ори­сфе­ра; за­ме­ча­тель­но, что на ней име­ет ме­сто евк­ли­до­ва гео­мет­рия. Это по­слу­жи­ло Ло­ба­чев­ско­му ос­но­вой для вы­во­да фор­мул три­го­но­мет­рии.

8) Дли­на ок­руж­но­сти не про­пор­цио­наль­на ра­диу­су, а рас­тёт бы­ст­рее, чем ра­ди­ус.

9) Чем мень­ше об­ласть в про­стран­ст­ве или на плос­ко­сти Ло­ба­чев­ско­го, тем мень­ше мет­рические со­от­но­ше­ния в этой об­лас­ти от­ли­ча­ют­ся от со­от­но­ше­ний евк­ли­до­вой гео­мет­рии. Напр., чем мень­ше тре­уголь­ник, тем мень­ше сум­ма его уг­лов от­ли­ча­ет­ся от π, чем мень­ше ок­руж­ность, тем мень­ше от­но­ше­ние её дли­ны к ра­диу­су от­ли­ча­ет­ся от 2π, и т. п. Умень­ше­ние об­лас­ти фор­маль­но рав­но­силь­но уве­ли­че­нию еди­ни­цы дли­ны, по­это­му при без­гра­нич­ном уве­ли­че­нии еди­ни­цы дли­ны фор­му­лы Л. г. пе­ре­хо­дят в фор­му­лы евк­ли­до­вой гео­мет­рии. Евк­ли­до­ва гео­мет­рия есть в этом смыс­ле «пре­дель­ный» слу­чай гео­мет­рии Ло­ба­чев­ско­го.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

3. Параллельные и сверхпараллельные прямые по Лобачевскому.

В 19 веке Николай Иванович Лобачевский, а также немец Гаусс и венгр Больяи, предложили геометрию, в которой имеются минимум 2 прямые коллинеарные заданной. Эти прямые пересекаются между собой и приближаются к заданной прямой с двух различных направлений. Место их пересечения с заданной прямой находится в бесконечно удаленной точке. Непересекающиеся, но не параллельные прямые называются сверхпараллельными прямыми.

Теорема 1. Два перпендикуляра к одной прямой – сверхпараллельны.

Теорема 2. Две сверхпараллельные прямые имеют общий перпендикуляр и притом единственный, он является кратчайшим расстоянием между этими прямыми.

Теорема 3. Если две прямые при пересечении с третьей образуют равные соответственные углы или равные накрест лежащие углы, или внутренние односторонние углы, в сумме составляющие 2d, то эти прямые сверхпараллельны [12].

Видео:2. Пятый постулат геометрииСкачать

4. Пучки прямых и кривых на плоскости Лобачевского

Совокупность всех прямых плоскости Лобачевского, пересекающихся в общей точке О, называется пучком прямых первого рода. Точка О называется центром пучка.

Совокупность прямых плоскости Лобачевского, параллельных между собой в одном направлении, называется пучком прямых второго рода. Говорят также, что этот пучок имеет бесконечно удаленный центр.

Совокупность прямых плоскости Лобачевского, перпендикулярных одной прямой а, называется пучком третьего рода. Прямая а называется осью пучка. Говорят, также, что пучок прямых третьего рода имеет идеальный центр.

Множество всех прямых плоскости Лобачевского, проходящих через одну точку, будем называть пучком пересекающихся прямых. Множество всех расходящихся прямых, имеющих один и тот же общий перпендикуляр будем называть пучком расходящихся прямых. И множество всех прямых, параллельных между собой в одном и том же направлении, назовем пучком параллельных прямых. Точка пересечения прямых, принадлежащих пучку пересекающихся прямых, называется его центром. Общий перпендикуляр прямых, принадлежащих пучку расходящихся прямых, носит название его базы.

Теорема о серединных перпендикулярах к сторонам треугольника Серединные перпендикуляры сторон треугольника на плоскости Лобачевского принадлежат либо пучку пересекающихся, либо пучку расходящихся, либо пучку параллельных прямых, при этом существуют треугольники, серединные перпендикуляры которых принадлежат каждому из трех типов пучков. [12]

Свойства траекторий пучков

1) Траектория пучка симметрична относительно любой своей оси. Под хордой траектории пучка будем понимать отрезок, соединяющий его две точки.

2) Серединный перпендикуляр к хорде траектории является осью пучка.

3) Пусть АВ – хорда траектории пучка. Тогда прямая АВ образует равные углы с лучами траектории, проведенными в точках А и В.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

5. Модели геометрии Лобачевского (модель Бельтрами-Клейна, модель Пуанкаре, модель в пространстве).

После создания неевклидовой геометрии она долгое время не признавалась учеными. И первой, сразу возникшей проблемой, стало доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. Первые исследования по вопросу непротиворечивости геометрии Лобачевского были проведены итальянским математиком Бельтрами (1835-1900). В 1868г. он построил поверхность в евклидовом пространстве – псевдосферу которая получается вращением трактрисы вокруг оси OZ. Псевдосфера – это поверхность постоянной отрицательной кривизны. [12]

Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского

Анри Пуанкаре в 1882г. построил конформное отображение плоскости Лобачевского на открытую полуплоскость Евклида, тем самым, получив новую модель плоскости Лобачевского.

Роль прямых плоскости Лобачевского (неевклидовых прямых) будут выполнять:

1) евклидовы полупрямые, перпендикулярные прямой l (рис.72) без точки пересечения с l .

2) евклидовы полуокружности, перпендикулярные абсолюту, т.е. с центром на прямой l.

На приведенном ниже рисунке 1 изображены четыре модели геометрии Лобачевского: модель Пуанкаре в верхней полуплоскости, модель Пуанкаре в круге (верхний ряд), модель Клейна (под моделью Пуанкаре в круге) и модель на верхней полусфере. Также в каждой из моделей нарисована кратчайшая сеть, соединяющая три заданных точки, и проведены некоторые дополнительные построения. Соответствие между объектами задано цветом. Так прямые в моделях Пуанкаре (верхний ряд) представляют собой окружности, перпендикулярные так называемому абсолюту – прямой или окружности, ограничивающей модель. В модели Клейна прямые – это прямолинейные хорды. Наконец, в модели верхней полусферы прямые представляют собой параллели, перпендикулярные абсолюту – граничному экватору. [12]

Видео:Лобачевский против Евклида: две геометрии одного мираСкачать

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Видео:Воображаемый Лобачевский - 1/2Скачать

1. Применение в повседневной жизни.

Сам Лобачевский применял неевклидову геометрию для вычисления определенных интегралов при нахождении длины, площади или объема фигуры в своей геометрии. Но применение новых знаний не ограничилось математикой. Была установлена связь геометрии Лобачевского с физикой, а именно кинематикой – специальной (частной) теории относительности. Эта связь основана на том, что равенство,
выражающее закон распространения света x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 при делении на t 2 , даёт – уравнение сферы в пространстве с координатами v_x , v_y , v_z – составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей»). [ 6 ] Во-вторых, геометрия Лобачевского используется в астрономии: при описании голографической Вселенной или черных дыр. [ 7 ]

Интересно применение в игровой индустрии: игра «Жизнь» (модель зарождения жизни во «Вселенной») [ 9 ] или HyperRogue (гибрид паззла и рогалика на гиперболической плоскости). [ 3 ]

Применяется геометрия Лобачевского в живописи. В 2013 году в московском Музее современного искусства прошла выставка Маурица Корнелиса Эшера. Нидерландский художник-график известен благодаря своим работам, где он использует различные математические понятия, приемы и теории: пределы, ленты Мебиуса, геометрию Лобачевского. Заинтересовали работы-иллюзии и орнаменты. [ 2 ]

В 2015 году в Центральном зале центра дизайна ARTPLAY прошла еще одна не менее интересная выставка «Ван Гог. Ожившие полотна (Van Gogh Alive)». На его картинах отсутствует ровный фон, геометрия вангоговского пространства подчиняется законам, которые только предстояло открыть учёным 19-го столетия. Более того, во время просмотра посетители слушали классическую музыку. [ 1 ]

Использование геометрии Лобачевского в искусстве не ограничивается живописью. Творчество Фрэнка Гери тому доказательство. Он продемонстрировал возможности современных технологий проектирования. Его здания похожи друг на друга словно детали «конструктора из титана», но «мнет и гнет» он их каждый раз по-другому. В этом заключается уникальность дизайна построенных объектов. [ 11 ]

Спутниковые навигационные системы (GPS и ГЛОНАСС) состоят из двух частей: орбитальная группировка из 24-29 спутников, равномерно расположенных вокруг Земли, и управленческий сегмент на Земле, обеспечивающий синхронизацию времени на спутниках и использование ими единой системы координат. На спутниках установлены очень точные атомные часы, а в приемниках (GPS-навигаторах) обычные, кварцевые. В приемниках также есть информация о координатах всех спутников в любой момент времени. Спутники с маленькими интервалами передают сигнал, содержащий данные о времени начала передачи. Получив сигнал от не менее четырех спутников, приемник может скорректировать свои часы и вычислить расстояния до этих спутников по формуле ((время отправки сигнала спутником) – (время приема сигнала от спутника)) х (скорость света) = (расстояние до спутника). Вычисленные расстояния также корректируются по встроенным в приемник формулам. Далее, приемник находит координаты точки пересечения сфер с центрами в спутниках и радиусами, равными вычисленным расстояниям до них. Очевидно, это будут координаты приемника.

Формулы геометрии Лобачевского также используются в физике высоких энергий, а именно, в расчетах ускорителей заряженных частиц. Гиперболические пространства (т.е. пространства, в которых действуют законы гиперболической геометрии) встречаются и в самой природе. Приведем побольше примеров:

Геометрия Лобачевского проглядывается в структурах кораллов, в организации клеточных структур у растений, в архитектуре, у некоторых цветков и так далее. Кстати, если вы помните в прошлом выпуске мы рассказывали о шестиугольниках в природе, так вот, в гиперболической природе альтернативой являются семиугольники, которые также широко распространены

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

2. Примеры решения задач с помощью геометрии Лобачевского.

Два спутника связи запустили на орбиту. Чтобы понять, пересекаются ли их зоны покрытия, необходимо доказать, что любые две прямые пересекаются.

В сферической геометрии окружность максимального радиуса называется «прямой» линией.

Дано:
сфера(R;О),
две прямые на сфере

Доказать:
любые прямые пересекаются

Вторая «прямая» полностью лежит в одной из полусфер, потому что первая «прямая» делит сферу на две половины.

Поэтому её радиус (r) вторая «прямая» не является прямой => любые две «прямые» пересекаются на сфере, что и требовалось доказать.

Из-за загрязнения окружающей среды и появления озоновых дыр ученые прогнозировали на западном полушарии Земли потепление. Они описали его приблизительные размеры с использованием параллель и меридиан. Найти сумму углов предполагаемой зоны потепления, чтобы в дальнейшем высчитать ее точную площадь.

Найти:
Сумму углов ΔABC, образованного двумя меридианами и параллелью.

AC перпендикулярна DF; AB перпендикулярна DF (как меридианы) => угол β и угол α = 90° =>

ΔABC = угол α + угол β + угол 1 = (90°·2) + 45°= 225°.

За последние 5 лет одним из самых крупнейших извержений вулкана было извержение Мерапи на острове Ява. В результате извержения, продолжавшегося около двух недель, потоки лавы распространились на пять километров и преобладал юго-восточный ветер. Найти сумму углов территории, пострадавшей от извержения, чтобы вулканологи смогли высчитать ее площадь.

Дано:
сфера(R;О),
сфера разбита на 8 частей (равных) тремя ортогональными прямыми; каждая часть является сферическим треугольником.

Найти:
Сумму углов ABC.

Так как стороны треугольника ортогональны, углы треугольника по 90° => сумма углов ΔABC = 90°· 3 = 270°.

В модели геометрии Лобачевского в верхней полуплоскости найти радиус (в смысле геометрии Лобачевского) окружности, описанной около треугольника ABC, где A = (2; 6),

Верно ли, что около любого треугольника на плоскости Лобачевского

можно описать окружность? Верно ли это для сферической геометрии?

Нетрудно заметить, что любая окружность в модели геометрии Лобачевского в верхней полуплоскости является окружностью и в смысле евклидовой геометрии, но не наоборот. Например, если она пересекает Абсолют (т.е. ось абсцисс) под прямым углом, то она является прямой с точки зрения геометрии Лобачевского. Поэтому, для того, чтобы понять, что в геометрии Лобачевского не около любого треугольника можно описать окружность, достаточно взять какой-нибудь треугольник в верхней полуплоскости, описанная окружность которого выходит за ее пределы.

Легко проверить, что евклидова окружность, описанная около треугольника ABC, задается уравнением:

(x — 7) 2 + (y — 6) 2 = 25;

Очевидно, что она будет также и описанной окружностью с точки зрения геометрии Лобачевского, поскольку она целиком содержится в верхней полуплоскости. Найдем теперь ее центр. Пусть M = (7; 11) и N = (7; 1) — две диаметрально противоположные точки этой окружности, найдем середину O отрезка MN. Естественно выбирать именно этот диаметр рассматриваемой окружности, поскольку в метрики

Лобачевского совсем просто вычисляется расстояние между точками с одинаковой ординатой:

d (( x ₀ ; y ₁ ); ( x ₁ ; y ₂ )) =

Пусть O = (7; y), тогда для радиуса r нашей окружности имеют место равенства:

откуда и, соответственно,

Видео:#177. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО (советский диафильм)Скачать

Тесты

В каждом задании выберите один из четырёх вариантов ответа.

1. Авторы неевклидовой геометрии

A. Лобачевский и Я. Больяи

B. Лобачевский, Больяи и Гаусс

C. Ламберт и Гаусс

D. Лобачевский и Ламберт

2. В геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника

A. меньше

B. больше

C. больше

D. больше , но меньше

3.В геометрии Лобачевского имеет место четвертый признак равенства треугольников:

A. если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

B. две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу ними другого треугольника

C. сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника

D. три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника

4. Выберите свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского:

A. две параллельные прямые на плоскости Лобачевского имеют общий перпендикуляр

B. понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского транзитивно в данном направлении

C. понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского симметрично в данном направлении

D. расстояние между параллельными прямыми бесконечно убывает в направлении параллельности и неограниченно растет в противоположном направлении

5. Выберите свойства свехпараллельных прямых на плоскости Лобачевского:

A. две параллельные прямые на плоскости Лобачевского имеют общий перпендикуляр

B. понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского транзитивно в данном направлении

C. понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского симметрично в данном направлении

D. расстояние между параллельными прямыми бесконечно убывает в направлении параллельности и неограниченно растет в противоположном направлении

6. Если прямые Лобачевского составляют с третьей прямой соответственно равные углы, то прямые

A. прямые параллельны

B. прямые сверхпараллельны

C. прямые пересекаются

D. прямые равноудалены от

7. На плоскости Лобачевского существует

A. три вида пучков прямых: пучок параллельных прямых в заданном направлении; пучок пересекающихся прямых; пучок сверхпараллельных прямых;

B. два вида пучков прямых: пучок параллельных и пучок пересекающихся прямых;

C. два вида пучков прямых: пучок параллельных и пучок сверхпараллельных прямых;

D. два вида пучков прямых: пучок пересекающихся и пучок сверхпараллельных прямых;

8. Плоскость Лобачевского реализуется в евклидовом пространстве

A. только в модели Пуанкаре на полуплоскости;

B. в модели Пуанкаре в круге, в модели Пуанкаре на полуплоскости; в модели Бельтрами –Клейна в круге; в модели на псевдосфере; в модели на одной полости двуполостного гиперболоида;

C. в модели Бельтрами –Клейна в круге; в модели на псевдосфере; в модели на одной полости двуполостного гиперболоида;

D. только в модели на псевдосфере;

9. В какой из геометрий верно утверждение: существует прямая линия, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых и параллельная к другой?

A. только в геометрии Евклида

B. только в абсолютной геометрии

C. только в геометрии Лобачевского

D. только в геометрии Римана

10. В какой из геометрий не существует понятия «подобие фигур»?

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

Геометрия Лобачевского

Пятой аксиомой Евклида была аксиома о параллельных прямых, так называемый постулат о параллельных линиях, который гласит: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. То есть эта аксиома утверждает, что существует только одна прямая, проходящая через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.

Сложная формулировка пятого постулата Евклида о параллельных линиях породила множество гипотез и предположений о возможной зависимости его от других постулатов. Были предприняты многочисленные попытки вывести его из остальных аксиом геометрии, но, к сожалению, они оказались тщетны. Усилия доказать пятый постулат от противного также не увенчались успехом.

И все же, в начале XX века почти одновременно несколько выдающихся математиков того времени — Карл Гаусс из Германии, Я. Больяи из Венгрии и Николай Иванович Лобачевский из России пришли к мысли о существовании другой, неевклидовой геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.

Поскольку Н. И. Лобачевский первым высказал эту идею в 1826 году, новая неевклидова геометрия была названа в его именем.

Геометрия Лобачевского имеет лишь одно отличие от евклидовой — аксиома параллельности заменяется на ее отрицание — аксиому параллельности Лобачевского.

Аксиома параллельности Лобачевского выглядит следующим образом:

Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.

Непротиворечивость аксиомы доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.

Основы аналитической геометрии, заложенные Лобачевским, практически наметили необходимую для доказательства модель. Лобачевский заметил, что орисфера в пространстве изометрична евклидовой плоскости. Полностью реализовать модель смогли работы Клейна, Пуанкаре и других ученых.

Геометрия Лобачевского нашла широчайшее применение в современной науке. Сам Николай Иванович Лобачевский использовал свою геометрию для вычисления определенных интегралов.

В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского способствовала успешному построению теории автоморфных функций. В этой теории связь с геометрией Лобачевского была основой для исследований Пуанкаре. По словам Анри Пуанкаре, «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи».

Кроме того, геометрия Лобачевского стала использоваться в теории чисел, а именно, в ее геометрических методах, так называемой «геометрии чисел».

Ученые также установили тесную связь геометрии Лобачевского с кинематикой — специальной теорией относительности. В основе этой связи лежит равенство, выражающее закон распространения света:

x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 ,

при делении на t 2 , то есть для скорости света, даёт уравнение сферы в пространстве с координатами v_x, v_y, v_z, которые являются составляющими скорости света по осям х, у, z.

Преобразование Лоренца сохраняет эту сферу, а поскольку они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Из этого следует, (согласно модели Клейна) что в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с , значит есть для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.

В общей теории относительности геометрия Лобачевского также нашла свое место. Допуская возможным тот факт, что распределение масс материи во Вселенной равномерно (это приближение в космических масштабах допустимо), то при определенных условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Тем самым было доказано предположение Лобачевского о новой геометрии как возможной теории пространства.

🌟 Видео

Стрим с Борисом Надеждиным, Екатериной Дунцовой и Дмитрием КисиевымСкачать

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ - МУДРЕНЫЧ (Евклид "Начала", Общая теория относительности, история на пальцах)Скачать

Николай ЛобачевскийСкачать

Неевклидова геометрия Лобачевского — Валентина КириченкоСкачать

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать

Что на самом деле доказал Лобачевский?Скачать