Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц python

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

numpy.linalg.eig

Функция linalg.eig() вычисляет собственные числа (значения) и собственные векторы квадратной матрицы.

Собственное число квадратной матрицы a и ее собственный вектор связаны равенством np.dot(a, v) = w*v .

Если у матрицы несколько собственных чисел и соответственно несколько собственных векторов, то данная функция возвращает массив собственных значений и массив собственных векторов (необязательно упорядоченных). В этом случае выполняются равенства np.dot(a[. ], v[:,i]) = w[i] * v[:,i] , для всех i из интервала [0, . M — 1] , где M — размер матрицы.

Параметры: a — массив NumPy или подобнй массиву объект. Это может быть толко «квадратный» двумерный массив, т.е. квадратная матрица. Если это многомерный массив, то две его последние оси должны быть равны, в этом случае он рассматривается как массив матриц и все вычисления выполняются отдельно для каждой из них. Возвращает: w — массив NumPy Собственные числа входной матрицы. v — массив NumPy Собственные векторы входной матрицы.

Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Замечание

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Примеры

Иногда, визуально кажется, что вышеописанные равенства не выполняются:

Однако, значения первых столбцов равны, а значения второго и третьего столбцов настолько малы, что могут быть приравнены к 0.

Всегда следует помнить об ошибках округления:

Но на самом деле w = [1.000000001, 0.999999999] .

Видео:Собственные значения и собственные векторы. ТемаСкачать

Каков самый быстрый способ найти собственные значения/векторы в python?

В настоящее время im использует numpy, который выполняет задание. Но, поскольку я имею дело с матрицами с несколькими тысячами строк/столбцов, и позже эта цифра будет возрастать до десятков тысяч, мне было интересно, существует ли существующий пакет, который может выполнять такие вычисления быстрее?

Видео:7 4 Собственные векторы и собственные значенияСкачать

ОТВЕТЫ

Ответ 1

**, если ваша матрица разрежена, а затем создайте экземпляр своей матрицы, используя конструктор из scipy.sparse, затем используйте аналогичные собственные методы/собственные значения в spicy.sparse.linalg. С точки зрения производительности это имеет два преимущества:

ваша матрица, построенная из конструктора spicy.sparse, будет меньше по размеру, насколько она разрежена.

методы собственного значения/собственного вектора для разреженных матриц (eigs, eigsh) принимают необязательный аргумент, k, который является числом собственного вектора/пар собственных значений, которые вы хотите вернуть. Почти всегда число, необходимое для учетa > 99% дисперсии, намного меньше количества столбцов, которые вы можете проверить ex post; другими словами, вы можете сказать, что метод не вычисляет и не возвращает все пары собственных/собственных значений — за небольшим (обычно) небольшим подмножеством, необходимым для учета дисперсии, маловероятно, что вам нужно все остальное.

используйте библиотеку линейных алгебр в SciPy, scipy.linalg, вместо этого одноименной библиотеки NumPy. Эти две библиотеки одно и то же имя и использовать те же имена методов. Но есть разница в производительности. Это различие вызвано тем, что numpy.linalg является менее надежной оберткой на аналогичных процедурах LAPACK, которые пожертвовать некоторой производительностью для мобильности и удобства (т.е. чтобы соответствовать цели дизайна NumPy, что вся библиотека NumPy должен быть построен без компилятора Fortran). linalg в SciPy on другая сторона представляет собой гораздо более полную оболочку на LAPACK и которая использует f2py.

выберите функцию, подходящую для вашего использования; другими словами, не использовать функцию делает больше, чем вам нужно. В scipy.linalg существует несколько функций для вычисления собственных значений; различия невелики, хотя тщательный выбор функции для вычисления собственных значений вы должны увидеть повышение производительности. Для пример:

• scipy.linalg.eig возвращает как собственные значения, так и собственные векторы
• scipy.linalg.eigvals возвращает только собственные значения. Поэтому, если вам нужны только собственные значения матрицы, тогда не используйте linalg.eig, вместо этого используйте linalg.eigvals.
• если у вас есть квадратные симметричные матрицы с вещественным значением (равные его транспонированию), то используйте scipy.linalg.eigsh

оптимизируйте свою Scipy-сборку. Создайте среду сборки SciPy. выполняется в основном в SciPy setup.py script. Возможно, наиболее важным вариантом является определение любого оптимизированного Библиотеки LAPACK, такие как ATLAS или инфраструктура Accelerate/vecLib (OS X только?), чтобы SciPy мог их обнаружить и построить против них. В зависимости от установки, которую вы сейчас используете, оптимизация вашего SciPy сборка, повторная установка может дать вам существенную производительность увеличение. Дополнительные примечания от основной команды SciPy: здесь.

Будут ли эти функции работать для больших матриц?

Я так думаю. Это методы разложения матрицы промышленной прочности и которые являются лишь тонкой оболочкой над аналогичной процедурой Fortran LAPACK.

Я использовал большинство методов в библиотеке linalg для разложения матриц, в которых количество столбцов обычно составляет от 5 до 50, а количество строк обычно превышает 500 000. Ни SVD, ни методы собственных значений, похоже, не имеют проблем с обработкой матриц такого размера.

Используя библиотеку SciPy linalg, вы можете рассчитать собственные векторы и собственные значения с помощью одного вызова с использованием любого из нескольких методов из этой библиотеки eig, eigvalsh и в восемь.

Ответ 2

Если ваши матрицы разрежены, вы можете попробовать использовать функцию scipy sparse ownvalue, которая должна быть быстрее:

Вы также можете проверить специализированные пакеты, такие как SLEPc, которые имеют привязки python и могут выполнять вычисления параллельно с помощью mpi:

Видео:А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицыСкачать

Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц python

NumPy : матрицы и операции над ними

В этом ноутбуке из сторонних библиотек нам понадобится только NumPy . Для удобства импортируем ее под более коротким именем:

Приведем несколько способов создания матриц в NumPy .

Самый простой способ — с помощью функции numpy.array(list, dtype=None, . ).

В качестве первого аргумента ей надо передать итерируемый объект, элементами которого являются другие итерируемые объекты одинаковой длины и содержащие данные одинакового типа.

Второй аргумент является опциональным и определяет тип данных матрицы. Его можно не задавать, тогда тип данных будет определен из типа элементов первого аргумента. При задании этого параметра будет произведена попытка приведения типов.

Например, матрицу из списка списков целых чисел можно создать следующим образом:

Второй способ создания — с помощью встроенных функций numpy.eye(N, M=None, . ), numpy.zeros(shape, . ), numpy.ones(shape, . ).

Первая функция создает единичную матрицу размера N times M; если M не задан, то M = N.

Вторая и третья функции создают матрицы, состоящие целиком из нулей или единиц соответственно. В качестве первого аргумента необходимо задать размерность массива — кортеж целых чисел. В двумерном случае это набор из двух чисел: количество строк и столбцов матрицы.

Примеры:

Обратите внимание: размерность массива задается не двумя аргументами функции, а одним — кортежем!

Вот так — np.ones(7, 5) — создать массив не получится, так как функции в качестве параметра shape передается 7 , а не кортеж (7, 5) .

И, наконец, третий способ — с помощью функции numpy.arange([start, ]stop, [step, ], . ), которая создает одномерный массив последовательных чисел из промежутка [start, stop) с заданным шагом step, и метода array.reshape(shape).

Параметр shape, как и в предыдущем примере, задает размерность матрицы (кортеж чисел). Логика работы метода ясна из следующего примера:

Более подробно о том, как создавать массивы в NumPy , см. документацию.

Для получения элементов матрицы можно использовать несколько способов. Рассмотрим самые простые из них.

Для удобства напомним, как выглядит матрица d:

Элемент на пересечении строки i и столбца j можно получить с помощью выражения array[i, j].

Обратите внимание: строки и столбцы нумеруются с нуля!

Из матрицы можно получать целые строки или столбцы с помощью выражений array[i, :] или array[:, j] соответственно:

Еще один способ получения элементов — с помощью выражения array[list1, list2], где list1, list2 — некоторые списки целых чисел. При такой адресации одновременно просматриваются оба списка и возвращаются элементы матрицы с соответствующими координатами. Следующий пример более понятно объясняет механизм работы такого индексирования:

Примеры использования слайсинга:

Более подробно о различных способах индексирования в массивах см. документацию.

Следующие два способа задания массива кажутся одинаковыми:

Однако, на самом деле, это задание одномерного массива (то есть вектора) и двумерного массива:

Обратите внимание: вектор (одномерный массив) и вектор-столбец или вектор-строка (двумерные массивы) являются различными объектами в NumPy , хотя математически задают один и тот же объект. В случае одномерного массива кортеж shape состоит из одного числа и имеет вид (n,), где n — длина вектора. В случае двумерных векторов в shape присутствует еще одна размерность, равная единице.

В большинстве случаев неважно, какое представление использовать, потому что часто срабатывает приведение типов. Но некоторые операции не работают для одномерных массивов. Например, транспонирование (о нем пойдет речь ниже):

Все элементы в массиве numpy принадлежат одному типу. В этом плане массивы ближе к C, чем к привычным вам листам питона. Numpy имеет множество встренных типов, подходящих для решения большинства задач.

К массивам (матрицам) можно применять известные вам математические операции. Следут понимать, что при этом у элементов должны быть схожие размерности. Поведение в случае не совпадения размерностей хорошо описанно в документации numpy.

Напоминание теории. Операция умножения определена для двух матриц, таких что число столбцов первой равно числу строк второй.

Пусть матрицы A и B таковы, что A in mathbb^ и B in mathbb^ . Произведением матриц A и B называется матрица C, такая что c_ = sum_^ a_b_ , где c_ — элемент матрицы C, стоящий на пересечении строки с номером i и столбца с номером j.

В NumPy произведение матриц вычисляется с помощью функции numpy.dot(a, b, . ) или с помощью метода array1.dot(array2), где array1 и array2 — перемножаемые матрицы.

Матрицы в NumPy можно умножать и на векторы:

Обратите внимание: операция * производит над матрицами покоординатное умножение, а не матричное!

Более подробно о матричном умножении в NumPy см. документацию.

Массивы можно Объединенять. Есть горизонтальное и вертикальное объединение.

Массивы можно переформировать при помощи метода, который задает новый многомерный массив. Следуя следующему примеру, мы переформатируем одномерный массив из десяти элементов во двумерный массив, состоящий из пяти строк и двух столбцов:

Решите без использования циклов средставми NumPy (каждый пункт решается в 1-2 строчки)

1. Создайте вектор с элементами от 12 до 42
2. Создайте вектор из нулей длины 12, но его пятый елемент должен быть равен 1
3. Создайте матрицу (3, 3), заполненую от 0 до 8
4. Найдите все положительные числа в np.array([1,2,0,0,4,0])
5. Умножьте матрицу размерности (5, 3) на (3, 2)
6. Создайте матрицу (10, 10) так, чтобы на границе были 0, а внтури 1
7. Создайте рандомный вектор и отсортируйте его
8. Каков эквивалент функции enumerate для numpy массивов?
9. *Создайте рандомный вектор и выполните нормализацию столбцов (из каждого столбца вычесть среднее этого столбца, из каждого столбца вычесть sd этого столбца)
10. *Для заданного числа найдите ближайший к нему элемент в векторе
11. *Найдите N наибольших значений в векторе

Напоминание теории. Транспонированной матрицей A^ называется матрица, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы. Формально: элементы матрицы A^ определяются как a^_ = a_ , где a^_ — элемент матрицы A^ , стоящий на пересечении строки с номером i и столбца с номером j.

В NumPy транспонированная матрица вычисляется с помощью функции numpy.transpose() или с помощью метода array.T, где array — нужный двумерный массив.

См. более подробно о numpy.transpose() и array.T в NumPy .

В следующих разделах активно используется модуль numpy.linalg, реализующий некоторые приложения линейной алгебры. Более подробно о функциях, описанных ниже, и различных других функциях этого модуля можно посмотреть в его документации.

Напоминание теории. Для квадратных матриц существует понятие определителя.

Пусть A — квадратная матрица. Определителем (или детерминантом) матрицы A in mathbb^ назовем число

где alpha_, alpha_, dots, alpha_ — перестановка чисел от 1 до n, N(alpha_, alpha_, dots, alpha_) — число инверсий в перестановке, суммирование ведется по всем возможным перестановкам длины n.

Не стоит расстраиваться, если это определение понятно не до конца — в дальнейшем в таком виде оно не понадобится.

Например, для матрицы размера 2 times 2 получается:

Вычисление определителя матрицы по определению требует порядка n! операций, поэтому разработаны методы, которые позволяют вычислять его быстро и эффективно.

В NumPy определитель матрицы вычисляется с помощью функции numpy.linalg.det(a), где a — исходная матрица.

Рассмотрим одно интересное свойство определителя. Пусть у нас есть параллелограмм с углами в точках (0, 0), (c,d), (a+c, b+d), (a, b) (углы даны в порядке обхода по часовой стрелке). Тогда площадь этого параллелограмма можно вычислить как модуль определителя матрицы left( begin a & c \ b & d end right). Похожим образом можно выразить и объем параллелепипеда через определитель матрицы размера 3 times 3.

Напоминание теории. Рангом матрицы A называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы.

В NumPy ранг матрицы вычисляется с помощью функции numpy.linalg.matrix_rank(M, tol=None), где M — матрица, tol — параметр, отвечающий за некоторую точность вычисления. В простом случае можно его не задавать, и функция сама определит подходящее значение этого параметра.

С помощью вычисления ранга матрицы можно проверять линейную независимость системы векторов.

Допустим, у нас есть несколько векторов. Составим из них матрицу, где наши векторы будут являться строками. Понятно, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда ранг полученной матрицы совпадает с числом векторов. Приведем пример:

Напоминание теории. Системой линейных алгебраических уравнений называется система вида Ax = b, где A in mathbb^, x in mathbb^, b in mathbb^ . В случае квадратной невырожденной матрицы A решение системы единственно.

В NumPy решение такой системы можно найти с помощью функции numpy.linalg.solve(a, b), где первый аргумент — матрица A, второй — столбец b.

Убедимся, что вектор x действительно является решением системы:

Бывают случаи, когда решение системы не существует. Но хотелось бы все равно “решить” такую систему. Логичным кажется искать такой вектор x, который минимизирует выражение leftVert Ax - brightVert^ — так мы приблизим выражение Ax к b.

В NumPy такое псевдорешение можно искать с помощью функции numpy.linalg.lstsq(a, b, . ), где первые два аргумента такие же, как и для функции numpy.linalg.solve(). Помимо решения функция возвращает еще три значения, которые нам сейчас не понадобятся.

Напоминание теории. Для квадратных невырожденных матриц определено понятие обратной матрицы.

Пусть A — квадратная невырожденная матрица. Матрица A^ называется обратной матрицей к A, если

где I — единичная матрица.

В NumPy обратные матрицы вычисляются с помощью функции numpy.linalg.inv(a), где a — исходная матрица.

Напоминание теории. Для квадратных матриц определены понятия собственного вектора и собственного числа.

Пусть A — квадратная матрица и A in mathbb^ . Собственным вектором матрицы A называется такой ненулевой вектор x in mathbb^ , что для некоторого lambda in mathbb выполняется равенство Ax = lambda x. При этом lambda называется собственным числом матрицы A. Собственные числа и собственные векторы матрицы играют важную роль в теории линейной алгебры и ее практических приложениях.

В NumPy собственные числа и собственные векторы матрицы вычисляются с помощью функции numpy.linalg.eig(a), где a — исходная матрица. В качестве результата эта функция выдает одномерный массив w собственных чисел и двумерный массив v, в котором по столбцам записаны собственные вектора, так что вектор v[:, i] соотвествует собственному числу w[i].

Обратите внимание: у вещественной матрицы собственные значения или собственные векторы могут быть комплексными.

Вспомним некоторые нормы, которые можно ввести в пространстве mathbb^ , и рассмотрим, с помощью каких библиотек и функций их можно вычислять в NumPy .

p-норма (норма Гёльдера) для вектора x = (x_, dots, x_) in mathbb^ вычисляется по формуле:

В частных случаях при: * p = 1 получаем ell_ норму * p = 2 получаем ell_ норму

Далее нам понабится модуль numpy.linalg , реализующий некоторые приложения линейной алгебры. Для вычисления различных норм мы используем функцию numpy.linalg.norm(x, ord=None, . ), где x — исходный вектор, ord — параметр, определяющий норму (мы рассмотрим два варианта его значений — 1 и 2). Импортируем эту функцию:

ell_ норма (также известная как манхэттенское расстояние) для вектора x = (x_, dots, x_) in mathbb^ вычисляется по формуле:

Ей в функции numpy.linalg.norm(x, ord=None, . ) соответствует параметр ord=1.

ell_ норма (также известная как евклидова норма) для вектора x = (x_, dots, x_) in mathbb^ вычисляется по формуле:

Ей в функции numpy.linalg.norm(x, ord=None, . ) соответствует параметр ord=2.

Более подробно о том, какие еще нормы (в том числе матричные) можно вычислить, см. документацию.

Для двух векторов x = (x_, dots, x_) in mathbb^ и y = (y_, dots, y_) in mathbb^ ell_ и ell_ раccтояния вычисляются по следующим формулам соответственно:

Скалярное произведение в пространстве mathbb^ для двух векторов x = (x_, dots, x_) и y = (y_, dots, y_) определяется как:

Длиной вектора x = (x_, dots, x_) in mathbb^ называется квадратный корень из скалярного произведения, то есть длина равна евклидовой норме вектора:

Теперь, когда мы знаем расстояние между двумя ненулевыми векторами и их длины, мы можем вычислить угол между ними через скалярное произведение:

где alpha in [0, pi] — угол между векторами x и y.

Напоминание теории. Комплексными числами называются числа вида x + iy, где x и y — вещественные числа, а i — мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство i^ = -1). Множество всех комплексных чисел обозначается буквой mathbb (подробнее про комплексные числа см. википедию).

В питоне комплескные числа можно задать следующим образом (j обозначает мнимую единицу):

С комплексными числами в питоне можно производить базовые арифметические операции так же, как и с вещественными числами:

Рассмотрим сложную математическую функцию на отрезке [1, 15]:

f(x) = sin(x / 5) * exp(x / 10) + 5 * exp(-x / 2)

Она может описывать, например, зависимость оценок, которые выставляют определенному сорту вина эксперты, в зависимости от возраста этого вина. Мы хотим приблизить сложную зависимость с помощью функции из определенного семейства. В этом задании мы будем приближать указанную функцию с помощью многочленов.

Как известно, многочлен степени n (то есть w_0 + w_1 x + w_2 x^2 + ldots + w_n x^n) однозначно определяется любыми n + 1 различными точками, через которые он проходит. Это значит, что его коэффициенты w_0, … w_n можно определить из следующей системы линейных уравнений:

где через x_1, . x_n, x_ обозначены точки, через которые проходит многочлен, а через f(x_1), . f(x_n), f(x_) — значения, которые он должен принимать в этих точках.

Воспользуемся описанным свойством, и будем находить приближение функции многочленом, решая систему линейных уравнений.

💡 Видео

Собственные значения и собственные векторыСкачать

Основы SciPy | Научные И Математические Вычисления На PythonСкачать

Матрицы в SymPyСкачать

#11. Произведение матриц и векторов, элементы линейной алгебры | NumPy урокиСкачать

Собственные значения и собственные векторы. ПримерСкачать

Матрицы на пальцах. Основные операции с матрицами в Python [Математика для машинного обучения]Скачать

Основы NumPy Python | Массивы, Матрицы И Операции Над НимиСкачать

Занятие 12. Векторы и матрицыСкачать

29 Вложенные списки PythonСкачать

Айгенвектора и айгензначения | Сущность Линейной Алгебры, глава 10Скачать

Собственные значения матрицыСкачать

#3. Функции автозаполнения, создания матриц и числовых диапазонов | NumPy урокиСкачать

Овчинников А. В. - Линейная алгебра - Собственные значения и собственные векторы линейного оператораСкачать

4.7 Возведение матрицы в степень 🌶️. "Поколение Python": курс для продвинутых. Курс StepikСкачать