Все виды треугольников и описать окружностью

math4school.ru

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Содержание
  1. Треугольники
  2. Основные свойства
  3. Равенство треугольников
  4. Подобие треугольников
  5. Медианы треугольника
  6. Биссектрисы треугольника
  7. Высоты треугольника
  8. Серединные перпендикуляры
  9. Окружность, вписанная в треугольник
  10. Окружность, описанная около треугольника
  11. Расположение центра описанной окружности
  12. Равнобедренный треугольник
  13. Равносторонний треугольник
  14. Прямоугольный треугольник
  15. Вневписанные окружности
  16. Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде
  17. Виды треугольников
  18. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  19. Типы треугольников
  20. По величине углов
  21. По числу равных сторон
  22. Вершины углы и стороны треугольника
  23. Свойства углов и сторон треугольника
  24. Теорема синусов
  25. Теорема косинусов
  26. Теорема о проекциях
  27. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  28. Медианы треугольника
  29. Свойства медиан треугольника:
  30. Формулы медиан треугольника
  31. Биссектрисы треугольника
  32. Свойства биссектрис треугольника:
  33. Формулы биссектрис треугольника
  34. Высоты треугольника
  35. Свойства высот треугольника
  36. Формулы высот треугольника
  37. Окружность вписанная в треугольник
  38. Свойства окружности вписанной в треугольник
  39. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  40. Окружность описанная вокруг треугольника
  41. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  42. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  43. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  44. Средняя линия треугольника
  45. Свойства средней линии треугольника
  46. Периметр треугольника
  47. Формулы площади треугольника
  48. Формула Герона
  49. Равенство треугольников
  50. Признаки равенства треугольников
  51. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  52. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  53. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  54. Подобие треугольников
  55. Признаки подобия треугольников
  56. Первый признак подобия треугольников
  57. Второй признак подобия треугольников
  58. Третий признак подобия треугольников

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Треугольники

Видео:Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Основные свойства

Все виды треугольников и описать окружностью

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Все виды треугольников и описать окружностью

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Все виды треугольников и описать окружностью

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

Все виды треугольников и описать окружностью

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Все виды треугольников и описать окружностью

Видео:Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников

Равенство треугольников

Все виды треугольников и описать окружностью

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

Все виды треугольников и описать окружностью

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Все виды треугольников и описать окружностью

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Все виды треугольников и описать окружностью

Видео:Виды треугольниковСкачать

Виды треугольников

Подобие треугольников

Все виды треугольников и описать окружностью

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Все виды треугольников и описать окружностью

Два треугольника подобны, если:

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Все виды треугольников и описать окружностью

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Все виды треугольников и описать окружностью

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Все виды треугольников и описать окружностью

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Медианы треугольника

Все виды треугольников и описать окружностью

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

Все виды треугольников и описать окружностью

  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
  • Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Все виды треугольников и описать окружностью

Видео:Виды треугольников. 6 классСкачать

Виды треугольников. 6 класс

Биссектрисы треугольника

Все виды треугольников и описать окружностью

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Все виды треугольников и описать окружностью

Длина биссектрисы угла А :

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Все виды треугольников и описать окружностью

Видео:Математика 6 класс. Треугольник. Виды треугольников. ЕГЭ, ОГЭ, ЦТ, экзаменСкачать

Математика 6 класс. Треугольник.  Виды треугольников. ЕГЭ, ОГЭ, ЦТ, экзамен

Высоты треугольника

Все виды треугольников и описать окружностью

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Все виды треугольников и описать окружностью

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Все виды треугольников и описать окружностью

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Серединные перпендикуляры

Все виды треугольников и описать окружностью

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность, вписанная в треугольник

Все виды треугольников и описать окружностью

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Все виды треугольников и описать окружностью

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Все виды треугольников и описать окружностью

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

Треугольники. 7 класс.

Окружность, описанная около треугольника

Все виды треугольников и описать окружностью

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Все виды треугольников и описать окружностью

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Расположение центра описанной окружности

Все виды треугольников и описать окружностьюВсе виды треугольников и описать окружностьюВсе виды треугольников и описать окружностьюЦентр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Видео:Геометрия 7 кл. Треугольники. Определение. Обозначение. Компоненты. Особенности. Виды треугольников.Скачать

Геометрия 7 кл. Треугольники. Определение. Обозначение. Компоненты. Особенности. Виды треугольников.

Равнобедренный треугольник

Все виды треугольников и описать окружностью

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Все виды треугольников и описать окружностью

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Все виды треугольников и описать окружностью

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Равносторонний треугольник

Все виды треугольников и описать окружностью

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Все виды треугольников и описать окружностью

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Все виды треугольников и описать окружностью

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Все виды треугольников и описать окружностью

Видео:Виды треугольников 3 класс математикаСкачать

Виды треугольников 3 класс математика

Прямоугольный треугольник

Все виды треугольников и описать окружностью

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.
  • одному острому углу;
  • из пропорциональности двух катетов;
  • из пропорциональности катета и гипотенузы.

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Все виды треугольников и описать окружностью

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Все виды треугольников и описать окружностью

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Все виды треугольников и описать окружностью

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Все виды треугольников и описать окружностью

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Все виды треугольников и описать окружностью

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты: Все виды треугольников и описать окружностью

через катет и острый угол: Все виды треугольников и описать окружностью

через гипотенузу и острый угол: Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Радиус вписанной окружности:

Все виды треугольников и описать окружностью

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Вневписанные окружности

Все виды треугольников и описать окружностью

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О1 , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО1 и C О1 внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О1О2О3 (точки A , B и C – основания высот в Δ О1О2О3 ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О1 , 180°–2 О2 , 180°–2 О3 .

Радиус окружности, описанной около Δ О1О2О3 , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О1О2О3 .

Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для rВсе виды треугольников и описать окружностью

для R – Все виды треугольников и описать окружностью

для S – Все виды треугольников и описать окружностью

для самих ra , rb , rсВсе виды треугольников и описать окружностью

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Все виды треугольников и описать окружностью

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

  • если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
  • если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
  • если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Все виды треугольников и описать окружностью

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Все виды треугольников и описать окружностью

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Виды треугольников

Треугольники бывают остроугольными, тупоугольными, прямоугольными, разносторонними, равносторонними, равнобедренными.

Определение 1. Треугольник называется остроугольным, если все ее углы острые, т.е. меньше 90° (Рис.1).

Все виды треугольников и описать окружностью

Определение 2. Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, т.е. больше 90° (Рис.2).

Все виды треугольников и описать окружностью

Если треугольник тупоугольный, то исходя из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, остальные два угла треугольника будут острыми.

Определение 3. Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой, т.е. равен 90° (Рис.3).

Все виды треугольников и описать окружностью

Если треугольник прямоугольный, то исходя из того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, остальные два угла треугольника будут острыми.

Определение 4. Треугольник называется разносторонним, если длины всех сторон треугольника разные (Рис.4).

Все виды треугольников и описать окружностью

Определение 5. Треугольник называется равносторонним или правильным, если длины всех сторон равны (Рис.5).

Все виды треугольников и описать окружностью

Определение 6. Треугольник называется равнобедренным, если длины двух сторон равны (Рис.6).

Все виды треугольников и описать окружностью

В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона называется основанием.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать

ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минут

Типы треугольников

По величине углов

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

По числу равных сторон

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Все виды треугольников и описать окружностью

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Все виды треугольников и описать окружностью

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Все виды треугольников и описать окружностью

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Все виды треугольников и описать окружностью

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Все виды треугольников и описать окружностью

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Все виды треугольников и описать окружностью

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Все виды треугольников и описать окружностью

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Все виды треугольников и описать окружностью

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Все виды треугольников и описать окружностью

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Все виды треугольников и описать окружностью

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Все виды треугольников и описать окружностью

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Поделиться или сохранить к себе: