Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Все теоремы об окружности и касательной и секущейОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Все теоремы об окружности и касательной и секущейСвойства хорд и дуг окружности
Все теоремы об окружности и касательной и секущейТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Все теоремы об окружности и касательной и секущейДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Все теоремы об окружности и касательной и секущейТеорема о бабочке

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьВсе теоремы об окружности и касательной и секущей
КругВсе теоремы об окружности и касательной и секущей
РадиусВсе теоремы об окружности и касательной и секущей
ХордаВсе теоремы об окружности и касательной и секущей
ДиаметрВсе теоремы об окружности и касательной и секущей
КасательнаяВсе теоремы об окружности и касательной и секущей
СекущаяВсе теоремы об окружности и касательной и секущей
Окружность
Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругВсе теоремы об окружности и касательной и секущей

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусВсе теоремы об окружности и касательной и секущей

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаВсе теоремы об окружности и касательной и секущей

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрВсе теоремы об окружности и касательной и секущей

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяВсе теоремы об окружности и касательной и секущей

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяВсе теоремы об окружности и касательной и секущей

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеВсе теоремы об окружности и касательной и секущейДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыВсе теоремы об окружности и касательной и секущейЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныВсе теоремы об окружности и касательной и секущейБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиВсе теоремы об окружности и касательной и секущейУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыВсе теоремы об окружности и касательной и секущейДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыВсе теоремы об окружности и касательной и секущей

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыВсе теоремы об окружности и касательной и секущей

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиВсе теоремы об окружности и касательной и секущей

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныВсе теоремы об окружности и касательной и секущей

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиВсе теоремы об окружности и касательной и секущей

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыВсе теоремы об окружности и касательной и секущей

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыВсе теоремы об окружности и касательной и секущей
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиВсе теоремы об окружности и касательной и секущей
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиВсе теоремы об окружности и касательной и секущей
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаВсе теоремы об окружности и касательной и секущей

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Пересекающиеся хорды
Все теоремы об окружности и касательной и секущей
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Все теоремы об окружности и касательной и секущей
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Все теоремы об окружности и касательной и секущей
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Все теоремы об окружности и касательной и секущей
Пересекающиеся хорды
Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Тогда справедливо равенство

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Касательная к окружности

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

О чем эта статья:

Видео:Теорема о касательной и секущейСкачать

Теорема о касательной и секущей

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Все теоремы об окружности и касательной и секущей

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Теоремы о хордах, касательной и секущей окружностиСкачать

Теоремы о хордах, касательной и секущей окружности

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордойСкачать

11 класс, 40 урок, Угол между касательной и хордой

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    🎬 Видео

    Касательная и секущая к окружности.Скачать

    Касательная и секущая к окружности.

    Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

    Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

    Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать

    Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.

    Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Урок 22. Геометрия 11 классСкачать

    Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Урок 22. Геометрия 11 класс

    11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

    11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

    Теорема о касательной и секущей ДоказательствоСкачать

    Теорема о касательной и секущей Доказательство

    Угол между касательной и хордойСкачать

    Угол между касательной и хордой
    Поделиться или сохранить к себе: