На сколько частей делят плоскость n прямых среди которых нет параллельных

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Зад10. Найдите все такие x, что 19x оканчивается на 99.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Для самостоятельного решения

Зад11. В прямоугольном треугольнике все стороны целые. Докажите, что его площадь делится на 6.

Зад12. Можно ли клетчатый квадрат 1999´1999 разрезать по границам клеток на 10000 прямоугольников с равными диагоналями?

Зад13. Может ли сумма 13 точных квадратов быть точным квадратом?

Зад14. Пусть m не делится на простое число p. Тогда

14-1. Числа m, 2m, 3m, …, (p-1)m дают различные остатки по модулю p.

14-2. Числа (p-1)! и mp-1(p-1)! дают одинаковые остатки при делении на p.

14-3. (малая теорема Ферма).

Видео:На сколько частей n прямых делят плоскость? // Владимир АрнольдСкачать

Индукция (ликбез)

1. Из квадрата клетчатой бумаги размером 2n´2n вырезали одну угловую клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на «уголки» из трех клеток.

2. Последовательность задана правилом: a1=1, а каждый член, начиная со второго, вычисляется по формуле . Докажите, что an = 2n-1.

3. Докажите, что любую сумму, начиная с 8 рублей, можно выплатить монетами по 3 рубля и 5 рублей.

4. Доказать тождества:

a) 1+2+…+n = ;

c) 12+22+…+n2 = ;

d) 12+32+. +(2n-1) 2 = ;

e) ;

f) ;

5. Докажите, что число 11…1 (3n единиц) делится на 3n.

6. На сколько частей делят плоскость n прямых, среди которых нет параллельных и никакие три не пересекаются в одной точке? (Прямые «общего положения»).

Видео:В.И. Арнольд - На сколько частей n прямых делят плоскость?Скачать

Задачи по индукции для самостоятельного решения

1. На плоскости расположено несколько прямых и окружностей. Докажите, что части, на которые они разбивают плоскость, можно покрасить в два цвета так, что любые две части, имеющие общий участок границы, покрашены в разные цвета.

2. В прямоугольнике 3´n (3 строки, n столбцов) расставлены фишки трех цветов по n штук каждого цвета. Докажите, что переставляя фишки в строчках, можно сделать так, чтобы в каждом столбце были фишки всех трех цветов.

3. Отряд девочек отправился в поход. После того, как они вернулись, их родителям стало известно, что хотя бы одна из них искупалась в походе без разрешения, и каждый решил высечь свою дочь, если узнает о том, что она купалась. Каждое утро девочки ходят в школу и обмениваются слухами о том, кто искупался в походе и кого высекли родители, которые сообщают вечером родителям (исключая информацию о том, купались ли они сами). Через 13 дней несколько отцов, получив очередную порцию информацию, догадались о провинности их дочерей и высекли их. Сколько детей получило в этот вечер наказание?

4. Можно ли отметить на плоскости несколько точек так, чтобы на расстоянии 1 от каждой отмеченной точки находилось ровно 10 отмеченных?

Видео:Математика 5 класс. Плоскость, прямая, лучСкачать

Графы – 3: Ребра и компоненты, циклы, деревья

Зад1. Докажите, что по итогам однокругового турнира всегда найдутся две команды, сыгравшие одинаковое число игр вничью.

Зад2. Во дворе живут 4 песика: Бобик, Робик, Тобик и Толстолобик. Каждому из них случалось драться с кем-нибудь из остальных, причем у Бобика, Робика и Тобика число тех, с кем они дрались – разное. Со сколькими собаками двора дрался Толстолобик?

Зад3. Докажите, что у каждого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.

Зад4. Степень каждой вершины связного графа – не менее 100. Одно ребро выкинули. Может ли получиться несвязный граф?

Определение. Ребро, при выкидывании которого граф перестает быть связным, называется мостом. Циклом называется замкнутый путь по ребрам графа без повторяющихся ребер.

Упр5. Докажите, что мост не входит ни в какой цикл.

Зад6. В Огогондии 2000 городов. Президент издал указ связать их железными дорогами в единую сеть. Каждая ветка связывает два города, не пересекаясь с другими ветками. Докажите, что всего понадобится не менее 1999 веток.

Определение. Деревом называется связный граф без циклов.

Теорема 7 (свойства деревьев). а) В дереве порядка n ровно n-1 ребро. б) Если в связном графе n-1 ребро, то это – дерево. в) Каждое ребро дерева – мост.

Зад8. Из спичек сложили квадрат, разбитый линиями из спичек на 64 квадратных поля со стороной в одну спичку. Какое наименьшее число спичек надо убрать, чтобы с любого поля на любое другое можно было пройти, не перепрыгивая через спички?

Теорема 9 (о числе ребер связного графа). В графе порядка n с k компонентами связности – не менее n—k ребер.

Зад10. Можно ли раскрасить ребра куба в два цвета так, чтобы по ребрам каждого цвета можно было пройти из любой вершины в любую?

Зад11. В связном графе между любыми двумя вершинами есть маршрут из не более чем трех ребер, а степень каждой вершины не более, чем 4. Докажите, что в графе не более 53-х вершин.

Зад12. Сеть дорог в графстве Вишкиль устроена так, что из любого города можно добраться в любой другой ровно одним способом. а) Докажите, что есть город, из которого выходит ровно одна дорога; б) Докажите, что таких города по крайней мере два.

Зад13. В соседнем графстве Омутнинске тоже можно добраться из любого города в любой, но, возможно, более чем одним способом. Докажите, что начальник ГАИ графства может (в целях экономии) закрыть несколько дорог так, чтобы любые два города оказались соединены единственным маршрутом.

Упр14. Докажите, что если в графе порядка n есть не менее n ребер, то в нем есть цикл.

Видео:Плоскость. Прямая. Луч. 5 классСкачать

Для самостоятельного решения

Зад15. Петя заметил, что у всех его 25 одноклассников различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети? (Укажите все решения)

Зад16. В Зурбагане любой город соединен авиалиниями не более, чем с тремя другими, и из любого города в любой другой можно проехать, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее число городов может быть в Зурбагане?

Зад17. Каждая грань кубика разбита на 4 квадрата. Некоторые стороны этих квадратов раскрасили в красный цвет – всего 26 сторон. Докажите, что на поверхности кубика найдется замкнутая ломаная из красных отрезков.

Зад18. В графе с 2n вершинами n2+1 ребро. Докажите, что в нем есть три вершины, попарно соединенные ребрами.

Зад19. В компании из k человек (k>3) каждый узнал по новому анекдоту. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им анекдоты. Пусть n — наименьшее число разговоров, за которые все могут узнать все анекдоты. Докажите, что: а) k-1£n£2k-3 б) n£2k-4 в)* n³1,5k-2 г)** n³2k-5 д)*** n=2k-4 .

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Площади

1. Площадь целого равна сумме площадей частей.

2. Равные фигуры имеют равные площади.

3. Площадь прямоугольника со сторонами a и b равна ab.

Теорема 1. Площадь параллелограмма ABCD равна произведению стороны AD на расстояние между прямыми AD и BC.

Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону.

Теорема 3. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Упр4. Докажите, что а) медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника; б) три медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Упр5. Докажите, что а) площадь треугольника со сторонами а, b, c не превосходит ; б) площадь четырехугольника с диагоналями p и q не превосходит .

Упр6. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 1.

Упр7. Существует ли такой треугольник, что а) все его стороны больше 1 км, а площадь меньше 1 см2; б) все его высоты меньше 1 см, а площадь больше 1 км2; в) все стороны треугольника меньше 1 см, а его площадь больше 1 см2.

Зад8. а) Через каждую вершину выпуклого четырехугольника проведена прямая, параллельная его диагонали. Докажите, что полученный параллелограмм по площади вдвое больше четырехугольника.

б) Середины соседних сторон выпуклого четырехугольника соединены отрезками. Докажите, что площадь полученного четырехугольника вдвое меньше площади данного.

Зад9. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в узлах сетки не менее .

Зад10. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что AD параллельна BC Û треугольники ABO и CDO равновелики.

Теорема 11. а) Площадь треугольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности. б) Площадь описанного многоугольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

На сколько областей делят плоскость n прямых, среди которых не более n-k коллинеарных? Текст научной статьи по специальности « Математика»

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шнурников Игорь Николаевич

Видео:Параллельность прямой к плоскостиСкачать

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Шнурников Игорь Николаевич

Видео:#171 ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ // ПЕРЕСЕЧЕНИЕСкачать

Текст научной работы на тему «На сколько областей делят плоскость n прямых, среди которых не более n-k коллинеарных?»

УДК 514.144.12, 514.752.5, 514.753.25

НА СКОЛЬКО ОБЛАСТЕЙ ДЕЛЯТ ПЛОСКОСТЬ n ПРЯМЫХ, СРЕДИ КОТОРЫХ НЕ БОЛЕЕ n — k КОЛЛИНЕАРНЫХ?

Оценено число компонент связности дополнения в вещественной проективной плоскости к семейству n ^ 2 различных прямых, из которых в любой точке пересекается не более чем п — к. Если п ^ к ^ к + 3, то число областей не меньше (к + 1 )(п — к). Таким образом, получено новое доказательство теоремы Н. Мартинова, описывающей все пары натуральных чисел (n, f), для которых существует конфигурация n прямых, делящая проективную плоскость на f областей.

Ключевые слова: конфигурации прямых, многоугольные разбиения проективной плоскости.

A number of connective components of the real projective plane, disjoint with the family of n ^ 2 distinct lines is estimated provided at most n — к lines are concurrent. If n ^ к ^к + 3, then the number of regions is at least (k + 1) (n — k). Thus, a new proof of Martinov’s theorem is obtained. This theorem determines all pairs of integers (n, f) such that there is an arrangement of n lines dividing the projective plane into f regions.

Key words: arrangements of lines, polygonal decompositions of projective plane.

Введение. Рассмотрим конечное семейство A из n(A) ^ 2 попарно различных прямых на вещественной проективной плоскости RP2. Семейство прямых разбивает плоскость RP2 на многоугольные области, количество которых обозначим через f (A). Максимальное число прямых из семейства A, пересекающихся в одной точке, обозначим через t(A). Семейства A, состоящие из n(A) = t(A) пересекающихся в одной точке прямых, делят плоскость RP2 на f (A) = n(A) двуугольных областей. Такие тривиальные семейства будем в дальнейшем рассматривать только в теореме Н. Мартинова.

Изучим зависимость множества чисел f (A) от параметров n = n(A), t = t(A) для всех возможных конфигураций A. Перечислим известные результаты по этой теме.

Б. Грюнбаум в книге [1] получил неравенства f(A) ^ 2n — 2 при t ^ n — 1 и f(A) ^ 3n — 6 при t ^ n — 2. Г. Б. Пурди доказал в [2], что если t ^ n — k и n ^ 4k2 + k + 1 для некоторого целого числа k, то

(п — к) M^zilX 0, то -ш(г) ^ 0 для всех 2 ^ г ^ Отсюда, учитывая неотрицательность а^ и формулы (1)—(3), получаем

/ — 1 = ^(г — 1)а^ ^ а ^(3 — г)а^ + в ^ г(г — 1)а» ^ 3а + п(п — 1)в-

Подставляя в полученное неравенство / — 1 ^ 3а+п(п — 1)в явные значения а и в, приходим к неравенству

Теорема 2. Пусть А — нетривиальное семейство, состоящее из п прямых на проективной плоскости, в любой точке которой пересекается не более п — к прямых. Тогда при условии п ^ к2+к 3 семейство А образует не менее (к + 1)(п — к) областей.

Доказательство. Как и раньше, будем использовать следующие обозначения: ¿(А) — максимальная кратность, /(А) — число областей, а^, е(А) — число ребер, v(A) — число вершин. Рассмотрим пять случаев:

1) к + 1 ^ ¿(А) ^ п — к,

Теперь рассмотрим два случая по отдельности.

Случай (а). Прямая Р^ не принадлежит семейству А. Тогда, подставляя в неравенство (8) параметры

п(Ао) = 2Л, I = п — 2Л, /(Ао) = Л2 + 2Л — 1, Я(Ао) = (Л — 1)2 +2, ж, ^ 0, г* ^ 0,

получаем неравенство /(А/) ^ Осталось заметить, что /(А) = /(А/) и что неравенство

4кп-бк^+8к-б ^ ^ _ равносильно неравенству (А; — 3)(п — (ЗА; — 2)) ^ 0, которое выполняется при

данных условиях на п и Л. Поэтому в случае (а) получаем /(А) ^ (Л + 1)(п — Л).

Случай (б). Прямая Р^ принадлежит семейству А. Обозначим через Ъ^ количество точек пересечения прямых семейства А кратности лежащих на прямой Р^ и отличных от точек Р и Тогда количество прямых семейства А, не проходящих через точки Р и равно I = ^^^=2(^ — 1)Ъ^ = п — 2Л + 1. Из определения чисел ж* и г* следует

> Ъз + . + Ък и ^ ж* ^^ С? — 3)Ъ,-. (9)

Вычислим параметры семейства Ао :

п(Ао) = 2Л — 2, /(Ао) = Л2 — 2, Я(Ао) = (Л — 2)2 + 2. (10)

Подставим (9), (10) и формулу /(А) — /(А1) = 2 + ^к=2 Ъj в неравенство (8):

Щ = п — 2к + 1 и ^ ^ §(,? — 1) при ] ^ 3, то

Учитывая последнее неравенство, преобразуем (11) к виду

(8А; — 3)п — 12к2 + 22к — 15 ПА) > — •

Осталось доказать неравенство

(8Л — 3)п — 12Л2 +22Л — 15 2

^ (k + 1)(n — k) ^ n(2k — 9) ^ 6k2 — 28k + 15,

которое имеет место при п ^ к ^ к + 3 ^ ЗА; + 3 и при к ^ 6. Случай (б) разобран. □

Теорема 3 (Н. Мартинов). Конфигурация n прямых высекает f областей на проективной плоскости тогда и только тогда, когда найдется целое число k, 0 ^ k ^ n — 2, такое, что

Доказательство. Достаточность Н. Мартинов доказал в [4], построив следующую конфигурацию. Пусть п — Л прямых проходит через одну точку О, остальные Л прямых находятся в общем положении

18 ВМУ, математика, механика, № 5

относительно друг друга, Ь точек пересечения к прямых между собой принадлежит Ь прямым, проходящим

через точку О. Такая конфигурация делит проективную плоскость на (п — к) (к + 1) + ^ — £ областей,

Докажем необходимость. Обозначим через (1п максимальное целое число, такое, что п ^ + 3.

Обозначим через целые числа отрезка

Множества /д. при к ^ (1п заполняют все целые числа отрезка [(с1п + 1 )(п — (1п), 1 + га(-га2

1^]. Рассмотрим произвольную конфигурацию А с п = п(А) прямыми. Если максимальная кратность Ь(А) ^ п — то /(А) £ 1п_£(А). Если максимальная кратность Ь(А) ^ п — то, согласно теореме 2, имеем неравенство /(А) ^ + 1)(п — ^га), и поэтому найдется целое к ^ такое, что /(А) £ . □

Работа частично поддержана программой «Ведущие научные школы России», проект НШ-660.2008.1; программой развития научного потенциала высшей школы, проект РНП 2.1.1.3704; РФФИ, грант № 07-01-00648-а.

1. Grünbaum B. Arrangements and Spreads. AMS. Providence, R.I., 1972.

2. Purdy G.B. On the number of regions determined by n lines in the projective plane // Geom. dedic. 1980. 9. 107-109.

3. Арнольд В.И. На сколько частей делят плоскость n прямых? // Матем. просвещение. Сер. 3. 2008. 12. 95-104.

4. Martinov N. Classification of arrangements by the number of their cells // Discrete and Comput. Geometry. 1993. 9, N 1. 39-46.

5. Melchior E. Über Vielseite der Projektiven Ebene // Dtsch. Math. 1940. 5. 461-475.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Изучение различных случаев взаимного расположения точек, прямых и плоскостей

5.5.2.5. Рассмотрим еще одно исследовательское задание, относящееся к изучению различных случаев взаимного расположения точек, прямых и плоскостей. Это задание составлено совместно с О. В. Холодной на базе книги [199]. Оно связано с разбиением пространства на части (области) несколькими плоскостями: например, на сколько частей (областей) делят пространство пять плоскостей?

Приступая к решению этого задания, не следует сразу пытаться что-то исследовать, придумывать, рисовать. Полезно начать с решения простых задач.

Задача 5.85. На сколько частей (областей) две плоскости разбивают пространство?

1. Представьте, что одна плоскость — потолок, а другая — пол (имеется в виду потолок и пол, продолженные во все стороны неограниченно). Если у вас обыкновенная комната, то эти две плоскости параллельны.

Вы видите, что в этом случае две плоскости делят пространство на части (области) 1, 2 и 3 (рис. 5.117).

2. Если двумя плоскостями будут пол и одна из стен? Эти две плоскости разбивают пространство на части (области) 1, 2, 3, 4 (рис. 5.118).

В первом случае мы имели три части (области), а во втором — четыре.

Можно исходное задание сформулировать иначе: на какое наибольшее число частей (областей) могут разбить пространство две плоскости?

Исходя из этой формулировки задания, решим следующую задачу.

Задача 5.86. На какое наибольшее число частей (областей) делят пространство три плоскости?

Рассмотрим возможные случаи расположения трех плоскостей:

• • три плоскости параллельны друг другу (рис. 5.119, а);
• • две плоскости параллельны, а третья пересекает их (рис. 5.119, б);
• • нет двух параллельных плоскостей (рис. 5.119, в).

На рис. 5.120 представлен вид спереди: получаем четыре и шесть частей (областей) соответственно.

Пример третьего случая — это пол и две соседние стены обычной комнаты.

В этом случае получаем восемь частей.

Итак, мы рассмотрели все возможные случаи взаимного расположения трех плоскостей. Число частей для трех случаев — четыре, шесть и восемь. Таким образом, восемь — это наибольшее количество частей пространства для трех плоскостей.

Запишем результаты решения первых двух задач в табл. 5.7.

Максимальное число частей (областей) пространства

Можно добавить еще более простые задачи: на какое наибольшее число частей разбивает пространство одна плоскость? нуль плоскостей?

Рассмотрение этих случаев будет полезно. Добавим их в табл. 5.7 и получим табл. 5.8.

Максимальное число частей (областей) пространства

Для нахождения стратегии решения исходного задания рассмотрим расположение точек на прямой.

Задача 5.87. На сколько частей несколько точек делят прямую?

Если на прямой имеется п точек, то они разбивают прямую на п + 1 частей. Обозначим L(n) число частей, порождаемых п точками на прямой, тогда

Для этой формулы есть обоснование. Предположим, на прямой имеется п точек. Пронумеруем точки слева направо в том порядке, в каком они появляются на прямой (рис. 5.121).

Теперь сосчитаем части прямой. Есть бесконечная часть слева от точки 1. Обозначим эту часть 1. Тогда между точками 1 и 2 будет часть 2. При последовательном прохождении каждой точки считается следующая часть. Таким образом, между точками п — 1 и п находится часть п, а справа от точки п — часть п + 1. Итак, всего п + 1 частей.

Рассмотрим аналогичную задачу.

Задача 5.88. На какое наибольшее число частей (областей) разбивают плоскость несколько прямых?

Для двух прямых есть две возможности (рис. 5.122). Выберем наибольшее число частей плоскости — четыре.

Возможны четыре случая (рис. 5.123):

• • три прямые параллельны — четыре части (рис. 5.123, а);
• • есть только две параллельные прямые — шесть частей (рис. 5.123, б);

• • нет параллельных прямых, все прямые проходят через дну точку — шесть частей (рис. 5.123, в);
• • нет параллельных прямых, никакие три прямые не проходят через одну точку — семь частей (рис. 5.123, г).

Наибольшее число частей — семь.

2. Четыре прямые.

Поступим так: на рис. 5.123, а добавим четвертую прямую так, чтобы при этом не образовалось параллельных прямых и пересечения трех или более прямых в одной точке (рис. 5.124).

Подсчитаем число образовавшихся частей плоскости: три прямые разбивают плоскость на семь частей; общий результат будет суммой количества старых частей и количества новых частей.

Подсчет новых частей, порожденных четвертой прямой, проводится следующим образом: четвертая прямая пересекает каждую из данных трех прямых в различных точках (на рис. 5.125, а нет параллельных прямых и нет пересечения в одной точке). Можно подсчитать новые части, переходя «от одного конца четвертой прямой к другому». Когда встречается первая точка пересечения, создается новая часть плоскости. Затем, когда встречается вторая точка пересечения, добавляется другая часть плоскости. Аналогично добавляется третья части, наконец, при завершении путешествия к другому концу прямой — четвертая.

Итак, всего получим 7 + 4=11 частей.

Возникает очень непростой вопрос: смогут ли учащиеся применить описанный выше метод подсчета для определения числа частей плоскости, порожденных пятью прямыми? шестью? большим количеством прямых?

Метод, который мы использовали для четырех прямых, можно обобщить.

Предположим, что имеется п прямых и что число частей плоскости, которые они порождают, максимально. Обозначим это число Р(п). Среди этих прямых нет параллельных и нет трех прямых, проходящих через одну точку. Теперь добавим (п + 1)-ю прямую так, чтобы она не была параллельна ни одной из данных прямых и не проходила бы ни через одну точку их пересечения.

Число Р(п + 1) равно Р(п) плюс количество новых частей, порожденных (п + 1)-й прямой, (п + 1)-я прямая пересекает каждую из исходных п прямых в отдельной точке. Это выглядит так, как на рис. 5.125, б.

Каждая часть на этой прямой связана с частью плоскости, которая образована исходными п прямыми и делится на две части (п + 1)-й прямой. Таким образом,

Очень интересный результат! Получена формула, которая показывает связь частей плоскости, образованных п + 1 прямой, с числом частей, образованных п прямыми!

Этот этап необходимо закрепить самостоятельным решением подобных задач.

Задача 5.89. Действительно ли мы доказали, что эта формула дает наибольшее число частей плоскости, порожденных п + 1 прямой?

Задача 5.90. Формула для функции Р(п) называется рекурсивной. Можно ли найти для Р(п) не рекурсивную формулу, а такую, в левой части которой стоит Р(п), а справа — выражение, зависящее только от п, а не от других значений функции Р(п)?

Объединим то, что известно о трех ситуациях: разбиение прямой точками, разбиение прямыми плоскости, разбиение плоскостями в пространстве (табл. 5.9).

Число частей (областей) для разных объектов

🎥 Видео

Отрезок, луч, прямаяСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика 5 класс (Урок№21 - Прямая, луч, отрезок.)Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика 5 Класс за 4 часаСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.Скачать