Все свойства углов связанных с окружностью

Углы, связанные с окружностью
Все свойства углов связанных с окружностьюВписанные и центральные углы
Все свойства углов связанных с окружностьюУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Все свойства углов связанных с окружностьюДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью
Содержание
  1. Вписанные и центральные углы
  2. Теоремы о вписанных и центральных углах
  3. Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
  4. Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
  5. Центральные и вписанные углы
  6. Центральный угол и вписанный угол
  7. Свойства центральных и вписанных углов
  8. Примеры решения задач
  9. Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности
  10. Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности.
  11. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью:
  12. Взаимное расположение окружности и прямой:
  13. Взаимное расположение окружности и точки:
  14. Взаимное расположение двух окружностей:
  15. Свойства углов, связанных с окружностью:
  16. Метрические соотношения в окружности (длины отрезков):
  17. 🔥 Видео

Видео:Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Все свойства углов связанных с окружностью

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Все свойства углов связанных с окружностью

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВсе свойства углов связанных с окружностью
Вписанный уголВсе свойства углов связанных с окружностьюВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВсе свойства углов связанных с окружностьюВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВсе свойства углов связанных с окружностьюДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВсе свойства углов связанных с окружностьюВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВсе свойства углов связанных с окружностью

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Все свойства углов связанных с окружностью

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Все свойства углов связанных с окружностью

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Все свойства углов связанных с окружностью

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Все свойства углов связанных с окружностью

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Все свойства углов связанных с окружностью

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Все свойства углов связанных с окружностью

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВсе свойства углов связанных с окружностьюВсе свойства углов связанных с окружностью
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВсе свойства углов связанных с окружностьюВсе свойства углов связанных с окружностью
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВсе свойства углов связанных с окружностьюВсе свойства углов связанных с окружностью
Угол, образованный касательной и секущейВсе свойства углов связанных с окружностьюВсе свойства углов связанных с окружностью
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВсе свойства углов связанных с окружностьюВсе свойства углов связанных с окружностью

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

Любые два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°=π

Все свойства углов связанных с окружностью

Угол между пересекающимися хордами:

Все свойства углов связанных с окружностью

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности:

Все свойства углов связанных с окружностью

Угол между касательными:

Все свойства углов связанных с окружностью

Угол между касательной и хордой:

Все свойства углов связанных с окружностью

Метрические соотношения в окружности (длины отрезков):

Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением:

Все свойства углов связанных с окружностью

Отрезки касательных, проведенных из общей точки, равны:

Все свойства углов связанных с окружностью

Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей, проведенной из той же точки:

Все свойства углов связанных с окружностью

Произведения длин отрезков секущих, проведенных из общей точки, равны:

Все свойства углов связанных с окружностью

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Все свойства углов связанных с окружностью
Формула: Все свойства углов связанных с окружностью
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Все свойства углов связанных с окружностью

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Все свойства углов связанных с окружностью
Формула: Все свойства углов связанных с окружностью
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Все свойства углов связанных с окружностью

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Все свойства углов связанных с окружностью

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Все свойства углов связанных с окружностью

В этом случае справедливы равенства

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Все свойства углов связанных с окружностью

В этом случае справедливы равенства

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Все свойства углов связанных с окружностью

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностью

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Основные свойства окружности. Формулы связанные с окружностьюСкачать

Основные свойства окружности. Формулы связанные с окружностью

Центральные и вписанные углы

Все свойства углов связанных с окружностью

О чем эта статья:

Видео:11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Все свойства углов связанных с окружностью

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Все свойства углов связанных с окружностью

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Важные свойства и определения, связанные с окружностьюСкачать

Важные свойства и определения, связанные с окружностью

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Все свойства углов связанных с окружностью

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Все свойства углов связанных с окружностью

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Все свойства углов связанных с окружностью

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Все свойства углов связанных с окружностью

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Все свойства углов связанных с окружностью

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Все свойства углов связанных с окружностью

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Все свойства углов связанных с окружностью

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Все свойства углов связанных с окружностью

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Все свойства углов связанных с окружностью

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Все свойства углов связанных с окружностью

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Все свойства углов связанных с окружностью

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Все свойства углов связанных с окружностью

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности

Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности.

Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью:

Все свойства углов связанных с окружностьюЦентральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Если отнести длину этой дуги к радиусу окружности то получится радианная мера угла.

Взаимное расположение окружности и прямой:

Все свойства углов связанных с окружностью

1. Окружность и прямая не имеют общих точек

Все свойства углов связанных с окружностью

2. Окружность и прямая имеют 2 общие точки (l — секущая)

Все свойства углов связанных с окружностью

3. Окружность и прямая имеют 1 общую точку (l — касательная)

Взаимное расположение окружности и точки:

Все свойства углов связанных с окружностью

1. Точка лежит вне окружности (2 касательные через точку А)

Все свойства углов связанных с окружностью

2. Точка лежит внутри окружности (нет касательных через точку А)

Все свойства углов связанных с окружностью

3. Точка лежит на окружности (1 касательная через точку А)

Взаимное расположение двух окружностей:

Все свойства углов связанных с окружностью

1. Одна окружность лежит внутри другой.

Все свойства углов связанных с окружностью

2. Одна окружность касается другой изнутри.

Все свойства углов связанных с окружностью

3. Окружности пересекаются.

Все свойства углов связанных с окружностьюВсе свойства углов связанных с окружностью

4. Одна окружность касается другой снаружи или одна окружность лежит вне другой.

Свойства углов, связанных с окружностью:

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу:

Все свойства углов связанных с окружностью

Все свойства углов связанных с окружностьюВсе вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны:Все свойства углов связанных с окружностью
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны:Все свойства углов связанных с окружностьюВсе свойства углов связанных с окружностью
Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые:Все свойства углов связанных с окружностьюВсе свойства углов связанных с окружностью
Все свойства углов связанных с окружностьюУгол между касательной и секущей:Все свойства углов связанных с окружностьюВсе свойства углов связанных с окружностью
Все свойства углов связанных с окружностьюВсе свойства углов связанных с окружностью
Все свойства углов связанных с окружностьюВсе свойства углов связанных с окружностью
Все свойства углов связанных с окружностьюВсе свойства углов связанных с окружностью
Все свойства углов связанных с окружностью

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

🔥 Видео

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

8 класс. Углы, связанные с окружностью.Скачать

8 класс. Углы, связанные с окружностью.

Смирнов В.А. Углы и отрезки, связанные с окружностьюСкачать

Смирнов В.А. Углы и отрезки, связанные с окружностью

Свойства углов в окружности, о которых все забываютСкачать

Свойства углов в окружности, о которых все забывают

Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Урок1. Углы и отрезки, связанные с окружностью.Скачать

Урок1. Углы и отрезки, связанные с окружностью.

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вписанный угол в окружность ❤️ #геометрияСкачать

Вписанный угол в окружность ❤️ #геометрия
Поделиться или сохранить к себе: