Вписанные и центральные углы |
Углы, образованные хордами, касательными и секущими |
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью |
- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
- Центральные и вписанные углы
- Центральный угол и вписанный угол
- Свойства центральных и вписанных углов
- Примеры решения задач
- Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности
- Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности.
- Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью:
- Взаимное расположение окружности и прямой:
- Взаимное расположение окружности и точки:
- Взаимное расположение двух окружностей:
- Свойства углов, связанных с окружностью:
- Метрические соотношения в окружности (длины отрезков):
- 🔥 Видео
Видео:Углы, связанные с окружностьюСкачать
Вписанные и центральные углы
Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Теоремы о вписанных и центральных углах
Фигура | Рисунок | Теорема | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
Угол, образованный пересекающимися хордами | |||
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга | |||
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания | |||
Угол, образованный касательной и секущей | |||
Угол, образованный двумя касательными к окружности |
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами | |||||
Формула: | |||||
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга | |||||
Формула: | |||||
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами | |||||
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания | |||||
Формула: | |||||
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей | |||||
Формула: | |||||
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами | |||||
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности | |||||
Формулы: | |||||
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать Доказательства теорем об углах, связанных с окружностьюТеорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5). Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана. Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6). В этом случае справедливы равенства и теорема 1 в этом случае доказана. Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7). В этом случае справедливы равенства что и завершает доказательство теоремы 1. Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 8. Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 9. Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 10. Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 11. Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 12. Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство Видео:Основные свойства окружности. Формулы связанные с окружностьюСкачать Центральные и вписанные углыО чем эта статья: Видео:11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать Центральный угол и вписанный уголОкружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра. Определение центрального угла: Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF Определение вписанного угла: Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC Видео:Важные свойства и определения, связанные с окружностьюСкачать Свойства центральных и вписанных угловУглы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ. Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла. Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство. Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart! Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
AB * AC = AE * AD
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180° Видео:Углы, связанные с окружностьюСкачать Примеры решения задачЦентральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно. Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80° Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол. Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
СB = ⅕ от 360° = 72° Видео:Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности.Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью: | |||||
Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Если отнести длину этой дуги к радиусу окружности то получится радианная мера угла. | |||||
Взаимное расположение окружности и прямой:1. Окружность и прямая не имеют общих точек 2. Окружность и прямая имеют 2 общие точки (l — секущая) 3. Окружность и прямая имеют 1 общую точку (l — касательная) Взаимное расположение окружности и точки:1. Точка лежит вне окружности (2 касательные через точку А) 2. Точка лежит внутри окружности (нет касательных через точку А) 3. Точка лежит на окружности (1 касательная через точку А) Взаимное расположение двух окружностей:1. Одна окружность лежит внутри другой. 2. Одна окружность касается другой изнутри. 3. Окружности пересекаются.
4. Одна окружность касается другой снаружи или одна окружность лежит вне другой. Свойства углов, связанных с окружностью:Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: | Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны: | ||||
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны: | |||||
Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые: | |||||
Угол между касательной и секущей: | |||||
Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team
🔥 Видео
Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
8 класс. Углы, связанные с окружностью.Скачать
Смирнов В.А. Углы и отрезки, связанные с окружностьюСкачать
Свойства углов в окружности, о которых все забываютСкачать
Вписанные углы в окружностиСкачать
Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать
Урок1. Углы и отрезки, связанные с окружностью.Скачать
Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Вписанный угол в окружность ❤️ #геометрияСкачать