Все формулы длины и кругового сектора окружности

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
Все формулы длины и кругового сектора окружностиОсновные определения и свойства. Число π
Все формулы длины и кругового сектора окружностиФормулы для площади круга и его частей
Все формулы длины и кругового сектора окружностиФормулы для длины окружности и ее дуг
Все формулы длины и кругового сектора окружностиПлощадь круга
Все формулы длины и кругового сектора окружностиДлина окружности
Все формулы длины и кругового сектора окружностиДлина дуги
Все формулы длины и кругового сектора окружностиПлощадь сектора
Все формулы длины и кругового сектора окружностиПлощадь сегмента

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Длина окружности, площадь круга и площадь кругового сектораСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Длина окружности, площадь круга и площадь кругового сектора

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьВсе формулы длины и кругового сектора окружности
ДугаВсе формулы длины и кругового сектора окружности
КругВсе формулы длины и кругового сектора окружности
СекторВсе формулы длины и кругового сектора окружности
СегментВсе формулы длины и кругового сектора окружности
Правильный многоугольникВсе формулы длины и кругового сектора окружности
Все формулы длины и кругового сектора окружности
Окружность
Все формулы длины и кругового сектора окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаВсе формулы длины и кругового сектора окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругВсе формулы длины и кругового сектора окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторВсе формулы длины и кругового сектора окружности

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментВсе формулы длины и кругового сектора окружности

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникВсе формулы длины и кругового сектора окружности

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Формулы для площади круга и его частей

Все формулы длины и кругового сектора окружности,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Все формулы длины и кругового сектора окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Все формулы длины и кругового сектора окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Все формулы длины и кругового сектора окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Все формулы длины и кругового сектора окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаВсе формулы длины и кругового сектора окружности
Площадь сектораВсе формулы длины и кругового сектора окружности
Площадь сегментаВсе формулы длины и кругового сектора окружности
Площадь круга
Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораВсе формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Все формулы длины и кругового сектора окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаВсе формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Все формулы длины и кругового сектора окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Площадь сектора и сегмента. 9 класс.Скачать

Площадь сектора и сегмента. 9 класс.

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Все формулы длины и кругового сектора окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиВсе формулы длины и кругового сектора окружности
Длина дугиВсе формулы длины и кругового сектора окружности
Длина окружности
Все формулы длины и кругового сектора окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиВсе формулы длины и кругового сектора окружности

если величина угла α выражена в радианах

Все формулы длины и кругового сектора окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№24 - Площадь круга. Площадь кругового сектора.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№24 - Площадь круга. Площадь кругового сектора.)

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:Решение задач с использованием формулы длины окружности, площади круга и кругового сектораСкачать

Решение задач с использованием формулы длины окружности, площади круга и кругового сектора

Длина окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Все формулы длины и кругового сектора окружности

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Все формулы длины и кругового сектора окружности

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Все формулы длины и кругового сектора окружности

из которой вытекает равенство:

Все формулы длины и кругового сектора окружности

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Все формулы длины и кругового сектора окружности

из которой вытекает равенство:

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№25 - Решение задач с исп.форм.длины окр.,площади круга и кругового сектора.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№25 - Решение задач с исп.форм.длины окр.,площади круга и кругового сектора.)

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Все формулы длины и кругового сектора окружности

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Все формулы длины и кругового сектора окружности

из которой вытекает равенство:

Все формулы длины и кругового сектора окружности

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Все формулы длины и кругового сектора окружности

из которой вытекает равенство:

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:Окружность и круг | Часть 1 | основные понятия и элементыСкачать

Окружность и круг | Часть 1 | основные понятия и элементы

Длина окружности, площадь круга и кругового сектора

Корзина

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме «Длина круга и площадь кругового сектора».

Содержание данной онлайн страницы электронного справочника для школьников:

  • – тема «Длина окружности» представлена на примере решения задач 124 — 129;
  • – в контрольных работах с номерами 130 — 138 данной рабочей тетради по математике рассматривается, как находить площадь круга и сектора окружности.

Вывод формулы длины окружности.

Пусть C и C′ — длины окружностей радиусов R и R′. Впишем в окружности правильные многоугольники.

Pn = n • an = n • 2R • Sin Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Pn′ = n • an = n • 2R′ • Sin Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Тогда Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Зная, что периметры Pn и Pn′ — приближенные значения длин окружностей C и C′, при n →∞, получаем

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Но в силу равенства Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиполучаем Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

По свойству пропорции Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Значение величины π («пи») приближенно равно 3,14.

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности
Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности
Формула длины окружности:

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Задача 124.

Если известен радиус R = 4, то длина окружности C = 2πR = 2 • 3,14 • 4 = 25,12

Если C = 82, то радиус окружности R = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= 13,1

Если C = 18π, то радиус окружности R = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= 9

Задача 125.

a — сторона правильного треугольника

Найдите: длину описанной окружности

an = 2R • Sin ( Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности), тогда сторона правильного треугольника

a = R Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиR = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Тогда длина окружности, описанной около правильного треугольника равна C = 2πR = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Вывод формулы для вычисления дуги L с градусной мерой α. Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Градусная мера окружности 360°,

Длина окружности C = 2πR

Длина дуги в 1° равна Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Тогда длина дуги окружности в α градусах: Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Задача 126.

1) α = 30°2) α = 45°3) α = 60°4) α = 90°

Найти: длину дуги окружности

1) L = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• 30° = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• 30° = π (см)

2) L = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• 45° = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• 3 = 1,5π (см)

3) L = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• 60° = 2π (см)

4) L = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• 90° = 3π (см)

Задача 127.

ABCDEF — правильный шестиугольник,

площадь шестиугольника S6 = 24 Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностисм 2

Найти: чему равна длина описанной окружности C = ?

Значит, нужно найти радиус описанной окружности.

Площадь шестиугольника определяется по формуле

S6 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• P6 • r6

Радиус вписанной окружности определяется по формуле

r6 = R • Cos Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• R

Сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности: a6 = R

Тогда периметр шестиугольника P6 = 6 • a6 = 6R (см)

S6 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• P6 • r6 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• 6R • Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• R = 1,5 Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности•R 2

24 Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= 1,5 Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности•R 2

R 2 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= 16 Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиПолучаем радиус описанной окружности

R = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= 4 (см)

Тогда длина описанной окружности равна

C = 2πR = 2π • 4 = 8π (см)

Задача 128.

сторона квадрата AB = a

Найти: длину вписанной окружности C = 2π • r = ?

r4 = R • Cos Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= R • Cos 45° = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиR

C = 2π • r = 2π • Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиR = π • R Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

AB = a = 2r = R Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности. Значит, C = π • R Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= π • a

Ответ: длина окружности, вписанной в квадрат C = π • a

Задача 129.

Дано: окружность (O; R) – описанная около следующих фигур

1) Δ ABC – вписанный прямоугольный треугольник;

2) Δ ABC – вписанный равнобедренный треугольник;

a – основание, b – сторона

3) ABCD – вписанный прямоугольник,

BC = a – сторона прямоугольника,

α – острый угол между диагоналями

Найти: длину описанной окружности C = 2πR = ?

2R = AB Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиR = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиAB

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

AB = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Тогда длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника

C = 2π • Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиВсе формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= π Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

BH = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту

SΔABC = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиBH • AC = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности(1)

Но площадь треугольника можно также найти через деление произведения трех его сторон на четыре радиуса описанной окружности:

SΔABC = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности(2)

Используя равенства (1) и (2), получаем

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиR = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Тогда длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника

C = 2π • Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности3)

OB = OC = OA = OD = R

Проведем OH – высота и биссектриса равнобедренного треугольника ΔAOD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOHD.

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиAOD = 180° – α,

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиHOD = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• (180° – α)

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиODA = 180° – Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиDHO – Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиHOD

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиODA = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиOAD = 180° – 90° – Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• (180° – α) = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

AH = HD = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Cos Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиOAD = Cos Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

R = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Тогда длина окружности, описанной около прямоугольника

C = 2π • Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Площадь круга

S – площадь круга

Sn′ – площадь малого круга

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиДоказать:

Рассмотрим правильный многоугольник (см. рисунок).

Площадь круга больше площади многоугольника:

Sn Все формулы длины и кругового сектора окружности)

При n→∞ косинус Cos ( Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности)→1, поэтому rn → R

Следовательно, Sn′ → S при n→∞.

Из неравенства (1) следует Sn → S при n→∞.

Мы знаем, что площадь правильного многоугольника

Sn = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиPn • rn, где Pn – периметр многоугольника A1A2…An.

Учитывая, что rn → R, Pn → 2πR, Sn → S при n→∞.

Тогда S = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиPn • rn = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности2πR • R = πR 2

Формула площади круга:

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Видео:Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

Площадь сектора круга

Определение:

Сектором круга или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

πR 2 – площадь круга.

Площадь кругового сектора, мера которого 1°, равна Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Площадь кругового сектора, мера которого α градусов, равна Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Формула площади сектора круга:

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности, где

α – градусная мера дуги.

Задача 130.

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиAOB = 72°

S – площадь кругового сектора

Найдите: R – радиус окружности

S = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

360° • S = πR 2 • α

R 2 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиR = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Ответ: радиус равен R = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Задача 131.

сторона квадрата AB = a

S = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Рассмотрим на рисунке сектор FAE1H3, где AF = AH3 = R = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

S = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиS1 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• 90° = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Площадь четырех секторов:

S1+2+3+4 = 4 • Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

SABCD = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиAC • BD.

Рассмотрим ΔACD, где AD = CD = a.

По теореме Пифагора:

AC = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Тогда Sn= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиВсе формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= a 2

Следовательно, площадь заштрихованной фигуры

SEFE 1F 1 = SABCD – S 1+2+3+4 = a 2 – Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Ответ: Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности.

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиЗадача 132.

Найти: площадь окружности (O;OH1),

площадь каждой из трех мишеней = ?

Sокр1 = πR 2 = π • (OH1) 2 = π • 1 = π

Sокр2 = πR 2 = π • (OH2) 2 = π • 4 = 4π

Sокр3 = πR 2 = π • (OH3) 2 = π • 9 = 9π

Sокр4 = πR 2 = π • (OH4) 2 = π • 16 = 16π

Задача 133.

круг (O;R), описанный около четырехугольника и треугольника

1) ABCD – прямоугольник,

a и b – стороны прямоугольника

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности2) Δ ABC – прямоугольный,

α – противолежащий угол

Найти: площадь круга, изображенного на рисунке.

Рассмотрим треугольник ΔABD – прямоугольный.

По теореме Пифагора:

BD 2 = AB 2 + AD 2

R 2 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиТогда площадь круга S = πR 2 = π • Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Найдем площадь круга через его диаметр AB = 2AO = R

Sin α = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиAB = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

2R = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиR = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

S = πR 2 = π • Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= π • Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Ответ: 1) π • Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности; 2) Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности.

Задача 134.

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностикруг1 (O1; AO1) на гипотенузе AB

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностикруг2 (O2; BO2) на катете BC

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностикруг3(O3; CO3) на катете AC

Сумма площади полукруга на гипотенузе равна сумме площадей полукругов на катетах

Пусть AB = c; AC = a; BC = b.

Формула площади сектора круга

S = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

S = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

S1 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• O1A 2 , где O1A = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиc Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиS1 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности•c 2

S2 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• O2B 2 , где O2B = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиb Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиS2 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности•b 2

S3 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• O3C 2 , где O3C = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиa Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиS3 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности•a 2

Тогда S2 + S3 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности•a 2 + Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности•b 2 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• (a 2 + b 2 )

По теореме Пифагора:

S2 + S3 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• (a 2 + b 2 ) = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности• c 2 = S1

Задача 135.

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиокружность (O; AO)

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиAMB = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиAOB = 60°

чему равна площадь сектора круга с дугой ALB = ?

Градусная мера дуги

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиALB = 360° – 60° = 300°

Тогда площадь сектора круга

S = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности≈ 261,67 ≈ 262 (см 2 )

Ответ: площадь сегмента круга S ≈ 262 см 2 .

Задача 136.

круг (O; OH) вписан в ΔABC –

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Найти: чему равна площадь круга

Рассмотрим треугольник ΔABH – прямоугольный.

AO – биссектриса угла Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиA.

Значит, Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиOAH = 60° : 2 = 30°

OH = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиAO

r = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиAOH = 180° – (30° + 90°) = 60°

Sin 60° = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностирадиус описанного круга R = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Тогда радиус вписанного круга r = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности: 2 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Следовательно, площадь круга S = πr 2 = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Ответ: Sкруга = Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности

Задача 137.

Малый круг (O; OD)

Площадь большого круга

Диаметр малого круга

Найти: разницу диаметров

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружности= 10 (мм)

D2 = 2R = 2 • 9,25 = 18,5 (мм)

Задача 138.

Малый круг (O; OH) – отверстие трубы

Радиус малой трубы OH = 3м

Разница диаметров между двумя трубами AB = 1м

Все формулы длины и кругового сектора окружности Все формулы длины и кругового сектора окружностиНа квадратный метр уходит 0,8 кубических дециметров песка

Найти: сколько нужно песка, чтобы заполнить пространство между двумя трубами

Рассмотрим круг′ (O; OH).

Площадь данного круга:

S′ = πR 2 = 9 • 3,14 ≈ 28,26 (м 2 )

Рассмотрим круг′′ (O; OH+AB).

S′′ = πR 2 = 16 • 3,14 ≈ 50,24 (м 2 )

Тогда площадь между двумя трубами

S = S′′ – S′ = 50,24 – 28,26 ≈ 21,98 (м 2 )

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Нахождение длины дуги сектора круга

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить длину дуги сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их применения на практике.

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Определение дуги сектора круга

Дуга – это участок между двумя точками на окружности.

Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.

На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).

Все формулы длины и кругового сектора окружности

  • OA = OB = R (r);
  • α – угол сектора или центральный угол.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№23 - Длина окружности.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№23 - Длина окружности.)

Формулы для нахождения длины дуги сектора

Через центральный угол в градусах и радиус

Длина (L) дуги сектора равняется числу π , умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах ( α°), деленному на 180°.

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Примечание: в расчетах используется число π , приблизительно равное 3,14.

Через угол сектора в радианах и радиус

Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (aрад).

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Видео:9 класс, 28 урок, Площадь кругового сектораСкачать

9 класс, 28 урок, Площадь кругового сектора

Примеры задач

Задание 1
Дан круг с радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.

Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:

Все формулы длины и кругового сектора окружности

Задание 2
Длина дуги сектора равняется 24 см. Найдите, чему равен его угол (в радианах и градусах), если радиус круга составляет 12 см.

Решение
Для начала вычислим угол в радианах:

Все формулы длины и кругового сектора окружности

1 радиан ≈ 57,2958°

Следовательно, центральный угол приблизительно равняется 114,59 ° (2 рад ⋅ 57,2958°).

🔥 Видео

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия Атанасян

Круговой сектор. 5 класс.Скачать

Круговой сектор. 5 класс.

Площадь кругового сектора | Геометрия 7-9 класс #111 | ИнфоурокСкачать

Площадь кругового сектора | Геометрия 7-9 класс #111 | Инфоурок

Геометрия 9 класс. Тема: "Площади кругового сектора и сегмента".Скачать

Геометрия 9 класс. Тема: "Площади кругового сектора и сегмента".
Поделиться или сохранить к себе: