Основные определения и свойства. Число π |
Формулы для площади круга и его частей |
Формулы для длины окружности и ее дуг |
Площадь круга |
Длина окружности |
Длина дуги |
Площадь сектора |
Площадь сегмента |
- Основные определения и свойства
- Формулы для площади круга и его частей
- Формулы для длины окружности и её дуг
- Площадь круга
- Длина окружности
- Длина дуги
- Площадь сектора
- Площадь сегмента
- Длина окружности, площадь круга и кругового сектора
- Корзина
- Площадь круга
- Площадь сектора круга
- Нахождение длины дуги сектора круга
- Определение дуги сектора круга
- Формулы для нахождения длины дуги сектора
- Через центральный угол в градусах и радиус
- Через угол сектора в радианах и радиус
- Примеры задач
- 🔥 Видео
Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Длина окружности, площадь круга и площадь кругового сектораСкачать
Основные определения и свойства
Фигура | Рисунок | Определения и свойства | ||||||||||||||||||||||||||||
Окружность | ||||||||||||||||||||||||||||||
Дуга | ||||||||||||||||||||||||||||||
Круг | ||||||||||||||||||||||||||||||
Сектор | ||||||||||||||||||||||||||||||
Сегмент | ||||||||||||||||||||||||||||||
Правильный многоугольник | ||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность |
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Часть круга, ограниченная хордой
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.
Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.
Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать
Формулы для площади круга и его частей
Числовая характеристика | Рисунок | Формула | |||||||||||||
Площадь круга | |||||||||||||||
Площадь сектора | |||||||||||||||
Площадь сегмента |
Площадь круга |
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Видео:Площадь сектора и сегмента. 9 класс.Скачать
Формулы для длины окружности и её дуг
Числовая характеристика | Рисунок | Формула | ||
Длина окружности | ||||
Длина дуги |
Длина окружности |
где R – радиус круга, D – диаметр круга
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№24 - Площадь круга. Площадь кругового сектора.)Скачать
Площадь круга
Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).
Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .
Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .
Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна
Видео:Решение задач с использованием формулы длины окружности, площади круга и кругового сектораСкачать
Длина окружности
то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:
откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :
Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.
Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№25 - Решение задач с исп.форм.длины окр.,площади круга и кругового сектора.)Скачать
Площадь сектора
Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать
Площадь сегмента
Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем
В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем
Видео:Окружность и круг | Часть 1 | основные понятия и элементыСкачать
Длина окружности, площадь круга и кругового сектора
Корзина
Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме «Длина круга и площадь кругового сектора».
Содержание данной онлайн страницы электронного справочника для школьников:
- – тема «Длина окружности» представлена на примере решения задач 124 — 129;
- – в контрольных работах с номерами 130 — 138 данной рабочей тетради по математике рассматривается, как находить площадь круга и сектора окружности.
Вывод формулы длины окружности.
Пусть C и C′ — длины окружностей радиусов R и R′. Впишем в окружности правильные многоугольники.
Pn = n • an = n • 2R • Sin
Pn′ = n • an = n • 2R′ • Sin
Тогда
Зная, что периметры Pn и Pn′ — приближенные значения длин окружностей C и C′, при n →∞, получаем
Но в силу равенства получаем
По свойству пропорции
Значение величины π («пи») приближенно равно 3,14.
Формула длины окружности:
Задача 124.
Если известен радиус R = 4, то длина окружности C = 2πR = 2 • 3,14 • 4 = 25,12
Если C = 82, то радиус окружности R = = = 13,1
Если C = 18π, то радиус окружности R = = = 9
Задача 125.
a — сторона правильного треугольника
Найдите: длину описанной окружности
an = 2R • Sin ( ), тогда сторона правильного треугольника
a = R R =
Тогда длина окружности, описанной около правильного треугольника равна C = 2πR =
Вывод формулы для вычисления дуги L с градусной мерой α.
Градусная мера окружности 360°,
Длина окружности C = 2πR
Длина дуги в 1° равна
Тогда длина дуги окружности в α градусах:
Задача 126.
1) α = 30° | 2) α = 45° | 3) α = 60° | 4) α = 90° |
Найти: длину дуги окружности
1) L = • 30° = • 30° = π (см)
2) L = • 45° = • 3 = 1,5π (см)
3) L = • 60° = 2π (см)
4) L = • 90° = 3π (см)
Задача 127.
ABCDEF — правильный шестиугольник,
площадь шестиугольника S6 = 24 см 2
Найти: чему равна длина описанной окружности C = ?
Значит, нужно найти радиус описанной окружности.
Площадь шестиугольника определяется по формуле
S6 = • P6 • r6
Радиус вписанной окружности определяется по формуле
r6 = R • Cos = • R
Сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности: a6 = R
Тогда периметр шестиугольника P6 = 6 • a6 = 6R (см)
S6 = • P6 • r6 = • 6R • • R = 1,5 •R 2
24 = 1,5 •R 2
R 2 = = 16 Получаем радиус описанной окружности
R = = 4 (см)
Тогда длина описанной окружности равна
C = 2πR = 2π • 4 = 8π (см)
Задача 128.
сторона квадрата AB = a
Найти: длину вписанной окружности C = 2π • r = ?
r4 = R • Cos = R • Cos 45° = R
C = 2π • r = 2π • R = π • R
AB = a = 2r = R . Значит, C = π • R = π • a
Ответ: длина окружности, вписанной в квадрат C = π • a
Задача 129.
Дано: окружность (O; R) – описанная около следующих фигур
1) Δ ABC – вписанный прямоугольный треугольник;
2) Δ ABC – вписанный равнобедренный треугольник;
a – основание, b – сторона
3) ABCD – вписанный прямоугольник,
BC = a – сторона прямоугольника,
α – острый угол между диагоналями
Найти: длину описанной окружности C = 2πR = ?
2R = AB R = AB
AB =
Тогда длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника
C = 2π • • = π
BH = =
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту
SΔABC = BH • AC = (1)
Но площадь треугольника можно также найти через деление произведения трех его сторон на четыре радиуса описанной окружности:
SΔABC = = (2)
Используя равенства (1) и (2), получаем
= R =
Тогда длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника
C = 2π •
3)
OB = OC = OA = OD = R
Проведем OH – высота и биссектриса равнобедренного треугольника ΔAOD.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOHD.
AOD = 180° – α,
HOD = • (180° – α)
ODA = 180° – DHO – HOD
ODA = OAD = 180° – 90° – • (180° – α) =
AH = HD =
Cos OAD = Cos = =
R =
Тогда длина окружности, описанной около прямоугольника
C = 2π • =
Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать
Площадь круга
S – площадь круга
Sn′ – площадь малого круга
Доказать:
Рассмотрим правильный многоугольник (см. рисунок).
Площадь круга больше площади многоугольника:
Sn )
При n→∞ косинус Cos ( )→1, поэтому rn → R
Следовательно, Sn′ → S при n→∞.
Из неравенства (1) следует Sn → S при n→∞.
Мы знаем, что площадь правильного многоугольника
Sn = Pn • rn, где Pn – периметр многоугольника A1A2…An.
Учитывая, что rn → R, Pn → 2πR, Sn → S при n→∞.
Тогда S = Pn • rn = 2πR • R = πR 2
Формула площади круга:
Видео:Длина окружности. 9 класс.Скачать
Площадь сектора круга
Определение:
Сектором круга или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
πR 2 – площадь круга.
Площадь кругового сектора, мера которого 1°, равна
Площадь кругового сектора, мера которого α градусов, равна
Формула площади сектора круга:
, где
α – градусная мера дуги.
Задача 130.
AOB = 72°
S – площадь кругового сектора
Найдите: R – радиус окружности
S =
360° • S = πR 2 • α
R 2 = = R =
Ответ: радиус равен R =
Задача 131.
сторона квадрата AB = a
S =
Рассмотрим на рисунке сектор FAE1H3, где AF = AH3 = R =
S = S1 = • 90° =
Площадь четырех секторов:
S1+2+3+4 = 4 • =
SABCD = AC • BD.
Рассмотрим ΔACD, где AD = CD = a.
По теореме Пифагора:
AC =
Тогда Sn= • = a 2
Следовательно, площадь заштрихованной фигуры
SEFE 1F 1 = SABCD – S 1+2+3+4 = a 2 – =
Ответ: .
Задача 132.
Найти: площадь окружности (O;OH1),
площадь каждой из трех мишеней = ?
Sокр1 = πR 2 = π • (OH1) 2 = π • 1 = π
Sокр2 = πR 2 = π • (OH2) 2 = π • 4 = 4π
Sокр3 = πR 2 = π • (OH3) 2 = π • 9 = 9π
Sокр4 = πR 2 = π • (OH4) 2 = π • 16 = 16π
Задача 133.
круг (O;R), описанный около четырехугольника и треугольника
1) ABCD – прямоугольник,
a и b – стороны прямоугольника
2) Δ ABC – прямоугольный,
α – противолежащий угол
Найти: площадь круга, изображенного на рисунке.
Рассмотрим треугольник ΔABD – прямоугольный.
По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 + AD 2
R 2 =
Тогда площадь круга S = πR 2 = π •
Найдем площадь круга через его диаметр AB = 2AO = R
Sin α = AB =
2R = R =
S = πR 2 = π • = π • =
Ответ: 1) π • ; 2) .
Задача 134.
круг1 (O1; AO1) на гипотенузе AB
круг2 (O2; BO2) на катете BC
круг3(O3; CO3) на катете AC
Сумма площади полукруга на гипотенузе равна сумме площадей полукругов на катетах
Пусть AB = c; AC = a; BC = b.
Формула площади сектора круга
S =
S = =
S1 = • O1A 2 , где O1A = c S1 = •c 2
S2 = • O2B 2 , где O2B = b S2 = •b 2
S3 = • O3C 2 , где O3C = a S3 = •a 2
Тогда S2 + S3 = •a 2 + •b 2 = • (a 2 + b 2 )
По теореме Пифагора:
S2 + S3 = • (a 2 + b 2 ) = • c 2 = S1
Задача 135.
окружность (O; AO)
AMB = AOB = 60°
чему равна площадь сектора круга с дугой ALB = ?
Градусная мера дуги
ALB = 360° – 60° = 300°
Тогда площадь сектора круга
S = = = ≈ 261,67 ≈ 262 (см 2 )
Ответ: площадь сегмента круга S ≈ 262 см 2 .
Задача 136.
круг (O; OH) вписан в ΔABC –
Найти: чему равна площадь круга
Рассмотрим треугольник ΔABH – прямоугольный.
AO – биссектриса угла A.
Значит, OAH = 60° : 2 = 30°
OH = AO
r =
AOH = 180° – (30° + 90°) = 60°
Sin 60° = радиус описанного круга R =
Тогда радиус вписанного круга r = : 2 =
Следовательно, площадь круга S = πr 2 = =
Ответ: Sкруга =
Задача 137.
Малый круг (O; OD)
Площадь большого круга
Диаметр малого круга
Найти: разницу диаметров
= = 10 (мм)
D2 = 2R = 2 • 9,25 = 18,5 (мм)
Задача 138.
Малый круг (O; OH) – отверстие трубы
Радиус малой трубы OH = 3м
Разница диаметров между двумя трубами AB = 1м
На квадратный метр уходит 0,8 кубических дециметров песка
Найти: сколько нужно песка, чтобы заполнить пространство между двумя трубами
Рассмотрим круг′ (O; OH).
Площадь данного круга:
S′ = πR 2 = 9 • 3,14 ≈ 28,26 (м 2 )
Рассмотрим круг′′ (O; OH+AB).
S′′ = πR 2 = 16 • 3,14 ≈ 50,24 (м 2 )
Тогда площадь между двумя трубами
S = S′′ – S′ = 50,24 – 28,26 ≈ 21,98 (м 2 )
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Нахождение длины дуги сектора круга
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить длину дуги сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их применения на практике.
Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать
Определение дуги сектора круга
Дуга – это участок между двумя точками на окружности.
Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.
На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).
- OA = OB = R (r);
- α – угол сектора или центральный угол.
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№23 - Длина окружности.)Скачать
Формулы для нахождения длины дуги сектора
Через центральный угол в градусах и радиус
Длина (L) дуги сектора равняется числу π , умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах ( α°), деленному на 180°.
Примечание: в расчетах используется число π , приблизительно равное 3,14.
Через угол сектора в радианах и радиус
Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (aрад).
Видео:9 класс, 28 урок, Площадь кругового сектораСкачать
Примеры задач
Задание 1
Дан круг с радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.
Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:
Задание 2
Длина дуги сектора равняется 24 см. Найдите, чему равен его угол (в радианах и градусах), если радиус круга составляет 12 см.
Решение
Для начала вычислим угол в радианах:
1 радиан ≈ 57,2958°
Следовательно, центральный угол приблизительно равняется 114,59 ° (2 рад ⋅ 57,2958°).
🔥 Видео
Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать
Круговой сектор. 5 класс.Скачать
Площадь кругового сектора | Геометрия 7-9 класс #111 | ИнфоурокСкачать
Геометрия 9 класс. Тема: "Площади кругового сектора и сегмента".Скачать