Сумма углов треугольника 360

Сумма углов треугольника 360

Какие из следующих утверждений верны?

1) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

2) Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.

3) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует» — верно, сторона треугольника не может быть больше суммы двух других.

2) «Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам» — неверно, сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.

3) «Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности» — верно, центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.

Видео:Сумма углов любого треугольника равна 360°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Сумма углов любого треугольника равна 360°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника 360

Сумма углов треугольника — это сумма
всех внутренних углов треугольника.

Так, как углы измеряются в градусах, соответственно значение
суммы углов треугольника также измеряется в градусах.

Сумма углов треугольника есть величина постоянная,
неизменяемая, она равна 180 градусам, вне зависимости
от вида рассматриваемого треугольника.

Сумма углов треугольника 360

На рисунке 1 изображены равносторонний,
разносторонний и прямоугольный треугольники,
их суммы внутренних углов равны 180 градусам.

Также, существует теорема, которая доказывает
утверждение о том, что сумма углов треугольника
180 градусов, она называется теоремой
о сумме углов треугольника.

Теорема о сумме углов треугольника — это теорема в
геометрии о сумме углов произвольного треугольника на плоскости.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Сумма углов треугольника — определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Сумма углов треугольника:

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Сумма углов треугольника 360

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Сумма углов треугольника 360

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: Сумма углов треугольника 360АВС (рис. 220).

Сумма углов треугольника 360

Доказать: Сумма углов треугольника 360A+Сумма углов треугольника 360B +Сумма углов треугольника 360C = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда Сумма углов треугольника 360KBA =Сумма углов треугольника 360A как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aСумма углов треугольника 360MBC =Сумма углов треугольника 360C как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

Сумма углов треугольника 360KBA +Сумма углов треугольника 360ABC +Сумма углов треугольника 360MBC = 180°. ОтсюдаСумма углов треугольника 360A +Сумма углов треугольника 360B +Сумма углов треугольника 360C = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

Сумма углов треугольника 360

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

Сумма углов треугольника 360

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, тоСумма углов треугольника 3601 =Сумма углов треугольника 3602.

Сумма углов треугольника 360

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Сумма углов треугольника 360

Решение:

Пусть Сумма углов треугольника 360( Сумма углов треугольника 360— градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Сумма углов треугольника 360

Тогда Сумма углов треугольника 360

Сумма углов треугольника 360

Ответ: Сумма углов треугольника 360

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Сумма углов треугольника 360

Решение:

Сумма углов А и С треугольника ABC равна 180° — 70° = 110°. Так как биссектриса делит угол пополам, то

Сумма углов треугольника 360Сумма углов треугольника 360

Из треугольника АОС находим: Сумма углов треугольника 360

Замечание. Если Сумма углов треугольника 360то, рассуждая аналогично, получим формулу: Сумма углов треугольника 360Если, например, Сумма углов треугольника 360

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, Сумма углов треугольника 360(рис. 226).

Сумма углов треугольника 360

Докажем, чтоСумма углов треугольника 360ACB = 90°. Обозначим Сумма углов треугольника 360A = Сумма углов треугольника 360,Сумма углов треугольника 360В = Сумма углов треугольника 360. Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = Сумма углов треугольника 360АВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как Сумма углов треугольника 360АМС — равнобедренный, тоСумма углов треугольника 360A =Сумма углов треугольника 360ACM = Сумма углов треугольника 360как углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, Сумма углов треугольника 360СМВ — равнобедренный и Сумма углов треугольника 360B =Сумма углов треугольника 360BCM = Сумма углов треугольника 360. Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 Сумма углов треугольника 360+ 2Сумма углов треугольника 360, с другой — равна 180°. Отсюда 2 Сумма углов треугольника 360+ 2 Сумма углов треугольника 360= 180°, 2( Сумма углов треугольника 360+ Сумма углов треугольника 360) = 180°, Сумма углов треугольника 360+ Сумма углов треугольника 360= 90°. НоСумма углов треугольника 360ACB = Сумма углов треугольника 360+ Сумма углов треугольника 360, поэтому

Сумма углов треугольника 360ACB = 90°.

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой».

Сумма углов треугольника 360

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) Сумма углов треугольника 360C=90°,Сумма углов треугольника 360A=Сумма углов треугольника 360,Сумма углов треугольника 360B=Сумма углов треугольника 360.

Сумма углов треугольника 360

Проведем отрезок СМ так, чтоСумма углов треугольника 360ACM=Сумма углов треугольника 360, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=Сумма углов треугольника 360АВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aСумма углов треугольника 360BCM дополняетСумма углов треугольника 360ACM до 90°. Поскольку Сумма углов треугольника 360ACM =Сумма углов треугольника 360A = Сумма углов треугольника 360, тоСумма углов треугольника 360BCM =Сумма углов треугольника 360. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = Сумма углов треугольника 360АВ.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Внешний угол треугольника
  • Свойство точек биссектрисы угла
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Четырехугольник и его элементы
  • Перпендикулярные прямые в геометрии
  • Признаки равенства треугольников
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников
  • Соотношения в прямоугольном треугольнике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎬 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА. §16 геометрия 7 классСкачать

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА. §16 геометрия 7 класс

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?Скачать

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника

Сумма углов треугольникаСкачать

Сумма углов треугольника

Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний Угол

💥АРЕСТОВИЧ. ГУР и СБУ АТАКОВАЛИ РОССИЮ. Удар на 800 км! РФ зашла в Авдеевку. Фронт горит @arestovychСкачать

💥АРЕСТОВИЧ. ГУР и СБУ АТАКОВАЛИ РОССИЮ. Удар на 800 км! РФ зашла в Авдеевку. Фронт горит @arestovych

Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать

Неравенства треугольника. 7 класс.

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

Сумма углов 180 градусовСкачать

Сумма углов 180 градусов

Сумма углов треугольникаСкачать

Сумма углов треугольника

Геометрия 7 класс. Сумма углов треугольникаСкачать

Геометрия 7 класс. Сумма углов треугольника

Геометрия Докажите что сумма углов четырехугольника равна 360.Скачать

Геометрия Докажите что сумма углов четырехугольника равна 360.

Я. И. Перельман "По длине тени", ("Занимательная геометрия", № 01)Скачать

Я. И. Перельман "По длине тени", ("Занимательная геометрия", № 01)

Сумма углов треугольникаСкачать

Сумма углов треугольника

Почему сумма углов треугольника 180 градусов?Скачать

Почему сумма углов треугольника 180 градусов?
Поделиться или сохранить к себе: