О чем эта статья:
10 класс, ЕГЭ/ОГЭ
- Определение параллелепипеда
- Свойства параллелепипеда
- Прямой параллелепипед
- Прямоугольный параллелепипед
- Свойства прямоугольного параллелепипеда
- Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема
- Куб: определение, свойства и формулы
- Решение задач
- Самопроверка
- Параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда
- Прямоугольный параллелепипед
- Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
- Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:
- 🎬 Видео
Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать
Определение параллелепипеда
Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.
Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.
На рисунке два параллелограмма АВСD и A1B1C1D1. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA1, ВB1, CC1, DD1 параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.
Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.
Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.
Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.
Параллелепипед — это:
Видео:10 класс, 13 урок, ПараллелепипедСкачать
Свойства параллелепипеда
Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.
Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:
- Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
- Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
- Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
- Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн в школе Skysmart — отличный способ освежить знания и снять стресс перед экзаменом.
Видео:везде обман. когда не зря учил геометрию, и можешь различить параллелепипед от квадратиковСкачать
Прямой параллелепипед
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.
Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.
Свойства прямого параллелепипеда:
- Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
- Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
- Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
- Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
- Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.
На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.
Формулы прямого параллелепипеда:
- Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
Sб = Ро*h
Ро — периметр основания
h — высота - Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
Sп = Sб+2Sо
Sо — площадь основания - Объем прямого параллелепипеда
V = Sо*h
Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать
Прямоугольный параллелепипед
Определение прямоугольного параллелепипеда:
Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.
Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.
Видео:Подсчёт количества граней и рёбер у трёхмерных фигур | Фигура | ГеометрияСкачать
Свойства прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.
- Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
- Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
- Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
- Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
- В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
- Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
- Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).
Формулы прямоугольного параллелепипеда:
- Объем прямоугольного параллелепипеда
V = a · b · h
a — длина, b — ширина, h — высота - Площадь боковой поверхности
Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
Pосн — периметр основания, с — боковое ребро - Площадь поверхности
Sп.п = 2(ab+bc+ac)
Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема
Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.
Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор
Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Доказать теорему.
Доказательство теоремы:
Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.
Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора
ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора
d² = d₁² + c² = a² + b² + c²
d² = a² + b² + c²
Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.
Видео:Математика 5 класс (Урок№31 - Прямоугольный параллелепипед.)Скачать
Куб: определение, свойства и формулы
Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.
Каждая грань куба — это квадрат.
Свойства куба:
- В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.
- Противолежащие грани параллельны друг другу.
- Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.
- У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.
- Диагонали куба равны.
- Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.
- Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.
Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.
Формулы куба:
- Объем куба через длину ребра a
V = a3 - Площадь поверхности куба
S = 6a2 - Периметр куба
P = 12a
Видео:10 класс, 24 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать
Решение задач
Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.
Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.
Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a — длина, b — ширина, c — высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.
Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) — сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) — суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) — сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) — сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.
Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X — сумма длин ребер).
Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.
Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
Нужно найти длину ребра A1B1.
В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°.
По теореме Пифагора:
BD1 2 = DD1 2 + BD 2
BD 2 = BD1 2 – DD1 2
BD 2 = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD 2 = AD 2 + AB 2
AB 2 = BD 2 — AD 2 = (√17)2 — 4 2 = 1
A1B1 = AB = 1.
Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
AB = 4
AD = 6
AA1= 5
Нужно найти отрезок BD1.
В треугольнике ADB угол A = 90°.
По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD1 угол D = 90°.
BD1 2 = 52 + 25 = 77
BD1 = √77.
Видео:Четырехугольники. Вебинар | МатематикаСкачать
Самопроверка
Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!
Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.
Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.
Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1.
Вычислите длину ребра AA1.
Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:
- прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
- параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
- основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
- три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
- диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.
Видео:Площадь поверхности параллелепипедаСкачать
Параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение и его элементы (диагонали параллелепипеда, стороны параллелепипеда и их свойства). А также рассмотрим свойства граней и диагоналей параллелограмма. Далее решим типовую задачу на построение сечения в параллелепипеде.
Видео:ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД 10 11 класс сечение параллелепипедаСкачать
Прямоугольный параллелепипед
Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.
Свойства прямоугольного параллелепипеда:
- В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
- Противоположные грани попарно равны и параллельны.
- Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
- Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
- Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
- Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
- Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).
Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
$с$ — высота(она же боковое ребро);
$P_$ — периметр основания;
$S_$ — площадь основания;
$S_$ — площадь боковой поверхности;
$S_$ — площадь полной поверхности;
$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.
$S_=P_·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.
Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:
$а$ — длина стороны.
$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.
Пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.
Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.
Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.
В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.
В основании лежит треугольник.
- $S=/$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.
- $S=/$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
- Формула Герона $S=√
$, где $р$ — это полупериметр $p=/$.
- $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
- $S=/$, где $R$ — радиус описанной окружности.
- Для прямоугольного треугольника $S=/$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
- Для равностороннего треугольника $S=/$, где $а$ — длина стороны.
В основании лежит четырехугольник.
- Прямоугольник.
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны. - Ромб.
$S=/$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.
$S=a^2·sinα$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами. - Трапеция.
$S=/$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции. - Квадрат.
$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $C, A_1, B_1, C_1, D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=8, AD=12, AA_1=4$.
Изобразим прямоугольный параллелепипед и на нем отметим вершины многогранника $C, A_1, B_1, C_1, D_1$, получим в итоге четырехугольную пирамиду. В основании пирамиды лежит прямоугольник, так основание пирамиды и прямоугольного параллелепипеда совпадают.
Объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник
Для нашего рисунка стороны прямоугольника – это $А_1В_1$ и $A_1D_1$.
В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, следовательно, $AB=А_1В_1=8; AD=A_1D_1=12$.
Высотой в пирамиде $CA_1B_1C_1D_1$ будет являться ребро $СС_1$, так как оно перпендикулярно основанию (из прямоугольного параллелепипеда).
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
🎬 Видео
Математика. 3 класс. Куб. Прямоугольный параллелепипед /02.02.2021/Скачать
Геометрия 10 класс (Урок№7 - Тетраэдр и параллелепипед.)Скачать
Математика 5 Объем Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать
Пространственные фигуры. Прямые и плоскости. Математика 10 класс. Вебинар | TutorOnlineСкачать
5 класс, 20 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать
Найти объем параллелепипеда (геометрия от bezbotvy)Скачать
Параллелепипед. Видеоурок 6. Геометрия 10 классСкачать
Геометрия 10 класс ПараллелепипедСкачать
Прямоугольный параллелепипедСкачать