Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Вписанная окружность в треугольнике биссектрисыСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Вписанная окружность в треугольнике биссектрисыФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Вписанная окружность в треугольнике биссектрисыВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Геометрия. 8 класс. Урок 8 "Биссектриса как ГМТ. Вписанная и вневписанная окружности треугольника"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 8 "Биссектриса как ГМТ. Вписанная и вневписанная окружности треугольника"

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы.

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникВписанная окружность в треугольнике биссектрисы
Равнобедренный треугольникВписанная окружность в треугольнике биссектрисы
Равносторонний треугольникВписанная окружность в треугольнике биссектрисы
Прямоугольный треугольникВписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы.

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы.

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Произвольный треугольник
Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы
Равнобедренный треугольник
Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы
Равносторонний треугольник
Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы
Прямоугольный треугольник
Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы
Произвольный треугольник
Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы.

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы.

Равнобедренный треугольникВписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Равносторонний треугольникВписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникВписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы– полупериметр (рис. 6).

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

с помощью формулы Герона получаем:

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисы

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Как связаны биссектриса и окружность

В геометрии могут объединиться даже очень различные на первый взгляд фигуры, такие как окружность и треугольник. У каждой есть свои особенности, которые позволяют отличать их от прочих фигур, даже если они очень похожи: например, круг и окружность – это совсем не одно и тоже.

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисыРазница между кругом и окружностью состоит в отношении к плоскости. Если упрощенно, то под плоскостью понимают поверхность, на которой и строятся фигуры. Саму плоскость тоже можно считать фигурой. Окружность – это совокупность всех точек на плоскости, которые образуют фигуру, а круг – это часть плоскости, которую ограничивает окружность. Поэтому может быть сектор или сегмент круга – но понятие дуги относится только к окружности.

Одним из важнейших понятий, связанных с окружностью, является радиус – расстояние от центра окружности до любой её точки. Чтобы произвести вычисление радиуса, нужно знать длину окружности, её площадь или диаметр. Проще всего посчитать радиус через диаметр – просто разделить длину диаметра на два.

Зная длину, тоже можно вычислить радиус – если формула длины – это L=2πR, то радиус вычисляется по формуле R= L/2π.

Окружность можно как вписать в любой треугольник, так и начертить вокруг любого треугольника так, чтобы все вершины треугольника касались окружности. Чтобы описать окружность вокруг треугольника, надо найти точку пересечения всех углов треугольника – она будет центром описываемой окружности. Чтобы, напротив, вписать круг в треугольник, надо к середине каждой стороны провести перпендикулярную прямую. Точка их пересечения и будет центром вписанного круга.

Вписанная окружность в треугольнике биссектрисыОсновное свойство вписанного в окружность треугольника состоит в том, что вычислить его площадь очень просто – для этого надо знать радиус окружности и длины сторон треугольника. Для этого используется формула: P/2*R, где P – периметр, а R – радиус окружности.

Значение биссектрисы – луча, исходящего из вершины угла и делящего его напополам, – не ограничивается тем, что с её помощью можно вписать круг в треугольник. Назовем основные свойства биссектрисы треугольника, которые существенно облегчают процесс решения геометрических задач.

Во-первых, биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам. Во-вторых, в правильном треугольнике биссектриса является медианой и высотой, а в равнобедренном треугольнике совпадает с медианой и с высотой только в том случае, если проведена от вершины к основанию. В-третьих, как уже упоминалось, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

При решении задач, связанных с треугольниками или окружностями, важно отличать биссектрису от медианы или высоты, а радиус или диаметр – от хорды.

Видео:Построить окружность, вписанную в треугольникСкачать

Построить окружность, вписанную в треугольник

Please wait.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Геометрия 9 класс. Вписанные и описанные окружности. Ключевая задача № 4.Скачать

Геометрия 9 класс. Вписанные и описанные окружности. Ключевая задача № 4.

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6ce3e2f14cfc5aaa • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

🌟 Видео

Окружность, вписанная в треугольникСкачать

Окружность, вписанная в треугольник

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

Вписанная окружностьСкачать

Вписанная окружность

Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольникаСкачать

Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольника

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика
Поделиться или сохранить к себе: