Вписанная окружность делит стороны треугольника

Вписанная окружность

Вписанная окружность делит стороны треугольника

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Вписанная окружность делит стороны треугольника
    • Четырехугольник
      Вписанная окружность делит стороны треугольника
    • Многоугольник
      Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Узнать ещё

    Знание — сила. Познавательная информация

    Видео:ЕГЭ Математика Задание 6#27935Скачать

    ЕГЭ Математика Задание 6#27935

    Вписанная в треугольник окружность делит сторону на отрезки

    Если в задаче вписанная в треугольник окружность делит его сторону на отрезки, один из возможных вариантов решения — использование свойства отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки.

    Рассмотрим две задачи на вписанную в треугольник окружность, решение которых опирается на это свойство касательных.

    Одна из сторон треугольника равна 30 см, а другая делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 12 см и 14 см, считая от конца неизвестной стороны. Найти радиус вписанной окружности.

    Вписанная окружность делит стороны треугольникаДано: ∆ ABC,

    окружность (O, r) — вписанная,

    K, M, F — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

    AB=30 см, CM=12 см, BM=14 см.

    1) По свойству касательных, отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны:

    CF=CM=12 см, BK=BM=14 см, AF=AK=AB-BK=30-14=16 см.

    AC=AF+CF=16+12=28 см, BC=BM+CM=14+12=26 см.

    2) По формуле Герона,

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр,

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    3) Радиус вписанной окружности найдем по формуле

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    В треугольнике, периметр которого равен 60 см, одна из сторон делится точкой касания вписанной в него окружности на отрезки 24 см и 5 см. Найти площадь треугольника.

    Вписанная окружность делит стороны треугольникаДано: ∆ ABC,

    окружность (O, r) — вписанная,

    K, M, F — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    1) По свойству касательных, проведенных из одной точки, AF=AK=24 см, BM=BK=5 см, CF=CM= x см.

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Следовательно, CM=CF=1 см, AB=AK+BK=29 см, BC=BM+CM=6 см, AC=AF+CF=25 см.

    2) Полупериметр равен половине периметра: p=60:2=30 см.

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Окружность, вписанная в треугольник

    Что такое окружность, вписанная в треугольник? Какие у вписанной окружности свойства?

    Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

    Общие точки окружности и треугольника называются точками касания.

    Вписанная окружность делит стороны треугольникаЗапись окр. (O; r) читают: «Окружность с центром в точке O и радиусом r».

    На рисунке окр. (O; r) — вписанная в треугольник ABC.

    M, K, F- точки касания.

    Свойства вписанной в треугольник окружности.

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    1) Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    2) Отрезки соединяющие центр вписанной окружности с точками касания, перпендикулярны сторонам треугольника (как радиусы, проведенные в точку касания):

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    3) Вписанная в треугольник окружность делит стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    Вписанная окружность делит стороны треугольника

    (как отрезки касательных, проведенные из одной точки).

    🎬 Видео

    Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторонСкачать

    Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон

    Вписанная окружность делит чевиану пополам. ЗАДАЧА - БЛЕСК!Скачать

    Вписанная окружность делит чевиану пополам. ЗАДАЧА - БЛЕСК!

    Вписанная окружность. ЗАДАЧА ИЗ ГОНКОНГА!Скачать

    Вписанная окружность. ЗАДАЧА ИЗ ГОНКОНГА!

    №691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит однуСкачать

    №691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

    Вся геометрия 7-9 класса в 5 задачах | Математика | TutorOnlineСкачать

    Вся геометрия 7-9 класса в 5 задачах | Математика | TutorOnline

    ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ + ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ!Скачать

    ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ + ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ!

    Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

    Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

    Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

    Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

    Точка D делит сторону треугольника на два отрезка, длиной 25 и 26. Найти площадь треугольника.Скачать

    Точка D делит сторону треугольника на два отрезка, длиной 25 и 26. Найти площадь треугольника.

    Окружность, вписанная в треугольникСкачать

    Окружность, вписанная в треугольник

    Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

    Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

    Вписанная окружность в равностороннем треугольникеСкачать

    Вписанная окружность  в равностороннем треугольнике

    Треугольник и окружность #shortsСкачать

    Треугольник и окружность #shorts
    Поделиться или сохранить к себе: