Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинахВписанные четырехугольники и их свойства
Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинахТеорема Птолемея

Видео:Геометрия 11 класс. Вписанный четырехугольникСкачать

Геометрия 11 класс. Вписанный четырехугольник

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаВо вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинахОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаВо вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинахОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииВо вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинахОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаВо вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинахОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникВо вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Окружность, описанная около параллелограмма
Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинахОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинахОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинахОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинахОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах
Окружность, описанная около параллелограмма
Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаВо вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииВо вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаВо вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникВо вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Видео:11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Докажем, что справедливо равенство:

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

откуда вытекает равенство:

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Решение № 2 из ЕГЭ по математикеСкачать

Решение № 2 из ЕГЭ по математике

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .

. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .

. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинахШколе NET

Register

Do you already have an account? Login

Login

Don’t you have an account yet? Register

Newsletter

Submit to our newsletter to receive exclusive stories delivered to you inbox!

  • Главная 
  • Вопросы & Ответы 
  • Вопрос 6823816

Во вписанном четырехугольнике равны два угла при соседних вершинах

Таня Масян

Видео:Геометрия Четырехугольник оказался вписанным Задача №26 ОГЭСкачать

Геометрия Четырехугольник оказался вписанным Задача №26 ОГЭ

Два соседних угла вписанного четырехугольника равны 120° и 150°. Найдите градусные меры дуг, на которые опираются два других угла четырехугольника. Два соседних угла вписанного четырехугольника равны 120° и 150°. Найдите градусные меры дуг, на которые опираются два других угла четырехугольника.

🎬 Видео

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

55. Геометрия на ЕГЭ по математике. Вписанный четырехугольник.Скачать

55.  Геометрия на ЕГЭ по математике. Вписанный четырехугольник.

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 112 и 125Скачать

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 112 и 125

Найти число вершин 3 задание проф. ЕГЭ. по математикеСкачать

Найти число вершин 3 задание проф. ЕГЭ. по математике

Задание 26 Вписанный четырёхугольникСкачать

Задание 26 Вписанный четырёхугольник

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольник

Задание 25 Вписанный четырёхугольникСкачать

Задание 25 Вписанный четырёхугольник

Вписанный четырехугольникСкачать

Вписанный четырехугольник

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnline

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

ОГЭ Задание 25 Свойства вписанного и описанного четырехугольникаСкачать

ОГЭ Задание 25 Свойства вписанного и описанного четырехугольника
Поделиться или сохранить к себе: