Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
Внутренняя общая касательная к двум окружностямВзаимное расположение двух окружностей
Внутренняя общая касательная к двум окружностямОбщие касательные к двум окружностям
Внутренняя общая касательная к двум окружностямФормулы для длин общих касательных и общей хорды
Внутренняя общая касательная к двум окружностямДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Видео:Внутренняя касательная к двум окружностямСкачать

Внутренняя касательная к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиВнутренняя общая касательная к двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другойВнутренняя общая касательная к двум окружностям
Внешнее касание двух окружностейВнутренняя общая касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностейВнутренняя общая касательная к двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точкахВнутренняя общая касательная к двум окружностямВнутренняя общая касательная к двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внутренняя общая касательная к двум окружностям
Внешнее касание двух окружностей
Внутренняя общая касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Внутренняя общая касательная к двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точках
Внутренняя общая касательная к двум окружностям
Внутренняя общая касательная к двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

Внешнее касание двух окружностей
Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 лежит внутри другой

Внутренняя касательная к двум окружностямВнутренняя общая касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностейВнутренняя общая касательная к двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точкахВнутренняя общая касательная к двум окружностям
Внешнее касание двух окружностейВнутренняя общая касательная к двум окружностям
Внутренняя общая касательная к двум окружностям
Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя общая касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутренняя общая касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Внутренняя общая касательная к двум окружностям
Окружности пересекаются в двух точках
Внутренняя общая касательная к двум окружностям
Внешнее касание двух окружностей
Внутренняя общая касательная к двум окружностям
Внутренняя общая касательная к двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой
Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Видео:Касательные к окружностиСкачать

Касательные к окружности

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутреннее касание двух окружностей
Окружности пересекаются в двух точках
Внешнее касание двух окружностей
Каждая из окружностей лежит вне другой

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямВнутренняя общая касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностямВнутренняя общая касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностейВнутренняя общая касательная к двум окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя общая касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Внутренняя общая касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внешняя касательная к двум окружностям
Внутренняя касательная к двум окружностям
Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Видео:Внешняя касательная к двум окружностямСкачать

Внешняя касательная к двум окружностям

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Видео:Построение общей касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей касательной к двум окружностям

Построение общей внутренней касательной к двум окружностям

Даны две окружности (а это значит, что даны и их центры O1 и O2). Требуется провести общую внутреннюю касательную к ним, то есть такую касательную, от которой данные окружности лежат по разные стороны.

Радиус большей окружности называем R, радиус меньшей окружности — r. Сначала вокруг меньшей окружности построим вспомогательную окружность с тем же центром и с радиусом, равным сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Затем построим из центра большей окружности вспомогательную касательную к вспомогательной окружности. Требуемая внутренняя касательная будет параллельна вспомогательной касательной. Отложим первый вспомогательный луч с началом в точке A. Замерим циркулем радиус большей окружности, и тем же раствором циркуля от начала первого луча отложим отрезок AB, равный R. Теперь циркулем замерим радиус меньшей окружности, и тем же раствором циркуля от точки B отложим отрезок BC, равный r. Получился отрезок AC, равный сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Замерим AC циркулем, и тем же раствором циркуля построим первую вспомогательную окружность с центром в O1. Теперь соединим отрезком центры O1 и O2. Произвольным раствором циркуля строим вторую вспомогательную дугу окружности с центром O1. И тем же раствором циркуля строим третью вспомогательную дугу окружности с центром O2 — так, чтобы третья дуга пересекала вторую в двух точках (называем их D и E). Соединяем D и E отрезком, который пересекает O1O2 в середине — эту точку называем F. Теперь замерим циркулем FO1 и этим раствором циркуля строим четвёртую вспомогательную окружность с центром в F на отрезке O1O2, как на диаметре. Эта четвёртая окружность пересекает первую вспомогательную окружность в двух точках (называем их G и H). Выбираем из этих двух точек ту, которая нам больше нравится (в данном построении это точка H), и соединяем прямой с точкой O2. Прямая HO2 — это касательная к первой вспомогательной окружности, проходящая через центр большой данной окружности. Прямая HO2 пересекла большую окружность в двух точках (называем их K и L). Эти точки равно отстоят от O2 и помогут нам построить перпендикуляр к HO2. Произвольным раствором циркуля проводим пятую вспомогательную дугу окружности с центром в K. Тем же раствором циркуля проводим шестую вспомогательную дугу окружности с центром в L — так, чтоб шестая дуга пересекала пятую в некоторой точке (называем точку M). Соединяем O2 и M прямой — эта прямая (перпендикуляр к HO2) пересекает большую данную окружность в некоторой точке (называем её N). Теперь через N проведём прямую, параллельную вспомогательной касательной HO2. Произвольным раствором циркуля строим седьмую вспомогательную окружность с центром в точке N — так, чтоб седьмая окружность пересекала HO2 в двух точках (точки называем P и Q). Тем же раствором циркуля строим восьмую вспомогательную окружность с центром в Q, и восьмая окружность пересекает вспомогательную касательную HO2 в двух точках (точки называем Z и S). Тем же раствором циркуля проводим девятую вспомогательную дугу окружности с центром в S — так, чтобы девятая дуга пересекала седьмую окружность в некоторой точке (точку называем T). Соединяем N и Т прямой — эта прямая NT и будет требуемой общей внутренней касательной к двум данным окружностям. И вот почему. NT проходит через конец радиуса O2N, лежащий на окружности. Также по построению NT параллельна HO2 и перпендикулярна радиусу O2N — следовательно, NT — касательная к большой данной окружности. Теперь проведём радиус O1H и точку его пересечения с прямой TN называем U. Радиус O1H перпендикулярен касательной O2H — значит, угол O2HU — прямой. Получилось, что в четырёхугольнике UHO2N есть три прямых угла — значит, и четвёртый угол HUN прямой, и UHO2N — прямоугольник, в котором сторона HU равна противоположной стороне O2N, то есть радиусу R. Теперь можем найти длину отрезка O1U (составляющего вместе с UH отрезок O1H). Длина равна разности длин O1H и HU, то есть (r + R) — R = r. Выходит, что U отстоит от O1 на r, то есть U лежит на меньшей данной окружности, а это значит, что TN, проходящая через U — проходит через конец радиуса O1U, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то есть TN — касательная к меньшей данной окружности. Построение закончено.

Видео:Построение общей внутренней касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей внутренней касательной к двум окружностям

Общие касательные

Выясним сколько общих касательных имеют две окружности и как эти общие касательные могут быть расположены.

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Если две окружности не пересекаются и окружность меньшего радиуса лежит внутри окружности большего радиуса, то они не имеют общих касательных.

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

В другом случае не пересекающиеся окружности имеют четыре общие касательные.

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

внешние общие касательные

При этом, если обе окружности лежат по одну сторону от касательной (в одной полуплоскости), то такая касательная называется внешней.

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

внутренние общие касательные

Если окружности лежат по разные стороны от общей касательной (в разных полуплоскостях), то такая касательная называется внутренней.

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Если две окружности имеют внутреннее касание, то у них есть одна общая касательная.

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

При внешнем касании две окружности имеют три общие касательные.

Внутренняя общая касательная к двум окружностям

Две пересекающиеся окружности имеют две общие касательные.

🎬 Видео

Построение касательной двум окружностям внешнего касанияСкачать

Построение касательной двум окружностям внешнего касания

Касательные к двум окружностям.Скачать

Касательные к двум окружностям.

Построение внутренней касательной к двум дугам окружностей.Урок12.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Построение внутренней касательной к двум дугам окружностей.Урок12.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Построение общей внешней касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей внешней касательной к двум окружностям

Построение общей касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей касательной к двум окружностям

Касательная к двум окружностям разного диаметра.Скачать

Касательная к двум окружностям разного диаметра.

К двум окружностям проведены общие касательныеСкачать

К двум окружностям проведены общие касательные

Построение внешней касательной к двум дугам окружностей. Урок11.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Построение внешней касательной к двум дугам окружностей. Урок11.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Пара касающихся окружностей | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |Скачать

Пара касающихся окружностей | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |

Задача 25 ОГЭ Математика 1 ЯщенкоСкачать

Задача 25 ОГЭ Математика 1 Ященко

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Касательная к двум окружностям разного диаметра.2 часть.Скачать

Касательная к двум окружностям разного диаметра.2 часть.

Построение общей касательной к двум окружностямСкачать

Построение общей касательной к двум окружностям

№675. Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке АСкачать

№675. Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке А

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности
Поделиться или сохранить к себе: