Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Внутренние накрест лежащие углы

Внутренние накрест лежащие углы — один из видов углов, образованных при пересечении двух прямых секущей.

Две прямые разбивают плоскость на внутреннюю (внутри между прямыми) и внешнюю области. Углы, лежащие во внутренней части, так и называются — внутренние.

Внутренние накрест лежащие углы — это углы, которые лежат во внутренней области по разные стороны от секущей (накрест друг от друга).

При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних накрест лежащих углов.

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равныВнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

∠1 и∠2 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

∠3 и∠4 — внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей c.

Из всех внутренних накрест лежащих углов наибольший интерес представляют углы при параллельных прямых.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равныЕсли a ∥ b, то

∠1 = ∠2

∠3 = ∠4

(как внутренние накрест лежащие углы при a ∥ b и секущей c).

Признак параллельных прямых

Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны∠1=∠2.

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Равенство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых используется, в частности, при доказательстве равенства треугольников и подобия треугольников.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Видео:Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Признаки параллельности прямых

При пересечении двух прямых третьей прямой образуются углы, названия которых приведены в следующей таблице.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей прямой

РисунокОпределение углов
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равныВнутренние накрест лежащие углы
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равныВнешние накрест лежащие углы
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равныСоответственные углы
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равныВнутренние односторонние углы
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равныВнешние односторонние углы
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внешние накрест лежащие углы
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Соответственные углы
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние односторонние углы
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внешние односторонние углы
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Перечисленные в таблице углы используются в формулировках признаков параллельности двух прямых.

Определение . Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Замечание . Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Признаки параллельности двух прямых

РисунокПризнак параллельности
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равныПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равныПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равныПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равныПрямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равныПрямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

РисунокПризнак параллельности
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равныДве прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Переход свойства параллельности прямых

РисунокПризнак параллельности
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равныЕсли прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c

Если прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Задача . Доказать, что биссектрисы внутренних односторонних углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, перпендикулярны.

Решение . Решение этой задачи почти дословно совпадает с решением задачи из раздела нашего справочника «Углы на плоскости» и предоставляется читателю в качестве несложного самостоятельного упражнения.

📺 Видео

УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 классСкачать

УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 класс

УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙСкачать

УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙ

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

№201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210Скачать

№201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ, параллельные прямые, секущая, углы при секущей.Скачать

НАКРЕСТ ЛЕЖАЩИЕ УГЛЫ, параллельные прямые, секущая, углы при секущей.

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Накрест лежащие углы⚔️Скачать

Накрест лежащие углы⚔️

Вариант 11, № 1. Внутренние накрест лежащие углы. Пример 1Скачать

Вариант 11, № 1. Внутренние накрест лежащие углы. Пример 1

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Геометрия 7 класс | Вертикальные, смежные, накрест лежащие и другие углы (теория) | МАТЕМАТИКА 2021Скачать

Геометрия 7 класс | Вертикальные, смежные, накрест лежащие и другие углы (теория) | МАТЕМАТИКА 2021

Накрест лежащие углыСкачать

Накрест лежащие углы

Углы при параллельных и секущей #математика #огэматематика #огэ #данирСкачать

Углы при параллельных и секущей #математика #огэматематика #огэ #данир
Поделиться или сохранить к себе: