Внешний угол треугольника меньше 180 (5 видео)

Внешний угол треугольника

Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный к любому углу этого треугольника.

На Рис.1 угол 4 внешний так как углы 2 и 4 смежные.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство. Докажем, что ( small angle 4=angle 1+ angle 3. ) Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то имеем:

Содержание

Внешний угол треугольника
Сумма внешних углов
Внешний угол треугольника – определение и свойство
Внешний угол
Свойства внешних углов
Что мы узнали?
📺 Видео

Видео:Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника.

При каждой вершине треугольника может быть построено по два равных внешних угла. Например, если продолжить все стороны треугольника ABC, то при каждой его вершине получится по два внешних угла, которые равны между собой, как вертикальные углы:

Из данного примера можно сделать вывод, что внешние углы, построенные при одной вершине, будут равны.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Так как внешний угол (∠1) дополняет внутренний угол (∠4) до развёрнутого угла, то их сумма равна 180°:

Сумма внутренних углов углов любого треугольника тоже равна 180°, значит:

Из этого следует, что

Сократив обе части полученного равенства на одно и тоже число (∠4), получим:

Из этого можно сделать вывод, что внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Видео:Внешний угол треугольникаСкачать

Сумма внешних углов

Сумма трёх внешних углов треугольника, построенных при разных вершинах, равна 360°

Рассмотрим треугольник ABC:

Каждая пара углов (внутренний и смежный с ним внешний) в сумме равны 180°. Все шесть углов (3 внутренних и 3 внешних) вместе равны 540°:

(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠5) + (∠3 + ∠6) = 180° + 180° + 180° = 540°.

Значит чтобы найти сумму внешних углов, надо из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:

∠1 + ∠2 + ∠3 = 540° — (∠4 + ∠5 + ∠6) = 540° — 180° = 360°.

Видео:Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать

Внешний угол треугольника – определение и свойство

Внешний угол треугольника редко используется при решении геометрических задач. Однако при этом свойства внешнего угла лучше знать, потому как задача на применение этих свойств рано или поздно попадется каждому ученику.

Видео:В треугольнике АВС угол А равен 40, внешний угол при вершине В равен 102Скачать

Внешний угол

Внешний угол треугольника это угол, смежный с внутренним. Внутренних углов в треугольнике три, и их сумма равняется 180 градусам. Смежными углами зовутся углы, одна из сторон которых лежит на одной прямой, а вторая является общей.

Что нужно сделать, чтобы увидеть внешний угол треугольника? Для этого придется выполнить некоторые дополнительные построения. Чтобы увидеть внешний угол треугольника необходимо продолжить его сторону. При каждой вершине две стороны, соответственно продолжить можно две прямых и смежных углов будет два.

Рис. 1. Внешние углы треугольника.

Итого в треугольнике получается 6 внешних углов.

Нежелательно на рисунке строить два внешних угла при одной вершине одновременно. Это усложнит построение и, чаще всего, не принесет никакого положительного результата.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Свойства внешних углов

Свойств у внешних углов треугольника не так много и все они связаны с определением внешнего угла.

Основное свойство гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов не смежных с ним. Свойство доказывается достаточно просто. Сумма смежных углов равна 180. Сумма углов в треугольнике все те же 180. Тогда, если обозначить внутренние углы а,в,с, внешний угол d, то:

Вычтем из первого выражения второе и получим:

d=в+с – вот и все доказательство.

Рис. 2. Рисунок к доказательству.

Есть еще несколько дополнительных свойств внешних углов:

Если решение задачи требует одновременного существования двух внешних углов при одной вершине на чертеже, то можно заметить, что эти внешние углы будут равны, как вертикальные.
Сумма трех внешних углов, по одному при каждой из вершин, равняется 360 градусам.
Так как внешний и внутренний углы треугольника смежные, то их сумма равняется 180 градусам.

Особенное значение имеют внешние углы при решении тупоугольных треугольников. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике одна из высот всегда внешняя. Найти эту высоту можно через тригонометрические функции. Для этого и нужно знать угол, который для тупоугольного треугольника будет внешним, а для достроенного прямоугольного треугольника – внутренним.

Рис. 3. Внешний угол тупоугольного треугольника.

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

Что мы узнали?

Мы привели определение внешнего угла треугольника. Посчитали количество внешних углов треугольника, определили особенности построения внешних углов при решении задачи. Рассказали, где чаще всего применяются свойства внешних углов треугольника.