Виды хорд в окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Виды хорд в окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Виды хорд в окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Виды хорд в окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Виды хорд в окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Виды хорд в окружностиТеорема о бабочке

Виды хорд в окружности

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьВиды хорд в окружности
КругВиды хорд в окружности
РадиусВиды хорд в окружности
ХордаВиды хорд в окружности
ДиаметрВиды хорд в окружности
КасательнаяВиды хорд в окружности
СекущаяВиды хорд в окружности
Окружность
Виды хорд в окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругВиды хорд в окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусВиды хорд в окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаВиды хорд в окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрВиды хорд в окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяВиды хорд в окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяВиды хорд в окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеВиды хорд в окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыВиды хорд в окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныВиды хорд в окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиВиды хорд в окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыВиды хорд в окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Виды хорд в окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыВиды хорд в окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыВиды хорд в окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиВиды хорд в окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныВиды хорд в окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиВиды хорд в окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыВиды хорд в окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Виды хорд в окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыВиды хорд в окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиВиды хорд в окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиВиды хорд в окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаВиды хорд в окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Виды хорд в окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Пересекающиеся хорды
Виды хорд в окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Виды хорд в окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Виды хорд в окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Виды хорд в окружности
Пересекающиеся хорды
Виды хорд в окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Виды хорд в окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Тогда справедливо равенство

Виды хорд в окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Виды хорд в окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Виды хорд в окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Виды хорд в окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Виды хорд в окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Виды хорд в окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Свойства хорд окружностиСкачать

Свойства хорд окружности

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Виды хорд в окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Виды хорд в окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:ищем хорду в окружности. огэ 1 часть геометрияСкачать

ищем хорду в окружности. огэ 1 часть геометрия

Что такое хорда окружности в геометрии, её определение и свойства

Виды хорд в окружностиХорда в переводе с греческого означает «струна». Это понятие широко применяется в разных областях науки — в математике, биологии и других.

В геометрии для термина определение будет следующим: это отрезок прямой линии, который соединяет между собой две произвольные точки на одной окружности. Если такой отрезок пересекает центр кривой, она называется диаметром описываемой окружности.

Видео:Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Как построить геометрическую хорду

Чтобы построить этот отрезок, прежде всего необходимо начертить круг. Обозначают две произвольные точки, через которые проводят секущую линию. Отрезок прямой, который располагается между точками пересечения с окружностью, называется хордой.

Если разделить такую ось пополам и из этой точки провести перпендикулярную прямую, она будет проходить через центр окружности. Можно провести обратное действие — из центра окружности провести радиус, перпендикулярный хорде. В этом случае радиус разделит её на две идентичные половины.

Если рассматривать части кривой, которые ограничиваются двумя параллельными равными отрезками, то эти кривые тоже будут равными между собой.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Свойства

Существует ряд закономерностей, связывающих между собой хорды и центр круга:

  1. Виды хорд в окружностиЕсли расстояния от хорд до центра равны между собой, то такие хорды тоже равны между собой.
  2. Существует также обратная зависимость — если длины отрезков равны между собой, то расстояния от них до центра тоже будут равными.
  3. Чем большую длину имеет стягивающий отрезок прямой, тем меньше расстояние от него до центра окружности. И наоборот, чем она меньше, чем расстояние от указанного отрезка до центра описываемого круга больше.
  4. Чем больше расстояние от «струны» до центра, тем меньше длина этой оси. Справедливой будет также и обратная взаимосвязь — чем меньше расстояние от центра до хорды, тем больше длина.
  5. Хорда в геометрии, которая имеет максимально возможную для этой окружности длину, называется диаметром круга. Такая ось проходит через центр и делит её на две равные части.
  6. Отрезок с наименьшей длиной представляет собой точку.
  7. Если ось представляет собой точку, то расстояние от неё до центра круга будет равняться радиусу.

Видео:Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

Взаимосвязь с радиусом и диаметром

Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями:

  1. Виды хорд в окружностиЕсли описываемый отрезок не является диаметром этого круга, и этот диаметр делит его пополам, то эта ось и диаметр перпендикулярны между собой.
  2. С другой стороны, диаметр, который перпендикулярен любой произвольной стягивающей, делит её на две равные части.
  3. Если ось не является диаметром, и последний делит её на две равные части, то он делит пополам и обе дуги, которые стянуты этим отрезком.
  4. Если диаметр делит на две одинаковые части дугу, то этот же диаметр делит пополам отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если диаметр строго перпендикулярен описываемой величине, то он делит на две половины каждую дугу, которую ограничивает эта линия.
  6. Если диаметр круга делит пополам отрезок кривой, то он располагается перпендикулярно оси, которая этот отрезок стягивает.

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Хорда и радиус

Между этими понятиями существуют следующие связи:

  1. Виды хорд в окружностиЕсли стягивающий отрезок не служит диаметром круга, и радиус разделяет её пополам, то такой радиус является перпендикулярным ей.
  2. Существует также обратная зависимость — радиус, который перпендикулярен оси, делит её на две одинаковые составные части.
  3. Если ось не выступает диаметром этого круга, и радиус делит её пополам, то этот же радиус делит пополам и дугу, которая стягивается.
  4. Радиус, который делит пополам дугу, также делит и отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если радиус является перпендикулярным стягивающей линии, то он делит пополам часть кривой, которую она ограничивает.
  6. Если радиус окружности разделяет на две идентичные части дугу, то он является перпендикулярным линии, которая эту дугу стягивает.

Видео:Свойство хорд, пересекающихся внутри окружностиСкачать

Свойство хорд, пересекающихся внутри окружности

Отношения со вписанными углами

Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам:

  1. Виды хорд в окружностиЕсли углы, вписанные в окружность, опираются на одну и ту же линию, и их вершины расположены по одну сторону, то такие углы равны между собой.
  2. Если два вписанных в круг угла опираются на одну и ту же линию, но их вершины расположены по разные стороны этой прямой, то сумма таких углов будет равняться 180 градусам.
  3. Если два угла — центральный и вписанный — опираются на единую линию, и их вершины располагаются по одну сторону от неё, то величина вписанного угла будет равняться половине центрального.
  4. Вписанный угол, который опирается на диаметр круга, является прямым.
  5. Равные между собой по размеру отрезки стягивают равные центральные углы.
  6. Чем больше величина стягивающего отрезка, тем больше величина центрального угла, который она стягивает. И наоборот, меньшая по размеру линия стягивает меньший центральный угол.
  7. Чем больше центральный угол, тем больше величина отрезка прямой, который его стягивает.

Видео:ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

Взаимодействия с дугой

Если два отрезка стягивают участки кривой, одинаковые по размеру, то такие оси равны между собой. Из этого правила вытекают следующие закономерности:

  1. Виды хорд в окружностиДве равные между собой хорды стягивают равные дуги.
  2. Если рассматривать две дуги, размер которых меньше половины окружности, то чем больше дуга, тем больше хорда, которая будет её стягивать. Напротив, меньшая дуга будет стягиваться меньшей по величине хордой.
  3. Если же дуга превышает половину окружности, то здесь присутствует обратная закономерность: чем меньше дуга, тем больше хорда, которая её стягивает. И чем больше дуга, тем меньше ограничивающая её хорда.

Хорда, которая стягивает ровно половину окружности, является её диаметром. Если две линии на одной окружности параллельны между собой, то будут равными и дуги, которые заключены между этими отрезками. Однако не следует путать заключённые дуги и стягиваемые теми же линиями.

Видео:Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Хорда — это геометрическая струна

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Сегодня мы подробно расскажем, что такое ХОРДА.

Слово это имеет древнегреческие корни и переводится как «струна».

Виды хорд в окружности

Это очень точно характеризует ее внешний вид, так как хорда представляет собой прямую линию.

Видео:Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать

Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1

Хорда — это.

Термин ХОРДА применяется сразу в нескольких областях:

В геометрии хорда – это часть прямой, которая проходит между двумя точками на окружности или эллипсе;

  • В биологии – скелетная позвоночная ось у всех животных, включая человека;
  • В авиации хорда – это расстояние между двумя наиболее удаленными точками на крыле любого летательного аппарата;
  • В медицине и анатомии – нервные волокна, которые соединяют стенки желудочков сердца и края желудочковой стороны створок клапанов (трехстворчатого и митрального);
  • В ботанике хорда – это разновидность бурых водорослей, которая бывает двух видов – хорда пушистая и хорда нитевидная.
  • Но в рамках этой статьи мы подробно рассмотрим первый вариант значения термина ХОРДА. Тот, который применяют в геометрии, и который школьники подробно изучают в 7 классе.

    Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

    ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

    Что такое хорда в геометрии

    Хорда – это отрезок прямой, которая проходит через две точки на любой кривой линии. Это могут быть окружность, эллипс, гипербола или парабола.

    Выглядит хорда вот так:

    Виды хорд в окружности

    На этом рисунке изображены сразу две хорды – AB и CD. А есть еще частный случай, когда хорда проходит через центр окружности.

    Виды хорд в окружности

    Такая хорда, на данном рисунке это отрезок AB, будет являться диаметром окружности. И как нетрудно догадаться, это самая длинная хорда, которая может быть для данного примера.

    Видео:Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.Скачать

    Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.

    Свойства хорды

    Если сравнивать хорду с другими частями окружности, то можно вывести целый ряд закономерностей.

    Например, хорда и радиус:

    1. Если радиус поделил хорду пополам, то оба отрезка перпендикулярны друг другу. И наоборот – если хорда и радиус перпендикулярны, то радиус поделит хорду на две равные части.
    2. Если радиус поделил хорду на две равные половины, то он точно так же поделит на равные части и дугу окружности, которая «стягивает» эту хорду. Аналогично правдиво и обратное утверждение – если пополам делится дуга окружности, то пополам будет делиться и хорда.
    3. И наконец, объединяя первые два пункта. Если радиус может поделить дугу пополам, то он пересекает хорду под прямым углом.

    Хорда и диаметр:

    1. Если диаметр разделяет хорду на две равные части, то они перпендикулярны друг другу. Верно и противоположное утверждение.
    2. Если диаметр разделяет пополам хорду, то точно так же делится и дуга, образованная этой хордой. Верно и обратное свойство.
    3. Если диаметр и хорда пересекаются под прямым углом, то он делит ее дугу пополам. Точно так же и в обратном случае.

    Хорда и центр окружности:

    1. Если две или несколько хорд равны между собой, то они находятся на одном расстоянии до центра окружности. Верна и обратная зависимость между расстоянием от центра и длиной хорд.
    2. Чем длиннее хорда, тем ближе она находится к центру фигуры. И чем короче хорда, тем дальше она от центра и ближе к дуге.
    3. Если у хорды максимально возможная длина, то она является диаметром. А если наименьшая, то речь идет о точке.

    И еще одно свойство хорд в окружности. Если взять уже знакомый нам рисунок расположенный сразу под определением, то при пересечении хорд получается вот такая зависимость – произведение частей одной хорды равна произведению частей другой:

    Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

    Теорема об отрезках хорд и секущих

    Как рассчитать длину хорды

    Длина хорды – это расстояние от одной точки пересечения с окружностью до другой. Чаще всего она обозначается латинской буквой «L».

    Виды хорд в окружности

    Чтобы рассчитать длину хорды, надо знать значение радиуса и центрального угла. Формула выглядит так:

    Виды хорд в окружности

    Вот и все, что мы хотели рассказать о ХОРДЕ.

    Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

    Эта статья относится к рубрикам:

    Комментарии и отзывы (1)

    Не знаю, что делать школьникам с этими знаниями, вот мне эти хорды нигде не пригодились, далеко не всю геометрию можно направить в практическое русло.

    💥 Видео

    ОГЭ 23 КАК РЕШИТЬ ЗАДАЧУ НА ХОРДЫ В ОКРУЖНОСТИСкачать

    ОГЭ 23 КАК РЕШИТЬ ЗАДАЧУ НА ХОРДЫ В ОКРУЖНОСТИ

    Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

    Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

    Угол между хордой и касательнойСкачать

    Угол между хордой и касательной
    Поделиться или сохранить к себе: