Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в эллипс рассеивания

К числу немногих плоских фигур, вероятность попадания в которые может быть вычислена в конечном виде, принадлежит эллипс рассеивания (эллипс равной плотности).

Пусть нормальный закон на плоскости задан в канонической форме:

Вероятность попадания в окружность

Рассмотрим эллипс рассеивания уравнение которого

Вероятность попадания в окружность

где параметр представляет собой отношение полуосей эллипса рассеивания к главным средним квадратическим отклонениям. По данной формуле имеем:

Вероятность попадания в окружность

Сделаем в интеграле (4.2) замену переменных:

Вероятность попадания в окружностьВероятность попадания в окружность

Этой подстановкой эллипс преобразуется в круг радиуса . Следовательно,

Вероятность попадания в окружность

Прейдем в интеграле (4.3) от декартовой системы координат к полярной, положив:

Вероятность попадания в окружность

Якобиан преобразования (4.3) равен r. Производя замену переменных получим:

Вероятность попадания в окружность

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в эллипс рассеивания, полуоси которого равны средним квадратическим отклонениям равна:

Вероятность попадания в окружность

В качестве примера найдем вероятность попадания случайной точки, распределенной по нормальному закону на плоскости хОу,

В единичный эллипс рассеивание, полуоси которого равны среднеквадратическим отклонениям:

Для такого эллипса = 1. Имеем:

Вероятность попадания в окружность

Пользуясь таблицей 2 приложения, находим

Формула (4.5) чаще всего применяется для вычисления вероятности попадания в круг при круговом рассеивании.

Пример. Не пути быстро движущейся малоразмерной цели площади 1,2 м ставится осколочное поле в форме плоского диска радиуса R = 30 м. Внутри диска плотность осколков постоянна и равна 2 оск./. Если цель накрыта диском, то число осколков, попадающих в нее, можно считать распределенным по закону Пуассона. В силу малости цели можно рассматривать ее как точечную и считать, что она или полностью накрывается осколочным полем (если ее центр не попадает в круг), или совсем не накрывается (если ее центр не попадает в круг). Попадание осколка гарантирует поражение цели. Пре прицеливании центр круге стремится совместить в плоскости хОу с началом координат О (центром цели), но в следствие ошибок точка рассеивается около О (рис. 4.4.1). Закон рассеивания нормальный, рассеивание круговое, Определить вероятность поражения цели Р(А).

Решение. Чтобы цель была поражена осколками, необходимо совмещение двух событий:

  • 1) попадание цели (точки О) в осколочное поле (круг радиуса R)
  • 2) поражение цели при условии, что попаданий произошло. Вероятность попадания цели в круг, очевидно, равна вероятности того, что центр круга (случайная точка ) попадает в круг радиуса R, описанный вокруг начала координат. Применим формулу (4.5). Имеем:

Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания цели в осколочное поле равна:

Вероятность попадания в окружность

Далее найдем вероятность поражения цели при условии, что она накрыта осколочным листом. Среднее число осколков а, попадающих в накрытую полем цель, равно произведению площади цели на плотность поля осколков: 1,2*2=2,4.

Условная вероятность поражения цели есть не что иное, как вероятность попадания в нее хотя бы одного осколка. Тогда мы имеем:

Вероятность поражения цели равна:

Р(А) = 0,675*0,969 = 0,613.

Воспользуемся формулой (4.5) для вероятности попадания в круг, чтобы вывести одно важное для практики распределение так называемое распределение Релея.

Рассмотрим на плоскости хОу (рис. 4.4.2) случайную точку (Х, Y), рассеивающуюся вокруг начала координат О по круговому нормальному закону со среднеквадратическим отклонением . Найдем закон распределения случайной величины R- расстояния от точки (Х, Y) до начали координат, т. е. длины случайного вектора с составляющими Х, Y.

Найдем сначала функцию распределения F(r) величины R. По определению

Видео:Теория вероятностей | Математика TutorOnlineСкачать

Теория вероятностей | Математика TutorOnline

Нормальный закон распределения для системы случайных величин с примерами решения и образцами выполнения

Нормальный закон распределения для системы случайных величин:

Вероятность попадания в окружность

Видео:Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервалСкачать

Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервал

Нормальный закон на плоскости

Из законов распределения системы двух случайных величин имеет смысл специально рассмотреть нормальный закон, как имеющий наибольшее распространение на практике. Так как система двух случайных величин изображается случайной точкой на плоскости, нормальный закон для системы двух величин часто называют «нормальным законом на плоскости».

В общем случае плотность нормального распределения двух случайных величин выражается формулой

Вероятность попадания в окружность

Этот закон зависит от пяти параметров: Вероятность попадания в окружность,Вероятность попадания в окружностьи r. Смысл этих параметров нетрудно установить. Докажем, что параметры Вероятность попадания в окружностьпредставляют собой математические ожидания (центры рассеивания) величин X и Y; Вероятность попадания в окружность— их средние квадратические отклонения; r — коэффициент корреляции величин X и Y.

Для того чтобы убедиться в этом, найдём прежде всего плотность распределения для каждой из величин, входящих в систему. Согласно формуле (8.4.2)

Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в окружность(9.1.3)

Вероятность попадания в окружность

Из интегрального исчисления известно, что

Вероятность попадания в окружность(9.1.3)

Вероятность попадания в окружность

Подставляя эти значения в формулу (9.1.3), имеем:

Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в окружность

или, учитывая (9.1.2), Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в окружность(9.1.4)

Таким образом, величина X подчинена нормальному закону с центром рассеивания Вероятность попадания в окружностьи средним квадратическим отклонением Вероятность попадания в окружность

Аналогично покажем, что

Вероятность попадания в окружность(9.1.5)

т. е. величина Y подчинена нормальному закону с центром рассеивания Вероятность попадания в окружностьи средним квадратическим отклонением Вероятность попадания в окружность.

Вероятность попадания в окружностьДля вычисления интеграла (9.1.3) достаточно дополнить показатель степени до полного квадрата и после замены переменной воспользоваться интегралом Эйлера—Пуассона (6.1.3).

Остаётся доказать, что параметр r в формуле (9.1.1) представляет собой коэффициент корреляции величин X и У. Для этого вычислим корреляционный момент:

Вероятность попадания в окружность

где Вероятность попадания в окружность— математические ожидания величин X и У. Подставляя в эту формулу выражение f (х, у), получим: Вероятность попадания в окружность

Произведём в двойном интеграле (9.1.6) замену переменных, положив:

Вероятность попадания в окружность

Якобиан преобразования равен

Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в окружность(9.1.8)

Таким образом, доказано, что параметр r в формуле (9.1.1) представляет собой коэффициент корреляции величин X и Y.

Предположим теперь, что случайные величины X и Y, подчинённые нормальному закону на плоскости, не коррелированы; положим в формуле (9.1.1) r = 0. Получим:

Вероятность попадания в окружность(9.1.9)

Легко убедиться, что случайные величины (X, Y), подчинённые закону распределения с плотностью (9.1.9), не только не коррелированы, но и независимы. Действительно,

Вероятность попадания в окружность

т. е. плотность распределения системы равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему, а это значит, что случайные величины (Х,У) независимы.

Таким образом, для системы случайных величин, подчинённых нормальному закону, из некоррелированности величин вытекает также их независимость. Термины «некоррелированные» и «независимые» величины для случая нормального распределения эквивалентны. При Вероятность попадания в окружностьслучайные величины (X, Y) зависимы. Нетрудно убедиться, вычисляя условные законы распределения по формулам (8.4.6), что

Вероятность попадания в окружность

Проанализируем одно из этих условных законов распределения, например f(yx). Для этого преобразуем выражение плотности f(yx) к виду:

Вероятность попадания в окружность

Очевидно, это есть плотность нормального закона с центром рассеивания

Вероятность попадания в окружность(9.1.10)

и средним квадратическим отклонение

Вероятность попадания в окружность(9.1.11)

Формулы (9.1.10) и (9.1.11) показывают, что в условном законе распределения величины У при фиксированном значении X = х от этого значения зависит только математическое ожидание, но не дисперсия.

Величина Вероятность попадания в окружностьназывается условным математическим ожиданием величины Y при данном х. Зависимость (9.1.10) можно изобразить на плоскости хОу, откладывая условное математическое ожидание Вероятность попадания в окружностьпо оси ординат. Получится прямая, которая называется линией регрессии Y на X. Аналогично прямая Вероятность попадания в окружность(9.1.12)

есть линия регрессии X и Y. Линии регрессии совпадают только при наличии линейной функциональной зависимости Y от X. При независимых X и Y линии регрессии параллельны координатным осям.

Рассматривая выражение (9.1.1) для плотности нормального распределения на плоскости, мы видим, что нормальный закон на плоскости полностью определяется заданием пяти параметров: двух координат центра рассеивания Вероятность попадания в окружность, двух средних квадратических отклонений Вероятность попадания в окружностьи одного коэффициента корреляции r. В свою очередь последние три параметра Вероятность попадания в окружностьи r полностью определяются элементами корреляционной матрицы: дисперсиями Вероятность попадания в окружностьи корреляционным моментом Вероятность попадания в окружностьТаким образом, минимальное количество числовых характеристик системы — математические ожидания, дисперсии и корреляционный момент — в случае, когда система подчинена нормальному закону, определяет собой полностью закон распределения, т. е. образует исчерпывающую систему характеристик.

Так как на практике нормальный закон весьма распространён, то очень часто для полной характеристики закона распределения системы оказывается достаточно задать минимальное число — всего пять — числовых характеристик.

Видео:Геометрическая вероятностьСкачать

Геометрическая вероятность

Эллипсы рассеивания. Приведение нормального закона к каноническому виду

Рассмотрим поверхность распределения, изображающую функцию (9.1.1). Она имеет вид холма, вершина которого находится над точкой (Вероятность попадания в окружность) (рис. 9.2.1).

В сечении поверхности распределения плоскостями, параллельными оси f (х, у), получаются кривые, подобные нормальным кривым распределения. В сечении поверхности распределения плоскостями, параллельными плоскости хОу, получаются эллипсы. Напишем уравнение проекции такого эллипса на плоскость хОу. Вероятность попадания в окружность

или, обозначая константу Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в окружность(9.2.1)

Уравнение эллипса (9.2.1) можно проанализировать обычными методами аналитической геометрии. Применяя их, убеждаемся, что центр эллипса (9.2.1) находится в точке с координатами (Вероятность попадания в окружность); что касается направления осей симметрии эллипса, то они со- составляют с осью Ох углы, определяемые уравнением Вероятность попадания в окружность

Это уравнение даёт два значения углов: а и Вероятность попадания в окружностьразличающиеся на Вероятность попадания в окружность.

Вероятность попадания в окружность

Таким образом, ориентация эллипса (9.2.1) относительно координатных осей находится в прямой зависимости от коэффициента корреляции г системы (X. Y): если величины не коррелированы (т. е. в данном случае и независимы), то оси Симметрия эллипса параллельны координатным осям; в противном случае они составляют с координатными осями некоторый угол.

Вероятность попадания в окружностьОбоснование формулы (9.2.2) другим способом см. в п° 14.7.

Пересекая поверхность распределения плоскостями, параллельными плоскости хОу, и проектируя сечения на плоскость хОу, мы получим целое семейство подобных и одинаково расположенных эллипсов с общим центром (Вероятность попадания в окружность). Во всех точках каждого из таких эллипсов плотность распределения f (х, у) постоянна. Поэтому такие эллипсы называются эллипсами равной плотности или, короче, эллипсами рассеивания. Общие оси всех эллипсов рассеивания называются главными осями рассеивания.

Известно, что уравнение эллипса принимает наиболее простой, так называемый «канонический» вид, если координатные оси совпадают с осями симметрии эллипса. Для того чтобы привести уравнение эллипса рассеивания к каноническому виду, достаточно перенести начало координат в точку (Вероятность попадания в окружность) и повернуть координатные оси на угол а, определяемый уравнением (9.2.2). При этом координатные оси совпадут с главными осями рассеивания, и нормальный закон на плоскости преобразуется к так называемому «каноническому» виду.

Каноническая форма нормального закона на плоскости имеет вид: Вероятность попадания в окружность

где Вероятность попадания в окружность—так называемые главные средние квадратические отклонения, т. е. средние квадратические отклонения случайных величин Вероятность попадания в окружность, представляющих собой координаты случайной точки в системе координат, определяемой главными осями рассеивания Вероятность попадания в окружность. Главные средние квадратические отклонения Вероятность попадания в окружностьи Вероятность попадания в окружностьвыражаются через средние квадратические отклонения в прежней системе координат формулами: Вероятность попадания в окружность(9.2.4)

Обычно, рассматривая нормальный закон на плоскости, стараются заранее выбрать координатные оси Ох, Оу так, чтобы они совпали с гласными осями рассеивания. При этом средние квадратические отклонения по осям Вероятность попадания в окружностьи будут главными средними квадратическими отклонениями, и нормальный закон будет иметь вид:

Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в окружностьВывод этих формул см. в главе 14, п° 14.7.

В некоторых случаях координатные оси выбирают параллельно главным осям рассеивания, но начало координат с центром рассеивания не совмещают. При этом случайные величины (X, Y) также оказываются независимыми, но выражение нормального закона имеет вид:

Вероятность попадания в окружность

где Вероятность попадания в окружность— координаты центра рассеивания.

Перейдём в канонической форме нормального закона (9.2.5) от средних квадратических отклонений к вероятным отклонениям: Вероятность попадания в окружность

Величины Ех, Еу называются главными вероятными отклонениями. Подставляя выражения Вероятность попадания в окружностьчерез Ех, Еу в уравнение (9.2.5), по- получим другую каноническую форму нормального закона: Вероятность попадания в окружность

В такой форме нормальный закон часто применяется в теории стрельбы.

Напишем уравнение эллипса рассеивания в каноническом виде: Вероятность попадания в окружность

где k — постоянное число. Из уравнения видно, что полуоси эллипса рассеивания пропорциональны главным средним квадратическим отклонениям (а значит, и главным вероятным отклонениям).

Назовём «единичным» эллипсом рассеивания тот из эллипсов равной плотности вероятности, полуоси которого равны главным средним квадратическим отклонениям Вероятность попадания в окружность. (Если пользоваться и качестве характеристик рассеивания не главными средними квадратическими, а главными вероятными отклонениями, то естественно будет назвать «единичным» тот эллипс, полуоси которого равны Ех, Еу.)

Кроме единичного эллипса рассеивания иногда рассматривают ещё «полный» эллипс рассеивания, под которым понимают тот из эллипсов равной плотности вероятности, в который с практической достоверностью укладывается все рассеивание. Размеры этого эллипса, разумеется, зависят от того, что понимать под «практической достоверностью». В частности, если принять за «практическую достоверность» вероятность порядка 0,99, то «полным эллипсом рассеивания» можно считать эллипс с полуосями Вероятность попадания в окружность

Рассмотрим специально один частный случай, когда главные средние квадратические отклонения равны друг другу: Вероятность попадания в окружность

Тогда все эллипсы рассеивания обращаются в круги, и рассеивание называется круговым. При круговом рассеивании каждая из осей, проходящих через центр рассеивания, может быть принята за главную ось рассеивания, или, другими словами, направление главных осей рассеивания неопределённо. При некруговом рассеивании случайные величины X, Y, подчинённые нормальному закону на плоскости, независимы тогда и только тогда, когда координатные оси параллельны главным осям рассеивания; при круговом рассеивании случайные величины ( X, Y ) независимы при любом выборе прямоугольной системы координат. Эта особенность кругового рассеивания приводит к тому, что оперировать с круговым рассеиванием гораздо удобнее, чем с эллиптическим. Поэтому на практике, где только возможно, стремятся приближённо заменять некруговое рассеивание круговым.

Видео:Вероятность попадания в мишень равна 0,8. Найдите вероятность того, что, сделав пять выстрелов..Скачать

Вероятность попадания в мишень равна 0,8. Найдите вероятность того, что, сделав пять выстрелов..

Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания

Пусть случайная точка (Х , Y ) на плоскости подчинена нормаль- нормальному закону

Вероятность попадания в окружность

При этом главные оси рассеивания параллельны координатным осям и величины X и У независимы.

Вероятность попадания в окружность

Требуется вычислить вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник R, стороны которого параллельны координатным осям хОу, а следовательно и главным осям рассеивания (рис. 9.3.1). Согласно обшей формуле (8.3.4) имеем

Вероятность попадания в окружность

откуда, применяя формулу (6.3.3) для вероятности попадания на уча- участок, находим:

Вероятность попадания в окружность

где Ф*(х) — нормальная функция распределения. Если нормальный закон на плоскости дан в канонической форме, то Вероятность попадания в окружность, и формула (9.3.2) принимает вид Вероятность попадания в окружность

Если стороны прямоугольника не параллельны координатным осям, то формулы (9.3.2) и (9.3.3) уже неприменимы. Только при круговом рассеивании вероятность попадания в прямоугольник любой ориентации вычисляется по формулам (9.3.2) или (9.3.3).

Формулы (9.3.2) и (9.3.3) широко применяются при вычислении вероятностей попадания в цели: прямоугольные, близкие к прямоугольным, составленные из прямоугольников или приближённо заменяемые таковыми.

Вероятность попадания в окружность

Пример:

Производится стрельба с самолёта по прямоугольному щиту размером 9 м X12 м, лежащему на земле горизонтально. Главные вероятные отклонения: в продольном направлении Вероятность попадания в окружность, в боковом направлении Вероятность попадания в окружностьПрицеливание— по центру мишени, заход — вдоль мишени. Вследствие несовпадения дальности пристрелки и дальности фактической стрельбы средняя точка попадания смещается в сторону недолёта на 4 м. Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле.

Решение:

На чертеже (рис. 9.3.2) наносим мишень, точку прицеливания (т. п.) и центр рассеивания (ц. р.). Через ц. р. проводим главные рассеивания: по направлению полёта и перпендикулярно к нему.

Перейдём от главных вероятных отклонений Вероятность попадания в окружностьи Вероятность попадания в окружностьк главным средним квадратическим:

Вероятность попадания в окружность

По формуле (9.3.3) имеем:

Вероятность попадания в окружность

Видео:Математика без Ху!ни. Теория вероятностей, комбинаторная вероятность.Скачать

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей, комбинаторная вероятность.

Вероятность попадания в эллипс рассеивания

К числу немногих плоских фигур, вероятность попадания в которые может быть вычислена в конечном виде, принадлежит эллипс рассеивания (эллипс равной плотности).

Пусть нормальный закон на плоскости задан в канонической форме:

Вероятность попадания в окружность(9.4.1)

Рассмотрим эллипс рассеивания Вероятность попадания в окружностьуравнение которого Вероятность попадания в окружность

где параметр k представляет собой отношение полуосей эллипса рассеивания к главным средним квадратическим отклонениям. По общей формуле (8.3.3) имеем:

Вероятность попадания в окружность

Сделаем в интеграле (9.4.2) замену переменных

Вероятность попадания в окружность

Этой подстановкой эллипс Вероятность попадания в окружностьпреобразуется в круг Вероятность попадания в окружностьрадиуса k. Следовательно,

Вероятность попадания в окружность

Перейдём в интеграле (9.4.3) от декартовой системы координат к полярной, положив

Вероятность попадания в окружность

Якобиан преобразования (9.4.4) равен r. Производя замену переменных, получим:

Вероятность попадания в окружность

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в эллипс рассеивания, полуоси которого равны k средним квадратическим отклонениям, равна:

Вероятность попадания в окружность

В качестве примера найдём вероятность попадания случайной точки, распределённой по нормальному закону на плоскости хОу, в единичный эллипс рассеивания, полуоси которого равны средним квадратическим отклонениям:

Вероятность попадания в окружность

Для такого эллипса k=l. Имеем:

Пользуясь таблицей 2 приложения, находим:

Вероятность попадания в окружность

Формула (9.4.5) чаще всего применяется для вычисления вероятности попадания в круг при круговом рассеивании.

Пример:

На пути быстро движущейся малоразмерной цели площади 1,2 м ставится осколочное поле в форме плоского диска радиуса R =30 м. Внутри диска плотность осколков постоянна и равна 2 оск./м2. Если цель накрыта диском, то число осколков, попадающих в неё, можно считать распределённым по закону Пуассона. В силу малости цели можно рассматривать её как точечную и считать, что она или полностью накрывается осколочным полем (если её центр попадает в круг), или совсем не накрывается (если её центр не попадает в круг). Попадание осколка гарантирует поражение цели. При прицеливании центр круга Вероятность попадания в окружностьстремятся совместить в плоскости хОу с началом координат О (центром цели), но вследствие_ ошибок точка Вероятность попадания в окружностьрассеивается около О (рис. 9.4.1). Закон рассеивания нормальный, рассеивание круговое, а = 20 м. Определить вероятность поражения цели Р(А).

Вероятность попадания в окружность

Решение:

Чтобы цель была поражена осколками, необходимо совмещение двух событий: 1) попадание цели (точки О) в осколочное поле (круг радиуса R) и 2) поражение цели при условии, что попадание произошло.

Вероятность попадания цели в круг, очевидно, равна вероятности того, что центр круга (случайная точка Вероятность попадания в окружность) попадёт в круг радиуса R, описанный вокруг начала координат.

Применим формулу (9.4.5). Имеем:

Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания цели в осколочное поле равна: Вероятность попадания в окружность

Далее найдём вероятность поражения цели р* при условии, что она накрыта осколочным диском. Среднее число осколков а, попадающих в накрытую полем цель, равно произведению площади цели на плотность поля осколков:

Условная вероятность поражения цели р* есть не что иное, как вероятность попадания в неё хотя бы одного осколка. Пользуясь формулой (5.9.5) главы 5, имеем:

Вероятность попадания в окружность

Вероятность поражения цели равна:

Вероятность попадания в окружность

Воспользуемся формулой (9.4.5) для вероятности попадания в круг, чтобы вывести одно важное для практики распределение: так называемое распределение Релея.

Рассмотрим на плоскости хОу (рис. 9.4.2) случайную точку (X, Y), рассеивающуюся вокруг начала координат О по круговому нормальному закону со средним квадратическим отклонением с. Найдём закон распределения случайной величины R — расстояния от точки (X, Y) до начала координат, т. е. длины случайного вектора с составляющими X, Y.

Вероятность попадания в окружность

Найдём сначала функцию распределения F(r) величины R. По определению

Вероятность попадания в окружность

Это есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки (X, Y) внутрь круга радиуса r (рис. 9.4.2). По формуле (9.4.5) эта вероятность равна:

Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в окружность(9.4.6)

Данное выражение функции распределения имеет смысл только при положительных значениях r; при отрицательных г нужно положить F(r)=0.

Дифференцируя функцию распределения F(r) по r , найдём плотность распределения

Вероятность попадания в окружность

Закон Релея (9.4.7) встречается в разных областях практики: в стрельбе, радиотехнике, электротехнике и др.

График функции f( r ) (плотности закона Релея) приведён на рис. 9.4.3.

Вероятность попадания в окружность

Найдём числовые характеристики величины R, распределённой по закону Релея, а именно: её моду Вероятность попадания в окружностьи математическое ожидание Вероятность попадания в окружностьДля того чтобы найти моду — абсциссу точки, в которой плотность вероятности максимальна, продифференцируем f( r ) и приравняем производную нулю:

Вероятность попадания в окружность

Корень этого уравнения и есть искомая мода

Вероятность попадания в окружность

Таким образом, наивероятнейшее значение расстояния R случайной точки (X, У) от начала координат равно среднему квадратическому отклонению рассеивания.

Математическое ожидание Вероятность попадания в окружностьнайдём по формуле Вероятность попадания в окружность

Производя замену переменной

Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в окружность

Интегрируя по частям, найдём математическое ожидание расстояния R:

Вероятность попадания в окружность

Видео:Геометрическая вероятностьСкачать

Геометрическая вероятность

Вероятность попадания в область произвольной формы

При стрельбе ударными снарядами вычисление вероятности попадания в цель сводится к вычислению вероятности попадания случайной точки (X, Y) в некоторую область D. Пусть случайная точка (X, Y) подчинена нормальному закону в каноническом виде. Вероятность попадания точки (X, Y) в область D выражается интегралом

Вероятность попадания в окружность

В отдельных частных случаях (например, когда область D есть прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, или эллипс рассеивания, а также в некоторых других, имеющих меньшее практическое значение) интеграл (9.5.1) может быть выражен через известные функции; в общем же случае этот интеграл через известные функции не выражается. На практике для вычисления вероятности попадания в область произвольной формы применяются следующие приближенные способы.

1.Область D приближённо заменяется областью, составленной из х прямоугольников, стороны которых параллельны главным осям рассеивания (рис. 9.5.1). Вероятность попадания в каждый из таких п прямоугольников вычисляется по формуле (9.3.3). Этот способ можно рекомендовать тогда, когда число прямоугольников, на которые приближённо разбивается цель D, не слишком велико. Вероятность попадания в окружность

2.Вся плоскость хОу с помощью некоторой системы линий (прямых или кривых) заранее разбивается на ряд ячеек, вероятности попадания в которые могут быть выражены точно через известные функции, и вычисляется вероятность попадания в каждую ячейку. Такая система линий с соответствующими ей вероятностями попадания в ячейки называется сеткой рассеивания. Работа с сеткой заключается в том, что изображение сетки накладывается на изображение цели, после чего производится суммирование вероятностей попадания в ячейки, накрытые целью; если цель накрывает часть ячейки, то берётся часть вероятности попадания в ячейку, пропорциональная накрытой площади.

Сетку рассеивания можно применять двояким образом: а) строить цель в масштабе сетки, б) строить сетку в масштабе цели.

Если цель имеет сложные очертания и, особенно, если она сравнительно невелика, бывает обычно удобнее построить на изображении цели в том же масштабе ту часть сетки, которая занята целью. Если же цель имеет сравнительно простые очертания и довольно велика (занимает значительную часть полного эллипса рассеивания),

Вероятность попадания в окружность

обычно удобнее построить цель в масштабе сетки. Так как стандартная сетка строится для кругового рассеивания, а на практике рассеивание в общем случае круговым не является, при построении Цели в масштабе сетки приходится в общем случае пользоваться Двумя разными масштабами по осям Ох и Оу. При этом способе удобно иметь в распоряжении сетку рассеивания, выполненную на прозрачной бумаге, и накладывать её на перестроенное изображение цели. Прямолинейная сетка рассеивания для одного координатного угла дана на рис. 9.5.2. Сторона ячейки равна Вероятность попадания в окружность

В ячейках проставлены вероятности попадания в них, выраженные в сороковых долях процента.

3.В случае, когда размеры области D невелики по сравнению со средними квадратическими отклонениями (не превышают 0,5—1 с. к. о. в направлении соответствующих осей), вероятность попадания в эту область может быть приближённо вычислена по формуле, не содержащей операции интегрирования. Рассмотрим на плоскости хОу малую цель D произвольной формы (рис. 9.5.3).

Вероятность попадания в окружность

Допустим, что размеры этой цели невелики по сравнению х с вероятными отклонениями Ех, Еу, По общей формуле (8.3.3) имеем: Вероятность попадания в окружность

где f(x, у) — плотность распределения системы (X, Y). Применим к интегралу (9.5.2) теорему о среднем значении:

Вероятность попадания в окружность

где Вероятность попадания в окружность— некоторая точка внутри области D; Вероятность попадания в окружность— площадь области D. В случае, когда система (X, Y) подчинена нормальному закону в каноническом виде, имеем:

Вероятность попадания в окружность

При сравнительно малых размерах области D плотность распределения f(x, у) в пределах этой области изменяется мало и практически может быть принята постоянной. Тогда в качестве точки Вероятность попадания в окружностьможно выбрать любую точку в пределах области D (например, приблизительный центр цели).

Формулы типа (9.5.3) широко применяются на практике. Для областей, наибольшие размеры которых не превышают 0,5 среднего квадратического отклонения в соответствующем направлении, они дают вполне приемлемые по точности результаты. В отдельных случаях их применяют и для более крупных областей (порядка одного с. к. о.). При условии внесения некоторых поправок (а именно, замены величин Вероятность попадания в окружностьнесколько увеличенными значениями) область применимости этой формулы может быть расширена на области размером порядка двух с. к, о.

Видео:Попадание стрелка в мишень.ВероятностьСкачать

Попадание стрелка в мишень.Вероятность

Нормальный закон в пространстве трёх измерений. Общая запись нормального закона для системы произвольного числа случайных величин

При исследовании вопросов, связанных со стрельбой дистанционными снарядами, приходится иметь дело с законом распределения точек разрыва дистанционного снаряда в пространстве. При условии применения обычных дистанционных взрывателей этот закон распределения может считаться нормальным.

В данном п° мы рассмотрим лишь каноническую форму нормального закона в пространстве:

Вероятность попадания в окружность

где Вероятность попадания в окружность— главные средние квадратические отклонения. Переходя от средних квадратических отклонений к вероятным, имеем:

Вероятность попадания в окружность

При решении задач, связанных со стрельбой дистанционными снарядами, иногда приходится вычислять вероятность разрыва дистанционного снаряда в пределах заданной области D. В общем случае эта вероятность выражается тройным интегралом: Вероятность попадания в окружность

Интеграл (9.6.3) обычно не выражается через элементарные функции. Однако существует ряд областей, вероятность попадания в которые вычисляется сравнительно просто.

  1. Вероятность попадания в прямоугольный параллелепипед со сторонами, параллельными главным осям рассеивания

Пусть область R представляет собой прямоугольный параллелепипед, ограниченный абсциссами Вероятность попадания в окружностьординатами Вероятность попадания в окружностьи аппликатамиВероятность попадания в окружность(рис. 9.6.1). Вероятность попадания в область R, очевидно, равна: Вероятность попадания в окружность

2. Вероятность попадания в эллипсоид равной плотности

Рассмотрим эллипсоид равной плотности Вероятность попадания в окружностьуравнение которого Вероятность попадания в окружность

Полуоси этого эллипсоида пропорциональны главным средним квадратическим отклонениям:

Вероятность попадания в окружность

Пользуясь формулой (9.6.1) для f(x, у,z ), выразим вероятность Вероятность попадания в окружность

попадания в эллипсоид Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в окружность

Перейдём от декартовых координат к полярным (сферическим) заменой переменных

Вероятность попадания в окружность

Якобиан преобразования (9.6.5) равен:

Вероятность попадания в окружность

Переходя к новым переменным, имеем:

Вероятность попадания в окружность

Интегрируя по частям, получим:

Вероятность попадания в окружность

3. Вероятность попадания в цилиндрическую область с образующей, параллельной одной из главных осей рассеивания

Рассмотрим цилиндрическую область С, образующая которой параллельна одной из главных осей рассеивания (например, оси Oz), а направляющая есть контур произвольной области D на плоскости хОу (рис. 9.6.2).

Вероятность попадания в окружность

Пусть область С ограничена двумя плоскостями Вероятность попадания в окружность. Вычислим вероятность попадания в область С; это есть вероятность произведения двух событий, первое из которых состоит в попадании точки (X, Y) в область D, а второе — в попадании величины Z на участок Вероятность попадания в окружностьТак как величины (X, Y, Z), подчинённые нормальному закону в канонической форме, независимы, то независимы и эти два события. Поэтому

Вероятность попадания в окружность

Вероятность Вероятность попадания в окружностьв формуле (9.6.7) может быть вычислена любым из способов вычисления вероятности попадания любым из в плоскую область.

На формуле (9.6.7) основан следующий способ вычисления вероятности попадания в пространственную областьG произвольной формы: область G приближённо разбивается на ряд цилиндрических областей Вероятность попадания в окружность (рис. 9.6.3), и вероятность попадания в каждую из них вычисляется по формуле (9.6.7). Для применения этого способа достаточно начертить ряд фигур, представляющих собой сечения области G плоскостями, параллельными одной из координатных плоскостей. Вероятность попадания в каждую из них вычисляется по сетке рассеивания.

Вероятность попадания в окружность

В заключение данной главы напишем общее выражение для нормального закона в пространстве любого числа измерений n. Плотность распределения такого закона имеет вид: Вероятность попадания в окружность

где С — определитель матрицы Вероятность попадания в окружность—матрица, обратная корреляционной матрице К, т. е. если корреляционная матрица

Вероятность попадания в окружность

где |К|—определитель корреляционной матрицы, a Вероятность попадания в окружность— минор этого определителя, получаемый из него вычёркиванием і-й строки и j-го столбца. Заметим, что

Вероятность попадания в окружность

Из общего выражения (9.6.8) вытекают все формы нормального закона для любого числа измерений ц для любых видов зависимости между случайными величинами. В частности, при n = 2 (рассеивание на плоскости) корреляционная матрица есть

Вероятность попадания в окружность

где r — коэффициент корреляции. Отсюда

Вероятность попадания в окружность

Подставляя определитель матрицы С и её члены в (9.6.8), получим формулу (9.1.1) для нормального закона на плоскости, с которой мы начали п°9.1.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по теории вероятностей:

Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность Вероятность попадания в окружность

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Геометрическая вероятностьСкачать

Геометрическая вероятность

Геометрическая вероятность

Вероятность попадания в окружность

Цели и задачи: 1) Познакомить учащихся с одним из возможных способов задания

2) Повторение пройденного и закрепление навыков формализации

текстовых вероятностных задач с помощью геометрических фигур.

1) Знать определение геометрической вероятности выбора точки

внутри фигуры на плоскости и прямой;

2) Уметь решать простейшие задачи на геометрическую вероятность,

зная площади фигур или умея их вычислять.

I. Выбор точки из фигуры на плоскости.

Пример 1. Рассмотрим мысленный эксперимент: точку наудачу бросают на квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем Вероятность попадания в окружность?

Вероятность попадания в окружностьВ этой задаче речь идет о так называемой геометрической вероятности.

Рассмотрим более общие условия опыта.

Точку наудачу бросают в фигуру F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G, которая содержится в фигуре F.

Ответ зависит от того, какой смысл мы вкладываем в выражение «бросить точку наудачу».

Обычно это выражение трактуют так:

1. Брошенная точка может попасть в любую часть фигуры F.

2. Вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G внутри фигуры F, прямо пропорциональна площади фигуры G.

Подведем итог: пусть Вероятность попадания в окружностьи Вероятность попадания в окружность— площади фигур F и G . Вероятность события А «точка Х принадлежит фигуре G, которая содержится в фигуре F», равна

Вероятность попадания в окружность.

Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F, поэтому Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в окружностьВернемся к нашей задаче. Фигура F в этом примере квадрат со стороной 1. Поэтому Вероятность попадания в окружность=1.

Точка удалена от границы квадрата не более чем на Вероятность попадания в окружность, если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G. Чтобы найти площадь Вероятность попадания в окружность, нужно из площади фигуры F вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной Вероятность попадания в окружность.

Вероятность попадания в окружность

Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна Вероятность попадания в окружность

Пример 2. Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника.

Вероятность попадания в окружностьРешение: Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольников. Значит, Вероятность попадания в окружность

Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:

Вероятность попадания в окружность

Вывод. Вероятность попадания точки в некоторую фигуру прямо пропорциональна площади этой фигуры.

Задача. Нетерпеливые дуэлянты.

Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти 5 минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?

Решение: Пусть х и у обозначают время прибытия 1-го т 2-го дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа начиная с 5 часов.

Вероятность попадания в окружность

Вероятность попадания в окружностьДуэлянты встречаются, если Вероятность попадания в окружность, т. е. xВероятность попадания в окружность

🔥 Видео

Геометрическое определение вероятности. 9 класс.Скачать

Геометрическое определение вероятности. 9 класс.

Теория вероятностей 12: парадокс БертранаСкачать

Теория вероятностей 12: парадокс Бертрана

Геометрическая вероятностьСкачать

Геометрическая вероятность

Теория вероятностей |Чтобы пройти в следующий круг соревнований команде нужно набрать хотя бы 4 очкаСкачать

Теория вероятностей |Чтобы пройти в следующий круг соревнований команде нужно набрать хотя бы 4 очка

Геометрическая вероятность. Видеоурок по алгебре 11 классСкачать

Геометрическая вероятность. Видеоурок по алгебре 11 класс

Теория вероятностей ЕГЭ.Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна0.38Скачать

Теория вероятностей ЕГЭ.Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна0.38

Геометрическая вероятностьСкачать

Геометрическая вероятность

Задача 4 ЕГЭ по математике. Урок 18Скачать

Задача 4 ЕГЭ по математике. Урок 18

Самая сложная задача из самой сложной олимпиады [3Blue1Brown]Скачать

Самая сложная задача из самой сложной олимпиады [3Blue1Brown]

Алгебра 9 класс (Урок№47 - Достоверные и невозможные события.)Скачать

Алгебра 9 класс (Урок№47 - Достоверные и невозможные события.)

18 Игла Бюффона и парадокс БертранаСкачать

18 Игла Бюффона и парадокс Бертрана

Две задачи теории вероятностейСкачать

Две задачи теории  вероятностей
Поделиться или сохранить к себе: