В треугольнике с вершинами найти вектор высоты bd

В треугольнике с верхушками А(-2;0),В(2;6) и С(4;2) проведены вышина ВД и медиана ВЕ. Написать уравнения стороны АС,медианы ВЕ и вышины ВД,

• Твердиславлева Алла
• Математика 2019-10-16 13:06:21 0 1

Уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости имеет вид:

Для того чтобы пользоваться этой формулой найдем координаты середины стороны АС, точки Е. Координаты точки Е найдем по формулам дробления отрезка напополам:

Составим уравнение стороны АС:

(x + 2)/(4 + 2) = (y — 0)/(0 + 2), (x + 2)/6 = y/2 x — 3y + 2 = 0 y = 1/3x + 2/3.

Составим уравнение медианы ВЕ:

(x 2)/(1 — 2) = (y — 6)/(1 — 6) -5x + 10 = y + 6 -5x y 4 = 0.

Составим уравнение вышина ВД. Она перпендикулярна стороне АС, потому используем формулу прямой проходящей через заданную точку В, перпендикулярно данной прямой АС:

(y — y₁) = -1/k(x x₁) (y — 6) = -1/(1/3)(x 2) y — 6 = -3x + 6 y + 3x — 12 = 0.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

🌟 Видео

Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Угол между векторами | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

№1039. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АССкачать

Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольникаСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать

Уравнение прямой и треугольник. Задача про высотуСкачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

№1048. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8),Скачать