Верно ли что около любого ромба можно описать окружность

Верно ли что около любого ромба можно описать окружность

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около любого ромба можно описать окружность.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около любого ромба можно описать окружность.»— неверно, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы сумма противоположных углов четырёхугольника составляла 180°. Это верно не для любого ромба.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Верно ли что около любого ромба можно описать окружность

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьАВС.

Доказать: около Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Верно ли что около любого ромба можно описать окружность

Точка О равноудалена от вершин Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Верно ли что около любого ромба можно описать окружность

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Верно ли что около любого ромба можно описать окружность

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВ = Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьАDС, Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьD = Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьАВС, откуда следует Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВ + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьD = Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьАDС + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьАВС = Верно ли что около любого ромба можно описать окружность(Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьАDС + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьАDС + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьАВС = 360 0 , тогда Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВ + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьD = Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружность360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьBАD + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Верно ли что около любого ромба можно описать окружность

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Верно ли что около любого ромба можно описать окружность

Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВСDвнешний угол Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьСFD, следовательно, Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьBСD = Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВFD + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВFD = Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВАD и Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьFDE = Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьBСD = Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВАD + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьЕF = Верно ли что около любого ромба можно описать окружность(Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВАD + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьЕF), следовательно, Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВСDВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВАD.

Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьBАD = Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВЕD, тогда Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьBАD + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьBСDВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружность(Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВЕD + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВЕD + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВАD = 360 0 , тогда Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьBАD + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьBСDВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружность360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьBАD + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьBСDВерно ли что около любого ромба можно описать окружность180 0 . Но это противоречит условию Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьBАD + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Верно ли что около любого ромба можно описать окружность

По теореме о сумме углов треугольника в Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВСF: Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьС + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВ + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьF = 180 0 , откуда Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьС = 180 0 — ( Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВ + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьF). (2)

Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВ = Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьЕF. (3)

Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьF и Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВFD смежные, поэтому Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьF + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВFD = 180 0 , откуда Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьF = 180 0 — Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВFD = 180 0 — Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьС = 180 0 — (Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьЕF + 180 0 — Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВАD) = 180 0 — Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьЕF — 180 0 + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВАD = Верно ли что около любого ромба можно описать окружность(Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВАDВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьЕF), следовательно, Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьСВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВАD.

Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьА = Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВЕD, тогда Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьА + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьСВерно ли что около любого ромба можно описать окружностьВерно ли что около любого ромба можно описать окружность(Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВЕD + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьВАD). Но это противоречит условию Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьА + Верно ли что около любого ромба можно описать окружностьС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Около любого ромба можно описать окружность?

Верно ли что около любого ромба можно описать окружность

Так чтобы все четыре его вершины лежали на окружности? Только в том случае, если этот ромб — квадрат.

Верно ли что около любого ромба можно описать окружность

Нет, только около квадрата

Описать окружность можно вокруг любой геометрической фигуры. А вот вписать их в окружность можно далеко не все! Ни один ромб вписать в окружность нельзя! Нужно формулировать правильно. Описать и вписать вещи разные!

💡 Видео

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскостиСкачать

№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости

В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Разбор задания 13 ОГЭ по математикеСкачать

Разбор задания 13 ОГЭ по математике

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Описанная окружность | Геометрия 7-9 класс #75 | ИнфоурокСкачать

Описанная окружность  | Геометрия 7-9 класс #75 | Инфоурок

Любой прямоугольник можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Любой прямоугольник можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность, описанная вокруг четырёхугольника | МатематикаСкачать

Окружность, описанная вокруг четырёхугольника | Математика

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Вся ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ | ВЕБИНАР |TutorOnlineСкачать

Вся ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ | ВЕБИНАР |TutorOnline

Окружность в задании №6 ЕГЭ по математикеСкачать

Окружность в задании №6 ЕГЭ по математике

Задание 19 (часть 1) | ОГЭ 2024 Математика | Анализ геометрических высказыванийСкачать

Задание 19 (часть 1) | ОГЭ 2024 Математика | Анализ геометрических высказываний

№494. Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ — 12 см.Скачать

№494. Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ — 12 см.

Ромб, признаки. 8 класс.Скачать

Ромб, признаки. 8 класс.
Поделиться или сохранить к себе: