Векторы цен в экономике (3 видео) | Курс школьной геометрии

Решение задач методом Гаусса

Содержание:

Содержание

Решение задач методом Гаусса. Применение метода Гаусса к задачам линейной зависимости систем векторов
Пример №19
Индекс цен и индекс инфляции. Ортогональные векторы
16.1. Применение элементов линейной алгебры в экономике. Использование алгебры матриц. Матричные вычисления
Модель равновесных цен
🔍 Видео

Решение задач методом Гаусса. Применение метода Гаусса к задачам линейной зависимости систем векторов

Мы уже говорили о том, что одной из важных задач линейной алгебры является выяснение факта — линейно зависима или независима в пространстве система векторов . Метод Гаусса играет здесь решающую роль.

Определение 1. Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется однородной.

Однородная система линейных уравнений с неизвестными имеет вид:

(1)

Однородная система всегда совместна, т.к. одним из ее решений является .

Это решение называют нулевым. Важно знать имеет ли конкретная однородная система ненулевые решения.

Теорема 1. Однородная линейная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Заметим, что система (1) может быть записана в векторном виде

. (2)

В этой записи участвуют векторов:

Т.о., неизвестные являются коэффициентами линейной комбинации векторов . Поэтому, решая методом Гаусса систему (1.3), мы ищем коэффициенты .. Если окажется, что решение единственное (т.е. нулевое), то система векторов линейно независима. В противном случае она линейно зависима.

Пример №19

Дана система из четырех векторов, принадлежащих :

(3)

Является ли эта система линейно зависимой в ?

Решение:

Запишем уравнение , которое в координатной записи представляет собой однородную линейную систему

Если система уравнений (4) имеет только нулевое решение, то система векторов (3) линейно независима в . Если же имеются и ненулевые решения, то система векторов (3) линейно зависима.

Применим к системе уравнений (4) метод Гаусса:

Получилась система уравнений с базисными неизвестными и свободным неизвестным . Наличие свободного неизвестного означает, что решений бесконечное множество. Следовательно, система векторов (3) линейно зависима в .

Индекс цен и индекс инфляции. Ортогональные векторы

Одним из способов определения индекса цен и уровня инфляции является расчет стоимости «потребительской корзины», состоящей из основных видов товаров и услуг, получаемых потребителями. Обычно это 300 необходимых видов товаров и услуг. В табл. 1 приведен условный пример, отражающий изменение стоимости потребительской корзины по трем товарам.

Табл. 1. Изменение стоимости товаров, входящих в потребительскую корзину

Индекс цен р и индекс инфляции i рассчитываются следующим образом:

р = • 100% = 106,3%, i= р -100 = 6,3%.

Т.к. i > 0, то это инфляция — повышение общего (среднего) уровня цен в экономике страны. Заметим, что при i

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

16.1. Применение элементов линейной алгебры в экономике. Использование алгебры матриц. Матричные вычисления

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие вектора и его свойства.

1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в табл. 16.1.

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р Выпускаемой продуции предприятия.

Решение. По данным табл. 16.1 составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

= (20, 50, 30,40) — вектор ассортимента,

= (5, 2, 7, 4) — вектор расхода сырья,

= (10, 5, 15, 8) — вектор затраты рабочего времени,

= (30, 15, 45, 20) — ценовой вектор.

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента На три других вектора, т. е.

2. Предприятие выпускает 4 вида изделий с использованием 4-х видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане их выпуска: соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение. Составим вектор-план выпуска продукции

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду; этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:

3. Пусть затраты 4-х видов сырья на выпуск 4-х видов продукции характеризуются матрицей А, приведенной в предыдущей задаче. Требуется найти: а) общие затраты на сырье для каждого вида продукции и его перевозку; б) общие затраты на сырье и его транспортировку при условии заданного вектора-плана предыдущей задачи, если известны себестоимости каждого вида сырья и его доставки (соответственно 4, 6, 5, 8 и 2, 1, 3, 2 ден. ед.).

Решение. Составим матрицу себестоимостей сырья и его доставки (соответственно 1-я и 2-я строки):

Тогда ответ на первый вопрос задачи дается в виде произведения матрицы А на транспонированную матрицу CT:

Суммарные затраты на сырье и его доставку (в денежных единицах) при векторе-плане выпуска продукции = (60, 50, 35, 40) определяются произведением вектора на матрицу АСT:

4. В табл. 16.2 приведены данные о дневной производительности 5 предприятий, выпускающих 4 вида продукции с потреблением 3-х видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.

1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;

2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья;

3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указанных видов и количеств.

Решение. Нужно составить матрицы, характеризующие весь интересующий нас экономический спектр производства, а затем при помощи соответствующих операций над ними получить решение данной задачи. Прежде всего приведем матрицу производительности предприятий по всем видам продукции:

Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной производительности отдельного предприятия по каждому виду продукции. Следовательно, годовая производительность J-Го предприятия по каждому виду продукции получается умножением J—Гo столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для этого предприятия (J = 1, 2, 3, 4, 5). Таким образом, годовая производительность каждого предприятия по каждому из изделий описывается матрицей

Матрица затрат сырья на единицу изделия (эти показатели по условию одинаковы для всех предприятий) имеет вид

Дневной расход по типам сырья на предприятиях описывается произведением матрицы В на матрицу А:

Где I-я строка соответствует номеру типа сырья, а J-Й столбец — номеру предприятия согласно табл. 16.2 (I = 1, 2, 3; J = 1, 2, 3, 4, 5). Ответ на второй вопрос задачи получим по аналогии с матрицей АГод умножением столбцов матрицы ВА На соответствующие количества рабочих дней в году для предприятий — это годовая потребность каждого предприятия в каждом виде сырья:

Введем вектор стоимости сырья

Тогда стоимость общего годового запаса сырья для каждого предприятия получается умножением вектора на матрицу ВAГод:

Следовательно, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами вектора .

5. Отрасль состоит из П предприятий, выпускающих по одному виду продуции каждое; обозначим объем продукции I-го предприятия через Xi. Каждое из предприятий отрасли для обеспечения своего производства потребляет часть продукции, выпускаемой им самим и другими предприятиями. Например, в отрасли электротехнического оборудования часть продукции предприятий, выпускающих электродвигатели, силовые кабели, электрокары и т. д., употребляется практически всей отраслью. Пусть Aij — доля продукции I-го предприятия, потребляемая J-М предприятием для обеспечения выпуска своей продукции объема Xj. Возникает естественный вопрос о величине Yi — количестве продукции I-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта). Эта величина легко может быть подсчитана по формуле

Введем в рассмотрение матрицу порядка N, описывающую внутреннее потребление отрасли:

Тогда вектор конечного продукта является решением матричного уравнения

Или с использованием единичной матрицы Е получаем

Рассмотрим конкретный пример при П = 3. Пусть вектор выпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребления имеют соответственно вид

Используя формулу (16.1) и правило сложения матриц, получаем вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли, состоящей из 3-х предприятий:

Видео:✓ Что такое вектор? Чем отличается понятие "вектор" от понятия "направленный отрезок" | Борис ТрушинСкачать

Модель равновесных цен

Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева, так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А — матрица прямых затрат, х — вектор валового выпуска. Обозначим через р = (р_и . р„) > 0 вектор цен (где р, — цена единицы продукции /-Й отрасли), тогда, например, первая отрасль получит доход, равныйрХ_х. Часть своего дохода эта отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции ей необходима продукция первой отрасли в объеме а_п, второй отрасли в объеме а₂, и-й отрасли в объеме а_пХ. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная а_пр_х + а_2х р₂ +. + й_п1р_п. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х_г первой отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную Xi(aup+a₂iP2 + . + о„1 р„). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через К, (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции). Таким образом, имеется следующее равенство:

Разделив это равенство на Х, получаем

где v_t = V/x — норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции). Подобным же образом получаем для остальных отраслей:

Найденные равенства, как нетрудно видеть, могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

где v = (vi, V2. v„) — вектор норм добавленной стоимости.

Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что х заменен нар, у — на v, А — на А Т .

Модель равновесных цен позволяет при известных величинах норм добавленной стоимости прогнозировать цены на продукцию отраслей, а также изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.

Замечание 2Л6. Если умножить уравнение Леонтьева (2.34) слева на вектор равновесных цен р т , то с учетом (2.35) получим

В левой части этого равенства находится суммарная стоимость, выпускаемой отраслями продукции. В правой части первое слагаемое представляет собой суммарную добавленную стоимость всех отраслей, а второе слагаемое — стоимость конечного спроса.

Пример 2.7. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из трех условных отраслей — топливно-энергетической промышленности и сельского хозяйства. Пусть

— транспонированная матрица прямых затрат, v = (4, 10, 4) — вектор норм добавленной стоимости. Определим равновесные цены. Для этого, как и в модели Леонтьева, воспользуемся формулой