Неравенство треугольника в геометрии лобачевского

Видео:Геометрия 7 класс 26 неделя Неравенство треугольника решение задачСкачать

Задача

Геометрия Лобачевского — это такая геометрия, в которой не выполняется пятый постулат Евклида, аксиома параллельных. Вместо него принимается, что существует бесконечно много прямых, проходящих через не лежащую на прямой l точку и не пересекающих l. Геометрию Лобачевского можно реализовать на обычной евклидовой плоскости.

Примером служит модель Пуанкаре в круге. «Плоскостью» в этой модели называется внутренность обычного круга радиуса 1, а «прямыми» — дуги окружностей, перпендикулярных границе этого круга (окружности называются перпендикулярными, если перпендикулярны их касательные в точках пересечения). Граница круга называется абсолютом и считается не принадлежащей плоскости. Легко видеть, что через точку A, не лежащую на прямой l, действительно можно провести множество прямых, не пересекающих l. Все они находятся внутри угла, образованного прямыми a и b. Параллельными в смысле Лобачевского называются прямые, имеющие общую точку на абсолюте. Например, прямые l и a параллельны между собой. Прямые l и b тоже параллельны между собой (но при этом прямые a и b не параллельны).

Между точками плоскости Лобачевского можно вычислить расстояние. Если Q, R — точки на плоскости, а P, S — точки, в которых прямая, проходящая через Q и R, пересекает абсолют, то расстояние на плоскости Лобачевского между Q и R равно

где PR и т. д. — обычные расстояния между двумя точками.

Впрочем, эта страшная формула для решения задачи не понадобится. Однако важно представлять себе в общих чертах, как устроены расстояния в геометрии Лобачевского. Параллельные прямые, как хорошо видно на рисунке, бесконечно сближаются друг с другом с одного конца и бесконечно отдаляются с другого. Если же прямые не пересекаются и не параллельны, то точки, двигающиеся по этим прямым к абсолюту, всегда бесконечно отдаляются друг от друга. Вообще, при приближении к абсолюту точка бесконечно удаляется от центра круга.

Другая реализация геометрии Лобачевского возможна на специальной поверхности в трехмерном пространстве — псевдосфере. Псевдосфера — поверхность вращения кривой ( z = ln left( text,frac t2 right) + cos t ), ( x = sin t ) вокруг оси Oz (впрочем, эта формула тоже не понадобится, нужно лишь представлять, что псевдосфера похожа на граммофонную трубу). Прямыми Лобачевского на этой поверхности являются геодезические, то есть линии кратчайшей длины, соединяющие две точки. Геодезическую можно получить, натянув по поверхности нить. Большая часть геодезических на псевдосфере — это спирали, навивающиеся на граммофонную трубу. Но геодезическими также являются сечения псевдосферы плоскостями, проходящими через ее ось вращения. Расстояния в этой модели — обычные евклидовы длины геодезических (поскольку псевдосфера вложена в обычное трехмерное пространство, то эти длины можно найти).

Псевдосфера, однако, не находится в однозначном соответствии со всей плоскостью Лобачевского в модели Пуанкаре. Во-первых, у псевдосферы есть граница, проходящая по плоскости z = 0. Во-вторых, у псевдосферы не такая топология, как у плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре. Чтобы пояснить это утверждение, рассмотрим замкнутую кривую, делающую один оборот по псевдосфере вокруг оси Oz. Ясно, что никакими деформациями эта кривая не может быть стянута в точку: что бы мы ни делали, кривая всегда будет делать один оборот вокруг Oz (то есть кривую можно как угодно двигать по псевдосфере, можно изгибать ее, но нельзя допускать разрывов). Однако в модели Пуанкаре любая замкнутая кривая может быть непрерывно деформирована в точку! Разгадка состоит в том, что геометрия на псевдосфере лишь локально реализует геометрию Лобачевского. Это значит, что если вырезать кусок псевдосферы, в котором не будет отверстий, то ему можно будет однозначно сопоставить кусок плоскости Лобачевского из модели Пуанкаре, причем расстояние Лобачевского между любыми точками будет сохраняться. (Между евклидовой плоскостью и плоскостью Лобачевского нельзя построить даже локального соответствия, сохраняющего расстояния.)

Таким образом, псевдосфера состоит из кусков плоскости Лобачевского, гладко переходящих друг в друга. Как выполнить явное построение псевдосферы на основе модели Пуанкаре в круге? Другими словами, как склеить псевдосферу из одной или нескольких областей плоскости Лобачевского?

Видео:1. Лобачевский и его наследие. Основные постулаты геометрии.Скачать

Подсказка 1

Конус и цилиндр — поверхности, на которых локально реализуется евклидова геометрия. Однако, разумеется, ни конус, ни цилиндр не являются целой евклидовой плоскостью. Как, имея в распоряжении лист бумаги (евклидову плоскость), построить цилиндр или конус?

Видео:Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать

Подсказка 2

Как уже было сказано, сечения псевдосферы плоскостями, проходящими через ее ось симметрии, являются геодезическими, то есть прямыми. Обратите внимание: во-первых, псевдосфера бесконечна вверх. Во-вторых, она бесконечно сужается при движении вдоль оси симметрии. Это значит, что все прямые, о которых говорилось двумя строками выше, бесконечно сближаются (но не пересекаются), то есть параллельны. На псевдосфере, таким образом, есть целое семейство параллельных прямых.

Видео:Неравенство треугольника. Геометрия 7 класс. Доказательство. Задачи по рисункам.Скачать

Решение

Оказывается, что псевдосфера — аналог конуса, склеенного из евклидовой плоскости. Она получается из области, лежащей между двумя параллельными в смысле Лобачевского прямыми, склеиванием по этим прямым. Действительно, разрежем псевдосферу плоскостью, проходящей через ее ось симметрии. Тогда у каждой из полученных частей границами являются пары прямых, которые, как уже было отмечено в подсказке, параллельны. Если же сделать не два разреза, а один, то получится всего одна область, ограниченная двумя параллельными «лучами» Лобачевского a, b и кривой c, которая в трехмерном пространстве является окружностью. Эта область является разверткой псевдосферы; точно так же как сектор окружности в евклидовой плоскости — развертка конуса.

Рис. 3. На обоих рисунках серым цветом выделена одна и та же область плоскости Лобачевского. Слева она изображена в модели Пуанкаре, справа она вложена в трехмерное пространство. Область ограничена линиями a, b и c. a и b — лучи Лобачевского, перпендикулярные c, а c — отрезок орицикла. В модели Пуанкаре орицикл является окружностью, которая касается абсолюта

Из симметрии очевидно, что c перпендикулярна всему семейству параллельных прямых на псевдосфере. Кривая, обладающая таким свойством, носит в геометрии Лобачевского специальное название: орицикл. Чем же орицикл является в модели Пуанкаре? В евклидовой геометрии, разумеется, семейству параллельных прямых перпендикулярно другое семейство параллельных прямых. В геометрии Лобачевского это не так: кривая c, конечно, прямой не является. Впрочем, не составляет труда выяснить вид c в модели Пуанкаре. В этом помогает замечательный факт: евклидовы углы в модели Пуанкаре совпадают с углами плоскости Лобачевского. Поэтому задача сводится к следующей: найти кривую, перпендикулярную семейству касающихся друг друга в одной точке окружностей. У этой кривой нужно будет выбрать отрезок, равный по длине окружности основания псевдосферы.

Такой кривой является любая окружность, перпендикулярная общей касательной семейства и проходящая через точку касания. Отсюда немедленно следует, что эта окружность будет касаться абсолюта.

Таким образом, орицикл в модели Пуанкаре — любая окружность, касающаяся абсолюта, а развертка псевдосферы состоит из двух лучей и части орицикла. В некотором смысле это — «треугольник» с двумя прямыми углами. Следует подчеркнуть: пара «лучей» и отрезок могут быть выбраны произвольным образом, с условием, что лучи параллельны (в смысле Лобачевского) друг другу, перпендикулярны отрезку, а отрезок имеет заданную длину, а именно — 2π.

Интересно посмотреть, что будет, если отрезок c имеет длину, отличную от длины окружности в основании псевдосферы. В модели Пуанкаре это может соответствовать тому, что вместо b берется какая-нибудь другая прямая, параллельная а (например, одна из черных внутри серой области в левой части рис. 3).

Для понимания этого полезен тот факт, что плоскость Лобачевского однородна и изотропна. Из этого немедленно следует, что любую вырезанную часть псевдосферы можно, изгибая, свободно двигать по псевдосфере (возможно, с наложениями). Вырежем наш «прямоугольный треугольник» с конечным отрезком длины, меньшей 2π. Его можно двигать по псевдосфере вверх до тех пор, пока отрезок орицикла не сомкнется в окружность, а две границы не сольются. Таким образом, из такого треугольника получается псевдосфера, у которой отрезана нижняя часть.

Если же длина с больше 2π, то построить из такого треугольника фигуру вращения в евклидовом пространстве нельзя. Однако его можно разрезать на треугольники, у каждого из которых сторона будет меньше 2π, каждый из них разместить на псевдосфере и склеить между собой. Таким образом, треугольник будет «намотан» на псевдосферу. Наконец, саму псевдосферу можно склеить не из одного треугольника, а из нескольких (подумайте, как).

Видео:✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной #126 | Борис ТрушинСкачать

Послесловие

Кроме модели Пуанкаре и псевдосферы существуют и другие модели геометрии Лобачевского. Исторически первой появилась модель Клейна в круге. В ней прямыми называются не дуги окружностей, а хорды, а расстояние вычисляется по точно такой же формуле. Другая модель — тоже Пуанкаре, но в полуплоскости. Ее можно представлять себе как модель Пуанкаре, у которой радиус круга устремлен к бесконечности. Абсолют превращается в границу полуплоскости, прямые Лобачевского — в полуокружности, перпендикулярные абсолюту, либо в прямые, перпендикулярные абсолюту.

Попробуем взглянуть единым взглядом на все эти модели. Каждая модель состоит из нескольких обязательных «ингредиентов». Необходимо определить, во-первых, что такое сама плоскость Лобачевского. Это всегда некоторая двумерная поверхность, возможно вложенная в объемлющее пространство (как псевдосфера). Во-вторых — что такое прямые на этой плоскости Лобачевского. Это некоторые кривые на поверхности (мы каждый раз указывали, какие именно кривые принимаются за «прямые» в разных моделях). И, наконец, всегда должен быть какой-то способ определять расстояния на этой плоскости (так называемая метрика), причем так, чтобы прямая всегда была кратчайшим путем между двумя точками.

Нетрудно заметить, что эти «ингредиенты» немного избыточны в том смысле, что необходимо проверить, что прямая — действительно кратчайшее расстояние между двумя точками. Это вовсе не очевидно для формулы из условия:

Чтобы избавиться от этой избыточности, можно определять геометрию немного по-другому. А именно, будем задавать расстояния не между какими угодно двумя точками, а только между бесконечно близкими. После этого можно естественным образом определить длину кривой, разбив ее на малые части и просуммировав их длины (то есть взяв интеграл по кривой). Наконец, назовем отрезком прямой в этой геометрии линию, соединяющую две точки и имеющую кратчайшую длину.

Метрика полностью определяет внутренние свойства поверхности, в частности, насколько и каким образом эта поверхность искривлена. Таким образом, мы пришли к тому, с чего начали: геометрия Лобачевского — это геометрия искривленной поверхности, а именно — псевдосферы. А все модели геометрии Лобачевского — это разные системы координат, введенные на плоскости Лобачевского. Метрики моделей, разумеется, отличаются между собой, но при этом описывают одну и ту же геометрию.

Чтобы не быть голословными, выпишем явно метрики для евклидового пространства и геометрии Лобачевского. Начнем с модели Пуанкаре в верхней полуплоскости, потому что в ней сразу будут видны все особенности, характерные для искривленных поверхностей. Пусть две точки имеют координаты (x, y) и (x + dx, y + dy). Тогда квадрат расстояния между ними вычисляется по формуле

Для евклидовой плоскости вместо этого есть всем известная формула

[ mathrms^2 = mathrmx^2 + mathrmy^2, ]

которая есть не что иное, как теорема Пифагора.

Метрики для модели Клейна и Пуанкаре можно при желании посмотреть, например, в Википедии (см. Beltrami–Klein model и Poincaré disk model).

Еще более глубокое изучение вопроса приведет нас к такому понятию, как кривизна пространства. Не вдаваясь в подробности, обратим внимание лишь на то, что поверхность может быть искривлена в каждой точке двумя качественно различными способами. В одном случае поверхность напоминает часть эллипсоида, и кривизна считается положительной. В другом случае поверхность похожа на седло, и ее кривизна отрицательна. Псевдосфера, как видно на ее изображении (а значит, и плоскость Лобачевского), имеет отрицательную кривизну, причем оказывается, что эта кривизна постоянна (не зависит от точки поверхности). Это, кстати, проясняет происхождение названия «псевдосфера»: обычная сфера является поверхностью с постоянной положительной кривизной.

Рис. 4. Слева направо: поверхность отрицательной кривизны (однополостный гиперболоид), поверхность нулевой кривизны (цилиндр) и поверхность положительной кривизны (сфера). Рисунок с сайта en.wikipedia.org

Геометрия Лобачевского, созданная в XIX веке, была важнейшей ступенью к созданию области математики, которая сейчас называется дифференциальной геометрией. Она занимается изучением произвольных искривленных пространств, а ее математический аппарат является фундаментом такой важной области современной физики, как общая теория относительности (ОТО). Дело в том, что, согласно ОТО, пространство-время, в котором мы живем, обладает кривизной, причем кривизна пространства соответствует наличию в этой точке пространства гравитационного поля.

ОТО подверглась многочисленным экспериментальным проверкам (см.: Столетие ОТО, или Юбилей Первой ноябрьской революции, «Элементы», 25.11.2015), а поправки, связанные с ней, приходится учитывать для точной спутниковой навигации. Кроме того, ей описывается физика массивных объектов, таких как обычные и нейтронные звезды, сверхновые и черные дыры (список можно продолжать). Наконец, ОТО лежит в основе современной науки о Вселенной — космологии.

Согласно здравому смыслу, а также всем имеющимся наблюдательным данным, Вселенная на больших масштабах однородна и изотропна. Это в любом случае означает, что она является пространством постоянной пространственной кривизны. В связи с этим с самых первых лет космологии рассматривались три возможности: плоская Вселенная, Вселенная положительной кривизны («сферическая Вселенная») и Вселенная отрицательной кривизны («Вселенная Лобачевского»). На данный момент, правда, считается, что кривизна Вселенной нулевая (в пределах современной точности измерений). Это находит объяснение в современной теории инфляции. Согласно последней, Вселенная в начальной стадии своей эволюции испытывала очень быстрое расширение и в результате увеличилась во много раз (это и называется инфляцией). Вполне возможно, что до инфляции Вселенная была сферической, «Вселенной Лобачевского» или имела какую-то другую сложную геометрию. Однако расширение привело к тому, что сейчас наблюдениям доступна лишь очень малая часть всей Вселенной, и ее геометрия должна быть неотличима от плоской.

Видео:Геометрия 7 класс 25 неделя Неравенство треугольникаСкачать

ЛОБАЧЕ́ВСКОГО ГЕОМЕ́ТРИЯ

ЛОБАЧЕ́ВСКОГО ГЕОМЕ́ТРИЯ, од­на из не­евк­ли­до­вых гео­мет­рий, ос­но­ва­на на тех же по­сыл­ках, что и обыч­ная – евк­ли­до­ва гео­мет­рия, за ис­клю­че­ни­ем ак­сио­мы о па­рал­лель­ных, ко­то­рая за­ме­ня­ет­ся на иную. Евк­ли­до­ва ак­сио­ма о па­рал­лель­ных со­сто­ит в том, что че­рез точ­ку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, про­хо­дит не бо­лее чем од­на пря­мая, ле­жа­щая с дан­ной пря­мой в од­ной плос­ко­сти и не пе­ре­се­каю­щая её (в евк­ли­до­вой гео­мет­рии та­кие пря­мые на­зы­ва­ют па­рал­лель­ны­ми). В Л. г. эта ак­сио­ма за­ме­ня­ет­ся сле­дую­щей: че­рез точ­ку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, про­хо­дят по край­ней ме­ре две пря­мые, ле­жа­щие с дан­ной пря­мой в од­ной плос­ко­сти и не пе­ре­се­каю­щие её (дос­та­точ­но, что­бы это бы­ло вы­пол­не­но для од­ной точ­ки и од­ной пря­мой). На­ча­ло Л. г. бы­ло по­ло­же­но Н. И. Ло­ба­чев­ским , ко­то­рый впер­вые со­об­щил о ней в 1826. Не­сколь­ко позд­нее эту же тео­рию пред­ло­жил Я. Боль­яй ; по­это­му Л. г. ино­гда на­зы­ва­ют гео­мет­ри­ей Ло­ба­чев­ско­го – Боль­яя. Её так­же на­зы­ва­ют не­евк­ли­до­вой гео­мет­ри­ей, хо­тя обыч­но тер­ми­ну «не­евк­ли­до­ва гео­мет­рия» при­да­ют бо­лее ши­ро­кий смысл, вклю­чая сю­да и др. тео­рии, воз­ник­шие вслед за Л. г., а так­же тео­рии, ос­но­ван­ные на из­ме­не­нии по­сы­лок евк­ли­до­вой гео­мет­рии. Л. г. ино­гда на­зы­ва­ют ги­пер­бо­лич. не­евк­ли­до­вой гео­мет­ри­ей в про­ти­во­по­лож­ность эл­лип­тич. гео­мет­рии Ри­ма­на (см. Не­евк­ли­до­вы гео­мет­рии , Ри­ма­на гео­мет­рия ).

Видео:7 класс, 34 урок, Неравенство треугольникаСкачать

Геометрия Лобачевского

Материал из Lurkmore

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — очень хитрое математическое колдунство по типу всем известной геометрии Евклида, но с небольшим отличием, делающим ее невозможной для понимания 95% населения.

Видео:#177. ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО (советский диафильм)Скачать

Содержание

Видео:Неевклидова геометрия Лобачевского — Валентина КириченкоСкачать

[править] Суть

В геометрии Лобачевского вместо классического евклидового пятого постулата:

В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

»— Евклид (точнее Прокл)

используется другая аксиома:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её

»— Лобачевский

Если рисовать прямые не на плоскости, а на гиперболоиде (ну например, на лошадином седле), то именно так всё и получится. Чем хороша такая аксиома, что тут вообще получается, как это всё, БЛДЖАД, получилось и вообще история вопроса — всё это будет рассмотрено ниже.

Видео:ГАЛИЯ ШАРАФЕТДИНОВА!!!!! 42 из 42 НА МЕЖНАРЕ-2022!! РАЗБОР ЗАДАЧ МЕЖНАРА С АБСОЛЮТНОЙ ЧЕМПИОНКОЙ!Скачать

[править] Аксиомы Евклида

[править] Евклид

Во времена древней Греции, помимо зачатков всякой философии, были заложены и основы современной математики. Особо отличились здесь Евклид и Диофант. Про самого Евклида Александрийского, проживавшего в 3 веке до н. э., известно немного, однако главное, что он сделал — это запилил «Начала» — эпичный учебник по геометрии, в котором среди прочего была сформулирована система аксиом, которую с небольшими изменениями ажно до ХХ века использовали в геометрии как основную. А сами «Начала» считались главным и образцовым учебником по геометрии. Модернизация учебных курсов? Ну-ну…

[править] Аксиоматический метод

Немножко скукоты, без которой дальнейший рассказ не заладится. Что такое аксиомы и постулаты? Это утверждения, которые принимаются за данность. Система аксиом может быть противоречивой (плохая, негодная система) и непротиворечивой (хорошая, годная). При этом некоторые определения даются явно (например, окружность — это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром), а некоторые даются неявно. Например, точка — это объект, который удовлетворяет системе аксиом (то есть в другой системе аксиом, точнее в геометрической реализации, точкой может быть что-то не похожее на то, к чему мы привыкли).

Помимо системы аксиом, есть ещё модель (геометрическая реализация). То есть некий способ представления (визуализации) системы аксиом. К разным моделям геометрии Лобачевского мы ещё вернёмся, но пока отметим, что, когда школиё рисует чертежи, оно как раз таки и работает в данной геометрической реализации евклидовой геометрии. Другое дело, что в случае с евклидовой геометрией исторически сначала появилась геометрическая реализация (точки, отрезки, окружности), а потом под эту геометрическую реализацию была подогнана система аксиом. А в случае с геометрией Лобачевского было ровно наоборот.

Тащемта, аксиоматический метод состоит в том, что при изучении какой-нибудь области науки нужно сначала сформулировать необходимый набор аксиом, проверить их непротиворечивость, а потом в рамках выработанных правил работать. Границы применимости этого метода в своё время разработал Гёдель со своей теоремой Гёделя. Он, в частности, доказал, что конечная система аксиом не может быть полной (то есть в терминах данной аксиоматики всегда можно сформулировать утверждение, правильность которого нельзя проверить в данной системе аксиом). Для слабых разумом школьников отметим, что это отнюдь не что-то плохое, во-первых, не факт, что «непроверяемое утверждение» — важное, а во-вторых, аксиоматика всё-таки получается обычно из конкретных задач, а значит, даже при отсутствии соответствующей аксиомы её всегда можно добавить. Пример такого утверждения в стандартной Евклидовой геометрии [1] — аксиома Паша. В общем, от непроверяемости некоторых утверждений ещё никто не умер (но кое-кто сошёл с ума).

Отметим, что в математике аксиоматический метод является основным. Но не только в математике. Например, этот ваш Ландафшиц состоит из аксиоматического метода (главная аксиома — это принцип наименьшего действия) чуть менее, чем полностью. Почему-то многие думают, что в арифметике аксиом нет, что, конечно, ЛПП — см. аксиомы Пеано.

Впрочем, аксиоматический метод не является в полном смысле панацеей. Им, как и любым другим инструментом, нужно пользоваться с умом. Дело тут, в частности, в парадоксах (например, парадоксы Зенона и парадокс брадобрея), которые кагбе демонстрируют внутреннюю противоречивость там, где её на самом деле нет. Дело в том, что некоторые парадоксы являются багами языка, на котором людишки общаются и пишут статьи. Так, например, в языке многие слова обладают разными значениями, и многое зависит от контекста: точка в физике и точка в математике — это совсем не одно и то же. С этой проблемой в теории можно справиться созданием научного новояза, но всем похуй.

Другая проблема состоит в том, что некоторые термины считаются в школьной литературе «очевидными», например, понятие множества. Точные и аккуратные определения существуют, но ни фига не являются простыми. Так что аккуратные системы аксиом могут оказаться несколько более громоздкими, чем хотелось бы. Разделы математики, которые занимаются (и вполне успешно, кстати) исправлением этих багов — это теория множеств (не та поебень с кружочками и точечками, которую ты в школе проходил) и математическая логика.

Видео:КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ПРОТИВ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.Скачать

[править] Что не так с пятым постулатом?

С исходным текстом «Начал» работать не очень удобно, поэтому будем действовать в рамках аксиом Гильберта. Проблема в том, что остальные аксиомы гораздо проще и интуитивно очевиднее. Например, вполне в духе КО: «Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая, которой принадлежат эти точки.» А вот пятый постулат выглядит как-то неочевидно и неестественно. Поэтому возникает естественное желание вывести его из других аксиом. Однако, почему-то ничего не получалось. Удаётся свести пятый постулат к другим утверждениям, которые выглядят совсем дико, но формального, строгого доказательства не существует. Вот несколько направлений, по которым пытались действовать предшественники Лобачевского.

[править] Четырехугольник Саккери

Четырёхугольник Саккери в естественной среде обитания

Четырёхугольник Ламберта, как он есть

Такой себе четырехугольник ABCD, в котором стороны AB и DC равны и перпендикулярны основанию AD. С точки зрения евклидовой геометрии (и с использованием пятого постулата) должен получиться прямоугольник. Однако без использования пятого постулата доказать это не удастся; можно доказать, что углы B и C одинаковые, но прямые ли они? Старина Саккери (а до него Омар Хайям) пытался рассмотреть альтернативные варианты: либо два оставшихся угла тупые, либо острые. Случай тупых углов худо-бедно ему изучить удалось, доказав, что так не бывает, но вот в случае острых углов — не удалось. Пичалько.

Алсо, у четырехугольника Саккери есть и «братец» — четырехугольник Ламберта, в котором 3 угла — прямые. Появился по тем же причинам и с тем же успехом.

[править] Сумма углов треугольника

Которая, как известно, 180˚. Впрочем, доказать это без использования пятого постулата тоже не получится. Вариант с суммой углов строго меньше 180˚ не противоречит другим аксиомам. Пример того, как тут можно лажануть, доставил Лежандр (между прочим, годнейший математик, а не какой-нибудь там фрик) в своей книжке «Начала геометрии». Самое рассуждение и разбор ошибки можно невозбранно посмотреть здесь [1].

[править] Бесподобное подобие

Очевидно, что если взять треугольник и увеличить его стороны одновременно в несколько (в одно и то же число) раз, то у полученного треугольника углы будут такие же, как у исходного. Ну и вообще, кажется вполне очевидным, что существуют подобные, но не равные треугольники (аксиома Валлиса). Очевидно, но неверно. Существование неравных подобных треугольников равносильно справедливости пятого постулата. Более того, в геометрии Лобачевского треугольник однозначно определяется своими углами. Пиздец? Да, пиздец как он есть. Но отсутствие различных подобных треугольников не противоречит аксиоматике, хотя и противоречит здравому смыслу (основанному на привычной нам геометрической реализации). Так что для геометрии Лобачевского нужно слегка расширить сознание…

[править] Пифагоровы штаны

Справедливость теоремы Пифагора для хотя бы одного прямоугольного треугольника вкупе с остальными аксиомами равносильна справедливости пятого постулата. А вот отсутствие пятого постулата херит теорему Пифагора и всю, блджад, классическую тригонометрию с синусами и косинусами. Так что без пятого постулата штанишки оказываются дырявыми.

Это значит, что если отказаться от пятого постулата, то рушится всё: формулы для расстояний, углов, площадей, признаки равенства и подобия, даже небо, даже Аллах…

[править] Теперь сходитесь!

Очевидно, что если две прямые сближаются (берём точку на одной прямой и опускаем перпендикуляр на другую), то они пересекаются. Очевидно, но опять же неверно. Потому что ниоткуда не следует, что если они начали сближаться, то они будут сближаться с равномерной скоростью, а значит не факт, что пересекутся. Это был ещё один способ доказать, что параллельная прямая уж если существует, то единственная. Но увы, не фартануло.

Было много других самых разных способов разобраться с пятым постулатом. Но всех исследователей ждал былинный отказ. Одни в результате признавали, что их рассуждения неполны, другие до конца жизни упорствовали. Многие допускали характерную ошибку, неявно используя то или иное утверждение, казавшееся им очевидным, но оказывавшимся на самом деле лишь эквивалентной формулировкой пятого постулата. Сколько пытливых ученых сбрендило? Сколько тысяч человеко-часов потрачено впустую? Кто знает.

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

[править] Драма

В начале XIX века общий уровень математики начал расти на глазах изумленной публики, переведя её из состояния «обобщим и углубим наследие великих древних греков» в состояние «давайте придумаем что-нибудь новое». Родился и активно развивался разнообразный матан, уже вполне напоминающий современный. Надо, впрочем, понимать, что как такового аксиоматического метода ещё не было, но появление его было неизбежно. И вот первопроходцем выступил Карл Фридрих «Король математиков» Гаусс.

[править] Гаусс

Дедушка Гаусс был дичайше крутым математиком. Он успел наследить повсюду: теория чисел, геодезия, геометрия, математический анализ, тысячи их. Конечно, не оставил он без внимания и пятый постулат. По всей видимости, он был первым, кто пришёл к мысли о том, что пятый постулат нельзя вывести из остальных аксиом, а главное, что в этом нет ничего плохого. Насколько глубоко и хорошо он разработал новую геометрию — непонятно, тем паче что Гаусс никогда не заявлял публично, что он тоже придумал неевклидову геометрию. Злые языки утверждают, что Гаусс опасался, что после публикации работ по неевклидовой геометрии все решат, что у дедушки началась деменция, или он просто поехавший. Так что Карл наш Фридрих Гаусс в данном вопросе ограничился ролью, столь близкой анонимусу, а именно ролью комментатора.

Гаусс вообще, по слухам, обладал сочетанием двух качеств: он не боялся показаться смешным самому себе, усомнившись в очевидных для 95% вещах, но при этом боялся показаться смешным другим. Из чего следует, что он был поистине умным человеком.

Но ещё до того, как Кант заявил о невозможности поставить под сомнение евклидовость геометрии реального пространства, математики уже начали подозревать, что это не так. Вскоре после этого математик и физик Карл Фридрих Гаусс даже занялся измерением углов большого треугольника, но не нашёл никаких отклонений от предсказаний Евклида. В итоге эйнштейнова теория искривлённого пространства и времени, которая противоречила евклидовой, была проверена путём экспериментов более точных, чем гауссовы. Оказалось, что в пространстве рядом с Землёй углы большого треугольника в сумме могут давать 180,0000002 градуса — это отклонение от евклидовой геометрии сегодня приходится учитывать, например, в спутниковых навигационных системах. В других случаях, например вблизи чёрных дыр, различия между евклидовой и эйнштейновой геометриями настолько велики, что их уже нельзя охарактеризовать термином «отклонение».

»— «Начало бесконечности»

Вопрос в том, как Гаусс пытался провести свои измерения. Чёрной-чёрной ночью, вооружив трёх ассистентов фонарями и теодолитами, он послал их на вершины трёх соседних гор. Понятно, что столь «совершенное» оборудование столь малое отклонение зафиксировать не смогло. Однако, зачём это было делать ночью? А вот чтобы не подвергаться травле, как дедушка Лобачевский!

Как бы то ни было, в конце двадцатых годов XIX века вокруг пятого постулата стало жарко.

[править] Лобачевский

Вообще-то Николай наш Иванович жизнь прожил долгую и насыщенную, а своим современникам был известен в первую очередь как хороший, годный ректор Казанского университета. Именно благодаря его мудрому руководству Казанский университет, который при Александре I чуть было не закрыли (это отдельный лулз, потому как гнобили Казанский университет за недостаточную духовность, например, за человеческие тушки на кафедре анатомии), стал в результате одним из лучших университетов ещё той страны. Впрочем, нас интересует в основном его деятельность в области неевклидовой геометрии. А вот тут на него современники смотрели как на говно.

В 1829 году (запомни эту дату, анон) вышла его первая работа по неевклидовой геометрии. Последнюю свою работу он уже слепой будет додиктовывать своим ученикам через 30 лет. Дядя Коля пришёл к тому же выводу, что и Гаусс. Он понял, что пятый постулат нельзя вывести из остальных аксиом, и начал разрабатывать аналитические методы в новой геометрии. Мы ведь помним, что без пятого постулата нет тригонометрии, правда? А без тригонометрии и теоремы Пифагора нельзя даже расстояние между точками посчитать, нельзя угол измерить. Именно созданием всех этих формул и занимался Лобачевский следующие несколько десятилетий, регулярно получая лучи поноса в свой адрес от самых разных математиков. С учётом того, что у Иваныча не было геометрической модели, всю науку он строил без чертежей чисто аналитически, что было ниибацо сложно и абсолютно непонятно для окружающих.

Собственно, оценили работы Иваныча из современников только двое. Это был, во-первых, Гаусс, который дичайше котировал работы Лобачевского и писал об этом коллегам, но, сука, не написал об этом Лобачевскому и никогда публично ни единым словечком не поддержал его. Вторым понявшим был расовый венгр Бойяи, к которому мы вернёмся чуть ниже. А пока остановимся на том, какую травлю получил за свою геометрию Лобачевский при жизни.

О том, что я прочёл, я считаю долгом сообщить Академии: 1) Из двух определённых интегралов, которые г–н Лобачевский считает своим открытием, один уже известен. Его можно получить на основании самых элементарных принципов интегрального исчисления. Значение другого интеграла, данное на стр. 120, является, поистине, новым. Оно — достояние г–на Казанского ректора. К несчастью, оно неверно [2] . 2) Всё, что я понял в геометрии г–на Лобачевского, ниже посредственного. 3) Всё, что я не понял, было, по-видимому, плохо изложено по той же самой причине, что в нём трудно разобраться. Из этого я вывел заключение, что книга г–на ректора Лобачевского опорочена ошибкой, что она небрежно изложена и что, следовательно, она не заслуживает внимания Академии.

»— Остроградский

Надо понимать, что Остроградский — это не какой-нибудь там фрик, а хороший, годный и уважаемый учёный. А вот анонимы писали и похлеще:

Даже трудно было бы понять и то, каким образом г. Лобачевский из самой легкой и самой ясной в математике, какова геометрия, мог сделать такое тяжелое, такое темное и непроницаемое учение, если бы сам он отчасти не надоумил нас, сказав, что его Геометрия отлична, от употребительной, которой все мы учились и которой, вероятно, уже разучиться не можем, а есть только воображаемая. Да, теперь все очень понятно. Чего не может представить воображение, особливо живое и вместе уродливое!

»— из анонимной статьи в журнале «Сын отечества»

И все 30 лет, что Лобачевский прожил в статусе создателя неевклидовой геометрии имени себя, никак, кроме как «говном», его геометрию не называли. Даже его собственные ученики, которые после того, как Николай Иваныч ослеп, записывали под его диктовку его последнюю книгу «Пангеометрия», считали его поехавшим старым козлом и не стеснялись в выражениях. А ты бы смог пережить такую травлю, анон?

В наши дни масштаб приключившейся teh drama способен вызывать недоумение: да чего он такого, собственно, сделал-то? Выкинул одну из аксиом, заменил её другой, и решил посмотреть, что из этого получится. И из-за этого весь сыр-бор?! Да. Всё дело в том, священной коровой каких объёмов была для его современников геометрия Эвклида. Она, хоть и будучи придумана древним язычником, давала такой PROFIT в повседневных нуждах, что христианская церковь учение Эвклида (как и учение Аристотеля) взяла под своё сильное крыло. На этом наука и была заморожена на долгие годы (считалось, что всё, что нужно, уже открыто, а то, что не открыто — не нужно). В период Инквизиции, например, за попытку чего-то там улучшить или просто по-новому поглядеть на труды этих двух знаменитых греков, кощунственный еретик мог вообще пройти процыдурку живительного огнелечения. На этом фоне какое-то сраное анонимное «Ты хуй бля» в роисской перссе уже не воспринимается так брутально, правда?

[править] Бойяи

Бойяи-отец недоволен деятельностью сыночка

Бойяи-сын бородат и постулат

Ты должен бросить это как самое гнусное извращение. Оно может отнять у тебя всё время, здоровье, разум, все радости жизни. Эта чёрная пропасть в состоянии, может быть, поглотить тысячу таких титанов, как Ньютон…

»— Бойяи старший намекает младшему

Бойяи-отец Фаркош был неплохим по своим временам математиком, водил дружбу с упомянутым уже Гауссом. Он, среди прочего, занимался пятым постулатом и изрядно подсел на оный. И немало огорчился, когда узнал, что его сын Янош тоже занялся этим безблагодатным делом. Он просил сыночку не заниматься этой хуитой, подчеркивая полную безблагодатность этого дела. Но Янош Фаркошевич папу не послушался. Мозг молодого Бойяи оказался куда как более подвижным, чем у папы, и он… повторил выводы Гаусса и Лобачевского. Подготовленная работа была опубликована в качестве приложения (Appendix) к работе папы Фаркоша в 1832 году. Спустя всего лишь 3 года после работы Лобачевского. Три года на фоне двух тыщ лет, которые стояла проблема! Гаусс написал письмо старшему Бойяи, в котором весьма лестно отозвался о работе младшего Бойяи, но отметил, что уже видел нечто похожее в работе одного русского…

Бойяи-сын, мягко говоря, прихуел, выучил русский язык чтобы прочитать работы Лобачевского в оригинале, и… охуел окончательно. Ходят слухи, что он даже подозревал Лобачевского в том, что тот спёр у него результат, и на почве расстройства съехал крышей. Ни одной работы по математике он больше так и не опубликовал, но сохранилось, если верить загнивающей, 20 000 листов черновиков по разным математическим темам.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

[править] Матчасть

На выходе у Лобачевского получилось вот что. Есть система аксиом, есть проработанный матан для новой геометрии, причём матан ужас какой сложный и непонятный. И ни одной понятной картинки. А главное, непонятно, как объяснить, что новая система аксиом непротиворечива. Из полученных адовых формул совершенно не следует, что где-то там впереди за новым поворотом не появится какого-нибудь противоречия. Ну и самое главное, современникам не понятно, нахуя весь этот огород городить.

Ясность внёс макаронник Бельтрами, предложивший три геометрические модели, которые реализовывали геометрию Лобачевского. Попросту, то если назвать одни объекты прямыми, а другие точками, то получалось нечто, достаточно естественное с одной стороны, а, главное, в новой модели выполнялись аксиомы геометрии Лобачевского. То есть новая геометрия описывала не какую-то неведомую ёбаную хуйню, а вполне понятный объект, доступный для понимания простому смертному. Моделей Бельтрами предложил несколько, самые известные из них называются, в соответствии с принципом Арнольда, именами Пуанкаре и Клейна. Хорошо написано про них, например, здесь, а мы коротенько распишем одну из них. А именно модель Пуанкаре в верхней полуплоскости.

[править] Модель Пуанкаре

f — абсолют, a, b — «прямые». Соответственно одна из них полуокружность, а вторая — луч, перпендикулярный абсолюту.

«треугольники» в геометрии Лобачевского, выделены жирным

«углы» между «прямыми» в геометрии Лобачевского это углы между касательными в точке пересечения

Возьмём на плоскости прямую, которую называют абсолютом. Чтобы не путаться, в кавычках будут новые объекты в геометрии Лобачевского. Назовём «плоскостью» верхнюю полуплоскость (абсолют не включаем), «прямыми» — полуокружности, лежащие в «плоскости», у которых центр на абсолюте, и лучи, перпендикулярные к абсолюту. «Точками» назовём обычные точки в верхней полуплоскости. «Углом» будем называть угол между касательными к «прямым» в точке пересечения. Из картинки видно, что из данной «точки», не лежащей на данной «прямой», действительно можно провести две (и даже бесконечно много) «прямых», которые не пересекаются с данной. Остальные аксиомы, которые есть в евклидовой геометрии, выполняются, что легко проверить даже школьнику. Единственная трудность в том, что новые «объекты» отличаются от привычных нам. Но, с другой стороны, и что дальше? Аксиомы-то выполняются! А значит, непротиворечивость геометрии Лобачевского равносильна непротиворечивости геометрии Евклида.

В новой геометрии есть и своя «тригонометрия», в которой в роли тригонометрических функций выступают так называемые гиперболические функции [4] . Но про это уже читайте в спец. литературе.

[править] Особенности геометрии Лобачевского

Тут вам не учебник, но кое-что нужно отметить для полноты картины. Ибо нужно понимать, что от замены одной аксиомы меняется, сцуко, очень многое. И, что важно, интуиция, которая работает в евклидовой геометрии и к которой мы привыкли, перестаёт работать в гиперболическом мире. Понять это без геометрической модели очень сложно, так что остаётся только восхититься Николаем Иванычем, который вот это всё понял и не зассал опубликовать.

• Сумма углов — строго меньше православных 180˚. А разница между суммой углов и 180 — это число, называемое дефектом, и оно пропорционально площади.
• Признак равенства по трём углам — что дико доставляет, в геометрии Лобачевского нет неравных подобных треугольников, а, значит, любой треугольник однозначно определяется набором углов.
• Медианы пересекаются в одной точке — таки да, хотя для доказательства в евклидовой геометрии обязателен пятый постулат. Но, оказывается, при наличии отрицания пятого постулата они всё равно пересекаются в одной точке. Не пытайтесь повторить это в домашних условиях…
• Окружность. В упомянутой модели Пуанкаре «окружности» — это внезапно окружности (евклидовы), у которых «центр» находится не в центре. Нутыпонел.
• Тригонометрия. Уся тригонометрия там имеется, включая теоремы косинусов и синусов. Только синусы и косинусы там гиперболические, а формулы хоть и похожи, но всё-таки другие. Вот кое-что
• Паркет Лобачевского. Плоскость, как известно, можно покрыть одинаковыми правильными треугольниками, четырехугольниками и шестиугольниками. А вот в геометрии Лобачевского всё гораздо интереснее: там есть покрытия плоскости одинаковыми правильными многоугольниками из любого количества вершин. Так-то!

Видео:Геометрия и группы. Алексей Савватеев. Лекция 13.3. Геометрия ЛобачевскогоСкачать

[править] Братишки

Ну вот худо-бедно мы выяснили, что геометрий есть по крайней мере две — Евклидова и геометрия Лобачевского. Конечно, это не всё, ведь систему аксиом можно выбирать какую угодно. Но выбирают системы аксиом в современном мире обычно исходя из того, какую именно задачу нужно решать в данный момент. То есть, как правило, в интересной геометрической модели выбирают, что назвать прямыми, точками и т. п., а потом выясняют, каким аксиомам они удовлетворяют. Перечислим тут несколько примеров.

• Сферическая геометрия — в известном смысле самая первая неевклидова геометрия, которой занимались задолго до того, как это стало мейнстримом. Но не вполне понимали, чем именно занимаются. Плоскость — это сама сфера, прямые — большие окружности, у которых центр совпадает с центром сферы. Отличается от евклидовой геометрии не только пятым постулатом (здесь вообще нет параллельных прямых), но и некоторыми другими. В этой геометрии сумма углов треугольника всегда больше 180˚ и существует треугольник, у которого все углы прямые. Широко применяется в математических основах навигации.
• Абсолютная геометрия — геометрия, в которой вообще нет пятого постулата. Хороша тем, что утверждение, доказанное в ней, будет справедливо и для евклидовой геометрии, и для гиперболической. Но доказать большинство утверждений в ней сложновато.
• Риманова геометрия — антипод геометрии Лобачевского. Здесь изменено больше постулатов. Так, нет порядка для трёх точек на прямой: есть лишь отношение «две точки разделяют две другие точки». Тоже достаточно важная штука, играет большую роль в современной дифференциальной геометрии. В качестве модели может служить евклидова плоскость, к которой добавили одну точку: типа «бесконечность», в которой пересекаются параллельные прямые. Близкое (но не то же самое!) понятие — так называемая проективная геометрия. Последняя важна, например, для этих ваших художников при рисовании эпических полотен. Ты же знаешь, что такое перспектива, мой художественный друг?
• Пространство Минковского — про это написано на уютненьком в соответствующем месте.
• Общая теория относительности — тоже живёт в неевклидовом пространстве. Только геометрия там очень сложная и даже толком не ясно, какие там геометрические аксиомы. Дело в том, что бессердечная сука гравитация искривляет пространство. Прямыми логично называть траектории, по которым летают фотоны (сделаем вид, что это частица), а пространством — то, где они летают. Где и как, какая масса искривит пространство — вопрос сложный, поэтому пятый постулат там почти наверняка не выполняется. Куда интереснее другой вопрос. Если фотон полетит в одну сторону, то не вернётся ли он когда-нибудь «с другой стороны»? Если да, то это значит, что мы живём на сфере (правда, только трёхмерной) или на чём-то очень на это похожем. Ну или нет.

Видео:💥Савватеев - псевдоматематик. Рекорд !!! Лобачевский 🔥 Геометрия 🔴 наука✔"Катющик ТВ"Скачать

[править] Значимость

Работы Николая Иваныча, Бельтрами и прочих борцов за неевклидовость во многом перевернули математику как науку. Родились новые разделы математики, старые вышли на новый уровень. Вот несколько важных примеров.

[править] Аксиоматический метод

Уход от древнегреческого взгляда на аксиомы как на некие незыблемые б-гом данные сущности привёл к созданию математической логики и современной теории множеств. Выяснилось, что нужно не только доказывать новые теоремы в старой аксиоматике, но и сравнивать разные системы аксиом. Вообще оценивать их. К началу XX века из этого родятся работы Гильберта и Рассела, которые весьма романтически относились к аксиоматическому методу, считая, что он решит все проблемы в математике. Идеальным не может быть ничто, поэтому увенчалось это теоремами Гёделя, которые во многом определили границы применимости аксиоматического метода. Оные доставили немало баттхерта современникам и продолжают доставлять философам до сих пор. В добротной художественной форме об этом можно почитать в литературе.

[править] Геометрия

Старая добрая геометрия, в которой за 2 тысячи лет со времён самого Евклида мало что изменилось, вдруг вышла за пределы тех яслей, в которых сидела. От циркулей и линеек она наконец-то смогла перейти к изучению геометрии разных поверхностей, всяким необычным метрикам и всему тому, что так нужно и полезно в современной математике, физике и прочих естественных науках. Ведь и ты, анон, живёшь не на плоскости, а на геоиде, который можно аппроксимировать сферой или эллипсоидом в зависимости от решаемой задачи. А наша Земляшка крутится отнюдь не в обычном евклидовом трёхмерном пространстве. Да и вообще, многообразие Калаби-Яу и этим всё сказано.

[править] Per aspera ad astra

Ну и не только математика, конечно. Сам Лобачевский, хорошо понимая необходимость найти модель своей геометрии, пытался разглядеть эту модель в небе. Он считал расстояния и угол между звёздами, надеясь, что они будут описываться в терминах геометрии Лобачевского лучше, чем в евклидовой. Увы, но про релятивистские поправки и прочий необходимый матан тогда ещё известно не было. Но, как выяснится позже, он был не так уж и далёк от истины. Пространство Минковского как раз-таки близко к гиперболическому. И вообще, в современной астрофизике, в частности, при изучении чёрных дыр гиперболическая геометрия часто оказывается именно тем языком, на котором удобно решать многие задачи.

[править] Искусство

Ну и, конечно, сабж послужил источником вдохновения для многих художественных деятелей, начиная с писателей руками и кончая художниками. Немного спискоты, куда без неё.

• Эшер — во многих его произведениях используется тема замощений плоскости Лобачевского (в модели Клейна, например).
• Опрокинутый мир — годная книжка про то, каково жить в мире, который воспринимается как неевклидов.

Видео:#223. МИФЫ И ЛЕГЕНДЫ школьной математикиСкачать

[править] Сабж сегодня

Сослужив службу высокой науке, геометрия Лобачевского нынче находится примерно в том же состоянии, что и евклидова геометрия, тригонометрия и прочие почтенные, заслуженные и полезные, но «закрытые» области математики.

При этом сабж находит применение как полигон для демонстрации разных математических теорем. В таком виде (и с этой целью) гиперболическая геометрия представлена в некоторых курсах этой вашей высшей математики. Сами по себе геометрические свойства в высокой науке™ всем уже похуй.

Впрочем, отдельные одаренные школьники для всяких юношеских научных конференций лабают разные теоремы в сабже, чаще всего являющиеся аналогами разных теорем из евклидовой геометрии. Эта деятельность является вполне годной как способ занять школиё полезным делом, но для современной фундаментальной науки эти результаты особого смысла не имеют. Но, опять же, если ты, мой юный друг, откроешь не баночку яги, а какое-нибудь новое свойство геометрии Лобачевского, это будет гораздо полезнее для твоего мозга.

Конечно, геометрия Лобачевского, как и любая не вполне очевидная теория, привлекает к себе внимание разных фриков, которые считают, что жидо математики дурят людям голову и скрывают истину. Другие обвиняют геометрию Лобачевского в бездуховности и осквернении наследия предков (древних греков). Особенно тут отличаются, к сожалению, фрики, которые считают себя носителями ГСМ. Впрочем, отсутствие естественно-научного склада мозга отнюдь не обозначает присутствие какого-либо мозга. Примеров фрик-шоу в интернетах вполне достаточно.

Видео:3. Постулаты сферической геометрииСкачать

[править] Небольшое послесловие

В принципе, геометрия Лобачевского вполне доступна для понимания даже рядового школьника. И вообще, идея отказаться от одной аксиомы в пользу другой не кажется такой уж сложной. Почему же джве тысячи лет отнюдь не глупые дяденьки так безнадёжно фейлили? Почему Николай Иваныч (а также Гаусс и Бойяи) такой молодец? Дело в том, что оказалось неимоверно сложным отнестись к аксиомам не как к заповедям, а как к вполне подвижной и изменчивой при необходимости штуке. Для тогдашних математиков заменить одну аксиому на другую было чем-то сродни замены одной заповеди на другую. Ты подумай, анон, что сделали бы с тем, кто предложил бы заменить «не укради» на «укради немедленно»?

Это сейчас мы понимаем, что математика сама по себе, а философия сама по себе, но в те времена это было смело, очень смело. Если сильно заинтересоваться вопросом, то окажется, что, например, церковникам от смелых опытов Лобачевского сильно припекло. И вообще, зачастую Николай Иваныча обвиняли не столько в формальных математических ошибках, сколько в бездуховности. Не зря гневные отзывы писали в весьма поцреотическом «Сыне отечества».

Вторая причина, на которой и стояла первая, была в том, что, начиная с Римской империи и особенно после темных веков средневековья, учёные, в том числе и математики, считали кошерным заниматься только (!) изучением наследия великих древнегреческих предков, альтернативой которому был мракобесный астрал. А значит, всё, чем они занимались, это развитием и расширением классических областей. Даже матан воспринимался и преподносился как развитие идей Архимеда, например. А за всякую самодеятельность современники могли на новатора весьма косо посмотреть. В XIX веке, конечно, было полиберальнее, но дух старой школы был ещё жив.

Была и третья причина, как Тарас Бульба и породившая, и убившая вторую. Математика до середины XIX века была наукой скорее описательной. Если есть задача, желательно восходящая к какому-нибудь Аристотелю с Пифагором, значит, есть смысл решать эту задачу и разрабатывать соответствующий научный аппарат. А отвечать на вопросы чисто математического содержания, появившиеся из других математических задач, считалось блажью, недостойной серьёзных людей. Это уже позже, к концу XIX века математика начнёт развиваться как самостоятельная наука в прямой связи с другими, «промышленными» задачами, и выяснится, что содержательные математические вопросы часто находят себе благодарных слушателей в практических областях, только вот почему-то никем не разработаны. Геометрия Лобачевского сыскалась в теории относительности, например. Так что достаточно условное разделение математической науки на фундаментальную и прикладную началось, в каком-то смысле, с работ Лобачевского.

Видео:Геометрия ЛобачевскогоСкачать

[править] Расстрельный математический список

Есть и такой. И многое в нём связано со смутными представлениями быдла о геометрии Лобачевского.

• Параллельные прямые пересекаются. Параллельные прямые не могут пересечься по определению. Хуита, которая пошла в массы из рекламы стиральных, сука, машин Zanussi. Из какого места высрался этот мем, науке неизвестно (хотя была когда-то песня «Удивляюсь» со словами «Но он вгляделся пристальней в загадочную высь — И там все параллельные его пересеклись.»). Алсо, в геометрии Лобачевского некоторые (!) параллельные прямые пересекаются на абсолюте (то есть как бы в бесконечности), но в самой плоскости Лобачевского они не пересекаются. Потому что параллельные.

• Лобачевский опроверг геометрию Евклида. А Эйнштейн, видимо, отменил механику Ньютона. Тащемта, не опроверг, а продемонстрировал, что аксиоматика Евклида не единственная.

• Геометрия Лобачевского не имеет отношения к реальному миру. Бред, демонстрирующий тупость изрекающего. Модель геометрии Лобачевского ничем не хуже модели Евклида, и они обе применимы к соответствующим задачам. Идеальных евклидовых прямых и плоскостей в природе тоже как бы не существует, но в терминах что одной, что другой модели удобно работать во многих вполне прикладных задачах.

• Евклидова геометрия — это предельный случай геометрии Лобачевского. Формально фраза верная, но изрекающие не всегда понимают смысл оной. Технически имеется в виду следующее. Если в аналоге теоремы Пифагора для геометрии Лобачевского раскрыть гиперболические косинусы по формуле Тейлора, то первые слагаемые как бы дадут обычную теорему Пифагора. То есть при стремлении соответствующих величин к нулю формулы геометрии Лобачевского как бы превращаются (вырождаются) в формулы из геометрии Евклида. Отака хуйня, малята. Однако подразумевают зачастую другой (бредовый) смысл. Если в модели Пуанкаре взять о-о-очень маленький кусок «плоскости» и там посмотреть на прямые, параллельные данной, проходящие через данную точку, то они будут все очень друг на друга похожи. А значит, если взять бесконечно малый кусок плоскости, то вроде как треугольники и прямые будут неотличимы от своих евклидовых аналогов.

💡 Видео

9. Площадь сферического треугольникаСкачать