Булевы функции

Видео:Двойственные функции ПрактикаСкачать

Содержание

Видео:Принцип двойственности алгебры. Двойственные функцииСкачать

1 Понятие булевой функции

В курсе математического анализа изучаются функции, определённые на числовой прямой или на отрезке числовой прямой или на (гипер-) плоскости и т.п. Так или иначе область определения – непрерывное множество. В курсе дискретной математики изучаться должны функции, область определения которых – дискретное множество * . Простейшим (но нетривиальным) таким множеством является множество, состоящее из двух элементов. * Так мы и приходим к понятию булевой функции.

Определение 1 (Булева функция). Булевой функцией от n аргументов называется функция f из n -ой степени множества в множество .

Иначе говоря, булева функция – это функция, и аргументы и значение которой принадлежит множеству . Множество мы будем в дальнейшем обозначать через B .

Булеву функцию от n аргументов можно рассматривать как n -местную алгебраическую операцию на множестве B . При этом алгебра W >, где W – множество всевозможных булевых функций, называется алгеброй логики .

Конечность области определения функции имеет важное преимущество – такие функции можно задавать перечислением значений при различных значениях аргументов. Для того, чтобы задать значение функции от n переменных, надо определить значения для каждого из 2 n наборов. Эти значения записывают в таблицу в порядке соответствующих двоичных чисел. В результате получается таблица следующего вида:

Раз у нас есть стандартный порядок записывания наборов, то для того, чтобы задать функцию, нам достаточно выписать значения f (0,0. 0,0) , f (0,0. 0,1) , f (0,0. 1,0) , f (0,0. 1,1). f (1,1. 0,0) , f (1,1. 0,1) , f (1,1. 1,0) , f (1,1. 1,1). Этот набор называют вектором значений функции .

Таким образом, различных функций n переменных столько, сколько различных двоичных наборов длины 2 n * . А их 2 в степени 2 n .

Множество B содержит два элемента – их можно рассматривать как булевы функции от нуля (пустого множества) переменных – константу 0 и константу 1 .

Функций от одной переменной четыре: это константа 0, константа 1, тождественная функция , т.е. функция, значение которой совпадает с аргументом и так называемая функция « отрицание ». Отрицание будем обозначать символом ¬ как унарную операцию. Приведём таблицы этих четырёх функций:

Как видим, функции от некоторого числа переменных можно рассматривать как функции от большего числа переменных. При этом значения функции не меняется при изменении этих «добавочных» переменных. Такие переменные называются фиктивными , в отличие от остальных – существенных .

Определение 2 (Фиктивные и существенные переменные). Переменная x i называется фиктивной (несущественной) переменной функции f ( x 1 ,···,x n ), если f ( x 1 ,···,x i- 1 ,0 ,x i+ 1 ,···,x n ) = f ( x 1 ,···,x i- 1 ,1 ,x i+ 1 ,···,x n ) для любых значений x 1 ,···,x i- 1 ,x i+ 1 ,···,x n . Иначе переменная x i называется существенной .

Функций от двух аргументов шестнадцать. Наиболее употребимые из этих функций (только те, которые существенно зависят от обеих переменных) мы приводим в следующей таблице:

Эти функции записываются как бинарные операции в инфиксной нотации. x 1 & x 2 называется конъюнкцией , x 1 Ъ x 2 – дизъюнкцией , x 1 Й x 2 – импликацией , x 1 є x 2 – эквивалентностью , x 1 Е x 2 – суммой по модулю 2 , x 1 | x 2 – штрихом Шеффера .

Значения 0 и 1 часто интерпретируют как «ложь» и «истину». Тогда понятным становится название функции «отрицание» – она меняет «ложь» на «истину», а «истину» на «ложь». Отрицание читается как «не». Конъюнкция читается обычно как «и» – действительно, конъюнкция равна 1 тогда и только тогда, когда равны 1 и первая и вторая переменная. * Кроме x 1 & x 2 часто используют обозначение x 1 Щ x 2 или x 1 · x 2 или x 1 x 2 или min( x 1 ,x 2 ). Дизъюнкция читается «или» – дизъюнкция равна 1 тогда и только тогда, когда равны 1 первая или вторая переменная. * Импликация выражает факт, что из x 1 следует x 2 . * Импликацию часто также обозначают x 1 ® x 2 .

Видео:Важнейшие замкнутые классы. Теорема ПостаСкачать

2 Суперпозиция функций

Определение 3 (Суперпозиция функций). Суперпозицией булевых функций f 0 и f 1 . f n называется функция f ( x 1 . x m ) = f 0 ( g 1 ( x 1 . x m ) . g k ( x 1 . x m )), где каждая из функций g i ( x 1 , . x m ) либо совпадает с одной из переменных (тождественная функция), либо – с одной из функций f 1 . f n .

Пример 1 (суперпозиция функций).

Функция f ( x,y ) = ¬ ( x & y ) является суперпозицией функций ¬ и &. Функция g ( x,y ) = x Е ( x Ъ y ) является суперпозицией функций Е и Ъ . Функция h ( x,y,z ) = ( x & y ) Е z является суперпозицией функций Е и &. Построим таблицы этих функций.

Суперпозицию ( x & y ) Е ( ¬x Ъ ¬y ) можно прочитать как « x и y плюс не x или не y ».

Следующие соотношения могут быть проверены прямым сравнением значений функций в левой и правой части соотношения на всевозможных наборах аргументов.

1. x & y = y & x
2. x Ъ y = y Ъ x
3. x Е y = y Е x
4. x & ( y & z ) = ( x & y ) & z
5. x Ъ ( y Ъ z ) = ( x Ъ y ) Ъ z
6. x Е ( y Е z ) = ( x Е y ) Е z
7. x Ъ ( y & z ) = ( x Ъ y ) & ( x Ъ z )
8. x & ( y Ъ z ) = ( x & y ) Ъ ( x & z )
9. ¬¬x = x
10. ¬ ( x & y ) = ¬x Ъ ¬y
11. ¬ ( x Ъ y ) = ¬x & ¬y
12. x & x = x
13. x & ¬x = 0
14. x & 0 = 0
15. x & 1 = x
16. x Ъ x = x
17. x Ъ ¬x = 1
18. x Ъ 0 = x
19. x Ъ 1 = 1
20. x Е y = ( x & ¬y ) Ъ ( ¬x & y )
21. x Й y = ¬x Ъ y
22. x є y = ( x & y ) Ъ ( ¬x & ¬y )

Видео:Приведение булевой функции к ДНФСкачать

3 Двойственные функции

Определение 4 (Двойственная функция). Функция g ( x 1 . x n ) = ¬f ( ¬x 1 . ¬x n ) называется двойственной функцией к функции f и обозначается f * .

Пример 2 (двойственные функции).

( x & y ) * = ¬ ( ¬x & ¬y ) = x Ъ y .

Предложение 1 (Двойственная к двойственной функции). Функция, двойственная к двойственной функции f равна самой функции f.

Доказательство. f * ( x 1 . x n ) * = ( ¬f ( ¬x 1 . ¬x n )) * = *
= ¬¬f ( ¬¬x 1 . ¬¬x n ) = *
= f ( x 1 . x n ) *

Рассмотрим, что происходит с таблицей двойственной функции. Замена набора ( x 1 . x n ) на ( ¬x 1 . ¬x n ) соответствует «переворачиванию» таблицы. Действительно, наборы ( x 1 . x n ) и ( ¬x 1 . ¬x n ) расположены симметрично относительно середины таблицы. Теперь остаётся применить операцию ¬ к результату функции, т.е. поменять 0 на 1 и 1 на 0. Т.о. вектор значений функции, двойственной к исходной, получается из вектора исходной функции переворачиванием и заменой 0 на 1, а 1 на 0.

Пример 3 (вектор двойственной функции).

Функции x & y и x Ъ y , задаваемые векторами значений (0,0,0,1) и (0,1,1,1) двойственны друг к другу. Также двойственными являются x Е y и x є y , задаваемые векторами (0,1,1,0) и (1,0,0,1). Каждая из функций x и ¬x (векторы (0,1) и (1,0) соответственно) двойственна сама себе.

Теорема 1 (Принцип двойственности). Функция, двойственная к суперпозиции функций, равна суперпозиции двойственных функций. Точнее: f 0 ( f 1 . f m ) * = f 0 * ( f 1 * . f m * )

Доказательство. f 0 ( f 1 ( x 1 . x n ) . f m ( x 1 . x n )) * =

Видео:Графический метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП)Скачать

4 Разложение функции по переменным

Теорема 2 (Разложение в дизъюнкцию). Любую функцию f ( x 1 . x m ) для любого n (1 Ј n Ј m ) можно представить в виде f ( x 1 . x m ) = x 1 s 1 & . & x n s n & f ( s 1 . s n ,x n+ 1 . x m )

Доказательство. Покажем, что для любого набора значений переменных ( x 1 . x n ,x n+ 1 . x m ) значения левой и правой частей совпадают. Возьмём фиксированный набор ( x 1 . x n ,x n+ 1 . x m ). Рассмотрим выражение x 1 s 1 & . & x n s n . Если одно из значений x i s i равно 0, то и всё выражение равно 0. Тогда и выражение x 1 s 1 & . & x n s n & f ( s 1 . s n ,x n+ 1 . x m ) равно 0. Единице же выражение x 1 s 1 & . & x n s n равно только в том случае, если s 1 = x 1 , . s n = x n . При этом f ( s 1 . s n ,x n+ 1 . x m ) = f ( x 1 . x n ,x n+ 1 . x m ) Таким образом, значение правой части всегда равно равно f ( x 1 . x m ), то есть значению левой части.

Теорема 3 (Разложение в конъюнкцию). Любую функцию f ( x 1 . x m ) для любого n (1 Ј n Ј m ) можно представить в виде f ( x 1 . x m ) = x 1 ¬ s 1 Ъ . Ъ x n ¬ s n Ъ f ( s 1 . s n ,x n+ 1 . x m )

Разложения по всем переменным дают суперпозицию конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

Следствие 1 (Совершенная дизъюнктивная нормальная форма).

Любая функция f может быть представлена в следующей форме: *

Следствие 2 (Совершенная конъюнктивная нормальная форма).

Любая функция f может быть представлена в следующей форме: * f ( x 1 . x m ) = x 1 ¬ s 1 Ъ . Ъ x m ¬ s m

Таким образом, любая булева функция может быть представлена суперпозицией конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Разложение по всем переменным в дизъюнкцию называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой функции, а в конъюнкцию – совершенной конъюнктивной нормальной формой . *

Совершенная дизъюнктивная и конъюнктивная нормальная формы дают способ представления булевой функции через суперпозицию конъюнкции, дизъюнкции и отрицания если у нас есть таблица значений функции.

Чтобы получить совершенную дизъюнктивную нормальную форму, надо взять все наборы, на которых значение функции равно 1 и записать для каждого из них конъюнкцию переменных и их отрицаний. Если в наборе значение переменной 0 – то переменную надо взять с отрицанием, если 1 – без отрицания. Из получившихся конъюнкций надо построить дизъюнкцию.

Чтобы получить совершенную конъюнктивную нормальную форму, надо взять все наборы, на которых значение функции равно 0 и записать для каждого из них дизъюнкцию переменных и их отрицаний. Если в наборе значение переменной 0 – то переменную надо взять без отрицания, если 1 – с отрицанием. Из получившихся дизъюнкций надо построить конъюнкцию.

Пример 4 (совершенная дизъюнктивная нормальная форма).

Построим совершенную дизъюнктивную нормальную форму функции, заданной следующей таблицей.

Наборы, на которых функция равна 1 – это (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1). Первый набор даёт конъюнкцию ¬x & y & z , второй – x & ¬y & z , третий – x & y & ¬z , четвёртый – x & y & z . В результате получаем ( ¬x & y & z ) Ъ ( x & ¬y & z ) Ъ ( x & y & ¬z ) Ъ ( x & y & z ).

Видео:Булевы функции и способы их заданияСкачать

Вектор значений двойственной функции

Определение. Булева функция f * (x₁, …, x_n) называется двойственной булевой функции f(x₁, …, x_n), если она получена из f(x₁, …, x_n) инверсией всех аргументов и самой функции, то есть

Пример. Построим функцию, двойственную стрелке Пирса.

Пусть булева функция f(x₁, …, x_n) задана формулой F_f. Чтобы получить формулу F’_{f *} для функции f * (x₁, …, x_n), двойственной функции f(x₁, …, x_n), необходимо, согласно определению, проинвертировать все переменные, пользуясь при этом законом двойного отрицания, и саму функцию. При этом формулу F’_{f *} можно упростить (убрать длинную инверсию над формулой), заменив символ функции, которая вычисляется последней, на символ инверсной ей функции.

Пример. Пусть F_f = x ↓ (y ( x y z) ) ( y x ). Последней должна вычислятьси импликация, инверсная ей функция это обратная импликация, поэтому формула для двойственной функции примет вид:

Алгоритм построения таблицы истинности двойственной функции (основан на определении двойственной функции).

Инверсия всех переменных превращает наборы в их антиподы. Поскольку в таблице истинности антипод первого набора расположен последним, антипод второго набора – предпоследним и так далее, то для построения функции f( x ₁, …, x _n) нужно перевернуть вектор-столбец значений исходной функции f(x₁, …, x_n), а для получения функции f ( x ₁, …, x _n) еще и инвертировать компоненты столбца.

Пример. Построим функцию, двойственную стрелке Пирса.

Пары двойственных элементарных функций:

0 1 , , ↓ / , , , .

Тождественная функция и инверсия двойственны каждая самой себе.

Для доказательства можно воспользоваться алгоритмом построения таблицы истинности двойственной функции (именно так предыдущий пример демонстрирует, что штрих Шеффера двойственен стрелке Пирса), или применить равносильные преобразования.

Пример. Покажем, что дизъюнкция двойственна конъюнкции (применив законы де Моргана и двойного отрицания):

Видео:Для булевой функции, заданной вектором значений, определитьСкачать

Презентация по математической логике на тему «Двойственные функции»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Монотонность булевых функцийСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Двойственные функции Булевы функции

Двойственные функции Булева функция f*(x1, …, xn) называется двойственной булевой функции f(x1, …, xn), если она получена из f(x1, …, xn) инверсией всех аргументов и самой функции, то есть

Пример Построим функцию, двойственную стрелке Пирса. Значения двойственной функции можно получить переворотом и инверсией столбца значений исходной функции

Пары двойственных элементарных функций: 0 — 1 Дизъюнкция – конъюнкция Штрих Шеффера – стрелка Пирса Эквивалентность – антиэквивалентность

Пример. Покажем, что дизъюнкция двойственна конъюнкции (применив законы де Моргана и двойного отрицания):

Двойственная формула Определение Формула F* называется двойственной формуле F, если она получена из F заменой символов функций на символы двойственных им функций. Пример

Пример Рассмотрим формулу задающую булеву функцию НЕ-ИЛИ, то есть стрелку Пирса. Двойственная ей формула должна задавать функцию, двойственную стрелке Пирса – это штрих Шеффера: в самом деле это функция НЕ-И, то есть штрих Шеффера.

Самодвойственная функция Функция, совпадающая со своей двойственной, называется самодвойственной. F*=F Следствие из принципа двойственности. Если формулы F1 и F2 равносильны, то двойственные им формулы F*1 и F*2, также равносильны.

Способы получения двойственной функции – по определению двойственной функции – инверсией в формуле Ff всех аргументов и самой функции; – по определению двойственной формулы и принципу двойственности – заменой в формуле Ff символов функций на символы двойственных им функций; – построением таблицы истинности исходной функции по заданной формуле Ff, а затем переходом к таблице истинности двойственной функции (переворотом и инверсией столбца значений исходной функции).

Упражнение 1 Построить формулы для функций, двойственных данным, пользуясь двумя разными способами: определением двойственной функции и принципом двойственности. Сравнить таблицы истинности, построенные по полученным формулам.

Упражнение 2 Двойственны ли формулы Ff и Gg? Функции f и g?

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 940 человек из 80 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 318 человек из 70 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 695 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 479 299 материалов в базе

Видео:Булевы функции. Функции алгебры логики. Что это?Скачать

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

• 11.12.2016
• 2643

• 11.12.2016
• 907

• 11.12.2016
• 461

• 11.12.2016
• 433

• 11.12.2016
• 547

• 11.12.2016
• 737

• 11.12.2016
• 755

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 11.12.2016 3203 —> —> —> —>
• PPTX 136 кбайт —> —>
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Ялина Янина Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На проекте: 5 лет и 10 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 18291
• Всего материалов: 11

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Дискретная математика. Видео 3. Полнота системы функций.Скачать

Дистанционные курсы
для педагогов

548 курсов от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

Ретроспектива культовой сказки «Вечера на Хуторе близ Диканьки»

Время чтения: 5 минут

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Стартовал региональный этап Всероссийской олимпиады школьников

Время чтения: 2 минуты

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

В России могут создать комиссию по поддержке одаренных детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

📸 Видео

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Матлогика: значение функции, двойственная функция, СДНФ, СКНФСкачать

Булевы функцииСкачать

Тензорные объяснения интуитивно: ковариантный, контравариантный, рангСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

A.2.15 Построение совершенных дизъюнктивной и конъюнктивной нормальных форм (СДНФ и СКНФ)Скачать

Лекция по дискретной математике №4. Принцип двойственности. СДНФ, СКНФ. Полином Жигалкина.Скачать

7.5 ЧАСОВ МАТАНА!!! ПОДАРОК ВСЕМ СТУДЕНТАМ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЁТАМ И ЭКЗАМЕНАМ ОТ ЁЖИКА В МАТАНЕ!!!Скачать

20-4 Замкнутые классыСкачать

Замкнутый класс. Линейная функция. Самодвойственная функция. 3 семинарСкачать