Вектор задачи и решения

Примеры решений по векторной алгебре
Содержание
  1. Векторная алгебра для чайников
  2. Решения задач с векторами
  3. Примеры решения задач с векторами
  4. Координаты вектора
  5. Векторная алгебра — основные понятия с примерами решения и образцами выполнения
  6. Примеры задач решаемых с применением векторной алгебры
  7. Векторная алгебра — решение заданий и задач по всем темам с вычислением
  8. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
  9. Скалярное произведение векторов
  10. Векторное произведение векторов
  11. Смешанное произведение векторов
  12. Основные понятия векторной алгебры
  13. Прямоугольные декартовы координаты
  14. Координатная ось
  15. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости
  16. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
  17. Полярные координаты
  18. Определители 2-го и 3-го порядков
  19. Понятия связанного и свободного векторов
  20. Линейные операции над векторами
  21. Сложение векторов
  22. Умножение вектора на число
  23. Координаты и компоненты вектора
  24. Линейные операции над векторами в координатах
  25. Проекция вектора на ось
  26. Основные свойства проекций
  27. Скалярное произведение векторов
  28. Свойства скалярного произведения
  29. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
  30. Косинус угла между векторами. Направляющие косинусы
  31. Векторное произведение векторов
  32. Свойства векторного произведения
  33. Векторное произведение векторов, заданных координатами
  34. Смешанное произведение векторов
  35. Геометрический смысл смешанного произведения
  36. Смешанное произведение в координатах
  37. Двойное векторное произведение
  38. 🔥 Видео

Видео:Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnlineСкачать

Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором?  |  TutorOnline

Векторная алгебра для чайников

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач по векторной алгебре: вектора, углы, взаимное расположение на плоскости и пространстве, базис из векторов, действия с векторами и т.п.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Решения задач с векторами

Задача 1. На оси $Ох$ найти точку, равноудаленную от точек $А(2;-4;5)$ и $В(-3;2;7)$.

Задача 2. Написать разложение вектора $X$ по векторам $(a, b, c)$.

Задача 3. Найти косинус угла между векторами $AB$ и $AC$.

Задача 4. Вычислить площадь треугольника с вершинами $$A=(-4;4;4), B=(3;1;0), C=(-1;0;6).$$

Задача 5. Компланарны ли вектора $a, b, c$? $$a=(-3;2;1), b=(3;1;2), c=(3;-1;4)$$

Задача 6. Заданы два вектора в пространстве. Найти:
а) их сумму;
б) их разность; косинус угла между ними;
в) их векторное произведение.
$a=(0;1;1), b=(-2;0;1).$

Задача 7. Сила $F$ приложена к точке $А$. Вычислить:
а) работу силы $F$ в случае, когда точка её приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку $В$;
b) модуль момента силы $F$ относительно точки $В$.

Задача 8. Найти ранг и базис системы векторов, перейти к новому базису. Записать разложения векторов по найденным базисам.

Задача 11. Написать разложение вектора $bar$ по векторам $bar, bar, bar$.

Задача 13. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах $bar

$, $bar$.

Видео:ВЕКТОРЫ решение задач 9 класс АтанасянСкачать

ВЕКТОРЫ решение задач 9 класс Атанасян

Примеры решения задач с векторами

Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Координаты вектора

Теоретический материал по теме — координаты вектора.

Видео:ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

Векторная алгебра — основные понятия с примерами решения и образцами выполнения

Вектором называется направленный отрезок. Вектор обозначается либо символом Вектор задачи и решения( Вектор задачи и решения— точка начала, Вектор задачи и решения— точка конца вектора), либо Вектор задачи и решения. В математике обычно рассматриваются свободные векторы, то есть векторы, точка приложения которых может быть выбрана произвольно.

Вектор задачи и решения

2. Длиной (модулем) вектора Вектор задачи и решенияназывается длина отрезка Вектор задачи и решения. Модуль вектора обозначается Вектор задачи и решения.

3.Вектор называется единичным, если его длина равна «1»; единичный вектор Вектор задачи и решениянаправления вектора Вектор задачи и решенияназывается ортом вектора Вектор задачи и решенияи определяется по формуле Вектор задачи и решения.

4. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают Вектор задачи и решения; любое направление можно считать направлением нулевого вектора.

5. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарность векторов обозначается: Вектор задачи и решения. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов Вектор задачи и решенияи Вектор задачи и решенияявляется существование такого числа Вектор задачи и решения, что Вектор задачи и решения.

6. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

7. Вектор Вектор задачи и решенияназывается противоположным вектору Вектор задачи и решения, если модули их равны, а направления противоположны.

8. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Для решения задач необходимо уметь выполнять линейные операции над вектором в геометрической форме, то есть над вектором, как над
направленным отрезком: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

9. Сложение двух векторов можно выполнить по правилу параллелограмма (рис. 1) или по правилу треугольника (рис. 2).

Вектор задачи и решения

При сложении более двух векторов, лежащих в одной плоскости, используется правило «замыкающей линии многоугольника» (рис. 3).

Вектор задачи и решения

При сложении трех некомпланарных векторов удобно пользоваться правилом «параллелепипеда» (рис. 4).

Вектор задачи и решения

10. Действие вычитания двух векторов связано с действием сложения (рис.5).

Вектор задачи и решения

Разностью двух векторов называется вектор, проведенный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого. Заметим, что разностью является вектор, служащий второй диагональю параллелограмма.

Разность можно также представить в виде сложения с противоположным вектором (рис. 6).

Вектор задачи и решения

11. Произведением вектора Вектор задачи и решенияна число Вектор задачи и решенияназывается вектор Вектор задачи и решения, который имеет :

  • модуль, равный Вектор задачи и решения;
  • направление, одинаковое с Вектор задачи и решения, если Вектор задачи и решения.
  • направление, противоположное с Вектор задачи и решения, если Вектор задачи и решения.

12. Для решения задач полезно знать также следующие законы и свойства:

  • переместительный: Вектор задачи и решения
  • сочетательный: Вектор задачи и решения
  • распределительный: Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Видео:100 тренировочных задач #135 Угол между векторамиСкачать

100 тренировочных задач #135 Угол между векторами

Примеры задач решаемых с применением векторной алгебры

Задача:

Пусть даны точки Вектор задачи и решенияВектор задачи и решения

1) Найти координаты векторов

Вектор задачи и решения

2) Написать разложение этих векторов по базису Вектор задачи и решения

3) Найти длины этих векторов

4) Найти скалярное произведение Вектор задачи и решения

5) Найти угол между векторами Вектор задачи и решенияи Вектор задачи и решения.

6) Найти разложение вектора Вектор задачи и решенияпо базису Вектор задачи и решенияи Вектор задачи и решения

Решение:

1) Вычислим координаты векторов Вектор задачи и решенияи Вектор задачи и решения(нужно из координат точки его конца вычесть координаты его начала):

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения, аналогично, Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решенияи Вектор задачи и решения

2) Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

4) Для вычисления угла между векторами воспользуемся формулой:

Вектор задачи и решения

5) Разложить вектор Вектор задачи и решенияпо векторам Вектор задачи и решенияи Вектор задачи и решения— это значит представить вектор Вектор задачи и решенияв виде линейной комбинации векторов Вектор задачи и решенияи Вектор задачи и решения, т. е.

Вектор задачи и решения, где Вектор задачи и решения. Имеем Вектор задачи и решения Вектор задачи и решенияВектор задачи и решения, но у равных векторов соответственно равны координаты, следовательно, получим систему, из которой найдем Вектор задачи и решенияи Вектор задачи и решения.

Вектор задачи и решения

Задача:

а). Даны векторы Вектор задачи и решенияи Вектор задачи и решенияв некотором базисе. Показать, что векторы Вектор задачи и решенияобразуют базис и найти координаты вектора Вектор задачи и решенияв этом базисе.

Решение:

Три вектора образуют базис, если Вектор задачи и решения.

Вектор задачи и решения

Найдем координаты вектора Вектор задачи и решенияв базисе Вектор задачи и решенияи Вектор задачи и решения.

Вектор задачи и решения

Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны.

Вектор задачи и решения

Решим систему методом Крамера:

Вектор задачи и решения

Ответ: Вектор задачи и решения.

Вектор задачи и решения

Задача:

Даны координаты вершин тетраэдра Вектор задачи и решения Вектор задачи и решенияи Вектор задачи и решения. Найти: 1) координаты точки пересечения медиан треугольника Вектор задачи и решения; 2) уравнение прямой, проходящей через вершину Вектор задачи и решенияпараллельно медиане, проведенной из вершины Вектор задачи и решениятреугольника Вектор задачи и решения; 3) координаты точки, симметричной точке Вектор задачи и решенияотносительно плоскости Вектор задачи и решения. Сделать чертёж.

Решение:

1) Найдем координаты т. Вектор задачи и решениясередины отрезка Вектор задачи и решения(рис. 16): Вектор задачи и решенияВектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Точка Вектор задачи и решенияпересечения медиан треугольника делит медиану Вектор задачи и решенияв отношении Вектор задачи и решения, считая от вершины Вектор задачи и решения. Найдем координаты точки Вектор задачи и решения:

Вектор задачи и решения

2) Найдем направляющий вектор прямой Вектор задачи и решенияВектор задачи и решения. Уравнение прямой, проходящей через вершину Вектор задачи и решенияпараллельно прямой Вектор задачи и решения:

Вектор задачи и решения

3) Найдем уравнение плоскости Вектор задачи и решения:

Вектор задачи и решения

Найдем каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости Вектор задачи и решенияи проходящей через т. Вектор задачи и решения: Вектор задачи и решения. Запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде: Вектор задачи и решенияВектор задачи и решения.

Найдем координаты точки Вектор задачи и решенияпересечения плоскости Вектор задачи и решенияи найденной прямой: Вектор задачи и решенияВектор задачи и решения

Координаты точки Вектор задачи и решениясимметричной точке Вектор задачи и решенияотносительно плоскости Вектор задачи и решенияВектор задачи и решения.

Ответ: 1) координаты точки пересечения медиан Вектор задачи и решенияуравнение прямой Вектор задачи и решения; 3) координаты симметричном точки Вектор задачи и решения.

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Векторная алгебра — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

Понятие вектора. Линейные операции над векторами

1°. Любые две точки Вектор задачи и решенияпространства, если они упорядочены (например, А является первой, а В — второй точкой), определяют отрезок вместе с выбранным направлением (а именно, от A к В). Направленный отрезок называется вектором. Вектор с началом в A и концом в В обозначается Вектор задачи и решенияили Вектор задачи и решенияДлина вектора, обозначаемая Вектор задачи и решения, АВ или Вектор задачи и решенияа, называется также модулем вектора. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть одноименные координаты начала: Вектор задачи и решенияТогда длина вектора найдется так:

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Два вектора Вектор задачи и решенияназываются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые модули и направления. В этом случае пишут Вектор задачи и решенияРавные векторы имеют равные координаты.

Векторы Вектор задачи и решенияназываются противоположными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и противоположные направления: Вектор задачи и решения

Вектор называется нулевым, если его модуль равен нулю, и обозначается Вектор задачи и решения

2°. Линейными называются действия сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число.

1.Если начало Вектор задачи и решениясовмещено с концом Вектор задачи и решениято начало Вектор задачи и решениясовпадает с началом Вектор задачи и решенияа конец — с концом Вектор задачи и решения(рис. 3.1).

2.Если начала векторов Вектор задачи и решениясовмещены, то начало Вектор задачи и решениясовпадает с концом Вектор задачи и решения, а конец Вектор задачи и решениясовпадает с концом Вектор задачи и решения(рис. 3.2).

3.При умножении вектора Вектор задачи и решенияна число (скаляр) Вектор задачи и решениядлина вектора умножается на Вектор задачи и решения, а направление сохраняется, если Вектор задачи и решенияи изменяется на противоположное, если Вектор задачи и решения(рис. 3.3).

Вектор Вектор задачи и решенияназывается ортом, или единичным вектором вектора Вектор задачи и решенияего длина равна единице:Вектор задачи и решения

3°. Запись ci — Вектор задачи и решенияозначает, что вектор Вектор задачи и решенияимеет координаты Вектор задачи и решенияили Вектор задачи и решенияразложен по базису Вектор задачи и решения— орты осей Ох, Оу и Oz пространственной системы координат Oxyz). При этом

Вектор задачи и решения

4°. Числа Вектор задачи и решенияназываются направляющими косинусами вектора Вектор задачи и решения— углы между вектором Вектор задачи и решенияи координатными осями Ох, Оу, Oz соответственно. Единичный вектор Вектор задачи и решения— орт вектора Вектор задачи и решения. Для любого вектора справедливо: Вектор задачи и решения

5°. Линейные операции над векторами, которые заданы своими координатами, определяются так: пусть Вектор задачи и решениятогда

Вектор задачи и решения

Следовательно, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число умножаются на число все координаты вектора.

6°. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов Вектор задачи и решения, устанавливаемое равенством Вектор задачи и решенияможет быть записано соотношениями Вектор задачи и решенияиз которых следует пропорциональность их координат: Вектор задачи и решения

Если один из членов какого-нибудь из этих отношений равен нулю, то и второй член того же отношения должен быть нулем. Геометрически это значит, что в этом случае оба вектора перпендикулярны соответствующей координатной оси (например, если Вектор задачи и решениято векторы Вектор задачи и решения).

7°. Система векторов Вектор задачи и решенияназывается линейно независимой, если равенство

Вектор задачи и решения

( Вектор задачи и решения— действительные числа) возможно только при Вектор задачи и решенияЕсли же равенство (1) возможно при некотором нетривиальном наборе Вектор задачи и решениято система этих векторов называется линейно зависимой. Любой вектор линейно зависимой системы линейно выражается через остальные.

Примеры с решениями

Пример:

Доказать, что треугольник с вершинами в точках A(1,2), B(2,5), С(3,4) прямоугольный.

Решение:

Построим векторы, совпадающие со сторонами треугольника (см. п. 1°): Вектор задачи и решения(рис. 3.4).

Вектор задачи и решения

Найдем длины сторон: Вектор задачи и решенияВектор задачи и решения
Нетрудно видеть, что Вектор задачи и решенияСледовательно, треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой Вектор задачи и решенияи катетами Вектор задачи и решения

Пример:

Проверить, что точки А( 2,-4,3), В(5, —2,9), С( 7,4,6) и D(6,8, -3) являются вершинами трапеции.

Решение:

Составим векторы-стороны с целью обнаружения коллинеарности векторов (в трапеции ВС || AD) (рис. 3.5):

Вектор задачи и решения

Имеем Вектор задачи и решениязначит, ABCD — трапеция.

Пример:

Найти орт и направляющие косинусы вектора Вектор задачи и решения

Решение:

Имеем Вектор задачи и решенияВ соответствии с п. 3°, 4°

Вектор задачи и решенияи направляющие косинусы вектора Вектор задачи и решения Вектор задачи и решенияпричем Вектор задачи и решения

Пример:

Определить точку В, которая является концом вектора Вектор задачи и решения, если его начало совпадает с точкой

Решение:

Пусть точка В имеет координаты B(x,y,z) (рис. 3.6). Тогда координа- ^ ты вектора (п. 1°)

Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения

Следовательно, Вектор задачи и решенияОтвет. В(5, -5,3).

Пример:

Вектор Вектор задачи и решенияразложить по векторам

Вектор задачи и решения

Решение:

Необходимо найти такие числа х, у, z, что Вектор задачи и решеният.е.

Вектор задачи и решения

Имея в виду, что при сложении векторов складываются их координаты и равные векторы имеют равные координаты, приходим к системе уравнений

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Ответ. Вектор задачи и решения

Пример:

Показать, что система векторов Вектор задачи и решения Вектор задачи и решениялинейно независима.

Решение:

В данном случае равенство (1) имеет вид Вектор задачи и решения, или Вектор задачи и решенияОтсюда получаем систему уравнений

Вектор задачи и решения

из которой следует, что Вектор задачи и решенияЭто подтверждает линейную независимость данных векторов.

Пример:

Показать, что система векторов Вектор задачи и решения Вектор задачи и решениялинейно зависима.

Решение:

Равенство (1) равносильно системе уравнений

Вектор задачи и решения

Она имеет ненулевое решение, например, Вектор задачи и решенияТаким образом, Вектор задачи и решенияОтсюда видно, что Вектор задачи и решеният.е. вектор Вектор задачи и решениялинейно выражается через Вектор задачи и решенияОчевидно, что Вектор задачи и решенияможно выразить через Вектор задачи и решения— через Вектор задачи и решения

Скалярное произведение векторов

1°. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла Вектор задачи и решениямежду ними:

Вектор задачи и решения

Из Вектор задачи и решения(рис. 3.7) имеем Вектор задачи и решения( Вектор задачи и решения— проекция вектора Вектор задачи и решенияна направление вектора Вектор задачи и решения).

Итак, Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

т.е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

При этом Вектор задачи и решенияесли же Вектор задачи и решения, т. е. Вектор задачи и решенияпоскольку cos 90° = 0 (условие перпендикулярности двух векторов).

3°. Из определения скалярного произведения следует формула для вычисления угла между двумя векторами:

Вектор задачи и решения

Примеры с решениями

Пример:

Перпендикулярны ли векторы Вектор задачи и решенияесли Вектор задачи и решения

Решение:

Условие перпендикулярности векторов (п. 2°) Вектор задачи и решенияв нашем случае

Вектор задачи и решения

Пример:

Найти проекцию вектора Вектор задачи и решенияна направление вектора Вектор задачи и решения

Решение:

Имеем Вектор задачи и решения(п. 1°). Подставив сюда выражение для Вектор задачи и решенияиз п. 3°, получим

Вектор задачи и решения

Ответ Вектор задачи и решения

Пример:

Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами: Вектор задачи и решенияи Вектор задачи и решениянайти внутренние углы треугольника ABC.

Решение:

Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения

При помощи таблиц находим Вектор задачи и решенияДля нахождения других углов нам понадобится вектор Вектор задачи и решениякоторый является суммой Вектор задачи и решения: Вектор задачи и решенияпоэтому Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Ответ. 123° 10′, 19°29′, 37°21′.

Пример:

Найти координаты вектора Вектор задачи и решенияесли Вектор задачи и решениягде Вектор задачи и решенияи Вектор задачи и решения

Решение:

На рис. 3.9 имеем Вектор задачи и решенияИз условий перпендикулярности векторов (п. 2°) имеем Вектор задачи и решенияПоложим Вектор задачи и решенияУсловие задачи перепишем в виде Рис. 3.9 системы

Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения

Векторное произведение векторов

1°. Векторы Вектор задачи и решенияприведенные к одному началу, образуют правую (левую) тройку при условии: если смотреть из конца вектора Вектор задачи и решенияна плоскость векторов Вектор задачи и решениято кратчайший поворот от Вектор задачи и решениясовершается против (по) часовой стрелки (рис. 3.10).

Вектор задачи и решения

2°. Векторным произведением ненулевых векторов Вектор задачи и решенияназывается вектор Вектор задачи и решения, обозначаемый Вектор задачи и решенияудовлетворяющий следующим трем условиям.

1) Вектор задачи и решениявектор Вектор задачи и решения перпендикулярен плоскости векторов Вектор задачи и решения

2) Вектор Вектор задачи и решениянаправлен так, что векторы Вектор задачи и решенияобразуют правую тройку.

3) Вектор задачи и решеният.е. его длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах Вектор задачи и решения(рис. 3.11), таким образом, Вектор задачи и решения

Если векторы Вектор задачи и решенияколлинеарны, то под Вектор задачи и решенияпонимается нулевой вектор:Вектор задачи и решения

3°. Если известны координаты векторов-сомножителей Вектор задачи и решениято для отыскания координат векторного произведения служит формула

Вектор задачи и решения

в которой определитель следует разложить по элементам первой строки.

Примеры с решениями

Пример:

Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А(1,2,3), В<3,2,1), С(1,0,1).

Решение:

Найдем координаты векторов Вектор задачи и решенияОпределим координаты векторного произведения Вектор задачи и решения(рис. 3.12):

Вектор задачи и решения

Найдем длину этого вектора, которая равна численно площади параллелограмма S (п. 2°): Вектор задачи и решенияПлощадь треугольника Вектор задачи и решенияравна Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Пример:

Построить параллелограмм на векторах Вектор задачи и решенияи Вектор задачи и решениявычислить его площадь и высоту, опущенную на Вектор задачи и решения.

Сделаем чертеж (рис. 3.13). Имеем Вектор задачи и решенияОтдельно вычисляем векторное произведение:

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения

Смешанное произведение векторов

1°. Смешанным произведением трех ненулевых векторов Вектор задачи и решенияназывается число, равное скалярному произведению двух векторов, один из которых — векторное произведение Вектор задачи и решения, а другой — вектор Вектор задачи и решения. Обозначение: Вектор задачи и решенияЕсли Вектор задачи и решенияобразуют правую тройку, то Вектор задачи и решенияЕсли Вектор задачи и решенияобразуют левую тройку, то Вектор задачи и решения

Модуль смешанного произведения векторов Вектор задачи и решенияравен объему параллелепипеда (рис. 3.14), построенного на этих векторах, Вектор задачи и решенияУсловие Вектор задачи и решенияравносильно тому, что векторы Вектор задачи и решениярасположены в одной плоскости, т.е. компланарны. Имеет место равенство

Вектор задачи и решения

Объем тетраэдра с вершинами в точках Вектор задачи и решения Вектор задачи и решенияможно вычислить по формуле Вектор задачи и решениягде

Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения

2°. Условие Вектор задачи и решенияравносильно условию линейной независимости Вектор задачи и решения, а тогда любой вектор Вектор задачи и решениялинейно выражается через них, т. е. Вектор задачи и решенияДля определения х, у, z следует решить соответствующую систему линейных уравнений

Примеры с решениями

Пример:

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах Вектор задачи и решения

Решение:

Искомый объем Вектор задачи и решенияПоскольку

Вектор задачи и решения

Пример:

В точках 0(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0) и С(1,2,4) находятся вершины пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

Решение:

1) Сделаем схематический чертеж (рис. 3.15).

2) Введем векторы Вектор задачи и решенияВектор задачи и решения.Объем пирамиды ОАВС (тетраэда) равен

Вектор задачи и решения

3) Площадь грани ABC

Вектор задачи и решения

4) Объем пирамиды Вектор задачи и решенияотсюда Вектор задачи и решения
Ответ. Вектор задачи и решения

Видео:Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

Основные понятия векторной алгебры

Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения

Видео:Урок 11. Решение задач на действия с векторамиСкачать

Урок 11. Решение задач на действия с векторами

Прямоугольные декартовы координаты

Координатная ось

Пусть на плоскости или в пространстве задана произвольная прямая L: Ясно, что по этой прямой L сы можем перемещаться в oднoм из двух противоположных направлений. Выбор любого (одного) из этих направлений будем называть ориентацией прямой L.

Оnределение:

Прямая с заданной на ней ориентацией называется осью. На чертеже ориентация оси указывается стрелкой (рис. 1 ) . Фиксируем на оси Вектор задачи и решениянекоторую точку О и выберем какой-нибудь отрезок а, доложив по определению его длину равной единице (рис. 2).

Пусть М — произвольная точка оси Вектор задачи и решения. Поставим этой точке в соответствие число х по следующему прав илу: х равно расстоюiию между точками О и М, взятому со знаком плюс или со знаком минус н зависимости от того, совпадает ли направление движения от точки О к точке М с заданным направлением или противоположно ему (рис. 3).

Вектор задачи и решения

Оnределение:

Ось Вектор задачи и решенияс точкой начала отсчета О и масштабными отрезками а называется координатной осью, а число х, вычисляемое по указанному правилу, называется координатой точки М. Обозначение: М (х).

Прямоугольные декартовы координаты на плоскости

Пусть П — произвольная плоскость. Возьмем на ней некоторую точку О и проведем через эту точку взаимно перпендикулярные прямые L 1 и L 2. Зададим на каждой из nрямых L 1 и L 2 ориентацию и выберем единый масштабный отрезок а. Тогда эти прямые nревратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 4).

Вектор задачи и решения

Назовем одну из координатных осей осью абсцисс (осью Ох), друrую —осью ординат (осью Оу) (рис. 5). Точка О называется началом координат. Пусть М — произвольная точка плоскости П (рис. 6). Проведем через точку М прямые, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответствие упорядоченную пару чисел (х, у) по следующему nравилу:

Вектор задачи и решения

Числа х и у называются прямоугольными декартовыми при этом х называется ее абсциссой, а у — ординатой. координатами точки М; Обозначение: М(х, у). Чтобы кратко охарактеризовать описанную конструкцию, говорят, что на плоскости П задана прямоугольная декартова система координат Ох у. Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами. На рисунке и в таблице показано, как эти квадранты нумеруются (рис. 7).

Вектор задачи и решения

Замечание:

Масштабные от резки на координатных осях могут быть и разной длины. В этом случае координатная система называется просто прямоугольной.

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Возьмем в пространстве некоторую точку О и проведем через нее три взаимно перпендикулярные прямые L 1 , L 2 и L 3 . Выберем на каждой из nрямых ориентацию и единый масштаб. Прямые L 1 , L 2 и L 3 превратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 8).

Вектор задачи и решения

Назовем одну из этих осей осью абсцисс (осью Ох), вторую — осью ординат (осью Оу) и третью — осью аппликат (осью Oz) (рис. 9). Точка О называется началом координат. Пусть М — nроизвольная точка (рис. 10). Проведем через точку М nлоскости, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответстnие упорядоченную тройку чисел (х, у, z) по следующему правилу:

Вектор задачи и решения

Числа х, у и z называются прямоугольными декартовыми координатами точки М; при этом х называется абсциссой точки М, у — ее ординатой, а z —аппликатой. Обозначение: М(х, у, z). Таким образом, в пространстве введена прямоугольная декартова система координат.

Оnределение:

Плоскость, проходящая через любую пару координатных осей, называется координатной плоскостью.

Координатных плоскостей три: Оху, Oyz и Oxz. Эти плоскости разбивают пространство на восемь частей — октантов. 1 .4. Простейшие задачи аналитической геометрии А. Расстояние между точками Пусть М 11 ) и М 22 )- две точки на координатной оси. Тогда расстояние d между ними вычисляется по формуле

Вектор задачи и решения

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Оху, то расстояние d между любыми двумя точками М 11 , у1 и М22 , y2) вычисляется по следующей формуле

Вектор задачи и решения

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆MM1M2 (pиc. l l). По теореме Пифагора

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

,и извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, приходим к требуемой формуле .

Замечание:

Расстояние между точками Вектор задачи и решенияв пространстве вычисляется по следующей формуле

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Задача:

Написать уравнение окружности радиуса т с центром в точке Р(а, b).

Пусть М(х, у) — точка окружности (рис. 12). Это означает, что |M P| = r. Заменим |M P|его выражением

Вектор задачи и решения

и возведем обе части полученного равенства в квадрат:

Вектор задачи и решения

Это есть каноническое уравнение окружности радиуса r с центром в точке Р(а, b) .

Задача:

Пусть F л (-с, 0) и F n (c, 0) -фиксированные точки плоскости, а -заданное число (а > с ≥ 0). Найти условие, которому удовлетворяют координаты х и у точки М, обладающей следующим свойством: сумма расстояний от точки М до Fл и до F n равна 2а.

Вычислим расстояния между точками М и F л и между точками М и F n . Имеем

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Перенесем второй корень в правую часть

Вектор задачи и решения

Возводя обе части в квадрат, после простых преобразований получим

Вектор задачи и решения

С целью дальнейших упрощений вновь возводим обе части в квадрат. В результате nриходим к равенству

Вектор задачи и решения

Полагая b 2 = а 2 — с 2 и деля обе части nоследнего соотноwения на а 2 b 2 , nолучаем уравнение эллипса

Вектор задачи и решения

Деление отрезка в данном отношении:

Вектор задачи и решения

Требуется выразить координаты х и у этой точки через координаты концов отрезка М1М2 и числа λ 1 и λ 2 . Предположим сначала, что отрезок М1М2 не параллелен оси ординат Оу (рис. 14). Тогда

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

то из последних двух соотношений получаем, что

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Точка М лежит между точками М1 и М2 , поэтому либо х 1 х > х 2 . В любом из этих случаев разности х1 — х и х — х 2 имеют одинаковые знаки. Это позволяет переписать последнее равенство в следующей форме

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

В случае, когда отрезок М1М2 параллелен оси Оу, х 1 = х 2 = х. Заметим, что тот же результат дает формула (*), если nоложить в ней х 1 = х 2 . Справедливость формулы

Вектор задачи и решения

доказывается аналогичным рассуждением .

Задача:

Найти координаты центра тяжести М треугольника с вершинами в точках . М1 ( х 1 , у 1 ), М2 ( х 2 , у 2 ) и М3 ( х 3 , у 3 ). Восnользуемся тем, что центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Точка М делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины (рис. 15). Тем самым, ее координаты х и у можно найти по формулам

Вектор задачи и решения

где х’ и у’ — координаты второго конца М’ медианы М3 М’. Так как М’ — середина отрезка М1М2, то

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Полученные соотношения позволяют выразить координаты z и у центра тяжести М треугольника ∆М1М2М3 через координаты его вершин:

Вектор задачи и решения

Замечание:

Вектор задачи и решения

Полярные координаты

Предположим, что задана точка О, ось Вектор задачи и решения.содержащая точку О, и масштабный отрезок (эталон длины) (рис. 16).

Пусть М — произвольная точка плоскости, отличная от точки О (рис.17). Ее положение на плоскости однозначно определяется двумя числами: расстоянием г между точками О и М и отсчитываемым против часовой стрелки углом φ между положительным лучом оси Вектор задачи и решенияи лучом ОМ с началом в точке О. Пару (г, φ) называют полярными координатами точки М; г — полярный радиус точки М , φ — полярный угол.

Точка О называется полюсом, Вектор задачи и решения— полярной осью.

Ясно, чтоВектор задачи и решенияЕсли точка М совпадаете полюсом, то считаем г = 0; полярный угол φ в этом случае не определен.

Таким образом, на плоскости можно задать еще одну координатную систему — полярную.

Прямоугольную декартову систему координат Оху будем называть согласованной с заданной полярной, если начало координат 0(0, 0) — полюс, ось Ох — полярная ось, а ось Оу составляете осью Ох угол, равныйВектор задачи и решения. Тогда

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

(рис.18). В свою очередь Вектор задачи и решения

Пример:

Пусть R > О — заданное число. Множество точек плоскости, полярные координаты (г, Вектор задачи и решения

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Определители 2-го и 3-го порядков

Определителем второго порядка называется число

Вектор задачи и решения

Обозначение:

Вектор задачи и решения

Тем самым, для вычисления определителя второго порядка нужно из произведения а11, а22 элементов главной диагонали вычесть произведение а12, а21 элементов его побочной диагонали (рис. 20).

Вектор задачи и решения

Пример:

Вектор задачи и решения

По правилу (1) имеем

Вектор задачи и решения

С определителями второго порядка мы встречаемся уже при отыскании решения системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

Вектор задачи и решения

Решая эту систему методом исключения неизвестных при условии, что

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Пусгь теперь даны девять чисел aij (i = I, 2, 3; j = I, 2, 3).

Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом

Вектор задачи и решения

и вычисляемое по следующему правилу:

Вектор задачи и решения

Первый индекс i элемента aij указывает номер строки, в которой он расположен, а второй индекс j — номер столбца.

Чтобы разобраться с распределением знаков в правой части формулы (2), обратим внимание на следующее: произведение элементов а11, а22, а33 главной диагонали входит в формулу со своим знаком, также как и произведение а11, а22, а33 и а11, а22, а33 элементов, расположенных в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (рис. 21); с другой стороны, произведение а13, а22, а31 элементов побочной диагонали, а также произведения а12, а21, а33 и а11, а23, а32 — с противоположным знаком (рис.22). Такой подход к вычислению определителя третьего порядка называется правилом треугольника.

Вектор задачи и решения

Пример:

Вектор задачи и решения

Применяя правило треугольника, находим

Вектор задачи и решения

Установим некоторые свойства определителей 3-го порядка, легко проверяемые при помощи разложений (1) и (2).

Свойство:

Величина определителя не изменится, если все его строки заменить его столбцами с теми же номерами

Вектор задачи и решения

Свойство:

При перестановке любых двух строк (или любых двух столбцов) определителя он изменяет свой знак на противоположный.

Свойство:

Общий множитель всех элементов одной строки (или одного столбца) определителя можно вынести за знак определителя

Вектор задачи и решения

Следующие три свойства определителя вытекают из свойств 1-3. Впрочем, в их справедливости можно убедиться и непосредственно, пользуясь формулами (1) и (2).

Свойство:

Если определитель имеет две равные строки (или дна равных столбца), то он равен нулю.

Свойство:

Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Свойство:

Если соответствующие элементы двух строк (или двух столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Укажем еще один способ вычисления определителя 3-го порядка

Вектор задачи и решения

Минором Mij элемента aij определителя ∆ называется определитель, получаемый изданного путем вычеркивания элементов i-й строки и j-ro столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Например, минором элемента a23 будет определитель

Вектор задачи и решения

Алгебраическим дополнением элемента Aij называется минор Mij — этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма i + j номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент aij, есть число четное, и с противоположным знаком, если это число нечетное:

Вектор задачи и решения

Теорема:

Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (любого его столбца) на их алгебраические дополнения, так что имеют место следующие равенства

Вектор задачи и решения

Покажем, например, что

Вектор задачи и решения

Пользуясь формулой (2), получаем, что

Вектор задачи и решения

Правило (3) называется разложением определителя по элементам i-й строки, а правило (4) — разложением определителя по элементам j -го столбца.

Пример:

Вектор задачи и решения

Раскладывая определитель по элементам 1-ой строки, получим

Вектор задачи и решения

Видео:8 класс, 48 урок, Применение векторов к решению задачСкачать

8 класс, 48 урок, Применение векторов к решению задач

Понятия связанного и свободного векторов

Рассмотрим две точки А и В. По соединяющему их отрезку можно перемещаться в любом из двух противоположных направлений. Если считать, например, точку А начальной, а точку В конечной, то тогда получаем направленный отрезок АВ, в другом случае — направленный отрезок В А. Направленные отрезки часто называют связанными или закрепленными векторами. На чертеже заданное направление указывается стрелкой (рис. 1).

Вектор задачи и решения

В случае, когда начальная и конечная точки совпадают, А = В, связанный вектор называется нулевым.

Определение:

Будем говорить, что связанные векторы АВ и CD равны, если середины отрезков AD и ВС совпадают (рис. 2).

Обозначение:

Заметим, что в случае, когда точки А, В, С и D не лежат на одной прямой, это равносильно тому, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Ясно, что равные связанные векторы имеют равные длины.

Пример:

Рассмотрим квадрат и выберем векторы, как указано на рис.3. Векторы АВ и DC равны, а векторы ВС и DA не равны.

Укажем некоторые свойства равных связанных векторов:

  1. Каждый связанный вектор равен самому себе: АВ = АВ.
  2. Если АВ = CD, той CD = АВ.
  3. Если АВ = CD и CD = EF,то АВ = EF (рис.4).

Пусть АВ — заданный связанный вектор и С — произвольная точка. Ясно, что, опираясь на определение, всегда можно построить точку D так, чтобы

CD = АВ.

Тем самым, от каждой точки можно отложить связанный вектор, равный исходному (рис. 5).

Мы будем рассматривать свободные векторы, т. е. такие векторы, начальную точку которых можно выбирать произвольно, или, что то же самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе. Ясно, что свободный вектор Вектор задачи и решенияоднозначно определяется заданием связанного вектора АВ.

Если в качестве начальных выбирать лишь те точки, которые лежат на прямой, определяемой заданным (ненулевым) связанным вектором, то мы приходим к понятию скользящего вектора (рис. 6).

Вектор задачи и решения

Связанные и скользящие векторы широко используются в теоретической механике.

Для обозначен ия свободных векторов будем пользоваться полужирными строчными латинскими буквами — а, b, с,… ; нулевой вектор обозначается через 0.

Пусть заданы вектор а и точка А. Существует ровно одна точка В, для которой

Вектор задачи и решения = а

(рис.7). Операция построения связанного вектора АВ, для которого выполняется это равенство, называется откладыванием свободного вектора а от точки А.

Вектор задачи и решения

Заметим, что связанные векторы, получаемые в результате описанной операции откладывания, равны между собой и, значит, имеют одинаковую дли ну. Это позволяет ввести длину свободного вектора а, которую мы будем обозначать символом |а. Длина нулевого вектора равна нулю. Если а = b, то |а| = |b; обратное неверно.

Видео:КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ решение задачСкачать

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ решение задач

Линейные операции над векторами

Сложение векторов

Пусть заданы два вектора а и b. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее вектор a: Вектор задачи и решения= а. От полученной точки А отложим вектор b: Вектор задачи и решения= b. Полученный в результате вектор Вектор задачи и решенияназывается суммой векторов а и b и обозначается через a + b (рис. 8). Этот способ построения суммы векторов называется правилом треугольника.

Нетрудно заметить, что сложение векторов коммутативно, т. е. для любых векторов а и b справедливо равенство

а + b = b + а

Вектор задачи и решения

Если отложить векторы а и 1» от обшей точки О и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор Вектор задачи и решения, идущий из общего начала О в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой а + b (или b +а) (рис. 10). Этот способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма.

Вектор задачи и решения

Пусть заданы три вектора, например, a, b и с. Отложим от произвольной точки О вектор a: Вектор задачи и решения= а; от полученной точки А отложим вектор b: Вектор задачи и решения= b; отточки В — вектор с: Вектор задачи и решения= с (рис. 11). По определению суммы Вектор задачи и решения— а + b и Вектор задачи и решения= (а + b) + с (рис. 12). С другой стороны, АС = b + с и, значит, ОС = а + (Ь + с) (рис. 13). Тем самым, для любых векторов a, b и с выполняется равенство

(а +b) + с = а + (b + с),

т. е. сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех векторов и записывать ее так:

а + b + с.

Вектор задачи и решения

Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который замыкает ломаную, построенную из заданных векторов. На рис. 14 показан», как построить сумму семи векторов:

Вектор задачи и решения

Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется правилом замыкающего ломаную.

Пример:

Найти сумму векторов, идущих из центра правильного шестиугольника в его вершины.

По правилу замыкающего ломаную получаем

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Умножение вектора на число

Определение:

Свободные векторы а и b называются коллинеарными, если определяющие их связанные векторы лежат на параллельных или на совпадающих прямых (рис. 16).

Вектор задачи и решения

Обозначение: а||b.

Замечание:

Из определения следует, что если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то они коллинеарны.

Если отложить коллинеарные векторы а и b от обшей точки О, Вектор задачи и решения= n, Вектор задачи и решения= Ь, то точки О, А н В будут лежать на одной прямой. При этом возможны два случая: точки А и В располагаются на этой прямой: 1) по одну сторону от точки О, 2) по разные стороны (рис. 17). В первом случае векторы а и b называются одинаково направленными, а во втором — противоположно направленными.

Вектор задачи и решения

Если векторы имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны. Пусть а — вектор, λ — вещественное число.

Определение:

Произведением вектора а на число λ называется вектор b такой, что

2) векторы а и b одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если λ > 0 (соответственно, λ Вектор задачи и решения

(здесь λ и μ — любые действительные числа, а и Ь — произвольные векторы).
Определение:

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом, и обозначается а° (читается: а с нуликом), |а°| = 1.
Если а ≠ 0, то вектор

Вектор задачи и решения

есть единичный вектор (орт) направления вектора а (рис. 18).

Вектор задачи и решения

Координаты и компоненты вектора

Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Обозначим через i, j, к единичные векторы (орты) положительных направлений осей Ox, Оу, Oz (рис. 19). Рассмотрим произвольный вектор п, начало которого лежит в начале координат О, а конец — в точке А. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям Ох, Оу и Oz. Эти плоскости пересекут координатные оси в точках Р, Q и R соответственно. Из рис. 20 видно, что

Вектор задачи и решения

Векторы Вектор задачи и решенияколлинеарны соответственно единичным векторам i, j, k,

Вектор задачи и решения

поэтому найдутся числа х, у, z такие, что

Вектор задачи и решения

а = xi + yj + zk. (2)

Формула (2) называется разложением вектора а по векторам i, j, к. Указанным способом всякий вектор может быть разложен по векторам i, j, k.

Векторы i, j, к попарно ортогональны, и их длины равны единице. Тройку i, j, k называют ортонормированным (координатным) базисом (ортобазисом).

Можно показать, что для каждого вектора а разложение (2) по базису i, j, к единственно, т. е. коэффициенты х, у, z в разложении вектора а по векторам i, j, к определены однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектора а. Они совпадают с координатами х, у, z точки А — конца вектора а. Мы пишем в этом случае

а = .

Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задастся упорядоченной тройкой своих координат. Векторы xi, yj, zk, сумма которых равна вектору а, называются компонентами вектора а.

Вектор задачи и решения

Из вышеизложенного следует, что два вектора а = < х1, у1, z1 > и b = <х2, у2, z2> равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т. е.

Вектор задачи и решения

Радиус-вектором точки М(х,у, z) называется вектор г = xi + yj + zk, идущий из начала координат О в точку М (рис. 21).

Линейные операции над векторами в координатах

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

— при сложении векторов их координаты попарно складываются. Аналогично получаем

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

— при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Пусть а = < х1, у1, z1>, b = < х2, у2, z2 > — коллинеарные векторы, причем b ≠ 0. Тогда а = μb, т.е.

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Обратно, если выполняются соотношения (3), то а = μb, т. е. векторы a и b коллинеарны.

Таким образом, векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Вектор задачи и решения

Пример:

Найти координаты вектора Вектор задачи и решенияначало которого находится в точке М1 ( х1, у1, z1 ). а конец — в точке M2 (х2, у2, z2).
Из рис. 22 видно, что Вектор задачи и решения= r2 — r1 , где r2, r1 — радиус-векторы точек М1 и M2 соответственно. Поэтому

Вектор задачи и решения

— координаты вектора ММг равны разностям одноименных координат конечной М2 и начальной М точек этого вектора.

Проекция вектора на ось

Рассмотрим на оси l ненулевой направленный отрезок АВ (рис.23). Величиной направленного отрезка АВ на оси l называется число, равное длине отрезка АВ, взятой со знаком «+», если направление отрезка АВ совпадаете направлением оси l, и со знаком «-», если эти направления противоположны.

Рассмотрим теперь произвольный вектор Вектор задачи и решения, определяемый связанным вектором АВ. Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось l, построим на ней направленный отрезок CD (рис. 24).

Вектор задачи и решения

Определение:

Проекцией вектора Вектор задачи и решенияна ось l называется величина направленного отрезка CD, построенного указанным выше способом.

Обозначение: Вектор задачи и решения

Основные свойства проекций

  1. Проекция вектора АВ на какую-либо ось l равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и этим вектором (рис. 25)Вектор задачи и решения
  2. Проекция суммы векторов на какую-либо ось l равна сумме проекций векторов на ту же ось.

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Видео:Векторы для чайников (что потребуется знать при решении физических задач)Скачать

Векторы для чайников (что потребуется знать при решении физических задач)

Скалярное произведение векторов

Пусть имеем два вектора a и b.

Определение:

Скалярным произведением вектора а на вектор b называется число, обозначаемое символом (а, b) и определяемое равенством

Вектор задачи и решения

(1)
где φ, или в иной записи (Вектор задачи и решения), есть угол между векторами а и b (рис. 27 а).
Заметив, что |b| cos φ есть проекция вектора b на направление вектора а, можем написать

Вектор задачи и решения

(рис. 27 б) и, аналогично,’ (2)

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

(рис. 27 в), т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, помноженной на проекцию на него другого вектора. В случае, если один из векторов а или b — нулевой, будем считать, что

(a, b) = 0.

Свойства скалярного произведения

  1. Скалярное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда векторы а и b ортогональны, a ⊥ b.

Это следует из формулы (1), определяющей скалярное произведение.

Поскольку направление нулевого вектора не определено, мы можем его считать ортогональным любому вектору. Поэтому указанное свойство скалярного произведения можно сформулировать так:

Вектор задачи и решения

2. Скалярное произведение коммутативно:

(а, b) = (b, а).

Справедливость утверждения вытекает из формулы (I), если учесть четность функции cos φ: cos(- φ) = cos φ.

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством относительно сложения:

(а + b, с) = (а, с) + (b, c).

Вектор задачи и решения

4. Числовой множитель А можно выносить за знак скалярного произведения

(λа, b) = (а, λb) = λ (а, b).

  • Действительно, пусть λ > 0. Тогда

Вектор задачи и решения

поскольку при λ > 0 углы (Вектор задачи и решения) и (λВектор задачи и решения) равны (рис.28).

Аналогично рассматривается случай λ Вектор задачи и решения

Замечание:

В общeм случае (а, b)c ≠ a(b, c).

Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k:

Вектор задачи и решения

Рассмотрим скалярное произведение векторов а и b:

Вектор задачи и решения

Пользуясь распределительным свойством скалярного произведения, находим

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

То есть, если векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

Пример:

Найти скалярное произведение векторов n = 4i — 2j + k и b = 6i + 3j + 2k.

(a, b) = 4 • 6 + (-2) • 3 + 1 • 2 = 20.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом:

(а, а) = а 2 .

Применяя формулу (4) при b = а, найдем (5)

Вектор задачи и решения

С другой стороны,

Вектор задачи и решения

так что из (5) следует, что (6)

Вектор задачи и решения

— в ортонормированном базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Косинус угла между векторами. Направляющие косинусы

Согласно определению

(а, b) = |а| • |b| • cos φ,

где φ — у гол между векторами а и b. Из этой формулы получаем
(7)

Вектор задачи и решения

(предполагается, что векторы а и b — ненулевые).

Вектор задачи и решения

Пример:

Найти угол между векторами a = и d = . Пользуясь формулой (8), находим

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

или, в координатной записи, (9)

Вектор задачи и решения

где а есть угол, образованный вектором я с осью Ох. Аналогично получаем формулы

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Формулы (9)-(11) определяют направляющие косинусы вектора а, т. е. косинусы углов, образуемых вектором n с осями координат (рис. 29).

Пример:

Найти координаты единичного вектора n°. По условию | n°| = 1. Пусть n° = zi+ yj+ zk. Тогда

Вектор задачи и решения

Таким образом, координатами единичного вектора являются косинусы углов, образованных этим вектором с осями координат:

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Пример:

Пусть единичный вектор n° ортогонален оси z:

Вектор задачи и решения

(рис. 30). Тогда его координаты г и у соответственно равны

x=cos φ, y = sin φ.

Вектор задачи и решения

Видео:Физика | Ликбез по векторамСкачать

Физика | Ликбез по векторам

Векторное произведение векторов

Определение:

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор, обозначаемый символом [a, b] (или a х b), такой, что

1) длина вектора [а, b] равна |а| • |Ь| • sin φ, где φ — угол между векторами а и b (рис.31);

2) вектор [а, b] перпендикулярен векторам а и b, т.е. перпендикулярен плоскости этих векторов;

3) вектор [а, Ь] направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от л к Ь виден происходящим против часовой стрелки (рис. 32).

Вектор задачи и решения

Иными словами, векторы я, b и [a, b] образуют правую тройку векторов, т.е. расположены так, как большой, указательный и средний пальцы правой руки. В случае, если векторы a и b коллинеарны, будем считать, что [a, b] = 0.

Вектор задачи и решения

По определению длина векторного произведения (1)

Вектор задачи и решения

численно равна площади Вектор задачи и решенияпараллелограмма (рис.33), построенного на перемножаемых векторах a и b как на сторонах:

|[a, b]| = Вектор задачи и решения.

Свойства векторного произведения

  1. Векторное произведение равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда эти векторы коллинеарны (если векторы я и b коллинеарны, то угол между ними равен либо 0, либо тг).

Это легко получить из того, что |[a, b]| = |a| • |b| • sin φ.

Если считать нулевой вектор коллинеарным любому вектору, то условие коллинеарности векторов a и b можно выразить так

Вектор задачи и решения

2. Векторное произведение антикоммутативно, т. е. всегда (2)

Вектор задачи и решения

В самом деле, векторы [а, b] и [b, а] имеют одинаковую длину и коллинеарны. Направления же этих векторов противоположны, так как из конца вектора [a, b] кратчайший поворот от a к b будет виден происходящим против часовой стрелки, а из конца вектора [b, a] — почасовой стрелке (рис. 34).

Вектор задачи и решения

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством по отношению к сложению

Вектор задачи и решения

4. Числовой множитель λ можно выносить за знак векторного произведения

Вектор задачи и решения

Векторное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы a и b заданы своими координатами в базисе i,j, k: а = < х1, у1, z1>, b = < х2, у2, z2 >. Пользуясь распределительным свойством векторного произведения, находим (3)

Вектор задачи и решения

Выпишем векторные произведения координатных ортов (рис. 35):

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Поэтому для векторного произведения векторов a и b получаем из формулы (3) следующее выражение (4)

Вектор задачи и решения

Формулу (4) можно записать в символической, легко запоминающейся форме, если воспользоваться определителем 3-го порядка: (5)

Вектор задачи и решения

Разлагая этот определитель по элементам 1-й строки, получим (4). Примеры:

  1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а = i + j- k, b = 2i + j- k.

Искомая площадь Вектор задачи и решения= |[а, b]. Поэтому находим

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

2. Найти площадь треугольника ОАВ (рис.36).

Ясно, что площадь S∆ треугольника ОАВ равна половине площади S параллелограмма О АС В. Вычисляя векторное произведение [a, b] векторов a= Вектор задачи и решенияи b = Вектор задачи и решения, получаем

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Замечание:

Векторное произведение не ассоциативно, т.е. равенство [[а, b], с] = [а, b,с]] в общем случае неверно. Например, при а = i, b = j. c= j имеем

Вектор задачи и решения

Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось

Смешанное произведение векторов

Пусть имеем три вектора а, b и с. Перемножим векторы а и b векторно. В результате получим вектор [а, b). Умножим его скалярно на вектор с:

([a, b], с).

Число ([а, b], с) называется смешанным произведением векторов а, b, с и обозначается символом (а, b, с).

Геометрический смысл смешанного произведения

Отложим векторы а, b и с от общей точки О (рис. 37). Если все четыре точки О, А, В, С лежат в одной плоскости (векторы a, b и с называются в этом случае компланарными), то смешанное произведение ([а, b], с) = 0. Это следует из того, что вектор [а, b] перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а и b, а значит, и вектору с.

Вектор задачи и решения

Если же точки О, А, В, С не лежат в одной плоскости (векторы a, b и с некомпланарны), построим на ребрах OA, OB и ОС параллелепипед (рис. 38 а). По определению векторного произведения имеем

Вектор задачи и решения

где Вектор задачи и решения— площадь параллелограмма OADB, а с — единичный вектор, перпендикулярный векторам а и b и такой, что тройка а, b, с — правая, т. е. векторы a, b и с расположены соответственно как большой, указательный и средний пальцы правой руки (рис. 38 6).

Вектор задачи и решения

Умножая обе части последнего равенства справа скалярно на вектор с, получаем, что

Вектор задачи и решения

Число ргe с равно высоте h построенного параллелепипеда, взятого со знаком « + », если угол ip между векторами с и с острый (тройка а, b, с — правая), и со знаком «-», если угол — тупой (тройка а, b, с — левая), так что

Вектор задачи и решения

Тем самым, смешанное произведение векторов a, b и с равно объему V параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, если тройка а, b, с — правая, и -V, если тройка а, b, с — левая.

Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, можно заключить, что, перемножая те же векторы a, b и с в любом другом порядке, мы всегда будем О получать либо +V, либо -V. Знак произведения будет зависеть лишь от того, какую тройку образуют перемножаемые векторы — правую или левую. Если векторы а, b, с образуют правую тройку, то правыми будут также тройки b, с, а и с, а, b. В то же время все три тройки b, а, с; а, с, b и с, b, а — левые. Тем самым,

(а, b, с) = (b, с, а) = (с, a,b) = -(b, а, с) = -(а, с, b) = -(с, b, а).

Еще раз подчеркнем, что смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы а, b, с компланарны:

Смешанное произведение в координатах

Пусть векторы а, b, с заданы своими координатами в базисе i, j, k:

Вектор задачи и решения

Найдем выражение для их смешанного произведения (а, b, с). Имеем

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения

— смешанное произведение векторов, заданных своими координатами в базисе i, j, k, равно определителю третьего порядка, строки которого составлены соответственно из координат первого, второго и третьего из перемножаемых векторов.

Вектор задачи и решения

Пример:

Проверить, компланарны ли векторы

Рассматриваемые векторы будут компланарны или некомпланарны в зависимости от того, будет равен нулю или нет определитель

Вектор задачи и решения

Разлагая его по элементам первой строки, получим

Вектор задачи и решения

Двойное векторное произведение

Двойное векторное произведение [а, [b, с]] представляет собой вектор, перпендикулярный к векторам а и [b, с]. Поэтому он лежит в плоскости векторов b и с и может быть разложен по этим векторам. Можно показать, что справедлива формула

[а, [b, с]] = b(а, с) — с(а, b).

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Вектор задачи и решения

Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения Вектор задачи и решения

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

🔥 Видео

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Геометрия 10 класс (Урок№18 - Компланарные векторы. Векторный метод решения задач.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№18 - Компланарные векторы. Векторный метод решения задач.)

Решение типовых задач по векторной алгебреСкачать

Решение типовых задач по векторной алгебре

87. Применение векторов к решению задачСкачать

87. Применение векторов к решению задач

Полный разбор задач с векторами №2 ЕГЭ ПРОФИЛЬ 2024 | Профильная математика ЕГЭ 2024 | УМСКУЛСкачать

Полный разбор задач с векторами №2 ЕГЭ ПРОФИЛЬ 2024 | Профильная математика ЕГЭ 2024 | УМСКУЛ
Поделиться или сохранить к себе: