Вектор в математике и физике исследовательская работа (5 видео)

Векторы в физике и математике

Одним из ключевых связующих звеньев между математикой и физикой является понятие векторной величины. Без знания векторной алгебры не может вообще идти речь о глубоком понимании многих разделов физики. Векторная алгебра является фундаментом, на котором построено все здание классической физики. Отсутствие на уроках математики задач физического содержания препятствует более успешному усвоению темы векторы, так как именно в физике тема изучается более углубленно, практически все физические задачи несут в себе понятие вектора.

Объектом исследования являются векторы и его свойства.

Предмет исследования: применение вектора и его свойств при решении задач школьного курса физики.

Цель работы:

— показать применение вектора и его свойств при решении физических задач школьного курса физики 7-11 классов, олимпиадных задач, а так же задач ЕГЭ;

— определить сущность, функции межпредметных связей и их классификацию, а так же повысить собственный уровень знаний и умений в применении свойств вектора при решении физических задач.

Содержание

Скачать:
Подписи к слайдам:
Проектная работа. Вектор. 9 класс
«Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
Почти одновременно с ним исследованиями в том же направлении занимался английский математик — Уильям Кингдон Клиффорд (1845–1879)
Применение векторов в повседневной жизни
Просмотр содержимого документа «Применение векторов в повседневной жизни»
🌟 Видео

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
показано применение вектора и его свойств при решении физических задач школьного курса физики 7-11 классов, олимпиадных задач	2.65 МБ

Предварительный просмотр:

Видео:Физика | Ликбез по векторамСкачать

Подписи к слайдам:

в физике Векторы и математике у х А О В n

Объектом исследования являются Векторы и его свойства

Предмет исследования Применение вектора и его свойств при решении задач школьного курса физики

Цель работы -определить сущность, функции межпредметных связей и их классификацию, а так же повысить собственный уровень знаний и умений в применении свойств вектора при решении физических задач; -показать применение вектора и его свойств при решении физических задач школьного курса физики 7-11 классов, олимпиадных задач, а так же задач ЕГЭ;

Задачи 3. Решить задачи разного уровня сложности, содержащиеся в учебниках физики, сборниках задач, олимпиадных задач и задач ЕГЭ по выбранным темам. 1. Сопоставить понятие вектор, которое дается в учебниках школьного курса физики и геометрии; 2. Проанализировать содержание курса физики 7-11 классов и отобрать темы, в которых при решении задач используется свойства вектора;

Актуальность Необходимость формирования целостного представления о применении векторов в физике и математике и подготовки к ЕГЭ по этим предметам.

Практическая значимость работы Заключается в том, что предложенные в работе задачи могут быть использованы на уроках математики, быть полезными учащимся при изучении курса физики и подготовке к ЕГЭ, решении практических задач. Данная работа может представлять интерес для учителей физики и математики при подготовке к урокам и организации повторения.

Векторы в математике Впервые, понятие вектора дается на уроке геометрии в 8 классе учебника А. В. Погорелова. Вектором называют направленный отрезок, направление которого определяется указанием его начала и конца.

Векторы в математике Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающая вектор. Если начало вектора совпадает с его концом, такой вектор называется нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается .

Векторы в математике Два вектора называются равными , если они совмещаются параллельным переносом. Равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. m n

Действия над векторами сложение векторов умножение вектора на число скалярное произведение векторов разложение вектора по координатным осям

Сложение векторов Правило треугольника Правило параллелограмма

Умножение вектора на число ( λ =

Скалярное произведение векторов ( . ( = + Если скалярные векторы перпендикулярны, то их произведение равно нулю.

Разложение вектора по координатным осям Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направления координатных полуосей, называются координатными векторами. (1;0) (0;1) и ( λ + μ λ . μ

Векторы в физике В школьном курсе физики учебника А.В. Пёрышкина 7 класса, впервые понятие векторной величины вводится на примере таких физических величин, как Сила и Скорость . Так же вводится понятие Вес тела , которое тоже является векторной величиной. Болеет углубленно понятие вектора и его свойств затрагивается при изучении физики 9 класса учебника А. В. Пёрышкина и Е. М. Гутник .

Проекция вектора на ось Проекцией точки А на ось l называется число, соответствующее основанию перпендикуляра АВ, опущенного на ось l из точки А. Проекцией вектора на ось l называется разность проекций конца вектора и его начала.

Решение физических задач векторным методом Задача . С какого расстояния S от центра полусферы радиуса R =1,35 м, с какой скоростью и под каким углом β нужно бросить маленькую шайбу (из положения 1), чтобы она, попав на полусферу, остановилась на её вершине (положение 2) рисунок (а)? Трением шайбы о полусферу и сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с 2 . Сформулируем обратную задачу : На каком расстоянии S от центра полусферы, с какой скоростью U и под каким углом β упадёт шайба, скатывающаяся с вершины полусферы радиуса R рисунок (б)? Трением шайбы о поверхность полусферы и сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение физических задач векторным методом V 0 = . (1.1 ) Решение. mg cos α = m V 0 2 /R, откуда V 0 = . (1.2) h = R(1 – cos α) V 0 = . (1.3) cos α = 2/3 (1.4) V 0 = = = 3 м/с (1.5) Х = V ox t = ( V o cos α)t ( 1.6) Y = V oy t + gt 2 /2 = (V o sin α)t +gt 2 /2 ( 1.7) При t = t п – времени полёта шайбы до точки падения, X = X max , a Y = R cos α = 1,35 . 2/3 = 0,9 м sin α = = = = /3. ………………

Решение физических задач векторным методом 0,9 = t п + 5t п 2 , (1.8) t п = ( + )/ 10 = 0,7 с. X max = ( V o cos α)t п = 3 . 2/3 . 0,7 = 1,4 м. S = X max + R sin α = 1,4 + 1,35 . /3 = 2,41 м. V = ( 1.9). V ox = V o cos α = 3 . 2/3 = 2 м; V y = V o sin α + gt п = 3 . /3 + 10 . 0,7 = 9,24 м/с , V = = 9,45 м/с. tg β = V y / V ox = 9,24/ 2 = 4,62 β = 77,8 o .

Решение физических задач векторным метом Задача . Частица массы 2m налетает на неподвижную частицу массы m. После столкновения частицы разлетаются симметрично под углом 45 о к направлению начальной скорости, рисунок (а). Во сколько раз возросла суммарная кинетическая энергия после столкновения?

Решение. = .(1.1 ) p = (1.2) Е к = р 2 /4m = 2р 1 2 / 4m = р 1 2 / 2m . (1.3 ) Е к1 + Е к2 = (р 1 2 / 2m) + (p 2 2 / 4m) = 3p 1 2 /4m. (1.4) (Е к1 + Е к2 )/ Е к = 3p 1 2 2m / p 1 2 4m = 3/2 = 1,5. (1.7 ) Решение физических задач векторным метом

Решение физических задач векторным метом По двум длинным параллельным проводникам, расположенным на расстоянии r, текут токи I 1 и I 2 в направлениях, указанных на рисунке (а), на котором изображены сечения проводников плоскостью, перпендикулярной им. Определить индукцию магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии r 1 от первого проводника и на расстоянии r 2 от второго. Задача . (а) (б)

Решение физических задач векторным метом Решение. В= (1.1 ) а cos α по той же теореме, но только для треугольника rr 1 r 2 : cos α = (r 1 2 + r 2 2 – r)/ 2r 1 r 2 . (1.2 ) В = (1.3) (а) (б)

Задачи из ЕГЭ по физике Через неподвижный блок переброшена нерастяжимая нить. На концах этой нити подвешены грузы равных масс М. На один из грузов поставили груз массой m . Определите ускорение движения грузов, силу натяжения нити, силу давления груза m на M , а также силу давления на ось блока. Массой блока и нити можно пренебречь. Задача .

Задачи из ЕГЭ по физике Решение. для тела 1 для тела 2 для тела m Найдем mg = a ( 2 M + m ) a = g . Из уравнения (1) T = Mg + Ma = . Из уравнения (3) сила давления P = mg — ma = mg — m = .

Задачи из ЕГЭ по физике = -2 T = 0 = 2 T

Задачи из ЕГЭ по физике При скоростном спуске лыжник скользил вниз по склону с углом наклона , не отталкиваясь палками. Коэффициент трения лыж о снег 0.1. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости: F = k , где k =0.7 кг/м. Какова максимальная скорость лыжника, если его масса 100 кг? Задача.

Задачи из ЕГЭ по физике Решение. = k a = a ( t ) а= u ’( t )=0 =29,8 м/с

Задачи из ЕГЭ по физике Два небольших упругих шарика подвешены на нити =10 см и =5 см так, что они соприкасаются, линия их центров горизонтальна, а нити вертикальны. Масса шариков Шарик массой отклоняют на угол от вертикали отпускают. На какие углы отклонятся нити после абсолютно упругого соударения шариков? Задача.

Задачи из ЕГЭ по физике Решение. Из ∆ AOB OB = BD=OD-OB= cos α= (1) ; = / 2; ⟹ h = m /2⟹ = Рассмотрим систему, состоящую из двух шариков. = /2 = /2 + /2

Задачи из ЕГЭ по физике = ⟹ = и = = /(2 g ) cos = 1- =1- =1-( ) =1- = = 1- (1- cos α )= =38, cos =1- =1 — = 1- =1- 2gh = = 1- 4(1- cos α) ( = ⟹ = arccos =8,

Видео:Зачем нужен ВЕКТОР. Объяснение смыслаСкачать

Проектная работа. Вектор. 9 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

МБОУ Одинцовская гимназия №13

Проектная работа по теме

Выполнили ученики 9А класса

Руководитель учитель математики

Что такое вектор и действия над векторами.

Векторы в геометрии, в физике, в других науках.

Векторы в повседневной жизни.

С уверенностью можно сказать, что мало кто из людей задумывается о том, что векторы окружают нас повсюду и помогают нам в повседневной жизни. Рассмотрим ситуацию: парень назначил девушке свидание в двухстах метрах от своего дома. Найдут ли они друг друга? Конечно, нет, так как юноша забыл указать главное: направление, то есть по-научному – вектор.

Далее, в процессе работы над данным проектом, Мы приведём ещё интересные примеры с векторами.

Вообще, мы считаем, что математика – это интереснейшая наука, в познании которой нет границ.

Мы выбрали тему о векторах не случайно, нас очень заинтересовало то, что понятие «вектор» выходит далеко за рамки одной науки, а именно математики, и окружает нас практически везде. Таким образом, каждый человек должен знать, что такое вектор, поэтому, мы думаем, что эта тема весьма актуальна. В физике, химии, психологии, биологии, экономике и многих других науках употребляют понятие «вектор».

Цель проекта – подготовить раздел школьной энциклопедии «Вектор».

Задачами д анного проекта являются:

— познакомить с историей возникновения понятия «вектор»;

— дать понятие –вектор, продемонстрировать действий над векторами;

— показать применение векторов в решении задач по геометрии и физике;

— научить видеть необычное в обычном;

— выработать внимательное отношение к окружающему миру.

История возникновения понятия «вектор».

Одним из фундаментальных понятий современной математики является вектор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а также в технике.

Вектор относительно новое математическое понятие.

Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел ( Гаусс, 1831).

Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа.

Гамильтону принадлежат и термин «скаляр», он определил в качестве операций над новыми объектами скалярное и векторное произведение.

Гибсс — американский физик, физикохимик, математик и механик, один из создателей векторного анализа, статистической физики, математической теории термодинамики, что во многом предопределило развитие современных точных наук и естествознания в целом.

Образ Гиббса запечатлён в «Галерее славы великих американцев». Его имя присвоено многим величинам и понятиям химической термодинамики: энергия Гиббса, парадокс Гиббса, правило фаз Гиббса, уравнения Гиббса — Гельмгольца, уравнения Гиббса — Дюгема, лемма Гиббса, треугольник Гиббса — Розебома и др.

Видео:Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1Скачать

Почти одновременно с ним исследованиями в том же направлении занимался английский математик — Уильям Кингдон Клиффорд (1845–1879)

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. Например, некоторые физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение и др., характеризуются не только числовым значением, но и направлением. В связи с этим указанные физические величины удобно изображать направленными отрезками.

Ве́ктор (от лат. vector , «несущий») — в простейшем случае математический объект , характеризующийся величиной и направлением. В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом [1] .

Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда — чёрточкой) над ними. Другой распространённый способ записи: выделение символа вектора жирным шрифтом.

Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу ( параллельному переносу ), что, очевидно, проясняет происхождение его названия ( лат. vector , несущий ).

Длина вектора – это и есть длина этого отрезка. Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.

Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором. У такого вектора конец и начало совпадают. Нулевой вектор обычно обозначается как . Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.

Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой или которые лежат на одной прямой.

Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами только тогда, когда их направления совпадают друг другу (направлены в одну сторону): a↑↑b

Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, только когда они направлены в разные стороны: a↑↓b.

Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной плоскости или те, которые лежат на одной плоскости. С компланарными векторами мы встретимся в 10-11 классах.

Равные вектора. Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые. То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место плоскости. Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют одинаковые длины:

Действия над векторами.

Суммой векторов: , …называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору прибавляется вектор , к полученному вектору прибавляется вектор и так далее.

Это правило многоугольника или правило цепи, которое формулируется из правила треугольника. Из произвольного начала О откладываем вектор , из точки А ₁ , как из начала, откладываем вектор , из точки А ₂ строим вектор и так далее. Вектор есть сумма векторов .

Теорема. Для любых векторов , справедливы равенства:

1) + = + (переместительный закон).

2) ( + ) + = + ( + ) (сочетательный закон)

Эти законы сложения векторов позволяют нам находить сумму векторов в любом удобном порядке.

Умножение вектора на число

Для векторов существует три вида умножения векторов: скалярное и векторное произведение двух векторов и смешанное произведение трех векторов. Результатом первого и последнего есть число, а результатом векторного произведения – вектор.

Векторы в геометрии.

В геометрии под векторами понимают направленные отрезки. Эту
интерпретацию часто используют в компьютерной графике, строя карты освещения, с помощью нормалей к поверхностям. Так же с помощью векторов можно находить площади различных фигур, например треугольников и параллелограммов, а также объёмы тел: тетраэдра и параллелепипеда. Иногда с вектором отождествляют направление.

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: · = · cos . Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение равно нулю.

Таким образом, длина (модуль) произведения векторов численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b

Смешанное произведение векторов называется скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и

Геометрический смысл смешанного произведения — модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, образованного векторами ,.

Перечисленные выше свойства векторных операций во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел. В этом состоит удобство векторных операций: вычисления с векторами выполняются по хорошо известным правилам. В то же время вектор – геометрический объект, и в определении векторных операций используются такие геометрические понятия, как длина и угол; этим и объясняется польза векторов в геометрии (и её приложений к физике и другим областям знания).

Однако для решения геометрических задач с помощью векторов необходимо прежде всего научиться «переводить» условие геометрической задачи на векторный «язык». После такого «перевода» осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное векторное решение снова «переводится» на геометрический «язык». В этом и состоит векторное решение геометрических задач.

C помощью векторов решаются задачи геометрии. Многие задачи не могли бы решаться иначе, либо решение их было очень затруднительным.

Приведём примеры некоторых из них:

Задача №2 Найти угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианны, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

Задача №3 Дан равнобедренный треугольник МК N . Из вершины К проведена высота КР. Из вершин М и N проведены медианы MF и NE . КР =80, MN = 40. Найти MF и NE .

Маргарита Алигер, биография которой вызывает искренний интерес у поклонников ее творчества, – знаменитая советская поэтесса, удостоившаяся Сталинской премии второй степени за поэму «Зоя» о бесстрашном подвиге советской девушки Зои Космодемьянской. После семилетки училась в химическом техникуме. С детства писала стихи.

Векторы в физике.

О, физика, наука из наук!
Все впереди!
Как мало за плечами!
Пусть химия нам будет вместо рук,
Пусть станет математика очами .
Не разлучайте этих трех сестер,
Познания всего в подлунном мире.
Тогда лишь будет ум и глаз остер,
И знанье человеческое шире.

Векторы — мощный инструмент математики и физики. На языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. Чтобы понимать физику, нужно научиться работать с векторами. В физике, как и в математике, вектор – это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей.

Немецкий физик, математик и филолог. (1809-1877)

В области физики Грассману принадлежат работы по акустике и магнитному взаимодействию токов. Общие идеи Грассмана об абстрактных векторных пространствах привели его к открытию
важного положения – возможности рассматривать цветовые ощущения как трехмерные векторы, что лежит в основе современного учения о цвете. (Чёрный цвет имеет координаты (0,0,0), каждому цвету можно поставить в соответствие координаты точки трёхмерного пространства.
Интерпретация вектора, как параллельного переноса, позволяет естественным и интуитивно очевидным способом ввести операцию сложения векторов — как композиции (последовательного

применения) двух (или нескольких) переносов; то же касается и операции умножения вектора на число .

Джеймс Клерк Максвелл — английский физик, создатель классической электродинамики, один из
основоположников статистической физики, выдвинул идею электромагнитной природы света, установил первый статистический закон — закон распределения молекул по
скоростям, названный его именем. Альберт Эйнштейн однажды сказал, что » работа Джеймса клерка Максвелла изменила мир навсегда. «Действительно, Максвелл предоставил первую цветную фотографию и заложил основу для будущего развития телевизионных, радиолокационных, микроволновых и инфракрасных технологий.
Но в каждом учебном предмете вектор рассматривается так, как это удобно для изучаемого вопроса, но суть – одна.

Проведём сравнительный анализ понятия “вектор” и действий над векторами в математике и физике.

Мальчик массой 50 кг, стоя на гладком льду, бросает груз массой

8 кг под углом 60 0 к горизонту со скоростью 5 м/с. Какую скорость приобретет мальчик?

На парашютиста массой 90 кг в начале прыжка действует сила сопротивления воздуха, проекции которой на оси координат Х и Y равны 300 Н и 500 Н. Найти равнодействующую всех сил.

Вектор используются везде, даже там, где мы их не замечаем, например в литературе : вспомним басню Ивана Андреевича Крылова о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись». Басня утверждает, что «воз и ныне там», другими словами, что равнодействующая всех сил приложенных к возу равна нулю. А сила, как известно, векторная величина.

В химии. Нередко даже великими учеными высказывалась мысль, что химическая реакция является вектором. Вообще-то, под понятие «вектор» можно подвести любое явление. Вектором выражают действие или явление, имеющее четкую направленность в пространстве и в конкретных условиях, отражаемое его величиной. Направление вектора в пространстве определяется углами, образующимися между вектором и координатными осями, а длина (величина) вектора – координатами его начала и конца. Однако утверждение, что химическая реакция является вектором, до сих пор было неточно. Тем не менее, основой этого утверждения служит следующее правило: «Любой химической реакции отвечает симметричное уравнение прямой в пространстве с текущими координатами в виде количеств веществ (молей), масс или объемов».

Вектором (в биологии) называется организм, переносящий паразита от одного организма-хозяина к другому. Например, вши переносят возбудителей сыпного тифа, крысы – чумы. Вектор (в генетике) — молекула нуклеиновой кислоты, чаще всего ДНК, используемая в генетической инженерии для передачи генетического материала другой клетке.

Векторы в экономике

Одним из разделов высшей математики является линейная алгебра. Ее элементы широко применяются при решении разнообразных задач экономического характера. Среди них важное место занимает понятие вектора. Вектор представляет собой упорядоченную последовательность чисел. Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в последовательности называются компонентами вектора. Отметим, векторы можно рассматривать в качестве элементов любой природы, в том числе и экономической. Предположим, что некоторая текстильная фабрика должна выпустить в одну смену 30 комплектов постельного белья, 150 полотенец, 100 домашних халатов, тогда производственную программу данной фабрики можно представить в виде вектора, где всё, что должна выпустить фабрика – это трехмерный вектор.

Векторы в психологии

На сегодняшний день имеется огромное количество информационных источников для самопознания, направлений психологии и саморазвития. И не трудно заметить, что все больше обретает популярность такое необычное направление, как системно-векторная психология, в ней существует 8 векторов. Системно-векторная психология позиционируется не как отрасль классической психологии или определенное течение, а как отдельная наука изучения типологии личности.

Вектор – это симбиоз физиологических и психологических качеств человека. Это — характер, темперамент, здоровье, привычки индивида.

Векторы в повседневной жизни

Мы обратили внимание, что векторы, помимо точных наук, встречаются нам каждый день, т.е. повседневно. Векторы – указатели, которые помогают нам быстро найти тот или иной объект, отдел и сэкономить время, или стрелки дорожных знаков.

Базовое понятие «вектор», рассмотренное нами на уроках геометрии в 9 классе, является основой для изучения, а главное понимания других школьных предметов: физики, химии, биологи, экономики. Мы считаем, что этот раздел математики очень пригодится тем, кто планирует получать образование в любой профессии.

1. Векторы необходимы нам для изучения не только математики, но и других наук.

2. Каждый образованный человек должен знать, что такое вектор, потому что сталкивается с этим понятием не только во время учёбы, но и в повседневной жизни.

Учебник Геометрия 7-9 авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.В. Кадомцев, Е.Г. Позняк, И.И. Юдина; издательство «Просвещение» 2016

Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ: 7-9/Э.Н. Балаян. Изд. 7-е –Ростов н/Д; Феникс, 2015.

Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста.

Составитель А.П. Савин.- М.: Педагогика,, 1985.-352 с.,ил.

http ^// gruzdoff . ru / wiki /Вектор (математика)

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Применение векторов в повседневной жизни

С понятием вектора мы встречаемся чаще,чем сами подозреваем. В данной работе я постаралась максимально изучить, в каких же сферах мы взаимодействуем с ним.

Просмотр содержимого документа
«Применение векторов в повседневной жизни»

Вообще, я считаю, что математика – это интереснейшая наука, в познании которой нет границ. Я выбрала тему о векторах не случайно, меня очень заинтересовало то, что понятие «вектор» выходит далеко за рамки одной науки, а именно математики, и окружает нас практически везде. Таким образом, каждый человек должен знать, что такое вектор, поэтому, я думаю, что эта тема весьма актуальна. В психологии, биологии, экономике и многих других науках употребляют понятие «вектор». Подробнее об этом я расскажу позже.

Целями данного проекта являются приобретение навыков работы с векторами, умение видеть необычное в обычном, выработка внимательного отношения к окружающему миру.

История возникновения понятия вектор

Вектор относительно новое математическое понятие. Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат и термин «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение». Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вёл немецкий математик Герман Грассман (1809 – 1877). Англичанин Уильям Клиффорд (1845 – 1879) сумел объединить два подхода в рамках общей теории, включающий в себя и обычное векторное исчисление. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839 – 1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

Векторы в математике

Вектором называется направленный отрезок, который имеет начало и конец.[1]

Вектор с началом в точке А и концом в точке В принято обозначать как АВ. Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда — чёрточкой) над ними, например .

Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу (параллельному переносу), что, очевидно, проясняет происхождение его названия (лат. vector, несущий). Действительно, каждый направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства: скажем, вектор АВ естественно определяет перенос, при котором точка А перейдет в точку В, также и обратно, параллельный перенос, при котором А переходит в В, определяет собой единственный направленный отрезок АВ.

Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ, её обычно обозначают АВ. Роль нуля среди векторов играет нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают; ему, в отличие от других векторов, не приписывается никакого направления.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых, либо на одной прямой. Два вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну сторону, противоположно направленными, если коллинеарны и направлены в разные стороны.

Операции над векторами

Модулем вектора АВ называется число, равное длине отрезка АВ. Обозначается, как АВ. Через координаты вычисляется, как:

=+ +

В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:

)<displaystyle +<vec >=(a_+b_,a_+b_,a_+b_)>

Для геометрического построения вектора суммы <displaystyle <vec >=+<vec >>c = используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.

Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов <displaystyle > и <displaystyle <vec >> некоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса <displaystyle +<vec >>, соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторов<displaystyle > и <displaystyle <vec >> по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной:

Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего — с концом второго и так далее, сумма же векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом — го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.

Для сложения двух векторов <displaystyle > и <displaystyle <vec >> по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых — то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.

Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:

‚ <displaystyle -<vec >=(a_-b_,a_-b_,a_-b_)>

Для получения вектора разности <displaystyle <vec >=-<vec >> начала векторов соединяются и началом вектора <displaystyle <vec >> будет конец <displaystyle <vec >>, а концом — конец <displaystyle >. Если записать, используя точки векторов, то AC-AB=BC<displaystyle <overrightarrow >-<overrightarrow >=<overrightarrow >>.

Умножение вектора на число

Умножение вектора <displaystyle > на число , даёт сонаправленный вектор с длиной в раз больше. Умножение вектора <displaystyle > на число <displaystyle alpha , даёт противоположно направленный вектор с длиной в раз больше. Умножение вектора на число в координатной форме производится умножением всех координат на это число:

Скалярное произведение векторовСкалярное

Скалярным произведением называют число, которое получается при умножении вектора на вектор. Находится по формуле:

Скалярное произведение можно найти ещё через длину векторов и угол между ними.

Применение векторов в смежных науках Векторы в физике Векторы — мощный инструмент математики и физики. На языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. Чтобы понимать физику, нужно научиться работать с векторами. В физике, как и в математике, вектор – это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Векторы в литературе Вспомним басню Ивана Андреевича Крылова о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись». Басня утверждает, что «воз и ныне там», другими словами, что равнодействующая всех сил приложенных к возу сил равна нулю. А сила, как известно, векторная величина. Векторы в химии

Нередко даже великими учеными высказывалась мысль, что химическая реакция является вектором. Вообще-то, под понятие «вектор» можно подвести любое явление. Вектором выражают действие или явление, имеющее четкую направленность в пространстве и в конкретных условиях, отражаемое его величиной. Направление вектора в пространстве определяется углами, образующимися между вектором и координатными осями, а длина (величина) вектора – координатами его начала и конца.

Однако утверждение, что химическая реакция является вектором, до сих пор было неточно. Тем не менее основой этого утверждения служит следующее правило: «Любой химической реакции отвечает симметричное уравнение прямой в пространстве с текущими координатами в виде количеств веществ (молей), масс или объемов».

Все прямые химических реакций проходят через начало координат. Любую прямую в пространстве нетрудно выразить векторами, но поскольку прямая химической реакции проходит через начало системы координат, то можно принять, что вектор прямой химической реакции находится на самой прямой и называется радиус-вектором. Начало этого вектора совпадает с началом системы координат. Таким образом, можно сделать вывод: любая химическая реакция характеризуется положением ее вектора в пространстве. Векторы в биологии

Вектором (в биологии) называется организм, переносящий паразита от одного организма-хозяина к другому. Например, вши переносят возбудителей сыпного тифа, крысы – чумы.

Вектор (в генетике) — молекула нуклеиновой кислоты, чаще всего ДНК, используемая в генетической инженерии для передачи генетического материала другой клетке.

Векторы в экономике

Вектор представляет собой упорядоченную последовательность чисел. Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в последовательности называются компонентами вектора. Отметим, векторы можно рассматривать в качестве элементов любой природы, в том числе и экономической. Предположим, что некоторая текстильная фабрика должна выпустить в одну смену 30 комплектов постельного белья, 150 полотенец, 100 домашних халатов, тогда производственную программу данной фабрики можно представить в виде вектора, где всё, что должна выпустить фабрика – это трехмерный вектор.

Векторы в психологии

Векторы в повседневной жизни

Я обратила внимание, что векторы, помимо точных наук, встречаются мне каждый день. Так, например, во время прогулки в парке, я заметила, что ель, оказывается, можно рассматривать как пример вектора в пространстве: нижняя её часть – начало вектора, а верхушка дерева является концом вектора. А вывески с изображением вектора при посещении больших магазинов помогают нам быстро найти тот или иной отдел и сэкономить время.

Векторы в знаках дорожного движения

Каждый день, выходя из дома, мы становимся участниками дорожного движения в роли пешехода либо в роли водителя. В наше время практически каждая семья имеет машину, что, разумеется, не может не отразиться на безопасности всех участников дорожного движения. И, чтобы избежать казусов на дороге, стоит соблюдать все правила дорожного движения. Но не стоит забывать того, что в жизни всё взаимосвязано и, даже в простейших предписывающих знаках дорожного движения, мы видим указательные стрелки движения, в математике называемые – векторами. Эти стрелки (векторы) указывают нам направления движения, стороны движения, стороны объезда, и ещё многое другое. Всю эту информацию можно прочитать на знаках дорожного движения на обочинах дорог.

Базовое понятие «вектор», рассмотренное нами ещё на уроках математики в школе, является основой для изучения в разделах общей химии, общей биологии, физики и других наук. Я наблюдаю необходимость векторов в жизни, которые помогают найти нужный объект, сэкономить время, они выполняют предписывающую функцию в знаках дорожного движения.

Каждый человек постоянно сталкивается с векторами в повседневной жизни.

Векторы необходимы нам для изучения не только математики, но и других наук.

🌟 Видео

Геометрия - 9 класс (Урок№1 - Понятие вектора. Равенство векторов)Скачать

Статград по физике 23 января 2024. Тренировочный вариант 3 (ФИ2310301). Полный разборСкачать

ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

8 класс, 40 урок, Понятие вектораСкачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать

Вектор в Физике. Как Рисовать Вектор? Модуль Вектора || Урок Физики 8 класс // Подготовка к ЕГЭСкачать

Построение проекции вектора на осьСкачать

сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

Векторы в физике. Что нужно знать? | 50 уроков физики (2/50)Скачать

А ТЫ УЖЕ РАЗОБРАЛСЯ С УМНОЖЕНИЕМ ВЕКТОРОВ? ЧАСТЬ II #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэСкачать

Векторы для чайников (что потребуется знать при решении физических задач)Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Лекция 5. Сложение и вычитание векторов │ФИЗИКА С НУЛЯ теорияСкачать

Вектор в математике и физике исследовательская работа