- 11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат.
- Вопросы
- Поделись с друзьями
- Комментарии преподавателя
- 1. Введение
- 2. Координаты вектора
- Раздел 2. Векторная алгебра
- Ортогональные векторы и условие ортогональности
- Ортогональные векторы: определение и условие
- Примеры решения задач на ортогональность векторов
- Плоские задачи на ортогональность векторов
- Примеры пространственных задач на ортогональность векторов
- 🔍 Видео
11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат.
- Оглавление
- Занятия
- Обсуждение
- О курсе
Вопросы
Поделись с друзьями
Комментарии преподавателя
Видео:2 42 Ортогональность векторовСкачать
1. Введение
Если через точку О в пространстве мы проведем три перпендикулярные прямые, назовем их, выберем направление, обозначим единичные отрезки, то мы получим прямоугольную систему координат в пространстве. Оси координат называются так: Ох – ось абсцисс, Оy – ось ординат и Оz – ось аппликат. Вся система координат обозначается – Oxyz. Таким образом, появляются три координатные плоскости: Оxy, Оxz, Оyz.
Приведем пример построения точки В(4;3;5) в прямоугольной системе координат (см. Рис. 1).
Рис. 1. Построение точки B в пространстве
Первая координата точки B – 4, поэтому откладываем на Ox 4, проводим прямую параллельно оси Oy до пересечения с прямой, проходящей через у=3. Таким образом, мы получаем точку K. Эта точка лежит в плоскости Oxy и имеет координаты K(4;3;0). Теперь нужно провести прямую параллельно оси Oz. И прямую, которая проходит через точку с аппликатой 5 и параллельна диагонали параллелограмма в плоскости Oxy. На их пересечении мы получим искомую точку B.
Рассмотрим расположение точек, у которых одна или две координаты равны 0 (см. Рис. 2).
Например, точка A(3;-1;0). Нужно продолжить ось Oy влево до значения -1, найти точку 3 на оси Ox, и на пересечении линий, проходящих через эти значения, получаем точку А. Эта точка имеет аппликату 0, а значит, она лежит в плоскости Oxy.
Точка C(0;2;0) имеет абсциссу и аппликату 0 – не отмечаем. Ордината равна 2, значит точка C лежит только на оси Oy, которая является пересечением плоскостей Oxy и Oyz.
Чтобы отложить точку D(-4;0;3) продолжаем ось Ox назад за начало координат до точки -4. Теперь восстанавливаем из этой точки перпендикуляр – прямую, параллельную оси Oz до пересечения с прямой, параллельной оси Ox и проходящей через значение 3 на оси Oz. Получаем току D(-4;0;3). Так как ордината точки равна 0, значит точка D лежит в плоскости Oxz.
Следующая точка E(0;5;-3). Ордината точки 5, аппликата -3, проводим прямые проходящие через эти значения на соответствующих осях, и на их пересечении получаем точку E(0;5;-3). Эта точка имеет первую координату 0, значит она лежит в плоскости Oyz.
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
2. Координаты вектора
Начертим прямоугольную систему координат в пространстве Oxyz. Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим единичный вектор оси абсцисс
, единичный вектор оси ординат 
, и единичный вектор оси аппликат 
(см. рис. 1). Эти векторы сонаправлены с направлениями осей, имеют единичную длину и ортогональны – попарно перпендикулярны. Такие вектора называют координатными векторами или базисом.
Рис. 1. Разложение вектора по трем координатным векторам
Возьмем вектор 
, поместим его в начало координат, и разложим этот вектор по трем некомпланарным — лежащим в разных плоскостях — векторам. Для этого опустим проекцию точки M на плоскость Oxy, и найдем координаты векторов 
, 
и 
. Получаем: 
. Рассмотрим по отдельности каждый из этих векторов. Вектор лежит на оси Ox, значит, согласно свойству умножения вектора на число, его можно представить как какое-то число x умноженное на координатный вектор . 
, а длина вектора ровно в x раз больше длины . Так же поступим и с векторами и , и получаем разложение вектора по трем координатным векторам:
Коэффициенты этого разложения x, y и z называются координатами вектора в пространстве.
Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число.
; 
1) Сложение: 
2) Вычитание: 
3) Умножение на число: 
, 
Вектор, начало которого совпадает с началом координат, называется радиус—вектором. (Рис. 2). Вектор 
— радиус-вектор, где x, y и z – это коэффициенты разложения этого вектора по координатным векторам , , . В данном случае x – это первая координата точки A на оси Ox, y – координата точки B на оси Oy, z – координата точки C на оси Oz. По рисунку видно, что координаты радиус-вектора одновременно являются координатами точки М.
Возьмем точку A(x1;y1;z1) и точку B(x2;y2;z2) (см. рис. 3). Представим вектор 
как разность векторов и по свойству векторов. Причем, и — радиус-векторы, и их координаты совпадают с координатами концов этих векторов. Тогда мы можем представить координаты вектора как разность соответствующих координат векторов и : 
. Таким образом, координаты вектора мы можем выразить через координаты конца и начала вектора.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие свойства векторов и их выражение через координаты. Возьмем векторы 
, 
, 
. Нас спрашивают вектор 
. В данном случае найти 
это значит найти координаты вектора , которые полностью его определяют. Подставляем в выражение вместо векторов соответственно их координаты. Получаем:
Теперь умножаем число 3 на каждую координату в скобках, и то же самое делаем с 2:
У нас получилась сумма трех векторов, складываем их по изученному выше свойству:
Ответ: 
Дано: Треугольная пирамида AOBC (см. рис. 4). Плоскости AOB, AOC и OCB – попарно перпендикулярны. OA=3, OB=7, OC=4; M — сер.AC; N — сер.OC; P – сер. CB.
Найти: 
,
,,
,
,
,
,
.
Решение: Введем прямоугольную систему координат Oxyz с началом отсчета в точке O. По условию обозначаем точки A, B и C на осях и середины ребер пирамиды – M, P и N. По рисунку находим координаты вершин пирамиды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).
Так как координаты вектора — это разность координат его конца и начала, получаем:
. Таким же образом находим координаты векторов и . 
; 
.
Чтобы найти координаты вектора , нужно сначала найти координаты точек M и N. По рисунку видно, что точка N имеет координаты
, так как она лежит на оси аппликат. Рассмотрим 
. MN – средняя линия, 
. Значит координата точки M по оси Oz 2. Теперь проведем из точки M перпендикуляр к оси Ox, координата 1,5. Точка M лежит в плоскости Oxz, значит по оси Oy координата 0. Получаем M(1,5;0;2). Теперь зная координаты точек M и N, считаем их разность: 
.
Теперь найдем координаты точки P. Опустим перпендикуляр на плоскость Oxy, получаем значение 3,5 по оси ординат. И проведя перпендикуляр к оси Oz, получаем значение 2 по оси аппликат. Точка P имеет координаты (0;3,5;2). Зная координаты нужных точек, найдем координаты оставшихся векторов.
;
.
Вектора и — радиус-векторы, значит, их координаты равны координатам концов этих векторов: 
, 
.
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Раздел 2. Векторная алгебра
Абсолютная величина вектора см. Модуль вектора.
Абсцисса – первая координата вектора или точки в декартовой системе координат.
Антикоммутативное свойство (Антикоммутативность) векторного произведения двух векторов: при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный, т.е. a´b = — b´a.
Аппликата – третья координата вектора или точки в декартовой системе координат.
Базис n-мерного векторного пространства (Базисные векторы) – совокупность n линейно независимых векторов этого пространства, линейными комбинациями которых можно представить любой вектор пространства.
См. Ортонормированный базис.
Базис трехмерного пространства (Базис в пространстве) – упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
Базис на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов.
Базисные векторы см. Базис n-мерного пространства.
Базисные векторы декартовой прямоугольной системы координат – единичные ортогональные векторы i, j на плоскости и единичные попарно ортогональные векторы i, j, k в пространстве.
Вектор (Векторная величина, геометрический вектор) – направленный отрезок прямой. Пояснение. Вектор является величиной, полностью определенной своим направлением и длиной. Обозначение: a, 
.
См. Единичный, нулевой, свободный, связанный вектор; коллинеарные, компланарные, линейно зависимые, линейно независимые векторы.
Векторная алгебра – раздел математики, изучающий алгебраические операции над векторами.
Векторная величина см. Вектор.
Векторное произведениедвух векторов a и b — вектор c, определяемый следующими тремя условиями:
а) модуль вектора c, численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах, т.е. |c| = |a|×|b|×sin j, где j = Ð(a,b);
б) вектор c ортогонален векторам a и b;
в) вектор c направлен так, что векторы a, b, c образуют правую тройку.
Обозначения: a´b = c, [a, b] = c, [ab] = c.
Векторно-скалярное произведение векторов см. Смешанное произведение векторов.
Вектор-столбец – запись вектора, при которой его координаты располагаются вертикально.
Вектор-строка– запись вектора, при которой его координаты располагаются горизонтально.
Геометрический вектор см. Вектор.
Граничные точки отрезка см. Концевые точки отрезка.
Декартова прямоугольная система координат в пространстве— система координат, заданная тремя взаимно ортогональными единичными векторами, называемыми ортами.
Декартова прямоугольная система координат на плоскости— система координат, заданная двумя взаимно ортогональными единичными векторами, называемыми ортами.
Декартовы координаты вектора— проекции вектора на оси координат декартовой системы координат.
Длина вектора см. Модуль вектора.
Единичный вектор – вектор, модуль которого равен единице.
Обозначение: a o , e. См. Орт.
Квадрант – одна из четырех областей, на которые плоскость делится двумя взаимно перпендикулярными прямыми.
Коллинеарность векторов— свойство векторов быть коллинеарными.
Коллинеарные векторы — векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: a||b.
Компланарность— свойство векторов быть компланарными.
Компланарные векторы– векторы, расположенные в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Компонента см. Координата.
Концевые точки отрезка(Граничные точки отрезка) — точки, между которыми заключен отрезок прямой.
Координата (компонента, составляющая) вектора в декартовой системе координат – проекция вектора на соответствующую ось координат.
Координатная плоскость – плоскость, проходящая через две координатные оси из трех.
Координатные оси (Оси координат) – числовые прямые, имеющие общую нулевую точку (начало координат).
Координаты точки – 1) числа, определяющие положение точки на плоскости или в пространстве; 2) координаты радиус-вектора этой точки.
Левая тройка векторов — тройка векторов, не являющаяся правой.
Линейная комбинация n векторов – сумма произведений этих векторов на произвольные скаляры (числа), называемые коэффициентами:
Линейно зависимые векторы – векторы, линейная комбинация которых равна нулю, если не все коэффициенты равны нулю.
Линейно независимые векторы – векторы, линейная комбинация которых равна нулю только при условии, когда все коэффициенты равны нулю.
Линейные операции над векторами – это операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Многогранник (Многогранная поверхность) – поверхность, образованная из многоугольников (граней поверхности) так, что каждая сторона любого из этих многоугольников (ребро поверхности) является стороной еще одного многоугольника.
Многоугольник – замкнутая ломаная линия на плоскости.
Модуль вектора (Длина вектора, Абсолютная величина вектора) – число, равное расстоянию между его началом и концом. Обозначение: |a|, | |.
Направляющий косинус вектора– косинус соответствующего направляющего угла.
Направляющий угол вектора– угол, образуемый вектором и соответствующей осью координат декартовой системы.
Начало координат– точка пересечения координатных осей, являющаяся началом отсчета. Обозначение: O.
Нулевой вектор– вектор, модуль которого равен нулю.
Пояснение. Начало и конец нулевого вектора совпадают. Обозначение: o.
Объем тела – мера пространственных тел, не меняющая своего значения при движении тела и равная единице на единичном кубе.
Октант — одна из восьми областей, на которые трехмерное пространство делится тремя взаимно перпендикулярными плоскостями.
Ордината– вторая координата вектора или точки в декартовой системе координат.
Ориентация векторов– взаимное расположение трех векторов в пространстве; три вектора могут быть с правой или левой ориентацией. Такие векторы образуют правую или левую тройку векторов соответственно.
См. Правая тройка векторов.
Орт — единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a. Обозначение: a o .
Ортогональность– свойство векторов быть ортогональными.
Ортогональные векторы– 1) векторы, угол между которыми является прямым; 2) векторы, скалярное произведение которых равно нулю.
Ортонормированный базис – базис векторного пространства, образованный единичными попарно ортогональными векторами.
Острый угол между векторами– угол, значение которого меньше 90 о .
Оси координат см. Координатные оси.
Ось– прямая, на которой указаны начало отсчета, единица и положительное направление.
Ось абсцисс (Ось x) – первая ось в декартовой системе координат на плоскости или в пространстве.
Ось аппликат (Ось z) – третья ось в декартовой системе координат в пространстве.
Ось ординат (Ось y) – вторая ось в декартовой системе координат на плоскости или в пространстве.
Отрезок прямой(Отрезок) – часть прямой, заключенная между двумя ее точками и включающая обе эти точки.
Параллелепипед– призма, основаниями которой являются параллелограммы.
Параллелограмм – плоский четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Параллельный перенос (сдвиг) – перемещение фигуры, при котором каждая точка перемещается на один и тот же вектор.
Параллельный сдвиг см. Параллельный перенос.
Пирамида– многогранник, одной их граней которого является многоугольник (обычно это основание), а остальные грани – треугольники с общей вершиной.
Площадь плоской фигуры – неотрицательная функция геометрической фигуры на плоскости, сохраняющая свое значение при движениях и удовлетворяющая условию, что единичный квадрат имеет площадь, равную единице.
Полный угол – угол, равный 360 о .
Правая (Правоориентированная) тройка векторов – три некомпланарных вектора, удовлетворяющих условиям:
1) они упорядочены, и третий вектор направлен по направлению осевого движения правого винта при повороте по наименьшему углу от первого вектора ко второму;
2) они упорядочены и наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от первого вектора ко второму и от второго к третьему кажутся происходящими против часовой стрелки;
3) они упорядочены и из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден совершающимся против часовой стрелки.
Пояснение. Приведены три равносильных условия (определения) правой тройки векторов.
Правило параллелограмма– графическое правило образования суммы двух векторов.
Правило треугольника— графическое правило образования суммы двух векторов.
Призма – многогранник, две грани (основания) которого – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) – параллелограммы.
Проекция вектора на вектор– число, равное модулю вектора, проекция которого находится, умноженному на косинус угла между векторами.
Произведение вектора a на скаляр (число) l – вектор, обозначаемый la, такой что:
а) его модуль равен произведению модулей исходного вектора и скаляра, т.е.
|la| = |l|×|a|;
б) новый вектор и исходный вектор коллинеарны, т.е. a || la;
в) векторы a и la сонаправлены, если l > 0, и противоположно направлены, если l o , в радианной мере p/2.
Прямоугольные декартовы координаты – координаты, базис которых состоит из попарно ортогональных единичных векторов.
Равные векторы – векторы, являющиеся коллинеарными, одинаково направленными и имеющие равные модули.
Радиус-вектор точки P – вектор 
, начало которого находится в начале координат O, а конец – в рассматриваемой точке P.
Развернутый угол – угол, стороны которого составляют одну прямую; в градусной мере равен 180 o , в радианной мере p.
Свободный вектор– множество всех векторов, равных данному вектору, т.е. множество всех векторов с одинаковым модулем и направлением, но с различными начальными точками.
Связанный вектор– вектор с фиксированной начальной точкой.
Скаляр (Скалярная величина) – величина, которая полностью характеризуется одним числом.
Скалярная величинасм. Скаляр.
Скалярное произведение двух векторов– число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение: ab, a×b, (a,b).
Скалярный квадрат— скалярное произведение вектора на самого себя.
Обозначение: a 2 .
Сложение векторовсм. Сумма двух векторов.
Смешанное (Векторно-скалярное) произведение трех векторов – число, полученное по правилу: (a´b)×c), т.е. первые два вектора перемножаются векторно, а результат умножается на третий вектор скалярно. Обозначение: abc, (abc).
Составляющаясм. Координата.
Сумма двух векторов – новый вектор, получаемый по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначение: a + b = c.
Тетраэдр– треугольная пирамида, т.е. пирамида, основанием которой является треугольник.
Пояснение. Тетраэдр имеет четыре треугольных грани, шесть ребер и четыре вершины.
Треугольная призма – призма, основания которой – треугольники.
Треугольник– многоугольник, имеющий три вершины и три стороны.
Тупой угол– угол, больший прямого, но меньший развернутого.
Угол между двумя векторами– наименьший угол, на который нужно повернуть один из векторов до совмещения с другим.
См. Острый, полный, прямой, развернутый, тупой угол.
Умножение вектора на скаляр – операция отыскания произведения вектора на скаляр. Обозначение: la = b.
Упорядоченная тройка векторов – три вектора, если указано, какой из них является первым, какой – вторым и какой – третьим.
Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать
Ортогональные векторы и условие ортогональности
В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.
Видео:Основы кинематики. Тема 3. Проекция вектора на осьСкачать
Ортогональные векторы: определение и условие
Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .
Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.
Видео:Урок 9. Проекции вектора на координатные осиСкачать
Примеры решения задач на ортогональность векторов
Плоские задачи на ортогональность векторов
Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = и b ¯ = записывают следующим образом:
a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0
Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = ортогональны.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) = 2 — 2 = 0
Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.
Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = ортогональны.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( — 1 ) × 5 = 21 — 5 = 16
Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.
Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = и b ¯ = будут ортогональными.
Как решить?
Найдем скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = — 4 n = — 2
Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .
Видео:§4 Проекция вектора на осьСкачать
Примеры пространственных задач на ортогональность векторов
При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = и b ¯ = условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .
Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = являются ортогональными.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) + 0 × 10 = 2 — 2 = 0
Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.
Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = и b ¯ = будут являться ортогональными.
Как решить?
Находим скалярное произведение данных векторов:
a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( — 8 ) = 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4 2 n — 4 = 0 2 n = 4 n = 2
Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .
🔍 Видео
Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать
Ортогональная проекция вектора на прямую и вектора на ось. Теоремы о проекцияхСкачать
Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
2.4. Радиус-вектор и вектор перемещенияСкачать
Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Урок 10. Действия над проекциями вектораСкачать
2.3. Проекция вектора на координатную осьСкачать
Проекция вектора на вектор.Скачать
Векторные величины Проекция вектора на осьСкачать
Как проецировать вектор сил на оси | ЕГЭ Физика | Николай Ньютон. ТехноскулСкачать
Векторное произведение векторовСкачать
