Вектор на плоскости лекция

Видео:Открытая лекция «Геометрические векторы на плоскости»Скачать

Определение вектора

В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.

Для начала дадим определение:

Вектор – это направленный отрезок прямой.

Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

В математике для обозначения вектора обычно используют строчные латинские буквы, однако над вектором всегда ставится небольшая стрелочка, например a → . Если известны граничные точки вектора – его начало и конец, к примеру A и B , то вектор обозначается так A B → .

Видео:Лекция 23. Виды уравнений прямой на плоскости.Скачать

Нулевой вектор

Под нулевым вектором 0 → будем понимать любую точку плоскости или пространства.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Длина вектора

Под длиной вектора A B → понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

Длину вектора A B → принято обозначать так A B → .

Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин «длина вектора». Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

Видео:Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Коллинеарность векторов

Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.

Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.

Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

Видео:Геометрия. 9 класс. Векторы на плоскости /27.10.2020/Скачать

Направление векторов

Сонаправленными векторами называют два коллинеарных вектора a → и b → , у которых направления совпадают, такие векторы обозначаются так a → ↑ ↑ b → .

Противоположно направленными векторами называются два коллинеарных вектора a → и b → , у которых направления не совпадают, т.е. являются противоположными, такие векторы обозначаются следующим образом a → ↑ ↓ b → .

Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

Видео:Векторы на плоскостиСкачать

Равные и противоположные векторы

Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.

Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.

Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Пусть заданы два произвольных вектора на плоскости или в пространстве a → и b → . Отложим от некоторой точки O плоскости или пространства векторы O A → = a → и O B → = b → . Лучи OA и OB образуют угол ∠ A O B = φ .

Видео:Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Углы между векторами

Угол φ = ∠ A O B называется углом между векторами a → = O A → и b → = O B → .

Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π 2 радиан).

Видео:Направляющий и нормальный вектор прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Лекция на тему: «Векторы».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Вектор — это отрезок, который имеет направление. Конец вектора совпадает со стрелкой, начало — точка. Модуль вектора (абсолютная величина) — длина этого направленного отрезка.

Если начало вектора совпадает с его концом, получим нулевой вектор.

Два вектора являются равными , если их длина одинаковая и они имеют одинаковое направление. Они совмещаются при переносе.

Определение. Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.

Определение. Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как 0.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 2).

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны , если существует число n такое, что

Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны , если отношения их координат равны.

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны , если их векторное произведение равно нулевому вектору.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами , если их направления совпадают: a↑↑b (рис. 3).

Противоположно направленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами , если их направления противоположны: a↑↓b (рис. 4).

Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами . (рис. 5).

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Условия компланарности векторов

Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

Для 3-х векторов. Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

Определение. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).

Условие равенства векторов. Вектора равны , если их координаты равны.

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b , если a ↑↑ b и | a | = | b |.

Видео:Лекция 1 Векторы на плоскости и в пространстве К004а,б,в 20220311 151946 Запись собранияСкачать

Примеры задач на равенство векторов

Примеры плоских задач на равенство векторов

Пример 1. Определить какие из векторов равны a = , b = , c = .

a = b — так как их координаты равны,
a ≠ c — так как их координаты не равны,
b ≠ c — так как их координаты не равны.

Пример 2. При каком значении параметра n вектора a = и b = равны.

Проверим равенство компонентов векторов
a _x = b _x = 1
a _y = b _y => 8 = 2 n => n = 8/2 = 4

Ответ: при n = 4 вектора a и b равны.

Примеры пространственных задач на равенство векторов

Пример 3. Определить какие из векторов равны a = , b = , c = .

a = c — так как их координаты равны,
a ≠ b — так как их координаты не равны,
b ≠ c — так как их координаты не равны.

Пример 4. При каком значении параметра n вектора a = и b = равны.

Проверим равенство компонентов векторов
a _x = b _x = 1
a _y = b _y = 2
a _z = b _z => 4 = 2 n => n = 4/2 = 2

Ответ: при n = 2 вектора a и b равны.

Определение. Единичным вектором или ортом — называется вектор, длина которого равна единице.

Основное соотношение. Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).

Условие ортогональности векторов. Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны) , если их скалярное произведение равно нулю.

Видео:Лекция 2.3 | Векторы | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Формулы определения координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки

Формула определения координат вектора для плоских задач

В случае плоской задачи вектор AB заданный координатами точек A(A _x ; A _y ) и B(B _x ; B _y ) можно найти воспользовавшись следующей формулой

Формула определения координат вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи вектор AB заданный координатами точек A(A _x ; A _y ; A _z ) и B(B _x ; B _y ; B _z ) можно найти воспользовавшись следующей формулой

Формула определения координат вектора для n -мерного пространства

В случае n -мерного пространства вектор AB заданный координатами точек A(A ₁ ; A ₂ ; . ; A _n ) и B(B ₁ ; B ₂ ; . ; B _n ) можно найти воспользовавшись следующей формулой

Примеры для плоских задач

Пример 1. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4), B(3; 1).

Пример 2. Найти координаты точки B вектора AB = , если координаты точки A(3; -4).

Пример 3. Найти координаты точки A вектора AB = , если координаты точки B(3; -4).

Примеры для пространственных задач

Пример 4. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5), B(3; 1; 1).

Пример 5. Найти координаты точки B вектора AB = , если координаты точки A(3; -4; 3).

Пример 6. Найти координаты точки A вектора AB = , если координаты точки B(3; -4; 1).

Примеры для n -мерного пространства

Пример 7. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5; 5; -3), B(3; 0; 1; -2; 5).

Пример 8. Найти координаты точки B вектора AB = , если координаты точки A(3; -4; 3; 2).

Пример 9. Найти координаты точки A вектора AB = , если координаты точки B(3; -4; 1; 8).

Видео:Геометрия. 9 класс. Векторы на плоскости /11.05.2021/Скачать

Определение длины вектора

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.

Основное соотношение. Длина вектора | a | в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Видео:Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Формулы длины вектора

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = < a _x ; a _y > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = < a _x ; a _y ; a _z > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Пример 1. Найти длину вектора a = .

Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 = √ 4 + 16 = √ 20 = 2√ 5 .

Пример 2. Найти длину вектора a = .

Решение: | a | = √ 3 2 + (-4) 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5.

Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи

Пример 3. Найти длину вектора a = .

Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 = √ 4 + 16 + 16 = √ 36 = 6.

Пример 4. Найти длину вектора a = .

Решение: | a | = √ (-1) 2 + 0 2 + (-3) 2 = √ 1 + 0 + 9 = √ 10 .

Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3

Пример 5. Найти длину вектора a = .

Решение: | a | = √ 1 2 + (-3) 2 + 3 2 + (-1) 2 = √ 1 + 9 + 9 + 1 = √ 20 = 2√ 5

Пример 6. Найти длину вектора a = .

Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 + 6 2 + 2 2 = √ 4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √ 76 = 2√ 19 .

Видео:Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = < a _x ; a _y > и b = < b _x ; b _y > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = < a _x ; a _y ; a _z > и b = < b _x ; b _y ; b _z > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n -мерного пространства скалярное произведение векторов a = < a ₁ ; a ₂ ; . ; a _n > и b = < b ₁ ; b ₂ ; . ; b _n > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Определение. Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезка A ₁ B ₁ оси l , где точки A ₁ и B ₁ являются проекциями точек A и B на ось l . (рис. 1).

Определение. Проекцией вектора a на направление вектора b , называется число, равное величине проэкции вектора a на ось проходящую через вектор b .

Видео:Лекция 4. Векторы на плоскости и в пространстве.Скачать

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Пример 1. Найти проекцию вектора a = на вектор b = .

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

| b | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Пример 2. Найти проекцию вектора a = на вектор b = .

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

| b | = √ 4 2 + 2 2 + 4 2 = √ 16 + 4 + 16 = √ 36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 942 человека из 80 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 694 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 479 968 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия. Базовый уровень», Шарыгин И.Ф.

9*. Движения пространства

Видео:Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координатСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

• 13.06.2019
• 5045

• 13.06.2019
• 283

• 13.06.2019
• 504

• 06.06.2019
• 233

• 22.05.2019
• 764

• 11.04.2019
• 4809

• 14.01.2019
• 1767

• 12.01.2019
• 415

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 13.06.2019 3778 —> —> —> —>
• DOCX 3.1 мбайт —> —>
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Аюпова Илюза Каюмовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На проекте: 3 года и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 25931
• Всего материалов: 21

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

548 курсов от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Госдуме призвали обсуждать на школьных уроках тему опасности абортов

Время чтения: 1 минута

Порядка 65% выпускников российских вузов идут работать по специальности

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Первый мониторинг вузов РФ по новым показателям пройдёт в 2023 году

Время чтения: 2 минуты

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Лекция XII МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ВЕКТОРОВ НА ПЛОСКОСТИ

Различные подходы к введению понятия вектора

Вектор — одно из фундаментальных понятий современной математики, оно широко используется в различных её областях. В работах Г. Бесселя,

Ж. Аргана и К. Ф. Гаусса по теории комплексных чисел установлена связь между арифметическими операциями над комплексными числами и геометрическими операциями над векторами в двумерном пространстве. В работах В. Гамильтона, Г. Грассмана, Ф. Мёбиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трёхмерного и многомерного пространств.

В настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, функциональный анализ и др.

В математике иод вектором понимают элемент векторного пространства. Векторное пространство трактуется как множество объектов, на котором введены операции сложения объектов и умножения объекта на действительное число так, что выполняются известные вам аксиомы:

• 1) внутренний закон композиции: для любых элементов я, Ъ, принадлежащих множеству V, существует единственный элемент (а+Ъ)_у принадлежащий множеству К;
• 2) закон ассоциативности: а + (Ь + с) = (а + Ъ)+с, для любых элементов а , Ь, с, принадлежащих множеству V;
• 3) закон коммутативности: а + Ъ = Ь+а, для любых элементов# ,6, принадлежащих множеству V;
• 4) для любых элементов а, Ь, принадлежащих множеству V, существует такой элемент х, принадлежащий множеству V, что а + х = b;
• 5) внешний закон композиции: дтя любого элемента а, принадлежащего множеству V и для любого элемента а, принадзежащего множеству R. существует элемент аа, принадлежащий множеству V.

• 6) закон ассоциативности для умножения: <а(3)а = а((3а), где 0 и противоположно ему, если m Достоинства трактовки вектора как направленного отрезка:

• 1) Трактовка вектора как направленного отрезка придает этим объектам и операциям над ними хорошую наглядность. Это очень важно, гак как в процессе формирования понятия большую роль играет образный компонент, поэтому желательны такие определения, которые позволяют воображению легко конструировать образы определяемых объектов. Такой вывод согласуется с результатами психологических исследований.
• 2) Трактовка вектора как направленного отрезка обычно используется в физике. Таким образом, она способствует осуществлению межпредметных связей. Следует отметить и то, что в решении геометрических задач вектор используется как направленный отрезок.

Недостатки трактовки вектора как направленного отрезка:

1) Её реализация связана с громоздкостью доказательства свойств сложения векторов и умножения вектора на число. Так, доказательство переместительного свойства сложения векторов предполагает рассмотрение двух случаев: а) векторы а и b коллинеарны; б) векторы а и b неколлинеарны. Доказательство свойства: для любых k, I и вектора a (kl)a = к(1а) требует рассмотрение четырех случаев.

Кроме того, реализация трактовки вектора как направленного отрезка отличается непоследовательностью. При этой трактовке векторы считаются равными, если они имеют одинаковую длину и направление. Такое определение нельзя считать математически корректным, так как «равные векторы» — это по существу «один и тот же вектор» (аналогично тому, как «равные числа» — по существу «одно и то же число»), тогда как направленные отрезки АВ и CD — это различные отрезки, а не один и тот же отрезок. Тем самым, приняв это определение вектора, мы отождествляем два различных (хотя и родственных) математических понятия: понятие равенства и понятие эквивалентности.

Равенство двух математических объектов есть их совпадение; эквивалентность же объектов означает любое отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Непоследовательность такой трактовки вектора проявляется при доказательстве теорем или решении задач. Например, доказательство того, что сумма векторов зависит от выбора «начальной» точки предполагает не различать равные векторы, то есть понимать под вектором множество сонаправленных отрезков равной длины, хотя вектор определен как направленный отрезок.

Конечно, эту непоследовательность легко можно исключить, если с самого начала вектор определить как множество сонаправленных отрезков равной длины, но в этом случае наглядность затруднительна.

Трактовка вектора как параллельного переноса наиболее абстракта, лишена наглядности, неприемлема в физике. Ее достоинства — это отсутствие непоследовательностей в действиях с векторами, естественное введение сложения векторов и умножения вектора на число, более простые доказательства основных законов векторной алгебры. Ее реализация требует обширных знаний теории геометрических преобразований. Но геометрические преобразования не составляют основу наших учебников, поэтому такой подход к введению понятия вектора нс используется в настоящее время.

Трудность выбора того или иного определения вектора возникает потому, что в различных научных дисциплинах используются различные виды векторов. Так, в механике обычно рассматриваются так называемые скользящие векторы (вектор, начало которого можно выбирать на некоторой прямой, по которой он может перемещаться) и связанный вектор (вектор, начало которого отождествляется с некоторой фиксированной точкой); в математике же обычно имеют дело с так называемым свободным вектором (не связанным ни с какой прямой и ни с какой фиксированной точкой).

Итак, рассмотрение различных интерпретаций векторного пространства приводит к выводу о том, что наиболее приемлемой в средней школе является интерпретация вектора как направленного отрезка.

Следует заметить, что есть предложения отказаться в школьном курсе геометрии от определения вектора. В этом случае вектор появляется как термин, обозначающий векторные величины; направленный отрезок выступает как изображение этой величины (вектора).

Такой подход реализуется в учебнике геометрии А. Д. Александрова, А. Л. Вернера и В. И. Рыжика и в «Экспериментальном учебном пособии по математике» для ПТУ М. И. Баш макова (М., 1987).

Последовательность изучения векторных понятий в действующих учебниках геометрии представлена в таблице 14.

Л. С. Атанасян и др.

8 класс (последняя глава)

Понятие вектора, нулевой вектор, длина или модуль вектора, равные векторы, откладывание вектора от точки, сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число

Понятие вскгора, абсолютная величина (модуль) вскгора, равные векторы, нулевой вектор, откладывание вектора от точки, координаты вектора, сложение векторов. умножение вектора на число, коллинсарныс вектора, скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов

Изложение теории векторов в учебнике А. В. Погорелова отличается от соответствующего изложения в учебнике Л. С. Атанасяна и др. не только последовательностью, но и методом изложения.

В основу изложения векторов в учебнике А. В. Погорелова положен координатный метод, поэтому здесь широко используются координатные модели векторных понятий и доказательства теорем с использованием координат вектора.

В учебнике Л. С. Атанасяна и др., а также в учебнике А. Д. Александрова и др. используется метод изложения без использования координат. Это создаст определенные трудности в обосновании законов векторной алгебры. Трудности возникают, главным образом, за счет необходимости рассмотрения большого количества частных случаев. Так, доказательство независимости суммы векторов от выбранной точки требует рассмотрения кроме стандартного случая (точки А, В,С,А, В|, С не лежат на одной прямой), который приведен в учебнике Л. С. Атанасяна и др., случая, при котором все точки Л, В, С, А₉ В_ь С расположены на одной прямой. Доказательство переместительного свойства сложения векгоров предполагает рассмотрение двух частных случаев, а доказательство сочетательного свойства умножения вектора на число — четырех случаев.

В учебнике Л. С. Атанасяна и др. большинство теорем, связанных со свойствами векторов, сообщаются без доказательства. В учебнике А.Д. Александрова и др. — все свойства обосновываются.

Тема «Векторы» как в учебнике Л. С. Атанасяна и др., так и в учебнике А. В. Погорелова, является последней в курсе геометрии 8 класса. Это, очевидно, отражает точку зрения авторов на функции векторов в изложении геометрии: им отводится, в основном, служебная роль (способствовать изучению физических векторных величин). Об этом говорит и то, что векторы никак нс связаны с изучением основного содержания курса геометрии.

В действующих учебниках геометрии вектор трактуется как направленный отрезок. При введении понятия вектора следует обратить внимание на понимание различия между отрезком и направленным отрезком. Ученики должны усвоить, что отрезок АВ и отрезок В А — один и тот же объект, направленный отрезок АВ и направленный отрезок ВА — разные объекты. Для этого можно использовать упражнения.

• 1. Сколько отрезков и сколько векторов определяют две (три) различные точки?
• 2. Начертите параллелограмм. Назовите все отрезки, концами которых являются вершины параллелограмма. Назовите все векторы, определяемые вершинами параллелограмма. И т. д.