Вектор на ось x

Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор
Вектор на ось x
рис. 1

Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Пр b a =a · b
| b |

Видео:Векторные величины Проекция вектора на осьСкачать

Векторные величины  Проекция вектора на ось

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

| b | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр b a =a · b=11= 2.2
| b |5

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

| b | = √ 4 2 + 2 2 + 4 2 = √ 16 + 4 + 16 = √ 36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр b a =a · b=12= 2
| b |6

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Урок 9. Проекции вектора на координатные осиСкачать

Урок 9. Проекции вектора на координатные оси

Проекция вектора на ось и числовая проекция

Ось – это направление. Значит, проекция на ось или на направленную прямую считается одним и тем же. Проекция бывает алгебраическая и геометрическая. В геометрическом понимают проекцию вектора на ось как вектор, а алгебраическом – число. То есть применяются понятия проекция вектора на ось и числовая проекция вектора на ось.

Если имеем ось L и ненулевой вектор A B → , то можем построить вектор A 1 B 1 ⇀ , обозначив проекции его точек A 1 и B 1 .

A 1 B → 1 будет являться проекцией вектора A B → на L .

Проекцией вектора на ось называют вектор, начало и конец которого являются проекции начала и конца заданного вектора. n p L A B → → принято обозначать проекцию A B → на L . Для построения проекции на L опускают перпендикуляры на L .

Вектор на ось x

Пример проекции вектора на ось.

На координатной плоскости О х у задается точка M 1 ( x 1 , y 1 ) . Необходимо построить проекции на О х и О у для изображения радиус-вектора точки M 1 . Получим координаты векторов ( x 1 , 0 ) и ( 0 , y 1 ) .

Вектор на ось x

Если идет речь о проекции a → на ненулевой b → или проекции a → на направление b → , то имеется в виду проекция a → на ось, с которой совпадает направление b → . Проекция a → на прямую, определяемая b → , имеет обозначение n p b → a → → . Известно, что когда угол между a → и b → , можно считать n p b → a → → и b → сонаправленными. В случае, когда угол тупой, n p b → a → → и b → противоположно направлены. В ситуации перпендикулярности a → и b → , причем a → — нулевой, проекция a → по направлению b → является нулевым вектором.

Видео:Как записать проекцию вектора на оси координат - bezbotvyСкачать

Как записать проекцию вектора на оси координат - bezbotvy

Числовая проекция вектора на ось

Числовая характеристика проекции вектора на ось – числовая проекция вектора на заданную ось.

Числовой проекцией вектора на ось называют число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между данным вектором и вектором, который определяет направление оси.

Числовая проекция A B → на L имеет обозначение n p L A B → , а a → на b → — n p b → a → .

Исходя из формулы, получим n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , откуда a → является длиной вектора a → , a ⇀ , b → ^ — угол между векторами a → и b → .

Получим формулу вычисления числовой проекции: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Она применима при известных длинах a → и b → и угле между ними. Формула применима при известных координатах a → и b → , но имеется ее упрощенный вид.

Узнать числовую проекцию a → на прямую по направлению b → при длине a → равной 8 и углом между ними в 60 градусов. По условию имеем a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Значит, подставляем числовые значения в формулу n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Ответ: 4.

При известном cos ( a → , b → ^ ) = a ⇀ , b → a → · b → , имеем a → , b → как скалярное произведение a → и b → . Следуя из формулы n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , мы можем найти числовую проекцию a → направленную по вектору b → и получим n p b → a → = a → , b → b → . Формула эквивалента определению, указанному в начале пункта.

Числовой проекцией вектора a → на ось , совпадающей по направлению с b → , называют отношение скалярного произведения векторов a → и b → к длине b → . Формула n p b → a → = a → , b → b → применима для нахождения числовой проекции a → на прямую, совпадающую по направлению с b → , при известных a → и b → координатах.

Задан b → = ( — 3 , 4 ) . Найти числовую проекцию a → = ( 1 , 7 ) на L .

Решение

На координатной плоскости n p b → a → = a → , b → b → имеет вид n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 , при a → = ( a x , a y ) и b → = b x , b y . Чтобы найти числовую проекцию вектора a → на ось L , нужно: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( — 3 ) + 7 · 4 ( — 3 ) 2 + 4 2 = 5 .

Ответ: 5.

Найти проекцию a → на L , совпадающей с направлением b → , где имеются a → = — 2 , 3 , 1 и b → = ( 3 , — 2 , 6 ) . Задано трехмерное пространство.

Решение

По заданным a → = a x , a y , a z и b → = b x , b y , b z вычислим скалярное произведение: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Длину b → найдем по формуле b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Отсюда следует, что формула определения числовой проекции a → будет: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Подставляем числовые значения: n p L a → = n p b → a → = ( — 2 ) · 3 + 3 · ( — 2 ) + 1 · 6 3 2 + ( — 2 ) 2 + 6 2 = — 6 49 = — 6 7 .

Просмотрим связь между a → на L и длиной проекции a → на L . Начертим ось L , добавив a → и b → из точки на L , после чего проведем перпендикулярную прямую с конца a → на L и проведем проекцию на L . Существуют 5 вариаций изображения:

Вектор на ось x

Первый случай при a → = n p b → a → → означает a → = n p b → a → → , отсюда следует n p b → a → = a → · cos ( a , → b → ^ ) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Второй случай подразумевает применение n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , значит, n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ) ^ = n p b → a → → .

Третий случай объясняет, что при n p b → a → → = 0 → получаем n p b ⇀ a → = a → · cos ( a → , b → ^ ) = a → · cos 90 ° = 0 , тогда n p b → a → → = 0 и n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Четвертый случай показывает n p b → a → → = a → · cos ( 180 ° — a → , b → ^ ) = — a → · cos ( a → , b → ^ ) , следует n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^ ) = — n p b → a → → .

Пятый случай показывает a → = n p b → a → → , что означает a → = n p b → a → → , отсюда имеем n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180 ° = — a → = — n p b → a → .

Числовой проекцией вектора a → на ось L , которая направлена как и b → , имеет значение:

  • длины проекции вектора a → на L при условии, если угол между a → и b → меньше 90 градусов или равен 0: n p b → a → = n p b → a → → с условием 0 ≤ ( a → , b → ) ^ 90 ° ;
  • ноля при условии перпендикулярности a → и b → : n p b → a → = 0 , когда ( a → , b → ^ ) = 90 ° ;
  • длины проекции a → на L , умноженной на -1, когда имеется тупой или развернутый угол векторов a → и b → : n p b → a → = — n p b → a → → с условием 90 ° a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Дана длина проекции a → на L , равная 2 . Найти числовую проекцию a → при условии, что угол равен 5 π 6 радиан.

Решение

Из условия видно, что данный угол является тупым: π 2 5 π 6 π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L : n p L a → = — n p L a → → = — 2 .

Дана плоскость О х y z с длиной вектора a → равной 6 3 , b → ( — 2 , 1 , 2 ) с углом в 30 градусов. Найти координаты проекции a → на ось L .

Решение

Для начала вычисляем числовую проекцию вектора a → : n p L a → = n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

По условию угол острый, тогда числовая проекция a → = длине проекции вектора a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Данный случай показывает, что векторы n p L a → → и b → сонаправлены, значит имеется число t , при котором верно равенство: n p L a → → = t · b → . Отсюда видим, что n p L a → → = t · b → , значит можем найти значение параметра t : t = n p L a → → b → = 9 ( — 2 ) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Тогда n p L a → → = 3 · b → с координатами проекции вектора a → на ось L равны b → = ( — 2 , 1 , 2 ) , где необходимо умножить значения на 3. Имеем n p L a → → = ( — 6 , 3 , 6 ) . Ответ: ( — 6 , 3 , 6 ) .

Необходимо повторить ранее изученную информацию об условии коллинеарности векторов.

Видео:Известно, что проекция вектора начальной скорости тела на ось xСкачать

Известно, что проекция вектора начальной скорости тела на ось x

Проекция вектора на ось в физике — формулы и определения с примерами

Содержание:

Проекция вектора на ось:

Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?

Начнем с понятия проекция точки на ось.

Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.

На рисунке 24 точка Вектор на ось x

Вектор на ось x

Видео:Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.

Как определяют проекцию вектора на ось

Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.

На рисунке 25 проекция вектора Вектор на ось xна ось Ох обозначена через Вектор на ось xа проекция вектора Вектор на ось x— через Вектор на ось x
Вектор на ось x
Проекция Вектор на ось x— число положительное, т. к. угол Вектор на ось xна рисунке 25, а — острый. Проекция Вектор на ось x— число отрицательное Вектор на ось xт. к. угол Вектор на ось xна рисунке 25, б — тупой.

А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).

Вектор на ось x

Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.

Рассмотрим треугольник Вектор на ось xна рисунке 25, а. Его гипотенуза Вектор на ось xкатет Вектор на ось xа угол между ними равен Вектор на ось xСледовательно,

Вектор на ось x

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.

Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.

Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

Вектор на ось x

С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства Вектор на ось xследует равенство для проекций: Вектор на ось xНе забывайте о знаках проекций.

Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси

Вектор на ось x

Рассмотрим вектор Вектор на ось xлежащий в плоскости Вектор на ось x(рис. 28). Его проекции на оси Вектор на ось xопределим из рисунка: Вектор на ось x

Модуль вектора Вектор на ось xнаходим по теореме Пифагора из треугольника ACD: Вектор на ось xРазделив Вектор на ось xна Вектор на ось xполучим: Вектор на ось xПо значению косинуса находим угол Вектор на ось x

Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.

Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: Вектор на ось x(рис. 29).
Вектор на ось x

Главные выводы:

  1. Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «-».
  2. Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.
  3. Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.
  4. Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

Пример №1

Вектор на ось x

1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов Вектор на ось x(рис. 30). Найдите модули векторов суммы Вектор на ось xи разности Вектор на ось x

Решение

Сумму векторов Вектор на ось xнаходим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы Вектор на ось xвзаимно перпендикулярны, модуль вектора Вектор на ось xнаходим по теореме Пифагора: Вектор на ось xРазность векторов Вектор на ось xопределим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).

Вектор на ось x

Модуль вектора Вектор на ось xнаходим аналогично:

Вектор на ось x

Ответ: Вектор на ось x

Пример №2

Выразите вектор Вектор на ось xчерез векторы Вектор на ось x(рис. 33). Как связаны между собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?

Решение

Вектор на ось x

По правилу треугольника находим: Вектор на ось xОтсюда Вектор на ось xОпределив координаты Вектор на ось xначальных и конечных точек векторов Вектор на ось xнаходим проекции этих векторов: Вектор на ось xВектор на ось x

Вычислением убедимся, что проекции векторов связаны теми же равенствами, что и сами векторы: Вектор на ось x

Ответ: Вектор на ось x

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Физика
  2. Атомная физика
  3. Ядерная физика
  4. Квантовая физика
  5. Молекулярная физика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Путь и перемещение
  • Равномерное прямолинейное движение
  • Прямолинейное неравномерное движение
  • Прямолинейное равноускоренное движение
  • Колебательное движение
  • Физический и математический маятники
  • Пружинные и математические маятники
  • Скалярные и векторные величины и действия над ними

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎬 Видео

Проекция перемещения на ось XСкачать

Проекция перемещения на ось X

Проекция вектора на вектор.Скачать

Проекция вектора на вектор.

Проекция вектора на ось.Скачать

Проекция вектора на ось.

Основы кинематики. Тема 3. Проекция вектора на осьСкачать

Основы кинематики. Тема 3. Проекция вектора на ось

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Урок 10. Действия над проекциями вектораСкачать

Урок 10. Действия над проекциями вектора

Как проецировать вектор сил на оси | ЕГЭ Физика | Николай Ньютон. ТехноскулСкачать

Как проецировать вектор сил на оси | ЕГЭ Физика | Николай Ньютон. Техноскул

Урок 4. Кинематика: Проекции вектора перемещения на оси координат. Задачи / Репетитор по физике ЕГЭСкачать

Урок 4. Кинематика: Проекции вектора перемещения на оси координат. Задачи / Репетитор по физике ЕГЭ

Видеоурок 1 Векторы и их проекцииСкачать

Видеоурок 1  Векторы и их проекции

Как построить проекцию вектора?Скачать

Как построить проекцию вектора?

Как разложить силы на проекции (динамика 10-11 класс) ЕГЭ по физикеСкачать

Как разложить силы на проекции (динамика 10-11 класс) ЕГЭ по физике

Проекция вектора на ось #егэ #физика_огэ #физикаегэ #школа #mathsСкачать

Проекция вектора на ось #егэ #физика_огэ #физикаегэ #школа #maths

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
Поделиться или сохранить к себе: