На границе раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями выполняются два следующих условия:
1) равны тангенциальные составляющие напряженности поля:
2) равны нормальные составляющие электрической индукции:
Индекс 1 относится к первому диэлектрику, индекс 2 — ко второму.
Первое условие вытекает из того, что в потенциальном поле fyEdl = 0 по любому замкнутому контуру; второе представляет следствие теоремы Гаусса.
Докажем справедливость первого условия. С этой целью выделим плоский замкнутый контур mnpqm (рис. 19.11) и составим вдоль него циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Верхняя сторона контура расположена в диэлектрике с диэлектрической проницаемостью е2, нижняя — в диэлектрике с е,. Длину стороны тп, равную длине стороны pq, обозначим dl. Контур возьмем так, что размеры пр и qm будут бесконечно малы по сравнению с dl. Поэтому составляющими интеграла dl вдоль вертикальных сторон в силу их малости пренебрежем. Составляющая §Ё dl на пути тп равна Ё2 dl2 = E2l dl, по пути pq равна Ё dlx = -Еи dl. Знак минус появился потому, что элемент длины на пути pq и касательная составляющая вектора Ёх направлены в противоположные стороны (cosl80° = -1). Таким образом, §Ё dl = E2ldl-Eu dl = 0 или Еи=Е2г
Убедимся в справедливости второго условия. С этой целью на границе раздела двух сред выделим очень малых размеров параллелепипед (рис. 19.12). Внутри выделенного объема есть связанные заряды и нет свободных (случай наличия свободных зарядов на границе раздела рассмотрим отдельно), поэтому ?/3 dS = 0.
Поток вектора D:
т. e. при наличии на границе раздела двух сред свободных зарядов нормальная составляющая вектора D скачком изменяется на значение плотности свободных зарядов на границе раздела.
Из § 19.3 известно, что потенциалу придается смысл работы при переносе единичного заряда. При переходе через границу, отделяющую один диэлектрик от другого, например, при переходе от точки п к точке р на рис. 19.11, нормальная составляющая напряженности является величиной конечной, а длина пути стремится к нулю. Произведение их равно нулю.
Поэтому при переходе через границу раздела двух диэлектриков потенциал не претерпевает скачков.
Видео:Билет №06-08 "Диэлектрики"Скачать
Граничные условия для векторов электрического и магнитного поля на границе раздела двух сред
А) Граничные условия для вектора электрической индукции.
Рассмотрим границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями и . Выделим на границе элементарный цилиндр, как показано на рис. 3.1.1.
Рис.1.4.1.Элементарный цилиндр, выделенный на границе раздела двух сред для определения граничных условий на вектор электрической индукции. и — нормали к поверхности S.
Согласно теореме Гаусса-Остроградского поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов внутри объема V, ограниченного этой поверхностью:
(3.1.1)
Устремим высоту цилиндра к нулю . Тогда (3.1.1) преобразуется так:
(3.1.2)
Где , – компоненты вектора индукции, перпендикулярные границе раздела, S — площадь основания цилиндра.
Введем поверхностную плотность заряда:
(3.1.3)
Размерность поверхностной плотности заряда = Кл/м2 (Кулон на квадратный метр).
Тогда (3.1.2) можно переписать в виде
(3.1.4)
Если плотность поверхностного заряда равна нулю (), то
. (3.1.5)
Мы можем сформулировать следующее важное утверждение:
На границе раздела, не содержащей поверхностных зарядов, нормальная составляющая вектора электрической индукции непрерывна.
Б) Граничные условия для вектора магнитной индукции.
Рассмотрим границу раздела двух сред, обладающих различной магнитной проницаемостью. Из тех же соображений, что и в предыдущем пункте и принимая во внимание, что магнитных зарядов не существует, можно записать
(3.1.6)
Это равенство равносильно следующему утверждению:
На границе раздела двух сред нормальная составляющая вектора магнитной индукции всегда непрерывна.
В) Граничные условия для вектора напряженности электрического поля .
Рассмотрим снова границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями и . Выделим на границе замкнутый контур в соответствии с рис. 3.1.2. и используем закон электромагнитной индукции:
Где L — выбранный контур, L = 2 (1 + ) , S — площадь поверхности, ограниченная контуром L.
Рис.3.1.2. Контур на границе раздела двух сред, используемый при определении граничных условий для векторов напряженности электрического поля.
Устремим ширину контура к нулю, тогда поток вектора через поверхность S обратится в ноль, и мы получим
(3.1.7)
Откуда следует, что
(3.1.8)
Это равенство равносильно следующему утверждению:
На границе раздела двух сред касательная составляющая вектора напряженности электрического поля всегда непрерывна.
Г) Граничные условия для вектора напряженности магнитного поля Н.
Как в предыдущем случае выделим на границе раздела двух сред замкнутый контур L (рис.1.4.2). Воспользуемся законом полного тока
(3.1.9)
Где — плотность тока, протекающего через поверхность S, ограниченную контуром L.
Учтем, что вдоль границы раздела может течь ток проводимости, тогда при стремлении следует ввести поверхностную плотность тока:
(3.1.10)
Размерность поверхностной плотности тока [] = А/м. Теперь (3.1.9) можно переписать так:
Откуда следует, что
(3.1.11)
Это равенство равносильно следующему утверждению:
На границе раздела двух сред разность касательных составляющих напряженности магнитного поля равна поверхностной плотности тока.
При отсутствии поверхностного тока
(3.1.12)
Это равенство равносильно следующему утверждению:
На границе раздела двух сред, по которой не течет поверхностный ток, касательная составляющая магнитного поля непрерывна.
Д) Граничные условия на поверхности идеального проводника.
Определим идеальный проводник, как проводник, внутрь которого не может проникать электромагнитное поле . Для полей СВЧ-диапазона хорошие проводники (серебро, медь) можно в первом приближении рассматривать как идеальные. На поверхности такого проводника, тем не менее, может течь ток проводимости и формироваться поверхностный заряд. Поэтому на поверхности идеального проводника
, ,
, .
Силовые линии электрического поля перпендикулярны к поверхности идеального проводника; силовые линии магнитного поля касательны к поверхности идеального проводника, как показано на рис.3.1.3.
Рис.3.1.3. Силовые линии электрического и магнитного полей вблизи поверхности идеального проводника.
Видео:Лекция 4-2. Условия на границе раздела двух диэлектриковСкачать
Условия на границе раздела двух диэлектрических сред
Рассмотрим связь между векторами Е и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков (диэлектрические проницаемости которых e 1 и e 2 ) при отсутствии на границе свободных зарядов. Построим вблизи границы раздела диэлектриков 1 и 2 небольшой замкнутый прямоугольный контур ABCDA длины l , ориентировав его так, как показано на рис. 136. Согласно теореме (83.3) о циркуляции вектора Е,
(знаки интегралов по АВ и CD разные, так как пути интегрирования противоположны, а интегралы по участкам ВС и DA ничтожно малы). Поэтому
(90.1)
Заменив, согласно (89.1), проекции вектора Е проекциями вектора D , деленными на e 0 e , получим
(90.2)
На границе раздела двух диэлектриков (рис. 137) построим прямой цилиндр ничтожно малой высоты, одно основание которого находится в первом диэлектрике, другое — во втором. Основания D S настолько малы, что в пределах каждого из них вектор D одинаков. Согласно теореме Гаусса (89.3),
(нормали n и n ‘ к основаниям цилиндра направлены противоположно). Поэтому
(90.3)
Заменив, согласно (89.1), проекции вектора D проекциями вектора Е, умноженными на e 0 e , получим
(90.4)
Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора Е (Е t ) и нормальная составляющая вектора D ( Dn ) изменяются непрерывно (не претерпевают скачка), а нормальная составляющая вектора Е ( En ) и тангенциальная составляющая вектора D ( D t ) претерпевают скачок.
Из условий (90.1) — (90.4) для составляющих векторов Е и D следует, что линии этих векторов испытывают излом (преломляются). Найдем связь между углами a 1 и a 2 (на рис. 138 e 1> e 2). Согласно (90.1) и (90.4), Е t 2 = Е t 1 и e 2E n 2 = e 1E n 1. Разложим векторы E 1 и E 2 у границы раздела на тангенциальные и нормальные составляющие. Из рис. 138 следует, что
Учитывая записанные выше условия, получим закон преломления линий напряженности Е (а значит, и линий смещения D )
Эта формула показывает, что, входя в диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью, линии Е и D удаляются от нормали.
🎥 Видео
46. Граничные условия для электрического поляСкачать
ЧК_МИФ (ЛИКБЕЗ) 3_2_1 ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД -1 (Минимум теории)Скачать
44. Электрическое поле в диэлектрике. Вектор поляризованностиСкачать
граница раздела двух диэлектриков 2Скачать
Урок 228. Диэлектрики в электрическом поле. Диэлектрическая проницаемостьСкачать
2.5 Граничные условия для векторов поля на поверхности раздела средСкачать
Диэлектрики в электрическом поле. 10 класс.Скачать
45. Электрическое смещениеСкачать
Лекция №4 "Диэлектрики, вектор электрической индукции"Скачать
Билет №41 "Отражение и преломление волн"Скачать
магнитная защита. Векторы B и H на границе разделаСкачать
АЧК_МИФ СВЕТ НА ГРАНИЦЕ ДВУХ СРЕД : ПОСТАНЛОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИСкачать
Лекция №26 "Электромагнитные волны на границе раздела двух сред"Скачать
5.2 Формулы Френеля для коэффициентов отражения и преломленияСкачать
6 Граничные условия для векторов E и DСкачать
Билеты №18 и 19 "Теорема о циркуляции магнитного поля. Граничные условия"Скачать
Диэлектрики в электрическом полеСкачать
поле Е на границе раздела диэлектриковСкачать