Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

Условия на границе раздела двух диэлектриков.

На границе раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями выполняются два следующих условия:

1) равны тангенциальные составляющие напряженности поля:

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

2) равны нормальные составляющие электрической индукции:

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

Индекс 1 относится к первому диэлектрику, индекс 2 — ко второму.

Первое условие вытекает из того, что в потенциальном поле fyEdl = 0 по любому замкнутому контуру; второе представляет следствие теоремы Гаусса.

Докажем справедливость первого условия. С этой целью выделим плоский замкнутый контур mnpqm (рис. 19.11) и составим вдоль него циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Верхняя сторона контура расположена в диэлектрике с диэлектрической проницаемостью е2, нижняя — в диэлектрике с е,. Длину стороны тп, равную длине стороны pq, обозначим dl. Контур возьмем так, что размеры пр и qm будут бесконечно малы по сравнению с dl. Поэтому составляющими интеграла dl вдоль вертикальных сторон в силу их малости пренебрежем. Составляющая §Ё dl на пути тп равна Ё2 dl2 = E2l dl, по пути pq равна Ё dlx = и dl. Знак минус появился потому, что элемент длины на пути pq и касательная составляющая вектора Ёх направлены в противоположные стороны (cosl80° = -1). Таким образом, §Ё dl = E2ldl-Eu dl = 0 или Еи

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

Убедимся в справедливости второго условия. С этой целью на границе раздела двух сред выделим очень малых размеров параллелепипед (рис. 19.12). Внутри выделенного объема есть связанные заряды и нет свободных (случай наличия свободных зарядов на границе раздела рассмотрим отдельно), поэтому ?/3 dS = 0.

Поток вектора D:

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

т. e. при наличии на границе раздела двух сред свободных зарядов нормальная составляющая вектора D скачком изменяется на значение плотности свободных зарядов на границе раздела.

Из § 19.3 известно, что потенциалу придается смысл работы при переносе единичного заряда. При переходе через границу, отделяющую один диэлектрик от другого, например, при переходе от точки п к точке р на рис. 19.11, нормальная составляющая напряженности является величиной конечной, а длина пути стремится к нулю. Произведение их равно нулю.

Поэтому при переходе через границу раздела двух диэлектриков потенциал не претерпевает скачков.

Видео:Билет №06-08 "Диэлектрики"Скачать

Билет №06-08 "Диэлектрики"

Граничные условия для векторов электрического и магнитного поля на границе раздела двух сред

А) Граничные условия для вектора электрической индукции.

Рассмотрим границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями Вектор на границе раздела двух диэлектрических среди Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред. Выделим на границе элементарный цилиндр, как показано на рис. 3.1.1.

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

Рис.1.4.1.Элементарный цилиндр, выделенный на границе раздела двух сред для определения граничных условий на вектор электрической индукции. Вектор на границе раздела двух диэлектрических среди Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред— нормали к поверхности S.

Согласно теореме Гаусса-Остроградского поток вектора электрической индукции Вектор на границе раздела двух диэлектрических средчерез замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов внутри объема V, ограниченного этой поверхностью:

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред(3.1.1)

Устремим высоту цилиндра к нулю Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред. Тогда (3.1.1) преобразуется так:

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред(3.1.2)

Где Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред, Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред– компоненты вектора индукции, перпендикулярные границе раздела, S — площадь основания цилиндра.

Введем поверхностную плотность заряда:

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред(3.1.3)

Размерность поверхностной плотности заряда Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред= Кл/м2 (Кулон на квадратный метр).

Тогда (3.1.2) можно переписать в виде

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред(3.1.4)

Если плотность поверхностного заряда равна нулю (Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред), то

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред. (3.1.5)

Мы можем сформулировать следующее важное утверждение:

На границе раздела, не содержащей поверхностных зарядов, нормальная составляющая вектора электрической индукции непрерывна.

Б) Граничные условия для вектора магнитной индукции.

Рассмотрим границу раздела двух сред, обладающих различной магнитной проницаемостью. Из тех же соображений, что и в предыдущем пункте и принимая во внимание, что магнитных зарядов не существует, можно записать

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред(3.1.6)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред нормальная составляющая вектора магнитной индукции всегда непрерывна.

В) Граничные условия для вектора напряженности электрического поля Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред.

Рассмотрим снова границу раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями Вектор на границе раздела двух диэлектрических среди Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред. Выделим на границе замкнутый контур в соответствии с рис. 3.1.2. и используем закон электромагнитной индукции:

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

Где L — выбранный контур, L = 2 (1 + Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред) , S — площадь поверхности, ограниченная контуром L.

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

Рис.3.1.2. Контур на границе раздела двух сред, используемый при определении граничных условий для векторов напряженности электрического поля.

Устремим ширину контура Вектор на границе раздела двух диэлектрических средк нулю, тогда поток вектора Вектор на границе раздела двух диэлектрических средчерез поверхность S обратится в ноль, и мы получим

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред(3.1.7)

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

Откуда следует, что

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред(3.1.8)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред касательная составляющая вектора напряженности электрического поля всегда непрерывна.

Г) Граничные условия для вектора напряженности магнитного поля Н.

Как в предыдущем случае выделим на границе раздела двух сред замкнутый контур L (рис.1.4.2). Воспользуемся законом полного тока

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред(3.1.9)

Где Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред— плотность тока, протекающего через поверхность S, ограниченную контуром L.

Учтем, что вдоль границы раздела может течь ток проводимости, тогда при стремлении Вектор на границе раздела двух диэлектрических средследует ввести поверхностную плотность тока:

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред(3.1.10)

Размерность поверхностной плотности тока [Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред] = А/м. Теперь (3.1.9) можно переписать так:

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

Откуда следует, что

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред(3.1.11)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред разность касательных составляющих напряженности магнитного поля равна поверхностной плотности тока.

При отсутствии поверхностного тока

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред(3.1.12)

Это равенство равносильно следующему утверждению:

На границе раздела двух сред, по которой не течет поверхностный ток, касательная составляющая магнитного поля непрерывна.

Д) Граничные условия на поверхности идеального проводника.

Определим идеальный проводник, как проводник, внутрь которого не может проникать электромагнитное поле Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред. Для полей СВЧ-диапазона хорошие проводники (серебро, медь) можно в первом приближении рассматривать как идеальные. На поверхности такого проводника, тем не менее, может течь ток проводимости и формироваться поверхностный заряд. Поэтому на поверхности идеального проводника

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред, Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред,

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред, Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред.

Силовые линии электрического поля перпендикулярны к поверхности идеального проводника; силовые линии магнитного поля касательны к поверхности идеального проводника, как показано на рис.3.1.3.

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

Рис.3.1.3. Силовые линии электрического и магнитного полей вблизи поверхности идеального проводника.

Видео:Лекция 4-2. Условия на границе раздела двух диэлектриковСкачать

Лекция 4-2. Условия на границе раздела двух диэлектриков

Условия на границе раздела двух диэлектрических сред

Рассмотрим связь между векторами Е и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков (диэлектрические проницаемости которых e 1 и e 2 ) при отсутствии на границе свободных зарядов. Построим вблизи границы раздела диэлектриков 1 и 2 небольшой замкнутый прямоугольный контур ABCDA длины l , ориентировав его так, как показано на рис. 136. Согласно теореме (83.3) о циркуляции вектора Е,

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

(знаки интегралов по АВ и CD разные, так как пути интегрирования противоположны, а интегралы по участкам ВС и DA ничтожно малы). Поэтому

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред(90.1)

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

Заменив, согласно (89.1), проекции вектора Е проекциями вектора D , деленными на e 0 e , получим

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред(90.2)

На границе раздела двух диэлектриков (рис. 137) построим прямой цилиндр ничтожно малой высоты, одно основание которого находится в первом диэлектрике, другое — во втором. Основания D S настолько малы, что в пределах каждого из них вектор D одинаков. Согласно теореме Гаусса (89.3),

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

(нормали n и n ‘ к основаниям цилиндра направлены противоположно). Поэтому

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред(90.3)

Заменив, согласно (89.1), проекции вектора D проекциями вектора Е, умноженными на e 0 e , получим

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред(90.4)

Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора Е (Е t ) и нормальная составляющая вектора D ( Dn ) изменяются непрерывно (не претерпевают скачка), а нормальная составляющая вектора Е ( En ) и тангенциальная составляющая вектора D ( D t ) претерпевают скачок.

Из условий (90.1) — (90.4) для составляющих векторов Е и D следует, что линии этих векторов испытывают излом (преломляются). Найдем связь между углами a 1 и a 2 (на рис. 138 e 1> e 2). Согласно (90.1) и (90.4), Е t 2 = Е t 1 и e 2E n 2 = e 1E n 1. Разложим векторы E 1 и E 2 у границы раздела на тангенциальные и нормальные составляющие. Из рис. 138 следует, что

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

Учитывая записанные выше условия, получим закон преломления линий напряженности Е (а значит, и линий смещения D )

Вектор на границе раздела двух диэлектрических сред

Эта формула показывает, что, входя в диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью, линии Е и D удаляются от нормали.

🎥 Видео

46. Граничные условия для электрического поляСкачать

46. Граничные условия для электрического поля

ЧК_МИФ (ЛИКБЕЗ) 3_2_1 ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД -1 (Минимум теории)Скачать

ЧК_МИФ (ЛИКБЕЗ)   3_2_1  ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ДВУХ  СРЕД -1   (Минимум теории)

44. Электрическое поле в диэлектрике. Вектор поляризованностиСкачать

44. Электрическое поле в диэлектрике. Вектор поляризованности

граница раздела двух диэлектриков 2Скачать

граница раздела двух диэлектриков 2

Урок 228. Диэлектрики в электрическом поле. Диэлектрическая проницаемостьСкачать

Урок 228. Диэлектрики в электрическом поле. Диэлектрическая проницаемость

2.5 Граничные условия для векторов поля на поверхности раздела средСкачать

2.5 Граничные условия для векторов поля на поверхности раздела сред

Диэлектрики в электрическом поле. 10 класс.Скачать

Диэлектрики в электрическом поле. 10 класс.

45. Электрическое смещениеСкачать

45. Электрическое смещение

Лекция №4 "Диэлектрики, вектор электрической индукции"Скачать

Лекция №4 "Диэлектрики, вектор электрической индукции"

Билет №41 "Отражение и преломление волн"Скачать

Билет №41 "Отражение и преломление волн"

магнитная защита. Векторы B и H на границе разделаСкачать

магнитная защита. Векторы B и H на границе раздела

АЧК_МИФ СВЕТ НА ГРАНИЦЕ ДВУХ СРЕД : ПОСТАНЛОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИСкачать

АЧК_МИФ   СВЕТ НА ГРАНИЦЕ ДВУХ СРЕД : ПОСТАНЛОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Лекция №26 "Электромагнитные волны на границе раздела двух сред"Скачать

Лекция №26 "Электромагнитные волны на границе раздела двух сред"

5.2 Формулы Френеля для коэффициентов отражения и преломленияСкачать

5.2 Формулы Френеля для коэффициентов отражения и преломления

6 Граничные условия для векторов E и DСкачать

6  Граничные условия для векторов E и D

Билеты №18 и 19 "Теорема о циркуляции магнитного поля. Граничные условия"Скачать

Билеты №18 и 19 "Теорема о циркуляции магнитного поля. Граничные условия"

Диэлектрики в электрическом полеСкачать

Диэлектрики в электрическом поле

поле Е на границе раздела диэлектриковСкачать

поле Е на границе раздела диэлектриков
Поделиться или сохранить к себе: