Вектор момента силы действующей на контур с током в магнитном поле (4 видео)

Момент сил, действующий на контур с током

Если контур с током (I = const) поместить в неоднородное внешнее магнитное поле, то на него будет действовать сила Ампера, т. е.

. (13)

В однородном магнитном поле результирующая сила Ампера, действующая на контур с током, равна нулю:

. (14)

Рассмотрим плоский контур с током малых размеров (магнитный листок), который называют элементарным. Такой контур характеризуют вектором магнитного момента

, (15)

Рис. 4

где I — сила тока в витке; S — площадь витка ограниченного контуром L; — вектор нормали, направление которого связано с направлением тока в витке правилом правого винта (рис. 4).

По модулю

В СИ магнитный момент измеряется в амперах на метр в квадрате (А×м 2 ).

Если контур не плоский, то

, (17)

где интеграл зависит только от выбора контура L, на который натянута поверхность S. Расчеты показывают, что эту силу можно записать в виде

, (18)

где р_m — модуль магнитного момента контура; — частная производная вектора по направлению вектора нормали (по направлению ).

Проекция силы, например, на направление оси Х

. (19)

В однородном магнитном поле F = 0, так как = 0.

Результирующий момент сил Ампера, действующий на контур, запишем в виде

(20)

, (21)

где (рис. 5).

Вектор момента силы действующей на контур с током в магнитном поле

Рис. 5

Пара сил Ампера действует на стороны b контура; на стороны а контура действуют силы, стремящиеся только растянуть его, на рис. 5 они не показаны.

По модулю вращающий момент сил Ампера

М = р_mВsina = ISBsina, (22)

где a — угол между векторами и .

При a = 0 о , М = 0 ( ) положение контура-устойчиво.

При a = 180 о , М = 0 ( ¯ ) положение контура — неустойчиво.

Если магнитное поле неоднородно и размеры контура малы, то влиянием неоднородности можно пренебречь.

Видео:Контур с током в однородном магнитном полеСкачать

5.7. Контур с током в магнитном поле

Пусть контур с током помещен в магнитное поле, причем он может вращаться вокруг вертикальной оси OO’ (рис. 5.30-1). Силы Ампера, действующие на стороны контура длиной l, перпендикулярны к ним и к магнитному полю и поэтому направлены вертикально: они лишь деформируют контур, стремясь растянуть его. Стороны, имеющие длину a, перпендикулярны B, так что на каждую из них действует сила F = BIa. Эти силы стремятся повернуть контур таким образом, чтобы его плоскость стала ортогональной B.

Рис. 5.30. Силы, действующие на контур с током в магнитном поле:
1 — вид сбоку; 2 — вид сверху (масштаб увеличен)

Видео 5.7. Контур с током в однородном магнитном поле.

Момент пары сил (рис. 5.30-2) равен

где — плечо пары сил, а — угол между вектором B и стороной l.

Величина, численно равная произведению силы тока I, протекающего в контуре, на площадь контура S = al называется магнитным моментом P_m плоского контура стоком

Таким образом, мы можем записать момент пары сил в виде

Магнитный момент контура с током — векторная величина. Направление Р_m совпадает с положительным направлением нормали к плоскости контура, которое определяется правилом винта: если рукоятка вращается по направлению тока в контуре, то поступательное движение винта показывает направление вектора P_m . Введем в формулу (15.36) угол a между векторами P_m и B. Справедливо соотношение

то есть момент сил , действующий на виток с током в однородном магнитном поле, равен векторному произведению магнитного момента витка на вектор индукции магнитного поля (рис. 5.31). При величина момента сил максимальна

Рис. 5.31. Силы, действующие на прямоугольный контур с током в магнитном поле.
Магнитное поле вертикально, а магнитный момент перпендикулярен плоскости контура

Опять-таки прозрачна аналогия с электростатикой: говоря об электрическом диполе, мы получили выражение для момента сил, действующих на него со стороны электрического поля в виде

где — электрический дипольный момент.

В системе СИ единицей измерения магнитного момента контура является ампер на квадратный метр (А · м 2 )

Видео 5.10. «Сознательные катушки»: отталкивание и притяжение параллельных токов и поворот магнитного момента по магнитному полю.

Пример. По тонкому проводу в виде кольца радиусом 30 см течет ток 100 A. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено однородное магнитное поле с магнитной индукцией 20 мТл (рис. 5.32). Найти силу, растягивающую кольцо.

Рис. 5.32. Силы, растягивающие кольцо с током в магнитном поле

Решение. Пусть магнитное поле направлено от нас за плоскость рис. 5.32 (показано крестиками), а ток идет по часовой стрелке. Выделим элемент длины dl, видный из центра под углом На этот элемент действует сила Ампера направленная по радиусу кольца. Кроме того, из-за растяжения кольца на концы элемента действуют силы натяжения F, которые и требуется найти в задаче. Проекция этих сила на радиальное направление равна

Приравнивая эту проекцию силе Ампера, находим

Видео:Урок 273. Рамка с током в магнитном полеСкачать

Магнетизм. · Механический момент, действующий на контур с током (рис

· Механический момент, действующий на контур с током (рис. 32), помещенный в однородное магнитное поле

Рис. 32. Рамка с током

, где

— вектор магнитного момента рамки с током;

— вектор магнитной индукции (количественная характеристика магнитного поля). Единица измерения магнитной индукции тесла (Тл).

· Закон Био-Савара-Лапласа: каждый элемент проводника с током создает в некоторой точке А индукцию поля (рис. 33)

Рис. 33. Магнитное поле, созданное проводником с током

, где

– магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током, Тл; μ – магнитная проницаемость; μ₀ – магнитная постоянная (μ₀ = 4π·10 -7 Гн/м);

– вектор, равный по модулю длине dl проводника и совпадающий по направлению с током; I – сила тока;

– радиус вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется.

· Модуль вектора выражается формулой

где α – угол между векторами и .

· Магнитная индукция связана с напряженностью магнитного поля соотношением .

· Магнитная индукция в центре кругового проводника с током (рис. 34)

где r – радиус витка.

· Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током (рис. 35)

где R – расстояние от оси проводника.

· Магнитная индукция поля, создаваемая соленоидом в средней его части (рис. 36)

где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; I – сила тока в одном витке.

Рис. 34. Магнитное поле, созданное круговым проводником с током

Рис. 35. Магнитное поле, созданное длинным прямым проводником с током

Рис. 36. Магнитное поле, созданное соленоидом

· Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей .

В частном случае наложения двух полей

а модуль магнитной индукции

где α – угол между векторами и .

· Магнитная индукция поля, создаваемого движущимся точечным зарядом в вакууме

, или ,

где — скорость движущегося заряда; — радиус-вектор, направленный от заряда к точке, в которой определяется магнитная индукция; α – угол между векторами и .

где — вектор, по модулю равный dl и совпадающий по направлению с током; — вектор магнитной индукции.

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

где α – угол между векторами и .

В случае однородного магнитного поля и прямолинейного отрезка проводника , или .

Рис. 37. Правило левой руки

Направление вектора может быть найдено, согласно последней формуле, по общим правилам векторного произведения. Этим правилам соответствует правило левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток (рис. 37).

· Магнитный момент контура с током

где — вектор, равный по модулю площади, охватываемой контуром, и совпадающий по направлению с нормалью к его плоскости.

· Сила Лоренца – сила действующая на одну заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле.

, или ,

где α – угол, образованный вектором скорости движущейся частицы и вектором магнитной индукции (рис. 37).

· Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S (рис. 38)

а) в случае однородного поля

Рис. 38. Магнитный поток через плоский контур

, или

где α – угол между вектором нормали

к плоскости контура и вектором магнитной индукции

, В_n – проекция вектора

на нормаль

б) в случае неоднородного поля

где интегрирование ведется по всей поверхности S.

· Работа сил магнитного поля, совершаемая при перемещении контура с током в магнитном поле

где I – сила тока в контуре, которая поддерживается неизменной; Ф₂ и Ф₁ – магнитные потоки, пронизывающие контур, в конечном и начальном его положениях.

· Закон Фарадея-Максвелла (основной закон электромагнитной индукции)

где ε_i – электродвижущая сила индукции; N – число витков контура; ψ — потокосцепление.

· Электродвижущая сила самоиндукции, возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем

где L – индуктивность контура.

· Энергия магнитного поля

где I – сила тока в контуре.

· Формула Томсона. Период собственных колебаний в контуре без активного сопротивления

где L – индуктивность контура, Гн; С – его электроемкость, Ф.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Мягкая спиральная пружина подвешена так, что ее нижний конец погружен в металлическую чашечку с ртутью, а верхний присоединен к источнику постоянного тока. Что произойдет с пружиной при замыкании ключа К?

Решение: При замыкании ключа К по пружине потечет ток. Каждый виток пружины будет создавать магнитное поле и притягивать к себе соседние витки (разноименные полюса магнитов притягиваются). Пружина сожмется, нижний конец пружины поднимется из ртути, цепь разомкнется, и ток перестанет идти. Если нет тока, нет и магнитного поля между витками и пружина расправится.

После опускания нижнего конца пружины в ртуть весь процесс начнется сначала. Таким образом, пружина совершает периодические колебания.

Эту задачу можно решить и по-другому. Отдельные участки соседних витков, лежащие друг против друга, можно рассматривать как параллельные участки проводников, по которым текут токи в одном направлении (рис. 39б), такие проводники притягиваются друг к другу. Поэтому витки пружины будут притягиваться друг к другу и пружина сожмется, а нижний конец ее поднимется из ртути, разрывая цепь, по которой протекает ток. Исчезает магнитное поле проводников, и пружина вновь распрямляется. Конец пружины опускается в чашку с ртутью, вновь замыкая цепь, и т.д.

Пример 2. По длинному прямому тонкому проводу течет ток силой I = 20 А. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводником в точке, удаленной от него на расстояние r = 4 см.

Решение: В задаче рассматривается явление создания магнитного поля проводником с током. Проведем силовую линию магнитного поля через точку А (рис. 40), в которой определяется магнитная индукция . Магнитное поле, создаваемое проводником бесконечной длины, обладает осевой симметрией. Поэтому в плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной проводу, проведем окружность радиуса OA = r (рис. 40).

Рис. 40. Правило буравчика

Направление силовой линии и направление тока связаны правилом правого винта (буравчика): если поступательное движение винта направить по току, то вращательное движение головки винта укажет направление силовой линии (рис. 40). Определение направления силовой линии следует из закона Био-Савара-Лапласа, записанного в векторной форме:

Вектор совпадает с касательной в точке А и направлен так же, как силовая линия. Запишем выражение для магнитной индукции поля бесконечно длинного проводника с током на расстоянии r от него из уравнения . Считая, что проводник находится в вакууме (μ = 1), вычисляем, подставляя все величины в единицах системы СИ:

Тл.

Пример 3.Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I₁ = I₂ = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводником с током в точке A, отстоящей от оси одного проводника на расстояние r₁ = 5 см, от другого – r₂ = 12 см.

Решение: В задаче рассматривается явление создания магнитного поля системой проводников. Проведем через точку A (рис. 41) часть силовой линии магнитного поля, создаваемого током I₁, а затем часть силовой линии магнитного поля, которое создается током I₂ (пунктирные дуги).

Рис. 41. Магнитное поле, созданное двумя бесконечно длинными проводниками

Построим и как касательные к этим дугам в точке А. Так как магнитные индукции определяются по формулам:

и , (1)

Для нахождения в точке A магнитной индукции B, создаваемой системой проводников с токами, воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого сложим и геометрически, по правилу параллелограмма: . Модуль вектора найдем по теореме косинусов:

, (2)

где α – угол между векторами и . Подставляя B₁ и B₂ (1) в формулу (2), и вынося за знак корня, получаем

. (3)

Найдем cos α из треугольника DAC. Заметим, что α = ∟DAC, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами ( , ; AD и AC – радиусы; и – касательные в точке A). По теореме косинусов запишем , где d = DC – расстояние между проводами.

Отсюда ; .

Теперь можно все данные подставить в формулу (3) и найти индукцию поля:

Тл или 308 мкТл.

Пример 4.Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 400 В, попал в однородное магнитное поле напряженностью H = 1 кА/м. Определить радиус R кривизны траектории и частоту ν обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля .

Решение: В задаче рассматривается явление силового действия магнитного поля на движущийся заряд (рис. 42). На движущийся в магнитном поле заряд действует сила Лоренца

(действием силы тяжести можно пренебречь). Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нормальное ускорение.

Рис. 42. Движение электрона в однородном магнитном поле

По второму закону Ньютона , где a_n – нормальное ускорение

или , (1)

где |q| – модуль заряда электрона; υ – скорость электрона; В – магнитная индукция; m – масса электрона; R – радиус кривизны траектории; α – угол между векторами и (в данном случае α = 90 0 , sin α = 1).

Из формулы (1) найдем

. (2)

Входящий в это равенство импульс p = mυ может быть выражен через кинетическую энергию Е_к электрона:

, откуда . (3)

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется работой электрического поля по ускорению электрона и по закону сохранения энергии Е_к = А = |q|·U. Подставляя это выражение в формулу (3), получим .

Магнитная индукция B может быть выражена через напряженность H магнитного поля в вакууме: .

Подставив выражения для В и в формулу (2), получим

м или 5,37 см.

Учитывая, что частота обратно пропорциональна периоду , а период можно определить как , получим формулу, связывающую частоту со скоростью и радиусом: . Подставив в последнюю формулу выражение (2), получим

или .

с -1 .

Пример 5.Длинный соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида, объемную плотность энергии магнитного поля w, если длина соленоида l = 1 м.

Решение: В задаче рассматривается явление создания магнитного поля соленоидом с током (рис. 43). Индуктивность L связана с потокосцеплением Ψ и силой тока I соотношением . (1)

Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу):

. (2)

Из формул (1) и (2) находим индуктивность соленоида

. (3)

Энергия магнитного поля соленоида: .

Выразив L согласно уравнению (3), получим энергию магнитного поля:

. (4)

Подставим значения физических величин в единицах СИ в формулы (3) и (4) и вычислим значения L и W:

Гн или 1,8 мГн.

Дж или 14,4 мДж.

Рис. 43. Соленоид

Энергию магнитного поля можно найти и другим способом. Запишем энергию магнитного поля как:

, (5) где V, l – объем и длина соленоида, S – площадь витка. Напряженность магнитного поля длинного соленоида (d 0 = BS = μμ₀HS = μ₀nIS ,

где μ = 1 для немагнитного материала.

Из этой формулы выразим площадь S:

. (7)

Подставим формулы (6) и (7) в формулу (5):

Учитывая, что , получим формулу для вычисления энергии поля соленоида: .

Объёмная плотность энергии магнитного поля равна

Подставляя данные, получим, Дж/м 3 .

Пример 6. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом α = 30 o к направлению поля и движется по винтовой траектории. Индукция магнитного поля B = 13 мТл. Найти радиус R, шаг h винтовой траектории, период T обращения электрона, его кинетическую энергию.

Решение: В задаче рассматривается явление действия магнитного поля на движущийся в нем заряд. Разложим скорость электрона, влетающего в магнитное поле, по двум направлениям: вдоль линий поля – и перпендикулярно ему – .