Если контур с током (I = const) поместить в неоднородное внешнее магнитное поле, то на него будет действовать сила Ампера, т. е.
. (13)
В однородном магнитном поле результирующая сила Ампера, действующая на контур с током, равна нулю:
. (14)
Рассмотрим плоский контур с током малых размеров (магнитный листок), который называют элементарным. Такой контур характеризуют вектором магнитного момента
, (15)
 Рис. 4 |
где I — сила тока в витке; S — площадь витка ограниченного контуром L; 
— вектор нормали, направление которого связано с направлением тока в витке правилом правого винта (рис. 4).
По модулю
В СИ магнитный момент измеряется в амперах на метр в квадрате (А×м 2 ).
Если контур не плоский, то
, (17)
где интеграл зависит только от выбора контура L, на который натянута поверхность S. Расчеты показывают, что эту силу можно записать в виде
, (18)
где рm — модуль магнитного момента контура; 
— частная производная вектора 
по направлению вектора нормали 
(по направлению 
).
Проекция силы, например, на направление оси Х
. (19)
В однородном магнитном поле F = 0, так как = 0.
Результирующий момент сил Ампера, действующий на контур, запишем в виде
(20)
, (21)
где 
(рис. 5).
 Рис. 5 |
Пара сил Ампера действует на стороны b контура; на стороны а контура действуют силы, стремящиеся только растянуть его, на рис. 5 они не показаны.
По модулю вращающий момент сил Ампера
М = рmВsina = ISBsina, (22)
где a — угол между векторами 
и .
При a = 0 о , М = 0 ( 
) положение контура-устойчиво.
При a = 180 о , М = 0 ( ¯ ) положение контура — неустойчиво.
Если магнитное поле неоднородно и размеры контура малы, то влиянием неоднородности можно пренебречь.
5.7. Контур с током в магнитном поле
Пусть контур с током помещен в магнитное поле, причем он может вращаться вокруг вертикальной оси OO’ (рис. 5.30-1). Силы Ампера, действующие на стороны контура длиной l, перпендикулярны к ним и к магнитному полю и поэтому направлены вертикально: они лишь деформируют контур, стремясь растянуть его. Стороны, имеющие длину a, перпендикулярны B, так что на каждую из них действует сила F = BIa. Эти силы стремятся повернуть контур таким образом, чтобы его плоскость стала ортогональной B.
Рис. 5.30. Силы, действующие на контур с током в магнитном поле:
1 — вид сбоку; 2 — вид сверху (масштаб увеличен)
Видео 5.7. Контур с током в однородном магнитном поле.
Момент пары сил (рис. 5.30-2) равен
где 
— плечо пары сил, а 
— угол между вектором B и стороной l.
Величина, численно равная произведению силы тока I, протекающего в контуре, на площадь контура S = al называется магнитным моментом Pm плоского контура стоком
Таким образом, мы можем записать момент пары сил в виде
Магнитный момент контура с током — векторная величина. Направление Рm совпадает с положительным направлением нормали к плоскости контура, которое определяется правилом винта: если рукоятка вращается по направлению тока в контуре, то поступательное движение винта показывает направление вектора Pm . Введем в формулу (15.36) угол a между векторами Pm и B. Справедливо соотношение
то есть момент сил 
, действующий на виток с током в однородном магнитном поле, равен векторному произведению магнитного момента 
витка на вектор индукции магнитного поля 
(рис. 5.31). При 
величина момента сил максимальна
Рис. 5.31. Силы, действующие на прямоугольный контур с током в магнитном поле.
Магнитное поле вертикально, а магнитный момент перпендикулярен плоскости контура
Опять-таки прозрачна аналогия с электростатикой: говоря об электрическом диполе, мы получили выражение для момента сил, действующих на него со стороны электрического поля в виде
где 
— электрический дипольный момент.
В системе СИ единицей измерения магнитного момента контура является ампер на квадратный метр (А · м 2 )
Видео 5.10. «Сознательные катушки»: отталкивание и притяжение параллельных токов и поворот магнитного момента по магнитному полю.
Пример. По тонкому проводу в виде кольца радиусом 30 см течет ток 100 A. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено однородное магнитное поле с магнитной индукцией 20 мТл (рис. 5.32). Найти силу, растягивающую кольцо.
Рис. 5.32. Силы, растягивающие кольцо с током в магнитном поле
Решение. Пусть магнитное поле направлено от нас за плоскость рис. 5.32 (показано крестиками), а ток идет по часовой стрелке. Выделим элемент длины dl, видный из центра под углом 
На этот элемент действует сила Ампера 
направленная по радиусу кольца. Кроме того, из-за растяжения кольца на концы элемента действуют силы натяжения F, которые и требуется найти в задаче. Проекция этих сила на радиальное направление равна
Приравнивая эту проекцию силе Ампера, находим
Магнетизм. · Механический момент, действующий на контур с током (рис
· Механический момент, действующий на контур с током (рис. 32), помещенный в однородное магнитное поле
 Рис. 32. Рамка с током |  , где  — вектор магнитного момента рамки с током;  — вектор магнитной индукции (количественная характеристика магнитного поля). Единица измерения магнитной индукции тесла (Тл). |
· Закон Био-Савара-Лапласа: каждый элемент 
проводника с током создает в некоторой точке А индукцию поля 
(рис. 33)
 Рис. 33. Магнитное поле, созданное проводником с током |  , где  – магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током, Тл; μ – магнитная проницаемость; μ0 – магнитная постоянная (μ0 = 4π·10 -7 Гн/м);  – вектор, равный по модулю длине dl проводника и совпадающий по направлению с током; I – сила тока;  – радиус вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется. |
· Модуль вектора выражается формулой
,
где α – угол между векторами и .
· Магнитная индукция 
связана с напряженностью 
магнитного поля соотношением 
.
· Магнитная индукция в центре кругового проводника с током (рис. 34)
,
где r – радиус витка.
· Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током (рис. 35)
,
где R – расстояние от оси проводника.
· Магнитная индукция поля, создаваемая соленоидом в средней его части (рис. 36)
,
где n – число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; I – сила тока в одном витке.
 Рис. 34. Магнитное поле, созданное круговым проводником с током |  Рис. 35. Магнитное поле, созданное длинным прямым проводником с током |  Рис. 36. Магнитное поле, созданное соленоидом |
· Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей 
.
В частном случае наложения двух полей
,
а модуль магнитной индукции
,
где α – угол между векторами 
и 
.
· Магнитная индукция поля, создаваемого движущимся точечным зарядом в вакууме
, или 
,
где 
— скорость движущегося заряда; — радиус-вектор, направленный от заряда к точке, в которой определяется магнитная индукция; α – угол между векторами и .
,
где — вектор, по модулю равный dl и совпадающий по направлению с током; — вектор магнитной индукции.
Модуль силы Ампера вычисляется по формуле
,
где α – угол между векторами и .
В случае однородного магнитного поля и прямолинейного отрезка проводника 
, или 
.
 Рис. 37. Правило левой руки | Направление вектора может быть найдено, согласно последней формуле, по общим правилам векторного произведения. Этим правилам соответствует правило левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток (рис. 37). |
· Магнитный момент контура с током
,
где 
— вектор, равный по модулю площади, охватываемой контуром, и совпадающий по направлению с нормалью 
к его плоскости.
· Сила Лоренца – сила действующая на одну заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле.
, или 
,
где α – угол, образованный вектором скорости движущейся частицы и вектором магнитной индукции (рис. 37).
· Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S (рис. 38)
а) в случае однородного поля
 Рис. 38. Магнитный поток через плоский контур |  , или  где α – угол между вектором нормали к плоскости контура и вектором магнитной индукции , Вn – проекция вектора на нормаль . |
б) в случае неоднородного поля
,
где интегрирование ведется по всей поверхности S.
· Работа сил магнитного поля, совершаемая при перемещении контура с током в магнитном поле
,
где I – сила тока в контуре, которая поддерживается неизменной; Ф2 и Ф1 – магнитные потоки, пронизывающие контур, в конечном и начальном его положениях.
· Закон Фарадея-Максвелла (основной закон электромагнитной индукции)
,
где εi – электродвижущая сила индукции; N – число витков контура; ψ — потокосцепление.
· Электродвижущая сила самоиндукции, возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем
,
где L – индуктивность контура.
· Энергия магнитного поля
,
где I – сила тока в контуре.
· Формула Томсона. Период собственных колебаний в контуре без активного сопротивления
,
где L – индуктивность контура, Гн; С – его электроемкость, Ф.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Мягкая спиральная пружина подвешена так, что ее нижний конец погружен в металлическую чашечку с ртутью, а верхний присоединен к источнику постоянного тока. Что произойдет с пружиной при замыкании ключа К?
Решение: При замыкании ключа К по пружине потечет ток. Каждый виток пружины будет создавать магнитное поле и притягивать к себе соседние витки (разноименные полюса магнитов притягиваются). Пружина сожмется, нижний конец пружины поднимется из ртути, цепь разомкнется, и ток перестанет идти. Если нет тока, нет и магнитного поля между витками и пружина расправится.
После опускания нижнего конца пружины в ртуть весь процесс начнется сначала. Таким образом, пружина совершает периодические колебания.
Эту задачу можно решить и по-другому. Отдельные участки соседних витков, лежащие друг против друга, можно рассматривать как параллельные участки проводников, по которым текут токи в одном направлении (рис. 39б), такие проводники притягиваются друг к другу. Поэтому витки пружины будут притягиваться друг к другу и пружина сожмется, а нижний конец ее поднимется из ртути, разрывая цепь, по которой протекает ток. Исчезает магнитное поле проводников, и пружина вновь распрямляется. Конец пружины опускается в чашку с ртутью, вновь замыкая цепь, и т.д.
Пример 2. По длинному прямому тонкому проводу течет ток силой I = 20 А. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводником в точке, удаленной от него на расстояние r = 4 см.
Решение: В задаче рассматривается явление создания магнитного поля проводником с током. Проведем силовую линию магнитного поля через точку А (рис. 40), в которой определяется магнитная индукция . Магнитное поле, создаваемое проводником бесконечной длины, обладает осевой симметрией. Поэтому в плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной проводу, проведем окружность радиуса OA = r (рис. 40).
 Рис. 40. Правило буравчика | Направление силовой линии и направление тока связаны правилом правого винта (буравчика): если поступательное движение винта направить по току, то вращательное движение головки винта укажет направление силовой линии (рис. 40). Определение направления силовой линии следует из закона Био-Савара-Лапласа, записанного в векторной форме: |
.
Вектор совпадает с касательной в точке А и направлен так же, как силовая линия. Запишем выражение для магнитной индукции поля бесконечно длинного проводника с током на расстоянии r от него из уравнения 
. Считая, что проводник находится в вакууме (μ = 1), вычисляем, подставляя все величины в единицах системы СИ:
Тл.
Пример 3.Два параллельных бесконечно длинных провода D и C, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I1 = I2 = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого проводником с током в точке A, отстоящей от оси одного проводника на расстояние r1 = 5 см, от другого – r2 = 12 см.
| Решение: В задаче рассматривается явление создания магнитного поля системой проводников. Проведем через точку A (рис. 41) часть силовой линии магнитного поля, создаваемого током I1, а затем часть силовой линии магнитного поля, которое создается током I2 (пунктирные дуги). |  Рис. 41. Магнитное поле, созданное двумя бесконечно длинными проводниками |
Построим 
и 
как касательные к этим дугам в точке А. Так как магнитные индукции определяются по формулам:
и 
, (1)
Для нахождения в точке A магнитной индукции B, создаваемой системой проводников с токами, воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого сложим 
и геометрически, по правилу параллелограмма: . Модуль вектора найдем по теореме косинусов:
, (2)
где α – угол между векторами 
и 
. Подставляя B1 и B2 (1) в формулу (2), и вынося 
за знак корня, получаем
. (3)
Найдем cos α из треугольника DAC. Заметим, что α = ∟DAC, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами ( 
, 
; AD и AC – радиусы; 
и 
– касательные в точке A). По теореме косинусов запишем 
, где d = DC – расстояние между проводами.
Отсюда 
; 
.
Теперь можно все данные подставить в формулу (3) и найти индукцию поля:
Тл или 308 мкТл.
Пример 4.Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 400 В, попал в однородное магнитное поле напряженностью H = 1 кА/м. Определить радиус R кривизны траектории и частоту ν обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля 
.
Решение: В задаче рассматривается явление силового действия магнитного поля на движущийся заряд (рис. 42). На движущийся в магнитном поле заряд действует сила Лоренца  (действием силы тяжести можно пренебречь). Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нормальное ускорение. |  Рис. 42. Движение электрона в однородном магнитном поле |
По второму закону Ньютона 
, где an – нормальное ускорение
или 
, (1)
где |q| – модуль заряда электрона; υ – скорость электрона; В – магнитная индукция; m – масса электрона; R – радиус кривизны траектории; α – угол между векторами 
и (в данном случае α = 90 0 , sin α = 1).
Из формулы (1) найдем
. (2)
Входящий в это равенство импульс p = mυ может быть выражен через кинетическую энергию Ек электрона:
, откуда 
. (3)
Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется работой электрического поля по ускорению электрона и по закону сохранения энергии Ек = А = |q|·U. Подставляя это выражение в формулу (3), получим 
.
Магнитная индукция B может быть выражена через напряженность H магнитного поля в вакууме: 
.
Подставив выражения для В и 
в формулу (2), получим
м или 5,37 см.
Учитывая, что частота обратно пропорциональна периоду 
, а период можно определить как 
, получим формулу, связывающую частоту со скоростью и радиусом: 
. Подставив в последнюю формулу выражение (2), получим
или 
.
с -1 .
Пример 5.Длинный соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида, объемную плотность энергии магнитного поля w, если длина соленоида l = 1 м.
Решение: В задаче рассматривается явление создания магнитного поля соленоидом с током (рис. 43). Индуктивность L связана с потокосцеплением Ψ и силой тока I соотношением 
. (1)
Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу):
. (2)
Из формул (1) и (2) находим индуктивность соленоида
. (3)
Энергия магнитного поля соленоида: 
.
Выразив L согласно уравнению (3), получим энергию магнитного поля:
. (4)
Подставим значения физических величин в единицах СИ в формулы (3) и (4) и вычислим значения L и W:
Гн или 1,8 мГн.
Дж или 14,4 мДж.
 Рис. 43. Соленоид | Энергию магнитного поля можно найти и другим способом. Запишем энергию магнитного поля как:  , (5) где V, l – объем и длина соленоида, S – площадь витка. Напряженность магнитного поля длинного соленоида (d 0 = BS = μμ0HS = μ0nIS ,где μ = 1 для немагнитного материала. Из этой формулы выразим площадь S: Подставим формулы (6) и (7) в формулу (5): Учитывая, что Объёмная плотность энергии магнитного поля равна Подставляя данные, получим, Пример 6. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом α = 30 o к направлению поля и движется по винтовой траектории. Индукция магнитного поля B = 13 мТл. Найти радиус R, шаг h винтовой траектории, период T обращения электрона, его кинетическую энергию. Решение: В задаче рассматривается явление действия магнитного поля на движущийся в нем заряд. Разложим скорость электрона, влетающего в магнитное поле, по двум направлениям: вдоль линий поля – На основании закона сохранения энергии работа электрического поля А = |q|U переходит в кинетическую энергию электрона Из этой формулы определим скорость
Из рис. 44 видно, что υ׀׀ = υ∙cosα, Тогда Проведя вычисления, получим Шаг спирали найдем из соотношений: откуда Проведя вычисления, получим Тогда период обращения электрона найдем как: |
. (7)
.
, получим формулу для вычисления энергии поля соленоида: 
.
.
Дж/м 3 .
и перпендикулярно ему – 
.
,
. (1)
, 
м/с.
. Формула для радиуса R:
.
.
м.
и 
,
.
м.
с.