Вектор математического ожидания как найти

Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание — это первый начальный момент заданной СВ.

Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины — срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).

Видео:Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.Скачать

Формула среднего случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$: $$ M(X)=sum_^. $$ Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом: $$ M(X)=int_^ f(x) cdot x dx. $$

Видео:Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределенияСкачать

Пример нахождения математического ожидания

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом: $$ x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \ p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1 $$

Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины: $$ M(X)=sum_^. $$ Получаем: $$ M(X)=sum_^ =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8. $$ Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.

Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для нахождения мат. ожидания формулу: $$ M(X)=int_^ f(x) cdot x dx. $$ Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла: $$ M(X)=int_^ f(x) cdot x dx = int_^ 12(x^2-x^3) cdot x dx = int_^ 12(x^3-x^4) dx = \ =left.(3x^4-fracx^5) right|_0^1=3-frac = frac=0.6. $$

Видео:Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервалСкачать

Вычисление математического ожидания онлайн

Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку «Вычислить».
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.

Видео:Теория вероятностей #14: математ. ожидание, дисперсия, медиана, мода, начальные моментыСкачать

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала — еще примеры решений по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Видео:Математическое Ожидание, Дисперсия, Стандартное Отклонение за 5 минутСкачать

3.3 Математические ожидания и ковариации векторов и матриц

3.3. Математические ожидания и ковариации векторов и матриц

При работе с линейными моделями удобно представлять данные в виде векторов или матриц. Элементы некоторых векторов или матриц статистических линейных моделей являются случайными переменными. Определение случайной переменной было дано. Значение этой переменной зависит от случайного результата опыта.

В этой книге рассматривается такой тип векторов случайных переменных отклика, элементы которого могут быть коррелированы, а влияющие на них переменные являются контролируемыми и неслучайными. В конкретной линейной модели, влияющие на отклик переменные, имеют выбранные или полученные в результате расчёта детерминированные значения. Таким образом, в рассматриваемых линейных моделях имеются два вектора случайных переменных:

у= и e=.

Значения i-й переменной у_i (i=1, 2, …, n) отклика наблюдаются в результате проведения i-го опыта эксперимента, а значения переменной e_i случайной ошибки не наблюдаются, но могут оцениваться по наблюдаемым значениям переменной отклика и значениям влияющих на неё переменных.

При рассмотрении линейных моделей широко используются векторы и матрицы случайных переменных, поэтому в первую очередь для них необходимо обобщить идеи математического ожидания, ковариации и дисперсии.

Математическое ожидание вектора у размеров пх1 случайных переменных y₁, y₂, . у_п определяется как вектор их ожидаемых значений:

Е(у)=Е===y, (3.3.1)

Видео:Функция распределения и плотность распределенияСкачать

Рекомендуемые файлы

где E(у_i)=y_i получается в виде E(у_i)=, используя функцию f_i(у_i) плотности вероятности безусловного распределения переменной у_i.

Если х и у — векторы случайных переменных размеров пх1, то, в силу (3.3.1) и (3.2.7), математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий:

Пусть у_ij (i=1, 2, . m; j=1, 2, . п) набор случайных переменных с ожидаемыми значениями E(у_ij). Выражая случайные переменные и их математические ожидания в матричной форме, можно определить общий оператор математического ожидания матрицы Y=(y_ij) размеров mхп следующим образом:

Определение 3.3.1. Математическое ожидание матрицы Y случайных переменных равно матрице математических ожиданий её элементов

По аналогии с выражением (3.3.1), ожидаемые значения матрицы Y случайных переменных представляются в виде матрицы ожидаемых значений:

E(Y)==. (3.3.3)

Вектор можно рассматривать как матрицу, следовательно, определение 3.3.1 и следующая теорема справедливы и для векторов.

Теорема 3.3.1. Если матрицы А=(а_ij) размеров lхm, B=(b_ij) размеров nхp, С=(c_ij) размеров lхp – все имеют элементами постоянные числовые значения, а Y – матрица размеров mхn случайных переменных, то

Доказательство дано в книгах [Себер (1980) стр.19; Seber, Lee (2003) стр.5]

Там же доказывается, что, если матрицы A и В размеров mхn, элементами которых являются постоянные числовые значения, а х и у — векторы случайных переменных размеров пх1, то

Если f(Y) – линейная функция матрицы Y, то её ожидаемое значение находится по формуле Е[f(Y)]=f[Е(Y)] [Boik (2011) cтр.134]. Например, если матрицы А размеров рхm, B размеров пхр и С размеров рхр — все имеют элементами постоянные числовые значения, а матрица Y размеров тхп случайных переменных, то

Ковариации и дисперсии

Аналогичным образом можно обобщить понятия ковариации и дисперсии для векторов. Если векторы случайных переменных х размеров mх1 и у размеров nх1, то ковариация этих векторов определяется следующим образом.

Определение 3.3.2. Ковариацией векторов х и у случайных переменных является прямоугольная матрица ковариаций их элементов

Теорема 3.3.2. Если случайные векторы х и у имеют векторы математических ожиданий E(x)=x и Е(у)=y, то их ковариация

Применим эту теорему для нахождения матрицы ковариаций векторов х размеров 3х1 и у размеров 2х1

=E

=Е

=.

=. (3.3.4)

E[(y–y)(y–y) T ]=. (3.3.5)

Дисперсии s₁₁, s₂₂, . s_пп переменных y₁, y₂, . у_п и их ковариации s_ij, для всех i≠j, могут быть удобно представлены матрицей дисперсий и ковариаций, которая иногда называется ковариационной матрицей и обозначается прописной буквой S строчной s:

S=D(у)= (3.3.6)

В матрице S i-я строка содержит дисперсию переменной у_i и её ковариации с каждой из остальных переменных вектора у. Чтобы быть последовательными с обозначением s_ij, используем для дисперсий s_ii=s_i 2 , где i =1, 2, . n. При этом дисперсии расположены по диагонали матрицы S и ковариации занимают позиции за пределами диагонали. Отметим различие в значении между обозначениями D(у)=S для вектора и С(у_i, у_j)=s_ij для двух переменных.

Матрица S дисперсий и ковариаций симметричная, так как s_ij=s_ji [см. (3.2.9)]. Во многих приложениях полагается, что матрица S положительно определённая. Это обычно верно, если рассматриваются непрерывные случайные переменные, и между ними нет линейных зависимостей. Если между переменными есть линейные зависимости, то матрица S будет неотрицательно определённой.

Для примера найдём матрицу дисперсий и ковариаций вектора у размеров 3х1

=E

=E

=.

=.

Как следует из определения 3.3.3,

что после подобного сделанному в (3.2.4) преобразованию приводится к выражению

Последние два выражения являются естественным обобщением одномерных результатов данных выражениями (3.2.2) и (3.2.4).

Пример 3.3.1. Если а — какой-либо вектор числовых значений тех же размеров пх1, что и вектор у, то

Напомним, что симметричная матрица А является положительно определенной, если для всех векторов у≠0 квадратичная форма у Т Ау>0. В дальнейшем будет использоваться часто следующая теорема.

Теорема 3.3.3. Если у — вектор случайных переменных, в котором ни одна из переменных не является линейной комбинации остальных, то есть, нет вектора а≠0 и числа b таких, что а Т у=b для любого у, то D(у)=S — положительно определенная матрица.

Доказательство этой теоремы дано в [Себер (1980) стр.22].

Обобщенная дисперсия и нормированный вектор

Матрица S содержит дисперсии и ковариации всех п случайных переменных вектора у и всесторонне представляет полную их вариацию. Обобщённой мерой, характеризующей вариацию случайных переменных вектора у, может служить определитель матрицы S:

Обобщенная дисперсия =det(S). (3.3.9)

В качестве статистики обобщённой дисперсии используется обобщённая выборочная дисперсия, определяемая детерминантом матрицы S=Y T (I–Е/n)Y/(n–1) вариаций и ковариаций выборочных значений переменных вектора у, представленных матрицей Y=[y₁, y₂, …, y_k], где её столбцы составлены из векторов значений переменных вектора у [Rencher, Christensen (2012) стр.81]:

Обобщенная выборочная дисперсия =det(S). (3.3.10)

Если det(S) малый, то значения переменных вектора у располагаются ближе к их усреднённым значениям вектора , чем, если бы det(S) был большим. Малое значение det(S) может указывать также на то, что переменные y₁, y₂. у_п вектора у сильно взаимно коррелированы и стремятся занимать подпространство меньшее, чем п измерений, что соответствует одному или большему числу малых собственных значений [Rencher (1998) раздел 2.1.3; Rencher, Christensen (2012) стр.81].

Для получения полезной меры разности между векторами у и y необходимо учитывать дисперсии и ковариации переменных вектора у. Как для одной нормированной случайной переменной, получаемой по формуле z=(у–y)/s и имеющей среднее равное 0 и дисперсию равную 1, нормированная разность между векторами у и y определяется в виде

Использование матрицы S –1 в этом выражении нормирует (трансформирует) переменные вектора у так, что нормированные переменные имеют средние равные 0 и дисперсии равные 1, а также становятся и некоррелированными. Это получается потому, что матрица S положительно определённая. По теореме П.6.5 её обратная матрица тоже положительно определённая. В силу (П.12.18), матрица S –1 =S –1/2 S –1/2 . Отсюда

где z=S –1/2 (у–y) — вектор нормированных случайных переменных. Математическое ожидание вектора z получается

и его дисперсия

Следовательно, по пункту 2 теоремы 4.5.2 следующей главы вектор S –1/2 (у–y) имеет нормальное распределение N(0, I).

Для нормированной разности, как параметра, есть соответствующая статистика, а именно, выборочная нормированная дистанция, определяемая формулой (у–) Т S –1 (у–) и называемая часто дистанцией Махаланобиса [Mahalanobis (1936); Seber (2008) cтр.463]. Некоторый п-мерный гиперэллипсоид (у–) Т S –1 (у–)=а 2 , центрированный вектором и базирующийся на S –1 для нормирования расстояния до центра, содержит выборочные значения переменных вектора у. Гиперэллипсоид (у–) Т S –1 (у–) имеет оси пропорциональные квадратным корням собственных значений матрицы S. Можно показать, что объём гиперэллипсоида пропорционален [det(S)] 1/2 . Если минимальное собственное значение матрицы S равно нулю, то в этом направлении нет оси и гиперэллипсоид расположен в (п–1)-мерном подпространстве п-мерного пространства. Следовательно, его объём в п-мерном пространстве равен 0. Нулевое собственное значение указывает на избыточность переменных вектора у. Для устранения этого необходимо убрать одну или более переменных, являющихся линейными комбинациями остальных.

Видео:Математическое ожидание-3 типа задачСкачать

Математическое ожидание

Математическое ожидание — это ожидаемый результат от какого-то действия.

Например, можно рассчитать ожидаемую стоимость инвестиции в определённый момент в будущем. Рассчитывая математическое ожидание перед тем, как инвестировать, можно выбрать наилучший сценарий который, по мнению инвестора, даст наилучший результат.

Случайная величина может быть двух типов:

1. Дискретной: число возможных значений X — это числимое конечное или бесконечное множество точек; пример: количество дефектных устройств в производстве фабрики.
2. Непрерывной: X может принимать любое значение в заданном диапазоне; пример: концентрация углекислого газа в воде.

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается этой формулой:

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается:
1. Сначала нужно умножить каждое из возможных результатов на свою вероятность (например: вероятность, что выпадет «1» — 1/6, «2» — 1/3, значит умножаем 1 на 1/6, 2 на 1/3, и т.д.),
2. Затем суммируем все эти значения (1 × 1/6 + 2 × 1/3 и т.д.).

Для непрерывной случайной величины используется эта формула:

В этом случае рассчитывается интеграл в заданном интервале.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Примеры вычисления математического ожидания

• если в задаче даётся таблица с данными, то перемножаем каждое событие на его вероятность и потом всё складываем;
• если в задаче дают функцию с заданным интервалом, то вычисляем интеграл с этим интервалом.

Пример 1

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = −1×0,1+ 1×0,2 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,3 = −0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,3 + 1,2 = 2,2

Видео:Случайный вектор двумерной случайной величиныСкачать

Пример 2

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = 2x, при x∈(0,1) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Пример 3

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = 1×0,3 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,1 + 5×0,2 = 0,3 + 0,6 + 0,3 + 0,4 + 1 = 2,6

Пример 4

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = (1/10).(3x²+1), при x∈(0,2) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

🔥 Видео

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Функция распределения дискретной случайной величиныСкачать

Новое задание профиля №2. Все, что нужно знать о векторах | Аня МатеманяСкачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределениеСкачать

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величиныСкачать

Математическое ожидание дискретной случайной величины. 10 класс.Скачать

Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Ряднова Е.М.-Математическая статистика.Семинары-8.Условные мат.ожидания и условные распределения.Ч.1Скачать

Условные математические ожидания. ТемаСкачать