Вектор и углы эйлера

Объект обычно определяется в удобной для его описания локальной системе координат (ЛСК), а его положение в пространстве — в глобальной системе координат (ГСК).

В трёхмерном пространстве переход из одной СК в другую описывается в общем случае системой линейных уравнений:

Уравнения могут быть записаны через матрицы аффинных преобразований в однородных координатах одним из 2-х способов:

В ортогональных СК оси X, Y и Z взаимно перпендикулярны и расположены по правилу правой руки:

На рисунке справа большой палец определяет направление оси, остальные пальцы — положительное направление вращения относительно этой оси.

Все три вектора направлений есть единичными.

Ниже приводится единичная матрица для 2-х способов записи уравнений геометрических преобразований. Такая матрица не описывает ни перемещения, ни вращения. Оси ЛСК и ГСК совпадают.

Далее рассматривается матрица для второго способа матричной записи уравнений (матрица справа). Этот способ встречается в статьях значительно чаще.

При использовании матрицы вы можете игнорировать нижнюю строку. В ней всегда хранятся одни и те же значения 0, 0, 0, 1. Она добавлена для того, чтобы мы могли перемножать матрицы (напомню правило перемножения матриц и отмечу, что всегда можно перемножать квадратные матрицы). Подробнее см. Композиция матриц. Однородные координаты.

Остальные 12 значений определяют координатную систему. Первый столбец описывает компоненты направления оси X(1,0,0). Второй столбец задает направление оси Y(0,1,0), третий – оси Z (0,0,1). Последний столбец определяет положение начала системы координат (0,0,0).

Как будет выглядеть матрица Евклидового преобразования (преобразование движения) для задания ЛСК , с началом в точке (10,5,0) и повёрнутой на 45° вокруг оси Z глобальной СК, показано на рисунке.

Рассмотрим сначала ось X. Если новая система координат повернута на 45° вокруг оси z, значит и ось x повернута относительно базовой оси X на 45° в положительном направлении отсчета углов. Таким образом, ось X направлена вдоль вектора (1, 1, 0), но поскольку вектор системы координат должен быть единичным, то результат должен выглядеть так (0.707, 0.707, 0). Соответственно, ось Y имеет отрицательную компоненту по X и положительную по Y и будет выглядеть следующим образом (-0.707, 0.707, 0). Ось Z направления не меняет (0, 0, 1). Наконец, в четвертом столбце вписываются координаты точки начала системы координат (10, 5, 0).

Частным случаем матриц геометрических преобразований есть матрицы поворота ЛСК относительно базовых осей ГСК. Вектора осей ЛСК здесь выражены через синусы и косинусы углов вращения относительно оси, перпендикулярной к плоскости вращения.

От матрицы преобразований размером 4*4 можно перейти непосредственно к матрице поворота 3*3, убрав нижний ряд и правый столбец. При этом, система линейных уравнений записывается без свободных элементов (лямда, мю, ню), которые определяют перемещение вдоль осей координат.

Путем перемножения базовых матриц можно получать комбинированные вращения. Ниже рассмотрены возможности комбинировать вращениями через матрицы поворота на примерах работы с углами Эйлера.

Видео:#225. КВАТЕРНИОНЫ и углы ЭйлераСкачать

Матрицы поворота и углы Эйлера

От выбора осей и последовательности вращения зависит конечный результат. На рисунках отображена следующая последовательность вращения относительно осей ЛСК:

• оси Z (угол alpha);
• оси X (угол beta);
• оси Z (угол gamma).

Получил от читателя этой статьи вопрос: «Как понять, из каких углов поворота вокруг осей X,Y,Z можно получить текущее положение объекта, когда в качестве задания мы уже имеем повернутый объект, а нужно вывести его в это положение, последовательно повернув его из какого-то начального положения до полного совмещения с заданным?»

Мой ответ: «Если я правильно понял вопрос, то Вас интересует, как от начального положения перейти к заданному положению объекта, используя для этого элементарные базовые аффинные преобразования.

Начну с аналогии. Это как в шахматах. Мы знаем как ходит конь. Необходимо переместить его в результате многоходовки в нужную клетку на доске — при условии, что это возможно.

Подробно эта проблематика рассмотрена в статье Преобразование координат при калибровке роботов.

Умение правильно выбирать последовательность элементарных геометрических преобразований помогает в решении множества других задач (см. Примеры геометрических преобразований).»

Можно получить результирующую матрицу, которая определяет положение ГСК относительно ЛСК. Для этого необходимо перемножить матрицы с отрицательными углами в последовательности выполнения поворотов:

Почему знак угла поворота меняется на противоположный? Объяснение этому простое. Движение относительно. Абстрагируемся и представим, что ГСК меняет положение относительно неподвижной ЛСК. При этом направление вращения меняется на противоположное.

Перемножение матриц даст следующий результат:

Результирующую матрицу можно использовать для пересчета координат из ГСК в ЛСК:

Для пересчета координат из ЛСК в ГСК используется результирующая обратная матрица.

В обратной матрице последовательность поворота и знаки углов меняются на противоположные (в рассматриваемом примере снова на положительные) по сравнению с матрицей определения положения ГСК относительно ЛСК.

Перемножение матриц даст следующий результат:

Выше был рассмотрен случай определения углов Эйлера через вращение относительно осей ЛСК. То же взаимное положение СК можно получить, выполняя вращение относительно осей ГСК:

• оси z (угол (gamma+pi/2));
• оси y (угол угол beta);
• оси z (угол (-alpha)).

Определение углов Эйлера через вращение относительно осей ГСК позволяет также просто получить зависимости для пересчета координат из ЛСК в ГСК через перемножение матриц поворота.

В рамках рассматриваемой задачи вместо угла gamma в матрицe Az используем угол gamma+pi/2.

Также легко можно перейти к зависимостям для пересчета координат из ГСК в ЛСК.

Обратная матрица получается перемножением обратных матриц в обратном порядке по сравнению с прямым преобразованием. При этом каждая из обратных матриц вращения может быть получена заменой знака угла на противоположный.

Детально с теоретическими основами аффинных преобразований (включая и вращение) можно ознакомиться в статье Геометрические преобразования в графических приложениях

Примеры преобразований рассмотрены в статьях:

Видео:Вращение, углы Эйлера, Кватернионы в UnityСкачать

Axis Angle представление вращения

Выбрав подходящую ось (англ. rotation axis) и угол (англ. rotation angle) можно задать любую ориентацию объекта.

Обычно хранят ось вращения в виде единичного вектора и угол поворота вокруг этой оси в радианах или градусах.

q = [ x, y, z, w ] = [ v, w ]

В некоторых случаях удобно хранить угол вращения и ось в одном векторе. Направление вектора при этом совпадает с направлением оси вращения, а его длина равна углу поворота:

q = [ x, y, z]; w=sqrt (x*x +y*y +z*z)

В физике, таким образом хранят угловую скорость. Направление вектора совпадает с направлением оси вращения, а длина вектора равна скорости (в радианах в секунду).

Можно описать рассмотренные выше углы Эйлера через Axis Angle представление в 3 этапа:

q1 = [ 0, 0, 1, alpha]; q2 = [ 1, 0, 0, beta]; q3 = [ 0, 0, 1, gamma ]

Здесь каждое вращение выполняется относительно осей текущего положения ЛСК. Такое преобразование равнозначно рассмотренному выше преобразованию через матрицы поворота:

Возникает вопрос, а можно ли 3 этапа Axis Angle представления объединить в одно, подобно матрицам поворота? Попробуем решить геометрическую задачу по определению координат последнего вектора вращения в последовательности преобразований через Axis Angle представления:

q = [ x, y, z, gamma ]

Есть ли представление q= [x, y, z, gamma] композицией последовательности из 3-х этапов преобразований? Нет! Координаты x, y, z определяют всего лишь положение оси Z ЛСК после первого и второго этапов преобразований:

При этом ось Z, отнюдь, не есть вектор вращения для Axis Angle представления, которое могло бы заменить рассмотренные 3-х этапа преобразований.

Еще раз сформулирую задачу, которая математически пока не решена: «Необходимо найти значение угла (rotation angle) и положение оси (rotation axis), вращением относительно которой на этот угол можно заменить комбинацию из 3-х поворотов Эйлера вокруг осей координат».

К сожалению, никакие операции (типа объединения нескольких преобразований в одно) с Axis Angle представлениями нельзя выполнить. Не будем расстраиваться. Это можно сделать через кватернионы, которые также определяют вращение через параметры оси и угол.

Видео:Углы Эйлера (Euler angles)Скачать

Кватернионы

Кватернион (как это и видно по названию) представляет собой набор из четырёх параметров, которые определяют вектор и угол вращения вокруг этого вектора. По сути такое определение ничем не отличается от Axis Angle представления вращения. Отличия лишь в способе представления. Как же хранят вращение в кватернионе?

q = [ V*sin(alpha/2), cos(alpha/2) ]

В кватернионе параметры единичного вектора умножается на синус половины угла поворота. Четвертый компонент — косинус половины угла поворота.

Таблица с примерами значений кватернионов:

Представление вращения кватернионом кажется необычным по сравнению с Axis Angle представлением. Почему параметры вектора умножаются на синус половины угла вращения, четвертый параметр — косинус половины угла вращения, а не просто угол?

Откуда получено такое необычное представление кватерниона детально можно ознакомиться в статье Доступно о кватернионах и их преимуществах. Хотя программисту не обязательно знать эти детали, точно также как и знать, каким образом получены матрицы преобразования пространства. Достаточно лишь знать основные операции с кватернионами, их смысл и правила применения.

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Основные операции над кватернионами

Кватернион удобно рассматривать как 4d вектор, и некоторые операции с ним выполняются как над векторами.

Видео:Матрица поворотаСкачать

Сложение, вычитание и умножение на скаляр.

Смысл операции сложения можно описать как «смесь» вращений, т.е. мы получим вращение, которое находится между q и q’.

Что-то подобное сложению кватернионов выполнялось при неудачной попытке объединить 3 этапа Axis Angle представления.

Умножение на скаляр на вращении не отражается. Кватернион, умноженный на скаляр, представляет то же самое вращение, кроме случая умножения на 0. При умножении на 0 мы получим «неопределенное» вращение.

Пример сложения 2-х кватернионов:

Видео:Углы Эйлера и кватернионыСкачать

Норма и модуль

Следует различать (а путают их часто) эти две операции:

Модуль (magnitude), или как иногда говорят «длина» кватерниона:

Через модуль кватернион можно нормализовать. Нормализация кватерниона — это приведение к длине = 1 (так же как и в векторах):

Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Обратный кватернион или сопряжение ( conjugate )

Обратный кватернион задает вращение, обратное данному. Чтобы получить обратный кватернион достаточно развернуть вектор оси в другую сторону и при необходимости нормализовать кватернион.

Например, если разворот вокруг оси Y на 90 градусов = (w=0,707; x = 0; y = 0,707; z=0), то обратный = (w=0,707; x = 0; y = -0,707; z=0).

Казалось бы, можно инвертировать только компоненту W, но при поворотах на 180 кватернион представляется как (w=1; x = 0; y = 0; z=0), то есть, у него длина вектора оси = 0.

Фрагмент программной реализации:

Видео:А.7.19 Поворот в трехмерном пространствеСкачать

Инверсный (inverse) кватернион

Существует такой кватернион, при умножении на который произведение дает нулевое вращение и соответствующее тождественному кватерниону (identity quaternion), и определяется как:

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Тождественный кватернион

Записывается как q[0, 0, 0, 1]. Он описывает нулевой поворот (по аналогии с единичной матрицей), и не изменяет другой кватернион при умножении.

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Скалярное произведение

Скалярное произведение полезно тем, что дает косинус половины угла между двумя кватернионами, умноженный на их длину. Соответственно, скалярное произведение двух единичных кватернионов даст косинус половины угла между двумя ориентациями. Угол между кватернионами — это угол поворота из q в q’ (по кратчайшей дуге).

Видео:Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Вращение 3d вектора

Вращение 3d вектора v кватернионом q определяется как

причем вектор конвертируется в кватернион как

и кватернион обратно в вектор как

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Умножение кватернионов

Одна из самых полезных операций, она аналогична умножению двух матриц поворота. Итоговый кватернион представляет собой комбинацию вращений — сначала объект повернули на q, а затем на q’ (если смотреть из глобальной системы координат).

Примеры векторного и скалярного перемножения 2-х векторов векторное произведение — вектор: Скалярное произведение — число:

Пример умножения 2-х кватернионов:

Видео:3D Game Engine | 30 | Углы Эйлера, двигаем и вращаем камеруСкачать

Конвертирование между кватернионом и Axis Angle представлением

В разделе Axis Angle представление вращения была сделана неудачная попытка объединить 3 Axis Angle представления в одно . Это можно сделать опосредовано. Сначала Axis Angle представления конвертируются в кватернионы, затем кватернионы перемножаются и результат конвертируется в Axis Angle представление.

Пример конвертирования произведения 2-х кватернионов в Axis Angle представление:

Фрагмент программы на C:

Видео:[Курс «Renga КР»] Углы ЭйлераСкачать

Конвертирование кватерниона в матрицу поворота

Матрица поворота выражается через компоненты кватерниона следующим способом:

где

Проверим формулы конвертирования на примере конвертирования произведения 2-х кватернионов в матрицу поворотов:

Определяем элемент матрицы m[0][0] через параметры кватерниона:

Соответствующее произведению кватернионов (q1 и q2) произведение матриц поворотов было получено ранее (см. Матрицы поворота и углы Эйлера):

Как видим, результат m[0][0], полученный через конвертирование, совпал с значением в матрице поворота.

Фрагмент программного кода на С для конвертирования кватерниона в матрицу поворота:

При конвертировании используется только умножения и сложения, что является несомненным преимуществом на современных процессорах.

Часто для задания вращений используют только кватернионы единичной длины, но это не обязательно и иногда даже не эффективно. Разница между конвертированием единичного и неединичного кватернионов составляет около 6-ти умножений и 3-х сложений, зато избавит во многих случаях от необходимости нормировать (приводить длину к 1) кватернион. Если кусок кода критичен по скорости и вы пользуетесь только кватернионами единичной длины тогда можно воспользоваться фактом что норма его равна 1.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Конвертирование матрицы поворота в кватернион

Конвертирование матрицы в кватернион выполняется не менее эффективно, чем кватерниона в матрицу, но в итоге мы получим кватернион неединичной длины. Его можно нормализовать.

Фрагмент программного кода конвертирования матрицы поворота в кватернион:

Видео:Кватернионы и октавы. 3. Повороты в пространстве. Углы Эйлера: крен, тангаж, рыскание.Скачать

Углы Эйлера и анимация объектов

16.10.2017

Углы Эйлера описывают поворот объекта в трёхмерном евклидовом пространстве. При этом рассматриваются две прямоугольные системы координат, имеющие общий центр: неподвижная система и подвижная, связанная с объектом. На рис.1 неподвижная система координат имеет обозначение XYZ (она наклонена), а подвижная система обозначена как xyz. Углы Эйлера представляют собой углы, на которые поворачивается подвижная система координат, связанная с объектом, до совмещения с неподвижной системой. В классическом варианте первый поворот происходит на угол α вокруг оси z, связанной с объектом, до тех пор, пока не произойдет совпадение оси x, связанной с объектом, c плоскостью XY неподвижной системы. Такое совпадение произойдет по линии пересечения плоскостей XY и xy (линия N на рис. 1). Следующий поворот осуществляется на угол β вокруг нового положения оси x, связанной с объектом, до тех пор, пока не совместятся оси аппликат обеих прямоугольных систем. При этом ось y, связанная с объектом, окажется в плоскости xy неподвижной системы координат XYZ. Последний поворот производится на угол γ вокруг нового положения оси аппликат подвижной системы координат (она будет совпадать с такой же осью неподвижной системы), после чего оси координат XY и xy совместятся.

Рис. 1. Углы Эйлера

Такие повороты некоммутативны, и конечное положение подвижной системы координат зависит от порядка, в котором совершаются повороты.

Если известны координаты вектора R(r_x, r_y, r_z) в подвижной системе координат XYZ и известны углы Эйлера (α, β, γ) подвижной системы координат xyz относительно неподвижной, то можно вычислить координаты этого вектора в неподвижной системе координат xyz. Для этого следует построить матрицы трех последовательных поворотов на углы α, β и γ:

Перемножая эти матрицы в обратном порядке, получим итоговую ортогональную матрицу:

которая преобразует координаты вектора R(r_x, r_y, r_z) подвижной системы координат в координаты вектора N(n_x, n_y, n_z) такой же длины в неподвижной системе координат:

где N и R — матрицы-столбцы соответствующих координат.

Углы Эйлера являются наиболее естественными и понятными при выполнении различных операций вращения объектов, поскольку они соответствуют вращениям объекта, наблюдаемым в видовых окнах трехмерных графических систем. Однако их использование в системах компьютерной анимации сталкивается с рядом трудностей. Прежде всего, это необходимость выбора определенной последовательности поворотов объекта относительно осей системы координат. Если повернуть объект сначала вокруг оси X, затем вокруг оси Y и, наконец, вокруг оси Z, то это будет совсем не тот поворот, если бы повернуть этот объект на те же углы, но в другой последовательности.

Рассмотрим другой пример — создание анимации кубика при повороте его вокруг оси Z мировой системы координат на угол, превышающий 360°, например на угол 450°. Попробуем создать два ключевых кадра, между которыми кубик должен повернуться на этот угол. Для этого в программе MaxScript создайте стандартный параллелепипед:

После этого переместите ползунок временной шкалы анимации к кадру 10, включите режим Auto Key, а затем выполните команду:

Воспроизведите анимацию. Объект повернется только на 90°, поскольку его оборот на 360° будет игнорирован. Теперь то же самое проделайте в окне программы 3ds Max. Анимация объекта между двумя ключевыми кадрами произойдет на угол 450°. Таким образом, применение эйлеровых вращений в программах компьютерной графики, аналогичных MaxScript, ограничивается одновременным вращением на угол, не превышающий 360°. Однако это не мешает создавать анимацию вручную за экраном дисплея.

Другая проблема углов Эйлера заключается в наличии Gimbal lock, или шарнирного замка. Его появление зависит от выбора порядка поворотов объекта. Например, повернем объект вначале вокруг оси Z на угол 140°, затем вокруг оси X на угол 90°, а потом на угол 130° вокруг оси Y (рис. 2).

Рис. 2. Последовательные повороты объекта

Если теперь заново выполнить ту же последовательность поворотов, например, на углы 10° вокруг оси Z, затем на 90° вокруг оси X, а потом на 0° вокруг оси Y, то получим тот же результат. Проблема заключается в том, что когда вращение вокруг оси X становится равным 90° или -90°, то локальная ось вращения Y становится параллельной оси Z, но с обратным направлением, и поэтому вращение вокруг нее вступает в конфликт с предыдущим вращением вокруг оси Z.

Шарнирный замок отсутствует у матриц и кватернионов. Кватернионы предоставляют удобное математическое обозначение положения и вращения объектов в пространстве. В сравнении с углами Эйлера, кватернионы позволяют проще комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси, независимо от совершённого вращения по другим осям. В сравнении с матрицами они обладают большей вычислительной устойчивостью и могут быть более эффективными. Кватернионы используют для выполнения вращений в компьютерной графике, робототехнике, игровых движках, навигации, молекулярной динамике и вообще везде, где возникают проблемы с углами Эйлера или матрицами.

🎦 Видео

Урок Houdini "Кватернионы для чайников" (RUS)Скачать

ЗАДАЧА - ЧУДО! Победи мастера, найди угол альфа!Скачать

ВРАЩЕНИЕ В КООРДИНАТАХ. КВАТЕРНИОНЫ И УГЛЫ ЭЙЛЕРА - С++ OpenGL ЧАСТЬ #3Скачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать